Logique des prédicats (L2) : Solutions de quelques exercices

Logique des prédicats (L2) :
Solutions de quelques exercices
Exercice 16 Traduisez les fonctions propositionnelles / énoncés qui suivent dans la logique
des prédicats :
On va utiliser la clé de traduction suivante :
• Cxy : x cite y
• P x : x est un philosophe
• Exy : x a écrit y
(i) x cite y : Cxy
(ii) x cite y qui est un philosophe : Cxy ∧ P y
(iii) x cite y qui est un philosophe et qui a écrit z : Cxy ∧ P y ∧ Eyz
(iv) x cite un philosophe : ∃y(P y ∧ Cxy)
(v) x cite un philosophe qui n’a rien écrit : ∃y(P y ∧ Cxy ∧ ¬∃zEyz)
(vi) Quelqu’un cite un philosophe qui n’a rien écrit : ∃x∃y(P y ∧ Cxy ∧ ¬∃zEyz)
(vii) Tout le monde cite un philosophe : ∀x∃y(P y ∧ Cxy)
(viii) Quelqu’un cite tout le monde : ∃x∀yCxy
(ix) Personne ne cite tout le monde : ¬∃x∀yCxy
(x) Quelqu’un se cite : ∃xCxx
Exercice 17 Pour chacun des raisonnements suivants, déterminez s’il est valide. (Au lieu
de la formule « Rxy », vous pouvez penser par exemple la fonction propositionnelle « x
cite y » ou « x admire y ».)
(i)
1. ∀x∃yRxy
2. Donc : ∃y∀xRxy
Non valide. Par ex. soit M un modèle dont le domaine est {Z, V } et dont l’interprétation du prédicat ‘R’ est comme suit : {(Z, V ), (V, Z)}. Alors dans M la
2
prémisse est vraie (Z admire V et V admire Z donc chacun admire quelqu’un) mais
la conclusion est fausse car il n’existe pas d’individu dans M qui admire tout individu : ce n’est pas le cas que Z admire V et Z s’admire ; et aussi ce n’est pas le cas
que V admire Z et V s’admire.
(ii)
1. ¬∀x∀yRxy
2. Donc : ∀x∀y¬Rxy
Non valide. Par ex. soit M le modèle spécifié ci-dessus. Alors la prémisse est
vraie dans M : comme Z ne s’admire pas, ce n’est pas le cas que tout le monde
admire tout le monde. D’autre part, comme Z admire V , ce n’est pas le cas que
tout individu assigné comme valeur de x et tout individu assigné comme valeur de
y exemplifient la formule ‘¬Rxy’, c-à-d il n’est pas le cas que personne n’admire
personne. La conclusion est fausse dans M.
Exercice 18 Pour chacun des énoncés suivants, trouvez une représentation en logique
des prédicats :
On va se servir de la clé de traduction suivante :
• Ax : x est un animal
• P x : x est un philosophe
• Rx : x est rationnel
• Cxy : x cite y
• Exy : x a écrit y
(i) Tout animal est rationnel : ∀x(Ax → Rx)
(ii) Tout animal rationnel est un philosophe : ∀x((Ax ∧ Rx) → P x)
(iii) Aucun animal rationnel n’est un philosophe : ∀x((Ax ∧ Rx) → ¬P x)
(iv) Quelque philosophe rationnel n’a rien écrit : ∃x(P x ∧ Rx ∧ ¬∃yExy)
(v) Tout philosophe rationnel a écrit quelque chose : ∀x((P x ∧ Rx) → ∃yExy)
(vi) Aucun philosophe rationnel n’est cité par tout le monde :
∀x((P x ∧ Rx) → ¬∀yCyx)
3
(vii) Quelqu’un cite tous les philosophes : ∃x∀y(P y → Cxy)
(viii) Personne ne cite tous les philosophes : ¬∃x∀y(P y → Cxy)
(ix) Quelqu’un qui se cite ne cite pas tous les philosophes :
∃x(Cxx ∧ ¬∀y(P y → Cxy))
(x) Tout philosophe cite quelque philosophe qui ne cite personne :
∀x(P x → ∃y(P y ∧ Cxy ∧ ¬∃zCyz))
(xi) Tout philosophe cite quelque philosophe qui n’a rien écrit.
