LES LIVRETS DE MATH…

Les polynômes,
de vrais
Livret 2
mômes!
91
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Mise en situation :
Lecture
page 13
Math inverses : prise de notes et travail de groupe
Devant le site suivant http://mathinverses.weebly.com/polynocircmes.html, prends des notes en
visionnant les différentes vidéos afin de réparer le travail de groupe.
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Chapitre 3

:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je me rappelle
Souvenir 1 :
3 x ² ; -2 x + 4 y ; 78 a³ + 10 b² - 7 sont des ………………………………………………………………
x, y, a et b représentent des ……………………………… qu’on ne connaît pas. On les appelle des
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Souvenir 2 :
Il y a une nuance entre
2x + 1
et
2x + 1 = y
Laquelle ?
Souvenir 3 :
Que penses-tu de 3x+2y-5x+4y-8 ?
Il y a des ………………………………………………………………… donc on peut ………………………………………
Souvenir 4 :
l’opposé de x =
l’opposé de ( a + b ) =
l’opposé de ( a - b ) =
!!!!!!! l’opposé de a + b n’est pas égal à a - b !!!!!!
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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Je me demande

Question 1 : quels sont les noms de tous ces éléments ?
 Une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre non nul et n est un
nombre naturel sera un monôme à une variable x
Dans le monôme a.xn, a représente ……………………………………………………
x représente …………………………………………………
n représente …………………………………………………
Ex 1 :__________________
Contre-exemples : _______________________
 L’exposant de cette variable dans le monôme sera le degré d’un monôme par rapport à
une variable.
Ex 2 :____________________________________________
 Des monômes qui ont …………………… ……………………………………………………………………………
seront des monômes semblables.
Ex 3 :____________________________________________
 Des monômes semblables dont les coefficients sont
…………………………………………………………………… seront des monômes opposés.
Ex 4 :____________________________________________
La somme de deux monômes opposés est ……………
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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Question 2 : quels sont les noms donnés quand ils sont plusieurs ?
La somme de plusieurs monômes est …………………………………………… Si une seule lettre
intervient dans le polynôme (par exemple x), on parlera d’un polynôme en ……… et on le
notera P(x). La lettre est appelée variable du polynôme.
Un polynôme qui ne possède que 2 termes est appelé …………………………………
Un polynôme qui ne possède que 3 termes est appelé …………………………………
Un polynôme qui ne possède que 4 termes est appelé …………………………………
Ex : voici 3 polynômes
P 1 (x) = 2x - 5x7+3x²+1
7 est ………………………………………………………………
On dira que le …………………………………………………………………est 7
P 2 (x) = 5x3+3x²-2x+9
9 est …………………………………………………………………
On dira que le ………………………………………………………………………………………………………… est 9
P 3 (x) = -x7+3x²+4x²-2x+1
On remarque ici 3 particularités :
1) on peut …………………………………… donc ce polynôme est ……………………………………………
2) les degrés des termes sont classés dans l’ordre……………………………………………………
3) donc ce polynôme est …………………………………………………………………………………………………
4) certains degrés ………………………………………….donc ce polynôme est
……………………………………
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Chapitre 3
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les polynômes, de vrais mômes !
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Question 3 : et si je connais ce que vaut la variable ?
Ex 1 : P (x) = x - 7
Ex 2 : P (x) = 5x3+3x²-2x+9
et x = - 2
et x = -1
alors
alors
Il suffit de …………………………….x par sa valeur « a »et on obtient le nombre que vaut
P(x).
On dira que c’est sa ……………………………………………………………… et on note…………
Question 4 : la valeur numérique est 0 !!!!!!
Ex 1 : P (x) = 6 x - 12
P (2) =………………………………………………………………………………………………………………………
Ex 2 : Q (x) = 5x3+3x²-10x+2
Q(1)= ……………………….………………………………………………………………………………………………
2 sera la ……………………… de P
et
Ex 3 : R (x) = 2x3-7x²+x+9
et x = 0
1 est une ………………………. de Q
alors
R (0) = ……………………………………………………………………………………………………………………………
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Chapitre 3
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les polynômes, de vrais mômes !
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Je sais

 Vocabulaire
 Une expression algébrique est l’indication d’une suite d’opérations à effectuer sur des
nombres.
 Une identité est une égalité qui est vérifiée pour toutes les valeurs données aux lettres
qu’elle contient.
 Etude d’un polynôme
1. Le degré d’un polynôme réduit par rapport à une variable est l’exposant le plus élevé de
cette variable.
2. Un polynôme réduit est un polynôme qui ne contient plus de monômes semblables.
3. Un polynôme réduit est complet par rapport à une variable s’il contient toutes les
puissances de cette variable à partir de la plus élevée.
4. Un polynôme ordonné est un polynôme réduit dont on classe les monômes suivant l’ordre
décroissant en général (ou croissant) des degrés de la variable.
5. Le terme indépendant d’un polynôme est le terme du polynôme qui ne dépend pas de la
variable.
Le terme indépendant est le terme de degré 0.
P(0) = le terme indépendant
6. La valeur numérique d’un polynôme est la valeur que l’on obtient en remplaçant la
variable par un nombre réel.
7. Une racine (ou zéro) d’un polynôme est un nombre qui annule le polynôme.
 Notations
Nous avons déjà vu qu’un polynôme en x peut se noter P(x) ou P1(x) , P2(x) , P3(x) , ... ou en
utilisant d’autres lettres majuscules A(x) , B(x) , C(x) , ...
 Help
http://mathinverses.weebly.com
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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J’applique

