mai 2010 college la garenne

MAI 2010
COLLEGE LA GARENNE
DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (sujet B)
Les trois parties sont indépendantes. Chacune d’elles sera notée sur 12 points.
Toute réponse doit être justifiée. La qualité, la clarté et la précision des raisonnements
seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Expression écrite et présentation : 4 points.
Le sujet comporte 4 pages.
L’usage des calculatrices est autorisé.
_____________________________________________________________________
PARTIE I - Activités numériques (12 points)
EXERCICE 1
.
On donne :
Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
EXERCICE 2
1. Reproduire et compléter le tableau en
appliquant le programme de calcul aux
nombres indiqués (on ne demande pas
d'explications).
Nombre choisi au
départ
3
0
1
2
2. On considère l’expression R = ( 2x +1 )² - 25.
a. Développer l'expression R.
Quelle est la valeur de R pour x = 0 ?
x
Résultat final
Programme de calcul :
 Choisis un nombre.
 Calcule son double.
 Ajoute 1.
 Calcule le carré du résultat obtenu.
 Soustrais 25.
Note le résultat final.
b. Factoriser l'expression R.
3. Résoudre l'équation : ( 2x - 4 )( 2x + 6 ) = 0.
4. Quels nombres peut-on choisir pour obtenir
un résultat final nul lorsqu'on leur applique
le programme de calcul de la question 1.) ?
(Expliquer la réponse donnée)
EXERCICE 3
Ecrire D et E sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers , b étant le plus petit
possible.
EXERCICE 4 :
Une voiture roule sur une route nationale à la vitesse moyenne de 90 km/h (la route est
sèche).
1) Quelle est la durée de son trajet si elle parcourt 162 km à vitesse constante ?
2) Exprimer la vitesse de la voiture en m/s.
3) Sur route mouillée, la vitesse autorisée est de 80km/h. Calculer le pourcentage de
baisse que cela représente par rapport à 90km/h. (On donnera un arrondi à 1% près)
PARTIE II - Activités géométriques (12 points)
Exercice 1
L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 8.
1) a) Démontrer que ABC est rectangle en B.
b) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.
2) E est le point du segment [AB] tel que AE = 2,4.
F est le point du segment [AC] tel que AF = 4.
a) Placer les points E et F sur la figure.
b) Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC)
3) Calculer l'aire du triangle AEF.
Exercice 2
Sur la figure ci-contre,
- RST est un triangle équilatéral,
- le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle RST,
- le point U est le point diamétralement opposé au point S sur
S
ce cercle.
1) Quelle est la nature du triangle RSU ? Justifier.
2) Quelle est la mesure de l'angle
? Justifier.
3) Placer le point V tel que OUVT est un parallélogramme
Démontrer que les droites (UT) et (OV) sont perpendiculaires.
T
U
R
PARTIE III - Problème (12 points)
Sur la figure ci-contre, SABCD est une pyramide à base carrée
de hauteur [SA] telle que AB = 6 cm et SA = 8 cm.
Le triangle SAB est rectangle en A.
Partie A
EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle
à la base et telle que SE = 2 cm.
1. a) Calculer EF.
b) Calculer SB.
H
G
E
F
2. a) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
b) Donner le coefficient de réduction permettant de passer
de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH.
c) En déduire le volume de SEFGH.
On donnera une valeur arrondie à l'unité.
Partie B
Soit M un point de [SA] tel que SM = x cm, où x est compris
entre 0 et 8.
On appelle MNPQ la section de la pyramide SABCD par le plan
parallèle à la base passant par M.
1. Montrer que MN = 0,75 x.
2. Soit A(x) l'aire du carré MNPQ en fonction de x.
Montrer que A(x) = 0,5625 x².
3. Compléter le tableau ci-dessous :
x : longueur SM en cm
A(x) : aire du carré MNPQ
0
1
2
3
4
6
8
4. Placer dans le repère suivant les points d'abscisse x et d'ordonnée A(x) données par le tableau.
A(x)y
100
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
5. L’aire de MNPQ est-elle proportionnelle à la longueur SM?
Justifier à l’aide du graphique.
7
8
9
x