∀x(P x → ∃y(P y ∧ Cxy ∧ ¬∃zEyz))
Exercice 28 Si le vocabulaire considéré contient une seule constante c, une seule prédicat
unaire P , et une seule prédicat binaire R, et si on a disponible une seule variable x, quelles
sont les formules atomiques qui peuvent être formées dans le langage correspondant de la
logique des prédicats ? P c, P x, Rcc, Rxx, Rcx, Rxc.
Exercice 29 Pour chacune des expressions suivantes, déterminez si elle est une formule de
la logique des prédicats.1 On suppose que l’arité du prédicat P est 1 et l’arité du prédicat
R est 2 ; x, y, z sont des variables et c est une constante.
(i) ∀R∃ : Non. Des justifications possibles de la réponse : Un quantificateur est toujours
immédiatement suivi d’une variable dans une formule (ce qui n’est pas le cas ici pour
aucun des deux quantificateurs) / un prédicat binaire est toujours suivi d’une suite
de deux termes dans une formule (ce qui n’est pas le cas ici non plus).
(ii) ∀x(∃yRxy → ¬∀zRzx) : Oui. Pour justifier la réponse, vous pouvez construire un
arbre syntaxique.
(iii) P c ∨ Rxc ∧ P y : Non. Les connecteurs binaires (∧, ∨ et →) sont selon la syntaxe
toujours introduits avec des paranthèses : si ψ et χ sont des formules et ◦ est un tel
connecteur, alors (ψ ◦ χ) — et non pas ψ ◦ χ — est une formule. D’ailleurs, ici on
note que l’expression P c ∨ Rxc ∧ P y n’est pas seulement syntaxiquement mal formée
mais aussi sémantiquement ambiguë. Il y aurait deux manières de la désambiguı̈ser :
1
Pour justifier votre réponse, vous pouvez utiliser les arbres syntaxiques ou directement les conditions
qui spécifient la syntaxe. Quand une expression n’est pas bien formée (n’est pas une formule), il faut
en particulier expliquer pourquoi elle ne peut pas être construite en utilisant les règles syntaxiques ou
pourquoi un essai de dessiner un arbre syntaxique qui respecte ces règles va échouer.
4
((P c ∨ Rxc) ∧ P y) et (P c ∨ (Rxc ∧ P y)).2
(iv) P xy : Non, car ‘P ’ est un prédicate unaire.
(v) ∃x(P x ∧ ∀y(Rxy → (∃zRzy ∨ ¬P c))) : Oui. Pour justifier la réponse, vous
pouvez construire un arbre syntaxique.
Exercice 32 Dans chacun des cas suivants, déterminez quelles occurrences des variables
sont liées et quelles occurrences des variables sont libres dans la formule en question ;
déterminez aussi si la formule est un énoncé.
(i) ∃x(P xy ∧ Qx) :3 Toutes les deux occurrences de x dans des formules atomiques
sont liées par l’unique occurrence du quantificateur ∃x ; l’occurrence de y est libre.
La formule n’est pas un énoncé (une formule close) parce que cette formule a des
occurrences des variables libres.
(ii) (∃xP xy ∧ Qx) : L’occurrence de x dans ‘P xy’ est liée par l’unique occurrence de
∃x, l’occurrence de y libre comme aussi l’occurrence de x dans ‘Qx’. La formule
n’est pas un énoncé.
(iii) (∀x∀yP xy → Rxy) : L’occurrence de x dans ‘P xy’ est est liée par l’unique
occurrence de ∀x, l’occurrence de y dans ‘P xy’ étant liée par l’unique occurrence
de ∀y. Les occurrences de x et de y dans ‘Rxy’ sont libres. La formule n’est pas un
énoncé.