Exercice 28: Parmi les expressions algébriques suivantes, quelles sont celles qui sont des
monômes ? Pour les monômes, cite chaque fois la variable, le coefficient et le degré.
Monôme
variable
coefficient
degré
1) -2x³
2) 4
z²
3) x√3
4) − 4
5)  2x³
3
6) 2. (3u² − 1)
Exercice 29 : Ecris un monôme dont la variable est « t », de degré 5 et de coefficient
−2
3
:
Exercice 30 : Voici le polynôme A(x) = 3x 5 + 6x − 5x 4 − 10 − 4x 3
a) Le polynôme A(x) est-il ordonné? ……… et réduit ? ………
Si non, fais-le.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) Le polynôme A(x) est-il complet? Pourquoi ?……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
c) Quel est le degré du polynôme A(x) ? …………………
d) Comment s’appelle x ? ……………………………………………………………………………………………
e) Que représente le terme -10 ? ……………………………………………………………………………………………………
f) Que représente le nombre 3 figurant devant 𝑥 5 ? ………………………………………………………………
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Chapitre 3
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Polynôme
Polynôme ordonné et réduit
P1(x) = -2x³ + 4x5 + 5x³ -
P2 (x) =
P3 (x) = 6 +
Degré
du
poly.
T.I.
Coeff. du
terme de
3e degré.
Exercice 31 : Complète le tableau suivant :
2
-4x5
3
3 6
x + 2x 3 − 4 − x 2
4
−3 4
x + 3x 2 − 7 − 5x 2
8
2
5
P4 (x) = x 3 + x 4 − 3x 2 − x 4 − 3x 2
3
6
Exercice 32:
3
5
Soient A(x) = 2x 4 − 4 x 3 + 2x 2 − 2 x + 1 et B(x) = −x 5 + 3x 4 − 0,5 x 3 + 2x 2 − 0,5x +
1,5
Calcule les valeurs numériques suivantes :
A(1) =__________________________________________________________
A(0) =__________________________________________________________
B(-1) =__________________________________________________________
B(-2) =__________________________________________________________
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Chapitre 3

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Je me rappelle
Souvenir 1 : j’additionne A(x), B(x) et C(x) avec A(x)=3x³+2x²+5x-3, B(x) = 2x²7+x4-6x³ et C(x) = -2x-4.
La somme S (x)=
J’ai utilisé………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Souvenir 2 : si A(x)=3x³+2x²+5x-3, que vaut –A(x) ?
-A(x)=
-A(x) est …………………………………………… de A(x).
Souvenir 3 : je soustrais B(x) de A(x) avec A(x)=3x³+2x²+5x-3 et
B(x) = 2x²-7+x4-6x³
La différence D(x)=
J’ai utilisé………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Chapitre 3
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les polynômes, de vrais mômes !
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………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Souvenir 4 : je multiplie A(x)=3x³+2x²+5x-3
1) A(x) par 2
Le produit P(x)=
J’ai utilisé………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) A(x) par -3x4
Le produit P(x)=
J’ai utilisé……………………………………………………………………………………………………………
3) A(x) par B(x) si B(x) = 2x²-3x+1
Le produit P(x)=
J’ai utilisé……………………………………………………………………………………………………………
Souvenir 5 : Je divise 3475 par 13
Je vérifie en effectuant le calcul suivant : ……………………………………………………………………………
La relation euclidienne :
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_______________________
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Chapitre 3

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les polynômes, de vrais mômes !
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Je me demande
Question 1 : La multiplication de deux polynômes avec la double distributivité est parfois
…………………………………………………………………… Trouvons une astuce pour simplifier le calcul.
Testons avec A(x)=3x³+2x²+5x-3 et B(x) = 2x²-7+x4-6x³
A ( x ) . B ( x ) avec une grille.
3x³
2x²
5x
-3
x4
-6x³
2x²
-7
Question 2 : les degrés des polynômes
Je vois que A est de degré…… et que B est de degré……
A(x) + B(x) est de degré…… Il suffit de…………………………………………………………………………………
A(x) - B(x) est de degré…… Il suffit de…………………………………………………………………………………
A(x) . B(x) est de degré…… Il suffit d’……………………………………………………………………………………
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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Question 3 : et quand on multiplie un binôme par lui-même ou par son conjugué, n’y aurait-il pas un
raccourci ? Voyons quand on multiplie par…
Exemple : Soient les binômes conjugués 2x + 1 et ……………………………………………………………………
 lui-même…
(2x + 1) ²= ___________________________________________________________
= ___________________________________________________________
(2x - 1) ²= ___________________________________________________________
= ___________________________________________________________
 son conjugué…
(2x + 1) (2x - 1) = ______________________________________________________
= _______________________________________________________
 un peu de tout!
(2x + 1) (2x - 1) (4x² + 1) = _______________________________________________
= _______________________________________________
(2x + 1) (2x - 1) (4x² - 1) = _______________________________________________
= _______________________________________________
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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Question 4: Je fais une division euclidienne.
1) 3x³+2x²+5x-3 par
x²-3
Vérifions : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) 2x²-7+x4-6x³ par x + x² -1
Il faut ………………………………………et……………………………………
Vérifions : …………………………………………………………………………………………………………………………………………….
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Chapitre 3
:
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3) 21x³-35x²+6x-10 par 3x-5
Vérifions :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Si le reste =…… alors on obtient une………………………………………………………….. du polynôme.
On parle d’une division ………………………………………
Si r = 0 alors
P(x) = quotient . diviseur
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Chapitre 3
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Je sais

