Géométrie dans l`espace - Collège Montesquieu Evry

Géométrie dans l’espace
Exercice 1 : Calcul de volumes …
1) Volume  du cône :
Avec B l’aire de la base et h la
hauteur du cône.
La base est un disque de rayon 10 cm.
Volume  de la demi-boule :
Avec R le rayon de la boule.
Volume  du culbuto :
Le volume du culbuto est de
 , soit environ.
2) Volume  du cône :
Volume  du cylindre :
Volume  du silo à grain :
Le volume du silo à grain est de
 soit environ
.
3) a) La base d’une pyramide
régulière étant un polygone régulier,
ABCD est un carré.
b) ABC est donc un triangle rectangle
en B.
La hauteur (SH) de la pyramide est
perpendiculaire à la base ABCD, donc
le triangle SHB est rectangle en H.
c) Calcul de AC :
Dans le triangle ABC rectangle en B,
d’après le théorème de Pythagore :
Calcul de BH :
Calcul de SH :
Dans le triangle SHB rectangle en H,
d’après le théorème de Pythagore :
Comme les faces latérales d’une
pyramide régulière sont des triangles
isocèles, SB=SA=8 cm.
Calcul du volume  de la pyramide :
Avec B l’aire de la base ABCD et h la
hauteur SH de la pyramide.
Le volume de la pyramide SABCD est
d’environ .
Exercice 2 : Section …
1) Volume V de la boule :
Avec R le rayon de la boule.

Le volume de la boule est de
  soit environ
.
2) Aire A de la sphère :
A=
Avec R le rayon de la sphère.
A=
A=
A
L’aire de la sphère est de ,
soit environ .
3) La section de la boule par le plan
est un disque de centre A et de rayon
AM.
4) Calcul du rayon AM du disque :
Le triangle OAM est rectangle en A,
donc d’après le théorème de
Pythagore :
Calcul de l’aire A1 du disque :
A1=
Avec R le rayon du disque.
A1=
A1=
A1 
L’aire du disque est de , soit
environ .
Exercice 3 : Sections extrait
brevet
5) Calcul du volume  du cône :
Le volume du cône est de ,
soit environ .
6) La section du cône par un plan
parallèle à la base est une réduction
de la base. Le rapport de cette
réduction est le nombre  tel que
On a donc
Le rayon de la section est donc égal à
un tiers du rayon de la base,
soit 
 .
7) Le petit cône est aussi une
réduction du grand cône, on a donc
Le volume du petit cône est donc de
 , soit environ .
Exercice 4 : Agrandissement ou
réduction
1) Le triangle ABC est rectangle en B,
donc d’après le théorème de
Pythagore :
H est le centre du rectangle ABCD (un
oubli de l’énoncé) donc le milieu de
[AC], donc
2) Le coefficient de réduction  entre
les pyramides SABCD et SA’B’C’D’ est
tel que
Donc
3) Volume  de la pyramide
SABCD :

Volume  de la pyramide
SA’B’C’D’ :
Exercice 5 : Un tétraèdre
1) MNP est la section du tétraèdre
EABC par un plan parallèle à la base
ABC, MNP est donc une réduction de
la base ABC.
Comme ABC est un triangle rectangle
en B, MNP est un triangle rectangle
en N.
2) Le coefficient de réduction  est
tel que
Donc
3) 
4) Calcul de l’aire A du triangle
ABC :
A =
A =
A =
Calcul de l’aire A ’ du triangle MNP :
A ’=A 
A ’=
A ’=
5) Calcul du volume  de la
pyramide EABC :
Calcul du volume  de la pyramide
EMNP :
Exercice 6
1) Soit  le volume du cône  :
2) a) Le coefficient  de la réduction
est tel que :
Donc
b)  le volume du cône  :
3) a) Soit  le volume d’eau contenu
dans le récipient :
b)  
Le volume d’eau dans le récipient est
d’environ , arrondi au 
près.
4) On sait que  et que
.
Donc
Le volume dans le récipient est donc
inférieur à .