(iv) ∀x(∀yP xy → Rxy) : Toutes les deux occurrences de x dans des formules atomiques sont liées par l’unique occurrence de ∀x ; l’occurrence de y dans ‘P xy’ est
liée par l’unique occurrence de ∀y ; l’occurrence de y dans ‘Rxy’ est libre. La formule
n’est pas un énoncé.
(v) ∀x∀y(P xy → Rxy) : Toutes les deux occurrences de x dans des formules atomiques
sont liées par l’unique occurrence de ∀x ; toutes les deux occurrences de y dans des
formules atomiques sont liées par l’unique occurrence de ∀y. La formule est bien un
énoncé car toutes les occurrences des variables dans cette formule sont liées.
2
3
Pour une discussion de telles ambiguı̈tés, cf les notes de cours de L1 (non pas L2), début du Ch 4.
Dans cette exercice ‘Q’ est un prédicat unaire. Parfois pendant le cours j’ai utilisé Qx pour désigner
un quantificateur de façon générique (donc dans ce cas Qx est une ‘variable’ dont la valeur est soit ∃x
soit ∀x). Pour éviter ambiguı̈té il serait mieux utiliser dans le second cas une autre police, par ex. ‘Qx’
ou ‘Qx’.
5
(vi) (∃ySx ∧ ∀x(Qy → ∃yRxy)) : L’occurrence de x dans ‘Sx’ est libre, comme aussi
l’occurrence de y dans ‘Qy’. L’occurrence de x dans ‘Rxy’ est liée par l’unique
occurrence du quantificateur ∀x, tandis que l’occurrence de y dans ‘Rxy’ est liée par
la deuxième occurrence du quantificateur ∃y. La formule n’est pas un énoncé.
(vii) ∃y(Sx ∧ (∀xQy → ∃yRxy)) : Toutes les deux occurrences de x dans des formules
atomiques sont libres ; l’occurrence de y dans ‘Qy’ est liée par la première occurrence du quantificateur ∃y ; et l’occurrence de y dans ‘Rxy’ est liée par la deuxième
occurrence de ∃y. La formule n’est pas un énoncé.
Exercice 33 Quels aspects du contexte d’évaluation faut-il connaı̂tre pour pouvoir déterminer la valeur de vérité de l’énoncé de la forme suivante :
(i) P c : ici il suffit de connaı̂tre l’interprétation I(P ) du prédicat ‘P ’ et l’interprétation
I(c) de la constante ‘c’. Si I(c) ∈ I(P ) l’énoncé est vrai, autrement non.
(ii) ∃xP x : Effectivement ici il est suffisant de connaı̂tre l’interprétation I(P ) du
prédicat ‘P ’ : Si l’ensemble I(P ) est non vide, l’énoncé est vrai, autrement non.
Encore un troisième exemple : l’énoncé ∃x¬P x. Dans ce cas il est nécessaire mais
non pas suffisant de connaı̂tre l’interprétation I(P ) du prédicat ‘P ’ ; il faut aussi
connaı̂tre le domaine (l’univers du discours) D du modèle. Si l’ensemble D \ I(P )
est non vide, alors l’énoncé est vrai, autrement non.4
Un modèle consiste en une spécification d’un domaine et des interprétations des
constantes et des prédicats considérés. Dans certains cas on n’a pas besoin de toute
cette information pour évaluer une formule dans un modèle. L’idée de l’exercice était
d’identifier quelle information il est nécessaire de connaı̂tre pour pouvoir évaluer une
formule donnée.