Toujours avoir ses polynômes dans l’ordre décroissant des ……………………………
Techniques d’opérations
 La technique pour additionner ou soustraire des polynômes est
_________________________________________________
 Les techniques pour multiplier des polynômes sont
Soit _________________________________________________
Soit _________________________________________________
Soit _________________________________________________
 La technique pour diviser des polynômes est
____________________________________________
Il faut ……………………………………… le polynôme dividende si un degré manque !!!
Degrés
Degré de A(x) + B(x)=………………………………………………………
Degré de A(x) . B(x)=………………………………………………………
Produits remarquables
 Help
https://www.youtube.com/watch?v=c08DgsqArHw
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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J’applique

Exercice 33 :
a) Si d°A(x) = 5 et d° B(x) = 3, alors d°A(x) + B(x) =_____
b) Si d°A(x) = 2 et d° B(x) = 3, alors d°A(x) + B(x) =_____
c) Si d°A(x) = 5 et d° B(x) = 5, alors d°A(x) + B(x) =_____
d) Si d°A(x) = a + 2 et d° B(x) = a, alors d°A(x) + B(x) =_____
e) Si d°A(x) = a et d° B(x) = b, alors d°A(x) + B(x) =______
Exercice 34 : Sur feuille quadrillée
P(x) = 2x 4 + 5x 3 − 3x 2 − x + 2
Q(x) = −4x 4 − 6x 2 + 2x − 1
= 3x 3 − x 4 + 2x − 3
R(x)
a) Calcule P(x) + Q(x)
b) Calcule P(x) – R(x)
c) Calcule 2 P(x)
d) Calcule -3 Q(x)
e) Calcule 4 R(x) + 2 Q(x)
f) Calcule 3 P(x) – 5 R(x)
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Chapitre 3
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Exercice 35: D(x) = -3x³ + 4x² - 5x + 2
a) Trouve E(x) tel que D(x) + E(x) est un polynôme du 2e degré
b) Trouve F(x) tel que 3 D(x) – 2 F(x) est un polynôme du 1er degré.
Exercice 36 : Effectue avec la grille sur une feuille.
P(x) = 2x³ - 3x + 1
a)
Q(x) = -3x + 1
P(x). Q(x)
R(x) = 2x² - x + 3
S(x) = -x³ + 2x² - 3x – 1
b) -3 R(x). S(x)
Exercice 37 :
a) Si d°A(x) = 5 et d° B(x) = 3, alors d°A(x). B(x) =____________
b) Si d°A(x) = 2 et d° B(x) = 3, alors d°A(x). B(x) =____________
c) Si d°A(x) = 5 et d° B(x) = 5, alors d°A(x). B(x) =____________
d) Si d°A(x) = a + 2 et d° B(x) = a, alors d°A(x). B(x) =___________
e) Si d°A(x) = a et d° B(x) = b, alors d°A(x). B(x) =____________
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Chapitre 3
:
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Exercice 38 : Effectue en utilisant les produits remarquables lorsque c’est possible.
 Série 1
a) (4a − 5)2
=_________________________________________________
=_________________________________________________
b) (3x + 7y)2 =_________________________________________________
=_________________________________________________
c) (−3x + 7y)2 =_________________________________________________
=_________________________________________________
d) (3a-1)(3a+1) =________________________________________________
=________________________________________________
e) ( -3c – e )² =________________________________________________
=________________________________________________
 Série 2
a) (2x 3 − 5y 2 )2 =________________________________________________
=________________________________________________
b) (5a³ − 4b4 )2 =________________________________________________
=________________________________________________
c) (3a²b³ + 6a³)2 =_______________________________________________
=_______________________________________________
d) (−9b3 + c5 )2 =________________________________________________
=_______________________________________________
Livret 2
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
 Série 3
a) (4s²-7)(7+4s²)=____________________________________________
=______________________________________________
b) (−3a3 b5 − 0,4)2 =______________________________________________
=________________________________________________
c) (−0,2y2 + 0,3y5 )2 =____________________________________________
=_______________________________________________
d) (-0,1-5a²b³)(5a²b³-0,1)=_______________________________________
=_______________________________________________
e) (−3x 3 − 6x 4 )2 =_______________________________________________
=_______________________________________________
f) (ab-x)(x-ab)=_______________________________________________
=_______________________________________________
g) (-x-1)(x+1) =_______________________________________________
=_______________________________________________
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exercice 39 : Effectue en utilisant les produits remarquables.
a) (a – b ) ( a + b ) ( a² + b² ) =______________________________________
__________________________________________________________
b) ( a² - b² ) ( a – b ) ( a + b ) =_____________________________________
__________________________________________________________
c) ( 2 a – 3 ) ( 4 a² + 9 ) ( 2 a + 3 ) =__________________________________
__________________________________________________________
d) (
a
a
a²
-1)(
+1)(
- 1 ) =____________________________________
2
2
4
e) (
a4 b4
a b
a b
a² b²
) ()(
)(
+
) =________________________
16 81
2 3
2 3
4
9
__________________________________________________________
Livret 2
111
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
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Exercice 40 : Effectue sur feuille les divisions exactes suivantes (à l’aide de la
division euclidienne).
Livret 2
1) x²+5x+6
par
x+2
2) 2x²-14x+24
par
x-3
3) 3x³-8x²+7x-2
par
3x-2
4) -8x4-2x³-x²+5x+6
par
4x+3
5) -3x²+5x+x³-6
par
x²-x+3
112
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exercice 41 : Divise et factorise si possible sur feuille.
1) x³+6x²+3x-10
par
x+2
2) x5-x7+3-6x+5x²+2x4+7x³
par
3x-x³+2
3) (x6 –x4-2x³+2x-3) : (x²-2x+1)=
4) (x6+x4-3x²+x+10) : (x²-x+2)=
5) (x5-32) : (x-2)=
Livret 2
113
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je me rappelle

