Avec utilisation des TICE

Avec utilisation des TICE
TYPE D’ACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :
Introduction d’une notion.
THÈME :
Sections planes de solides.
NIVEAU :
3ème.
CE DOSSIER COMPREND :
2 pages d’exercices.
TRAVAIL DEMANDÉ :
1. Proposer une activité, à mettre en œuvre à l’aide d’un logiciel de Géométrie dynamique,
qui permette de distinguer les différents cas possibles de section d’un cube par un plan.
2. Proposer quelques calculs de longueurs et d’angles relatifs aux sections planes déterminées.
3. En admettant que les élèves sachent utiliser un logiciel comme GeoSpace, donner deux
énoncés d’exercices qui permettent de visualiser les sections planes de solides qui ne soient
pas des cubes.
SUR LA FICHE D’EXPOSÉ, ON INDIQUERA :
Le plan de l’activité proposée en 1. et deux exercices avec leur corrigé choisis, ou non, dans
les exercices fournis en annexe.
Éléments de corrigé :
1. Activité Geoplan
A) Construire un cube
Plusieurs façons de faire sont accessibles à des élèves de Troisième :
• La plus simple à mettre en œuvre, consiste à utiliser les fonctions
« créer un solide » - polyèdre convexe » - « prisme droit »
En ayant préalablement défini un sommet de la base du cube (ce qui peut se faire par
« créer un point » - « repéré dans un plan » et en choisissant la plan xoy par exemple.
(Cela pour éviter d’avoir à utiliser un repérage par 3 coordonnées).
•
On peut aussi définir les 4 sommets de la base (dans le plan xoy), puis définir un point
de l’axe oz qui détermine une hauteur du cube, H par exemple. On définit ensuite le
plan parallèle à xoy passant par H et les 4 autres sommets comme des points repérés
dans ce plan.
B) Sections planes
Une fois le cube ABCDD’A’B’C’construit,
•
•
•
on définit la « grande diagonale » DB’ et un point libre, M, sur cette diagonale. Le
plan orthogonal à (DB’) passant par M va couper le cube suivant des polygones qui
sont des triangles ou des hexagones ;
on définit le segment HO (O centre de la face ABCD) et un point libre, N, sur ce
segment. Les plans orthogonaux à (OH) passant par N conduisent à des sections
planes qui sont des carrés ;
on définit un point libre de l’espace, T, et les plans passant par O, T et H. Ces plans
pivotent autour de la droite (OH) lorsque T varie (et restent donc parallèles aux arêtes
AA’, BB’, CC’, DD’). Les sections planes sont alors des rectangles.
Tous les cas ne sont pas envisagés (il manque les pentagones), mais le principe est clair :
choisir un segment et couper le cube par les plans orthogonaux à ce segment.
2. Calculs de distances et d’angles
En prenant le point libre T sur une des arêtes du cube et en notant I le milieu de cette arête, on
peut demander de calculer les dimensions du rectangle d’intersection pour des valeurs de cet
angle. Une vue « de dessus » de la figure est particulièrement éclairante pour cela.
3. Sections plans d’autres solides
On peut définir des sections planes de cônes ou de cylindres et faire ainsi « découvrir » les
ellipses.
L’exercice 7 peut être illustré grâce au logiciel qui permet alors une « explorationconfirmation » des résultats algébriques.
Exercice 1 :
On coupe un solide qui a la forme d’un cylindre de hauteur h = 10 cm et de rayon R = 3cm,
par un plan contenant l’axe de ce cylindre. Dessiner la section plane obtenue.
Exercice 2 :
Une pyramide droite dont la base est un carré de côté a = 20 cm et la hauteur h = 8 cm est
coupée par un plan P parallèle au plan de sa base.
1) Dessiner une telle pyramide. Quelle est la nature de la section ?
2) On note A, B, C, D, les sommets de la base de la pyramide et S son sommet. L’intersection
de P avec les arêtes [SA] et [SB] sont les points A’ et B’, tels que A’B’= 5cm. En quel point
le plan P coupe-t-il la droite (SO), où O désigne le centre du carré ?
Exercice 3 : La figure ci-dessous représente le patron d’une pyramide à base rectangulaire.
L’unité de longueur est le centimètre.
1. Quelle est la hauteur de la pyramide ?
2. Cette pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base. On obtient ainsi une petite
pyramide de hauteur 1,6 cm qui est une réduction de la pyramide initiale. Indiquer le rapport
de réduction, la nature et les dimensions de sa base.
3. Dessiner le patron de la petite pyramide.
Exercice 4 : Une torche projette un faisceau lumineux en forme de cône. La tâche de lumière
est un cercle de diamètre 20 cm lorsque la torche est à 1 m du mur. À quelle distance du mur
doit-on se placer pour éclairer un tableau inscrit dans un cercle de diamètre 45 cm ?
Exercice 5 : On dispose d’une armature d’abat-jour en forme de tronc de cône que l’on veut
recouvrir de tissu.
1. Calculer les rayons des bases de l’abat-jour.
2. Quelle est la surface de tissu nécessaire à la confection de cet abat-jour.
1. Une section plane de l’abat-jour, par un plan contenant son axe permet de voir que le rayon,
r, de la « petite base » est la longueur d’un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle dont
l’hypoténuse mesure 10-6=4 cm et l’angle opposé mesure 30°.
On déduit que r = sin 30° 4 = 2 cm. Le même type de calcul conduit à R = 5 cm.
2. Il faut connaître la formule explicitant l’aire d’un cône. Si on note A l’aire latérale d’un
cône, celle-ci vaut πRa, si R est le rayon de la base et a l’apothème du cône, c’est-à-dire la
longueur de l’hypoténuse dans une section plane du cube par un plan contenant son axe. On a
, où h est la hauteur du cône.
donc :
(Si cette formule n’est pas connue, ou plus « disponible », on la retrouve aisément en pensant
au patron d’un cône qui est un arc de disque de rayon a et dont l’angle au centre est tel que :
2 .)
Ici, on trouve A
5 √25 75 50 pour le « grand cône » et 8 pour le petit cône. D’où,
l’aire de l’abat-jour : 42 ~131,9 cm².
Exercice 6 : Indiquer parmi les solides suivants ceux dont la section plane peut-être :
a) un cercle de rayon 6 cm.
b) un cercle de rayon 4 cm.
c) un rectangle de dimensions 10 cm et 6 cm.
d) un rectangle de dimensions 10 cm et 4 cm.
Solide 1 : parallélépipède rectangle de dimensions 10 6 4 (en cm) ;
Solide 2 : un cylindre de hauteur 10 cm et de rayon 6 cm ;
Solide 3 : un cône de hauteur 10 cm et de rayon 7 cm ;
Solide 4 : une pyramide de base rectangulaire de dimensions 15 6 (en cm) et de hauteur 12
cm ;
Solide 5 : une boule de rayon 6 cm.
Exercice 7 : Un trophée est composé d’un cylindre de diamètre 12 cm et de hauteur 40 cm.
Une boule de diamètre 15 cm tronquée est fixée à une extrémité du cylindre. La section doit
parfaitement coïncider avec la base du cylindre. À quelle distance du centre de la boule doiton effectuer la coupe ?
Une section plane par un plan contenant le centre de la sphère, montre que la distance
cherchée, h, est la longueur du côté d’un angle droit dont la longueur de l’hypoténuse est
égale à 7,5 et la longueur de l’autre côté de l’angle droit à 6 (en cm).
On déduit que
4,5 cm. (Voir fichier GEOSPACE « Ex7.gw3 ».)