Exercice 36 [modifié] Soit D l’univers du discours qui consiste en trois individus : Bertrand Russell, Virginia Woolf et Pablo Picasso. On considère deux prédicats « P » et
« C » avec la clé de traduction
4
Souvent on suppose que le domaine d’un modèle est non vide. Si on fait cette hypothèse, alors dans
le cas particulière où I(P ) = ∅ la connaissance de I(P ) suffit pour inférer que l’énoncé ∃x¬P x est vrai ;
car dans ce cas il existe forcément au moins un individu dans D dehors de I(P ).
6
• P x : x est un poète
• Cxy : x cite y.
Soit I une fonction d’interprétation selon laquelle Russell et Picasso (mais non pas Woolf)
appartiennent à l’extension I(P ) de « P » tandis que l’interprétation I(C) de « C » est
specifiée comme suit : Russell est relié à Woolf selon la relation I(C), Woolf est reliée à
Picasso selon cette relation et enfin Picasso est relié à Russell selon cette relation (mais
il n’y pas des autres individus reliés selon la relation en question). On note M le modèle
(D, I).
Pour chacun des énoncés suivants, spécifiez quel énoncé français est représenté par
l’énoncé logique en question ; ensuite déterminez la valeur de vérité de l’énoncé logique
dans le modèle M selon la sémantique objectuelle. Expliquez de façon détaillée pourquoi
l’énoncé en question a cette valeur de vérité.
Solution : Pour commencer, on note que le domaine D = {Russell, Woolf, Picasso} et
l’interprétation I est définie comme suit :
• I(P ) = {Russell, Picasso}
• I(C) = {(Russell, Woolf), (Woolf, Picasso), (Picasso, Russell)}.
(i) « ∃x¬P x » :
Quelqu’un n’est pas un poète (ou : Pas tout le monde est un poète).
On a M |= ∃x¬P x. En effet Woolf exemplifie la formule ‘¬P x’ dans le modèle
M (symboliquement M, x 7→ Woolf |= ¬P x), car Woolf ∈
/ I(P ).
(ii) « ∃xCxx » :
Quelqu’un se cite lui-même.
M 6|= ∃xCxx, car pour aucun Z ∈ D, on n’a (Z, Z) ∈ I(C). Effectivement
(Russell, Russell) ∈
/ I(C) et (Woolf, Woolf) ∈
/ I(C) et (Picasso, Picasso) ∈
/
I(C).
(iii) « ∃x∃yCxy » :
Quelqu’un cite quelqu’un.
On a M |= ∃x∃yCxy. Par exemple le couple (Russell, Woolf) exemplifie la
formule ‘Cxy’ dans M, symboliquement M, x 7→ Russell, y 7→ Woolf |= Cxy,
7
parce que (Russell, Woolf) ∈ I(C). [Aussi les couples (Woolf, Picasso) et (Picasso, Russell) exemplifient la formule ‘Cxy’.]
(iv) « ∀x∃yCxy » :
Tout le monde cite quelqu’un.
On a M |= ∀x∃yCxy. Pourquoi ? Parce que pour tout Z ∈ D on a
M, x 7→ Z |= ∃yCxy.
Si Z = Russell, on peut assigner Woolf à la variable y ; si Z = Woolf, on
peut assigner Picasso à y ; et si Z = Picasso, on peut assigner Russell à y.
Effectivement on a :
• M, x 7→ Russell, y 7→ Woolf |= Cxy [parce que (Russell, Woolf) ∈ I(C)]
• M, x 7→ Woolf, y 7→ Picasso |= Cxy [parce que (Woolf, Picasso) ∈ I(C)]
• M, x 7→ Picasso, y 7→ Russell |= Cxy [parce que (Picasso, Russell) ∈ I(C)]
(v) « ∃x(P x ∧ ∃y(P y ∧ Cxy)) » :
Quelque poète cite quelque poète.