Souvenir 1 : un binôme est …………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exemple : ___________________
Souvenir 2 : une division est exacte quand :
 Elle est juste ?
 Elle a un reste nul ?
 Elle s’arrête avant les nombres décimaux ?
Souvenir 3 : Quand je divise, quel nombre est systématiquement écarté du
dénominateur?....................... Pourquoi ? Rappel : on a 6 : 2 = 3 car
6 : 0 ou
6
=…
0
a
b
Donc si j’écris , je ne connais ni a ni b !!! Pour éviter que b ne soit ……………,
je dois mettre une condition pour que ma fraction existe : on parle de condition
d’existence (C.E.)
Livret 2
114
Chapitre 3
Livret 2
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les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
115
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
Ex 1 : 4
C.E. :
x
Ex 2 :
UAA5
3a
a4
C.E. :
Ex 3 : 5x  1
C.E. :
3  2x
Souvenir 4 :
6 = 2 . 3 donc 6 est divisible par 2, 3 et 6
3a²b³ est divisible 3, a et b mais aussi 3a, a², ab, a²b, …
4(x+1) est divisible par ……………………………………………………………………………………………………
2x²-5x = ___________ est donc divisible par …………………………………………………………
Le pgcd de deux nombres est……………………………………………………………………………………………
Ex : pgcd (3ax+9x ; a²+6a+9 ; 4a+12)
Transformons…
pgcd (…………………… ; ………………………… ; ………………………………)
Donc le pgcd (3ax+9x ; a²+6a+9 ; 4a+12) est ………………………
Livret 2
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je me demande
Question 1 : Puis-je savoir, sans diviser, si le polynôme P( x)  x 3  5x 2  11x  6 est
divisible exactement par (x-2) ?
On peut trouver ………………………………… SANS …………………………………………………………
Dans l’exemple, on calcule …………………………………..Donc le …………………=…… et on
conclut que le polynôme est/n’est pas divisible par x-2 !
C’est la Loi du reste dans le cas d’une division par un binôme (x-a).
Livret 2
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Question 2 : Je peux donc directement calculer le reste d’une division à condition
que le diviseur soit………………………………………………………………
7 x 4  5x³  x²  x  3
x 1
r=
4x³  5x²  x  2
x2
r=
(-x³+6x²-7x-6) : (x-3)
r=
Cette division est ……………………………….
car………………………
On dit que le polynôme est divisible par (x-3) !
Livret 2
118
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Question 3 : (4x³-5x²-10x+3) : (x-2) =
1° Effectuons la division écrite …
2° Quel sera le reste ?
P(……) = ……………………………………………………
3° Y a-t-il une technique plus rapide pour diviser ?
dividende
4
-5
-10
3
2
diviseur
Donc :
reste
Q(x)= 4x²+3x-4
Vérifions… 4x³-5x²-10x+3 = (x-2) . (4x²+3x-4) – 5
Livret 2
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exemple : Divisons
(3x³-2x+1) : (x+3)
Vérifions ensuite avec la loi du reste en calculant
P(……)=……………………………………………………………………………………………
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Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Question 4 :
Observation dans les cas simples du second degré.
Ex1 : On factorise x²-5x+6. Il se divise par (x-2) car 2 annule le polynôme.
On divise :
On obtient la factorisation suivante : x²-5x+6 = ………………………..
On observe que -2 et ………… ont comme ………………… - 5 et comme ………………… 6
Ex2 : Factorise x²+7x+10=…………………
Méthode de somme et produit
Méthode de la grille
On trouve directement la factorisation avec cette méthode de somme et produit
Livret 2
121
Chapitre 3

:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je sais
Condition d’existence
Toute fraction qui possède une variable au ……………………………………………………… doit
d’abord avoir une C.E.
Pour cela, il suffit de trouver le ou les nombres qui ……………………………… le dénominateur
(appelés racines du dénominateur).
PGCD = Le plus grand commun diviseur
1e factoriser l’expression algébrique
2e prendre le diviseur commun avec le plus petit exposant (qui peut comprendre un
nombre, une (des)lettre(s) avec ou sans exposant et parenthèses avec ou sans
exposant)
 Méthode des diviseurs binômes de la forme x-a ou x+a
 Recherche du RESTE grâce à la « loi du reste »
Remplacer la variable x par le nombre qui annule le ……………………
On note : …………=……
Si la valeur numérique est 0, cela signifie que le ………………… vaut 0 et que la division
est ……………… ou encore que le dividende est ……………………………………….. par
……………………………………………………………………
 Recherche du quotient grâce à la MÉTHODE DE HORNER
 Factorisation
 par “division”
 par “somme et produit”
Livret 2
122
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
J’applique

