Chapitre 14 3ème : Systèmes d`équations

Chapitre 14
3ème : Systèmes d’équations
Extrait du programme de la classe de Troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Système de deux
équations à deux
inconnues.
Résoudre algébriquement un sys-
tème de deux équations du premier
degré à deux inconnues admettant
une solution et une seule ; en donner
une interprétation graphique.
Pour l’interprétation graphique, on
utilisera la représentation des fonc-
tions affines.
Résolution de pro-
blèmes du premier
degré ou s’y ramenant.
Mettre en équation et résoudre un
problème conduisant à une équa-
tion, une inéquation ou un système
de deux équations du premier degré.
Les problèmes sont issus des dif-
férentes parties du programme.
comme en classe de 4e, on dégagera
à chaque fois les différentes étapes
du travail : mise en équation, résolu-
tion de l’équation et interprétation
du résultat.
14.1 Equation à deux inconnues, système
Une équation linéaire à deux inconnues xet yest une équation qui peut s’écrire sous la forme ux +
v y =w, où u,vet wsont trois nombres réels.
Un couple (x0;y0) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l’on remplace
xpar x0et ypar y0, l’égalité est vérifiée.
Définition
Par exemple, on considère l’équation 2x−4y=4.
◮le couple (5;2) n’est pas un couple solution de cette équation, car 2 ×5−4×2=26=4
◮le couple (4;1) est un couple solution de cette équation, car 2 ×4−4×1=4
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En fait, si les nombres uet vsont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solutions,
qui sont les coordonnées des points de la droite (d) d’équation y=ax +b, où a=−u
vet b=w v.
Interprétation graphique des couples solutions
Dans notre exemple,
l’ensemble des couples solutions de l’équation 2x−4y=4
est donc constitué des coordonnées des points de la
droite (d) d’équation y=0,5x−1.
Nous pouvons lire quelques couples solutions de l’équa-
tion 2x−4y=4, comme (4;1) et (−2;−2), ou encore (0;−1)
(voir ci-contre), mais on conçoit qu’il existe une infinité
de tels couples (un pour chaque point de la droite (d)).
O1
1
x
y
(d)
(4; 1)
(−2; −2)
(0; −1)
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues xet yest un système qui peut s’écrire sous
la forme 
ux +v y =w
u′x+v′y=w′où u,v,w,u′,v′et w′sont des nombres réels.
Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples qui sont solutions des deux
équations à la fois.
Définition
Par exemple,
2x−4y=4
x−3y=6est un système a deux équations à deux inconnues.
◮le couple (4;1) n’est pas un couple solution de ce système, car 
24 −41 =4
4−31 =16=6
◮le couple (−6;−4) est un couple solution de ce système, car 
2(−6) −4(−4) =4
−6−3(−4) =6
14.2 Méthodes de résolution d’un système
Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deux manières différentes : 
2x−4y=4
x−3y=6
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Première méthode : substitution
Etape 1 : On exprime, grâce à l’une des deux équations, une inconnue en
fonction de l’autre. Ici il est facile d’exprimer xen fonction de ygrâce à la
seconde équation :
2x−4y=4
x=3y+6
Etape 2 : On substitue xpar 3y+6 dans la première équation : 
2(3y+6) −4y=4
x=3y+6
Etape 3 : On développe, on réduit et on résout l’équation d’inconnue y
ainsi obtenue : 
6y+12 −4y=4
x=3y+6
2y+12 =4
x=3y+6
2y=−8
x=3y+6
y=−4
x=3y+6
Etape 4 : On remplace ypar sa valeur dans la seconde équation pour trou-
ver x
y=−4
x=3(−4)+6
y=−4
x=−6
Etape 5 : On vérifie que les valeurs trouvées pour xet yconviennent : 
2(−6) −4(−4) =4
(−6) −3(−4) =6
Etape 6 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).
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Deuxième méthode : élimination par combinaison
Etape 1 : On multiplie une des équations (ou les deux) par
un (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficients
d’une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la se-
conde équation par −2 :
2x−4y=4
−2x+6y=−12
Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membre
pour éliminer l’une des inconnues, et on remplace l’une des
équations (par exemple, ici, la seconde) par l’équation ainsi ob-
tenue :
2x−4y=4
(2x−4y)+(−2x+6y)=4+(−12)
2y−4y=4
2y=−8
Etape 3 : On résout l’équation d’inconnue yainsi obtenue : 
2x−4y=4
y=−4
Etape 4 : On remplace ypar sa valeur dans la première équa-
tion pour trouver x
2x−4(−4) =4
y=−4
Etape 5 : On résout l’équation d’inconnue xainsi obtenue : 
2x=4−16
y=−4
2x=−12
y=−4
x=−6
y=−4
Etape 6 : On vérifie que les valeurs trouvées pour xet y
conviennent : 
2(−6) −4(−4) =4
(−6) −3(−4) =6
Etape 7 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).
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Interprétation graphique
◮On commence par transformer les deux équa-
tions du système, de façon à les mettre sous la
forme d’une équation de droite du type (y=ax +b).
2x−4y=4
x−3y=6
−4y=−2x+4
−3y=−x+6
y=0,5x−1
y=1
3x−2
◮Dans un repère, on trace les deux droites corres-
pondant à ces deux équations.
Soit (d) la droite d’équation y=0,5x−1,
et (d′) la droite d’équation y=1
3x−2
les couples solutions de ce système sont les coor-
données des points communs aux deux droites,
s’il y en a.
O1
1
x
y
(d)
(d′)
x=−6
y=−4
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