On a M |= ∃x(P x ∧ ∃y(P y ∧ Cxy)), car Picasso exemplifie la formule
‘(P x ∧ ∃y(P y ∧ Cxy))’, c-à-d Picasso exemplifie la formule ‘P x’ [parce que
Picasso ∈ I(P )] et Picasso exemplifie la formule ‘∃y(P y ∧ Cxy)’. Et pourquoi
est-ce qu’on a M, x 7→ Picasso |= ∃y(P y ∧ Cxy) ? Puisque le couple (Picasso,
Russell) exemplifie la formule (P y ∧ Cxy), plus précisement parce que l’assignation x 7→ Picasso, y 7→ Russell exemplifie cette formule : effectivement
Russell ∈ I(P ) et (Picasso, Russell) ∈ I(C).
(vi) « ∀x(P x → ∃y(P y ∧ Cxy)) » :
Tout poète cite quelque poète.
On a M 6|= ∀x(P x → ∃y(P y ∧ Cxy)), puisque Russell n’exemplifie pas la
formule ‘(P x → ∃y(P y ∧ Cxy))’. Pourquoi ? Parce que Russell exemplifie la
formule ‘P x’ dans M mais il n’exemplifie pas la formule ‘∃y(P y ∧ Cxy))’ dans
M. Et pourquoi on a M, x 7→ Russell 6|= ∃y(P y ∧ Cxy)) ? Puisque pour toute
individu Z ∈ D, on a
8
M, x 7→ Russell y 7→ Z 6|= (P y ∧ Cxy))
Si Z = Russell lui-même, on n’a pas (Z, Z) ∈ I(C) [(Russell, Russell) ∈
/ I(C)] ;
si Z = Woolf, Z ∈
/ I(P ) [Woolf ∈
/ I(P )] ; et si Z = Picasso, on n’a pas
(Russell, Z) ∈ I(C) [(Russell, Picasso) ∈
/ I(C)]. Donc peu importe quel individu Z on assigne à y, l’assignation x 7→ Russell, y 7→ Z n’exemplifie pas
toutes les deux formules ‘P y’ et ‘Cxy’.
Exercice 37 [modifié]
(1) Déterminez les valeurs de vérité des énoncés suivantes dans le modèle M spécifié
dans Exercice 36 :
Solution :
(i) ∃x x = x. Vrai : Par ex. l’individu Woolf exemplifie la formule ‘x = x’ ; plus
spécifiquement M, x 7→ Woolf |= x = x.
(ii) ∀x∃y x = y. Vrai : On a :
• M, x 7→ Woolf |= ∃y x = y, et
• M, x 7→ Russell |= ∃y x = y et
• M, x 7→ Picasso |= ∃y x = y,
puisqu’on a :
• M, x 7→ Woolf, y 7→ Woolf |= x = y, et
• M, x 7→ Russell, y 7→ Russell |= x = y, et
• M, x 7→ Picasso, y 7→ Picasso |= x = y.
(2) En utilisant la clé de traduction
• M x : x est un roi,
• Cx : x est chauve,
représentez les énoncés suivants en termes de la logique des prédicats :5
Solution :
(i) « Il existe un roi » : ∃xM x
(ii) « Un roi est chauve » : ∃x(M x ∧ Cx)
5
Pour (iii) et (iv) on a besoin du prédicat d’identité.
9
(iii) « Il existe exactement un roi » : ∃x(M x ∧ ∀y(M y → y = x))
Une autre réponse possible (équivalente) : (∃xM x ∧ ∃x∀y(M y → y = x)).
(Ici le terme gauche de la conjonction dit « il existe au moins un roi » et le
terme droit dit « il existe au plus un roi ».)
(iv) « Il existe exactement un roi et il est chauve » :6
∃x(M x ∧ ∀y(M y → y = x) ∧ Cx)
Une autre réponse possible (équivalente) :
∃x(M x ∧ ∀y(M y → y = x)) ∧ ∀z(M z → Cz).
(« Il existe un et un seul roi et tous les rois sont chauves ».)
6
Notez que cela est une paraphrase à la Russell de l’énoncé « Le roi est chauve » qui utilise une
description définie, à savoir « le roi ».