Exercice 42 :
1. Quelles sont les conditions d’existence de…
1)
x
5x
2)
1
6x  3
3)
3x  1
3x  1
4)
2
a+1
2. Quel est le reste des divisions
suivantes ? Indique le calcul.
5)
6
a²-4
3. Ces divisions sont-elles exactes ?
Pourquoi ?
1) (3x4-2x³+x²-5) : (x-4)
1) ( x4-3x²+1) : (x+2)
2) (2x5-3x²+x) : (x+2)
2) (x³+x²-7x+5) :(x-1)
3) (x4-2x+6) : (x+1)
3) (x6+3x³-2) : (x+1)
4) (x6-2x5+2x4-4x³+5x-10) : (x-2)
5) (x³-4x²+2x-15) : (x+3)
Livret 2
123
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exercice 43 :
Détermine, avec la méthode d’Horner, le reste, le quotient des divisions suivantes
puis vérifie avec la loi du reste. Utilise une feuille ad hoc.
1)
2)
3)
4)
5)
x4-7x²+x-10
2x5-x6+2x-3-2x4
x²+2x-8
5x²-2x²-3+4x
6x4+13x³-7x+10+17x²+x5
par
par
par
par
par
x-2
1-x
x-2
x-3
4+x
Exercice 44 :
1. Démontre que les polynômes suivants sont respectivement divisibles par…
1)x²-3x+2
par x-2
2)2x²-x-15
par
x-3
2. Effectue et vérifie ton résultat avec la relation euclidienne.
1)
(2x4-18x²+2x+5) : (x+3)=
Livret 2
2) (x7-x6+x4-x+12) : (x-2)=
124
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exercice 45 :
Factorise avec somme et produit ou la grille.
1)x²-9x+14
Livret 2
2)x²-8x+15
3)x²+2x-8
4)x²-9x-10
5)x²+7x+6
125
Chapitre 3

:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je travaille mes compétences
Exercice 46 :
page 26 n°15 « en boucle ! »
Exercice 47 : Effectue
a) ( a + 2 b + 1 )² =
d) ( x² + x + 1 )² =
b) ( x + y – z )² =
e) ( x² + 3 x³ +
x
)²=
2
c) ( a – b –c )² =
Livret 2
126
Chapitre 3

Livret 2
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je trace le plan avec les mots clefs
127
Chapitre 3
Livret 2
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
128
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je prépare mon évaluation n°4 (notion 1)

Ai-je bien retenu ?
 La racine d’un polynôme est …………………………………………………………………………
/1
 Paul a remplacé dans son polynôme A(n) la variable n par le nombre 5 et a trouvé
comme réponse -17. Comment appelle-t-on -17 ? Comment le note-t-on ?

Puis-je appliquer ?
/2
/2
3) Complète le tableau suivant.
Monôme
Coefficient
Degré par
rapport à « x »
Degré par
rapport à « y »
Degré par
rapport à « z »
−3
4
2
n
0
-2
3
4
1
−4 x 5 y
5 4 a n+1
x y z
7
4) Trouve un polynôme de degré 4, non complet, ordonné, avec 5 comme terme
indépendant et avec le coefficient du terme de degré 2 qui est 1.
1
2
2
3
5) Calcule A(-1), A(0), A( ) si A(x)= -x³+ x²-4x+2
/2
/3
A(-1)=____________________________________________________= ……
A(0) =____________________________________________________= ……
1
2
A( )=____________________________________________________= ……
Je me donne une cote : ……………/10
Je dois revoir les questions …………………………………………
Livret 2
129
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je prépare mon évaluation n° 5 (notion 2)

1)
Ai-je bien retenu ?
La formule de vérification d’une division est
/1
…………………………………………………………………………………………
2) Enonce les 3 produits remarquables en formules.
3) Coche si c’est vrai .
/3
/1
Le produit de deux polynômes de degré 2 et 3 est un polynôme de degré 6.
En additionnant deux polynômes du premier degré, il est impossible d’obtenir un
polynôme du second degré.

Puis-je appliquer ?
4) Effectue avec la disposition pratique avec P(x) = -x³ - 3x² + x
Q(x) = 4x³-2x + 5
( calculs sur feuille).
et
/6
a. - P(x) + Q(x)
b. 2 P(x). 3Q(x)
c. Q(x) divisé par
Livret 2
x-2 (et vérifie)
130
Chapitre 3
5)
:
Effectue avec les produits remarquables.
a.
(0,5x-y)(y+0,5x)=
b.
(3a2n-b)²=
c.
( a²b+ a³)²=
d.
(
6)
les polynômes, de vrais mômes !
1
2
UAA5
/4
1
2
a
b
a
b
a² b²
) ()()=
2
3
2
3
4
9
Complète.
/2
…… - 0,09 = ( … + … )(a - …)
a²- 3 a b² + …… = ( …… - …… )²
7) Quel sera le degré de A(x). B(x) si le degré de A(x) est 4 et le degré de
B(x) est 1 ?
8) Factorise x²-7x+12 avec la grille.
/1
/2
Je me donne une cote : ……………/20
Je dois revoir les questions …………………………………………
Livret 2
131
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je prépare mon évaluation n° 6 (notion 3)

Ai-je bien retenu ?
La loi du reste me permet de trouver ………………………… quand j’ai une division d’un
polynôme par ………………………………………
Que faut-il faire ?
Quand a-t-on une condition d’existence ?

/1
/1
Puis-je appliquer ? (utilise une feuille).
Détermine la condition d’existence de cette expression algébrique.
/2
Détermine le PGCD des polynômes : x²+2x+1 ; 3x²-3 ; x²+5x+4
/1
5x  2
41  x
Détermine, sans diviser, le reste de la division : x³-3x+5 divisé par x+2
Livret 2
/2
132
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Factorise avec la méthode de diviseurs binôme x5-1 par x-1
/2
Factorise avec la méthode de somme et produit : x²-13x+30
/1
Je me donne une cote : ……………/10
Je dois revoir les questions …………………………………………
Livret 2
133
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je me dépasse…
Exercice A :
Livret 2
page 14, n°3 : Développer et
factoriser
133
Chapitre 3
Exercice B :
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
page 24 n°8
a)
b)
Exercice C: Complète
1 + 2 x + … = ( … + … )²
16 a ² - …… + …… = ( … - y )²
9 a²- 30 a b² + …… = ( …… - …… )²
4 b 4 + 25 y 6 + …… = ( …… + …… ) ²0,01 x ² - …… + …… = ( 0,2 - …… )²
Livret 2
134
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exercice D : Vérifie ci-dessous les identités suivantes.
a) (a − b)2 − (b − a)2 = 0
b) (a + 1)3 = a³ + 3a² + 3a + 1
(a+b)³ est le cube d’une somme. C’est un 4ème produit remarquable.
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
Et le 5ème est le cube d’une différence.
(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³
Livret 2
135
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
Exercice E :
page 15 n°4 « démontrer »
Exercice F :
page 28 n°23 « et après ? »
Exercice G :
page 28 n°25 « prodigieux ! »
Livret 2
UAA5
136
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Exercice H:
Défi Trouve (a+b+c)² par distributivité.
(a+b+c)² = (a+b+c)(a+b+c)=__________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
____________ _________________________________________________
En observant la « logique », déduis (a+5b-3c)²et (a+b+c+d)².
(a+5b-3c)² =
(a+b+c+d)² =
Livret 2
137
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je m’informe…
Source : Randomaths 3e Editions Erasme, 2011.
Livret 2
138
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Je dois encore réviser …
Source : Randomaths 3e Editions Erasme, 2011.
Notions 1 et 2 : polynômes et opérations sur polynômes
Livret 2
139
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
 a) Calcule P(-2), P(-1) et P(0) et P(5) avec P(x) = 2x³-x²+3x-5
a) Calcule P(-2), P(-1) et P(0) et P(5) avec P(x) = x5-x³-x
 En disposition pratique : A(x).B(x).C(x) avec A(x)= -3x³+5x-7
, B(x)=x²+5x-3
et C(x)= -x-4x³
 Effectue avec A(x)= -3x³+5x-7
1
2
1) 2A(x)+ B(x)
,et B(x)=4x²+5x-6
2) – A(x) – B(x)
 Coche si c’est vrai.
La somme de deux polynômes respectivement de degré 2 et 3 est un polynôme de
degré 5.
La différence de deux polynômes de degré 3 et 2 est un polynôme de degré 1.
Le produit de deux polynômes du premier degré est un polynôme du deuxième
degré.
En additionnant deux polynômes du second degré, il est impossible d’obtenir un
polynôme du premier degré.
Le produit de trois polynômes du premier degré est un polynôme du troisième
degré.
Livret 2
140
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
 Effectue avec les produits remarquables.
1)
(4+2a)²=
11)
2)
(7x+5y)²=
12)
(-1-x³y6)²=
13)
(a²b+a³b³)²=
3)
(-5x+5y)²=
(-x³y²-6ax)²=
4)
(3a-2b³)(3a+2b³)=
14)
(a+ 1 )(-a+ 1 )=
2
2
5)
( a² -11)²=
3
15)
(3a4b4x+5a²x5)(3a4b4x-5a²x5)=
6)
(-1+2xy²)²=
16)
(a²-9)(9+a²)=
7)
(7x-6xy)²=
17)
(0,1-8a)(8a+0,1)=
8)
(-2+6x4)²=
18)
2

  b
3

19)
(-3+6xy)(-3-6xy)=
9)
10)
( a² - 2b )( a² + 2b )=
2 3
2 3
(2a³+3b³)²=
Livret 2
2
=
20) (-6a+b)(6a-b)=
141
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Effectue les divisions suivantes avec la disposition pratique et factorise quand
c’est possible. Détermine le quotient.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-8x4-23x+15x5+6+22x²
par 3-4x-5x²
2x³-3x²-5 par 2x+1
(x4-5x²+3x-1) : (x4-x³+2)=
9x²-12x³+4x4-4
par 3x-2x²+2
-2x³+3x²+5x-4 par x²-1
(x4-8x³+19x²-21x+14) : (x-5)=
(x5-3x4+3x³-9x²-4x+12) : (x²-1)=
Notion 3 : diviseur binôme
 Trouve les conditions d’existence de :
3x  7 x  9 x  1
3
;
;
;
2x  1 17
x
 5x  2
Détermine, avec la méthode d’Horner, le reste et le quotient des divisions
suivantes puis vérifie avec la loi du reste.
1)
2)
3)
4)
5)
x²-3x-10
x³+3x²-7x-3
6-4x+x³
2x³-4x-5-x²
-3x4+2x²-5x³-1
par
par
par
par
par
x+2
x-1
x+3
x+1
x+2
 Factorise avec la méthode des diviseurs binômes et vérifie en distribuant.
(x6-5x5-3x4+15x³+2x²+11x+3) : (x-3)=
 Soit…
Livret 2
142
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Réponses :
Notions 1 et 2
 a) -31 ; -11 ; -5 ; 235
b) -22 ; 1 ; 0 ; 22




faux faux
vrai
faux (quand les coefficients de deux mêmes degrés opposés)
1) 16+16a+4a²
2) 49x²+70xy+25y²
3) 25x²-50xy+25y²
4) 9a²-4b6
a 4 22a²

 121
5)
9
6)
7)
8)
9)
3
1-4xy²+4x²y4
49x²-84x²y+36x²y²
4-24x4+36x8
a 4 4b²
-
4
9
10) 4a6+12a³b³+9b6
Livret 2
vrai
11) x6y4 +12ax4y²+36a²x²
12) 1+2x³y6+x6y12
13) a4b²+2a5b4+a6b6
14) a²+a+
1
4
15) 9a8b8x-25a 4x10
16) a 4-81
17) 0,01-64a²
18)
4 4
 b+b²
9 3
19) 9-36x²y²
20) –36a²+12ab-b²
143
Chapitre 3
:
les polynômes, de vrais mômes !
UAA5
Réponses (suite) :

Oups… reste =3x-1
Notion 3 : diviseur binôme
Reste
0
-6
-9
-4
-1
Quotient
x-5
X²+4x-3
X²-3x+5
2x²-3x-1
-3x³+x²
x

1
2
; rien ; 0 ;
2
5
 (x6-5x5-3x4+15x³+2x²+11x+3) : (x-3)= x5-2x4-9x³-3x²-4x-1 donc x6-5x5-3x4+15x³+2x²+11x+3=(x-3).(x5-
2x4-9x³-3x²-4x-1)

Livret 2
144
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
CHAPITRE 4
Les
Inéquations
Livret 2
145
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Mise en situation
On considère le rectangle ABCD ci-dessus. On augmente ses dimensions d'une valeur x, pour
obtenir un rectangle AEFG tel que la mesure de son périmètre soit inférieure ou égale à 96.
1er rectangle :
2ème rectangle :
Longueur = 10
Longueur = 10 + x
Largeur = 6
Largeur = 6 + x
Périmètre = 2 . 10 + 2 . 6
Périmètre = 2 . (
)+2. (
)
Périmètre inférieur ou égal à 96
………………………………………………….≤ 96

Livret 2
Je me rappelle
146
Chapitre 4
Souvenir 1 : Lecture
:
Les inéquations.
UAA5
page 85 ; traduisons ensemble les 6 phrases en notation
mathématique.
 ……………………………………………
 ……………………………………………
 ……………………………………………
 ……………………………………………
 ……………………………………………
 ……………………………………………
Souvenir 2 : une égalité ou il y a une valeur inconnue qu’on a remplcé par une lettre se nomme
une …………………………………………… ; chercher le nombre que vaut cette lettre s’appelle
………………………… Rappelons-nous de la méthode !
2 x + 5 = 19
Livret 2
-(3x+4) = 2x + 7 –x
8x + 4 = 6.( x – 3 ) +2x
147
Chapitre 4
Souvenir 3 :
x+4=7
:
Les inéquations.
UAA5
page 86 n°2 (a.b.c.)
Cette valeur est ……
x+4>7
3,5 est-n’est pas une solution
3,1 est-n’est pas une solution
10
est-n’est pas une solution
3
La liste des solutions serait tous les nombres qui sont……………………………………………………………………
On note sur une droite graduée :
On écrit en notation :
Livret 2
148
Chapitre 4

Question 1
:
Les inéquations.
UAA5
Je me demande
page 87 n°4
Fig 3 : on a ……………………………………………………….. et l’inégalité est …………………………….
Fig 4 : on a ……………………………………………………….. et l’inégalité est …………………………….
Et si on multiplie les deux membres par -2, le schéma devient :
1) avec deux nombres positifs
2) avec deux nombres de signes différents
3) avec deux nombres négatifs
Question 2
Représente sur un schéma et sous forme d’ensemble les 6 phrases du souvenir 1.
Livret 2
149
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Question 3 : A partir de l’inégalité suivante « 2 < 5 » , teste les 4 opérations et tire des
conclusions.
+3
;
-7
;
.4
;
.(-1)
;
:10
;
:( -2)
2___ < 5___
2___ < 5___
2___ < 5___
2___ < 5___
2___ < 5___
2___ < 5___
Question 4
Ex1 : x + 2 < 5
Ex2 : 2 x ≥ 8
Sol=____________
Ex3 : - 2 x < 6
Livret 2
Ex4 : 3 x – 1 > 2 x + x
150
Chapitre 4
:
Ex5 :5 x - 8 < 5 . (x-2) + 4
Les inéquations.
Ex 6 :
UAA5
2
3x  1
x
0
3
4
Ex 7 : - 3 < x – 5 ≤ 10
Question 5 : Mathias vend des montres sur un marché. La location de l’emplacement lui coûte
150 € par jour. Il achète chaque montre 3€ et la revend 8€. Combien doit-il vendre de
montres en un jour pour réaliser un bénéfice d’au moins 50€ ?
Livret 2
151
Chapitre 4

:
Les inéquations.
UAA5
Je sais
 Définition
L’inégalité : il en existe 4 sortes : ………………………………………………………………………………………..……
L’inéquation : c’est une inégalité qui contient une inconnue.
 Vocabulaire
< signifie « est …………………………………………....que » ou « est ……………………………………..à »
> signifie « est …………………………………………....que » ou « est ……………………………………..à »
 signifie « est …………………………………………………………………………………....à »
 signifie « est ………………………………………….............................................à »
 Propriétés
Si on ajoute ou soustrait aux deux membres d'une inéquation un même nombre alors on
obtient une inéquation équivalente
Si on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre
……………………………… alors on obtient ……………………………………………………………………………………………
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre
……………………
et si on change le sens de l’inégalité alors on obtient ………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Livret 2
152
Chapitre 4

Exercice 48
Série 1
c.
Série 2
c.
Série 3
a.
:
Les inéquations.
UAA5
J’applique
page 94 n°6
f.
i.
g.
l.
c.
Série 4
d.
Livret 2
153
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Exercice 49 : note ta réponse sous forme d’ensemble et de droite graduée
3
3  4x
4 x  3x  7
1)
2)

(2 x  1)  1  3 3 

 3,78
2
10
15
20
2x x 1 x  2
5 x  1 12 x  7
3)
4)



3
4
12
5
12
3 x
x
4  x 1
5)
3
2
Livret 2
154
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Exercice 50
1) Représente sur une droite les solutions de : a) 2 < x < 5
;
b) -2 < x  4
2) Quelle est l’inégalité qui convient ? Entoure-la.
a. La vitesse v dans ce village est limitée à 30km/h.
v<30
v<30
v  30
v  30
b. Dans cette école, les classes comportent au moins 15 élèves mais n’atteignent
jamais 30 élèves. « x » représente le nombre d’élèves dans une classe.
15 < x < 30
15  x < 30
15 < x  30
15  x  30
Exercice 51
Résous les problèmes suivants.
a. Dans quels cas la somme d’un nombre, de son tiers et de 5/6 sera-t-elle supérieure
à6?
Livret 2
155
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
b. Alfred passe un examen comportant 3 épreuves notées sur 20 par des nombres
entiers. Les maths sont de coefficient 4, le français de coefficient 3 et l’anglais de
coefficient 2. Il a obtenu 12 en math et 9 en français. Avec quelles notes peut-il
obtenir la moyenne ?
c.
Un bureau de recherche emploie 27 informaticiens et 15 mathématiciens. On
envisage d’embaucher le même nombre de mathématiciens et d’informaticiens.
Combien faut-il engager de spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de
mathématiciens soit au moins égal aux 2/3 du nombre d’informaticiens ?
Livret 2
156
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Je trace le plan avec les mots clefs
Livret 2
157
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Je travaille mes compétences
Exercice 52
page 92 n° 3
Exercice 53
page 92 n°4
Exercice 54
page 95 n°8
Exercice 55
page 95 n°10
Livret 2
158
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Je prépare mon évaluation n° 12

Ai-je bien retenu ?
Si -2 x > 70 alors x… ………
/1

Puis-je appliquer ?
1) Traduis en inégalité : « le montant(m) de mon compte en banque ne peut
être inférieur à -1250 €. » …………………………………………
/1
2) -3x + 2 (x-1) > 3
/2
3)
1
x2
x
0
4
2
4)
5  x 3(x  1)

3
4
/2
/2
5)
page 95 n°9
/2
Je me donne une note : ……………/10
Je dois revoir les questions …………………………………………
Livret 2
159
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Je m’informe…
L’influence du monde anglophone sur notre langage mathématique
Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)
En mathématiques, une inégalité est un énoncé permettant de comparer la taille, ou l'ordre de deux
objets (dans le cas où ils seraient égaux, on a une égalité)



La notation a < b signifie que a est strictement inférieur à b
La notation a > b signifie que a est strictement supérieur à b
La notation a ≠ b signifie que a et b ne sont pas égaux (on dira plus souvent qu'ils sont différents),
mais ne fournit aucune information sur l'ordre de a par rapport à b.
Dans chacun des énoncés précédents, a ne peut pas être égal à b. Ces relations sont alors appelées des
inégalités strictes.
On peut aussi trouver des inégalités qui ne sont pas strictes, on parle alors d’inégalité large ou
d’inégalité au sens large :


La notation a ≤ b signifie que a est inférieur (ou inférieur ou égal) à b
La notation a ≥ b signifie que a est supérieur (ou supérieur ou égal) à b
Note : dans le monde anglophone, greater than/superior et less than/inferior correspondent aux
inégalités strictes, si l'on veut parler d'inégalités larges on ajoutera systématiquement « or equal ».
Cette convention est parfois également utilisée dans les pays francophones en-dehors de la France.
Il existe aussi des notations permettant de dire qu'une quantité est beaucoup plus grande qu'une autre,
utilisée notamment en physique :


La notation a ≪ b signifie que a est très inférieur à b
La notation a ≫ b signifie que a est très supérieur à b
Le sens exact de ces notations dépend de leur domaine d'utilisation, mais on les utilise le plus souvent
lorsque le rapport du plus grand nombre sur le plus petit est supérieur à 10.
Livret 2
160
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Je dois encore réviser …
1. Complète le tableau
2. Bon ou mauvais choix ? Comment peut-on écrire l'ensemble des nombres
x?
a) On écrit l’ensemble des nombres x tels que
b) idem tels que
Livret 2
avec :
avec :
161
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
a. Résoudre les inéquations suivantes.
4. Résous les problèmes suivants en utilisant les inéquations.

Un camion pesant à vide deux tonnes doit passer sur un pont limité
à 6 tonnes.
Combien de caisses de 118 kg peut-il transporter ?

Pour quelles valeurs de x le périmètre du rectangle est-il plus grand que
celui du triangle isocèle ?
Livret 2
162
Chapitre 4
:
Les inéquations.
UAA5
Réponses
1.
]-  ;-2[
]-5 ;+  [
]-  ;7]
[4 ; + [
2.a) faux ]-4;0[
b)faux [2 ;+ [
3.
4.
1) Choix de l'inconnue
2) Choix de l'inconnue
Soit x le nombre de caisses, on a :
Chargement du camion : 118x.
Poids total du camion : 118x + 2 000
(le camion à vide pèse 2 t).
Mise en inéquation
Soit x le côté du rectangle, on a :
Périmètre du rectangle : 2x+6
Périmètre du triangle : x+8
Mise en inéquation
2x+6 > x+8
On sait que le poids du camion ne doit pas dépasser 6 tonnes.
On peut traduire cette donnée par l'inéquation :
Résolution de l'inéquation
118x + 2 000
6 000.
Résolution de l'inéquation
118 x
x
4 000
x>2
Réponse à la question
Le côté doit être supérieur à 2.
4 000 ÷ 118
x
33,89...
Réponse à la question
Le nombre de caisses doit être inférieur ou égal à 33.
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