Logique des prédicats (L2) : Solutions de quelques exercices

Logique des pr´edicats (L2) :
Solutions de quelques exercices
Exercice 16 Traduisez les fonctions propositionnelles / ´enonc´es qui suivent dans la logique
des pr´edicats :
On va utiliser la cl´e de traduction suivante :
•Cxy :xcite y
•P x :xest un philosophe
•Exy :xa ´ecrit y
(i)xcite y:Cxy
(ii)xcite yqui est un philosophe : Cxy ∧P y
(iii)xcite yqui est un philosophe et qui a ´ecrit z:Cxy ∧P y ∧Eyz
(iv)xcite un philosophe : ∃y(P y ∧Cxy)
(v)xcite un philosophe qui n’a rien ´ecrit : ∃y(P y ∧Cxy ∧ ¬∃zEyz)
(vi) Quelqu’un cite un philosophe qui n’a rien ´ecrit : ∃x∃y(P y ∧Cxy ∧ ¬∃zEyz)
(vii) Tout le monde cite un philosophe : ∀x∃y(P y ∧Cxy)
(viii) Quelqu’un cite tout le monde : ∃x∀yCxy
(ix) Personne ne cite tout le monde : ¬∃x∀yCxy
(x) Quelqu’un se cite : ∃xCxx
Exercice 17 Pour chacun des raisonnements suivants, d´eterminez s’il est valide. (Au lieu
de la formule «Rxy », vous pouvez penser par exemple la fonction propositionnelle «x
cite y»ou «xadmire y».)
(i)
1. ∀x∃yRxy
2. Donc : ∃y∀xRxy
Non valide. Par ex. soit Mun mod`ele dont le domaine est {Z, V }et dont l’in-
terpr´etation du pr´edicat ‘R’ est comme suit : {(Z, V ),(V, Z)}. Alors dans Mla

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pr´emisse est vraie (Z admire V et V admire Z donc chacun admire quelqu’un) mais
la conclusion est fausse car il n’existe pas d’individu dans Mqui admire tout indi-
vidu : ce n’est pas le cas que Zadmire Vet Zs’admire ; et aussi ce n’est pas le cas
que Vadmire Zet Vs’admire.
(ii)
1. ¬∀x∀yRxy
2. Donc : ∀x∀y¬Rxy
Non valide. Par ex. soit Mle mod`ele sp´ecifi´e ci-dessus. Alors la pr´emisse est
vraie dans M: comme Zne s’admire pas, ce n’est pas le cas que tout le monde
admire tout le monde. D’autre part, comme Zadmire V, ce n’est pas le cas que
tout individu assign´e comme valeur de xet tout individu assign´e comme valeur de
yexemplifient la formule ‘¬Rxy’, c-`a-d il n’est pas le cas que personne n’admire
personne. La conclusion est fausse dans M.
Exercice 18 Pour chacun des ´enonc´es suivants, trouvez une repr´esentation en logique
des pr´edicats :
On va se servir de la cl´e de traduction suivante :
•Ax :xest un animal
•P x :xest un philosophe
•Rx :xest rationnel
•Cxy :xcite y
•Exy :xa ´ecrit y
(i) Tout animal est rationnel : ∀x(Ax →Rx)
(ii) Tout animal rationnel est un philosophe : ∀x((Ax ∧Rx)→P x)
(iii) Aucun animal rationnel n’est un philosophe : ∀x((Ax ∧Rx)→ ¬P x)
(iv) Quelque philosophe rationnel n’a rien ´ecrit : ∃x(P x ∧Rx ∧ ¬∃yExy)
(v) Tout philosophe rationnel a ´ecrit quelque chose : ∀x((P x ∧Rx)→ ∃yExy)
(vi) Aucun philosophe rationnel n’est cit´e par tout le monde :
∀x((P x ∧Rx)→ ¬∀yCyx)

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(vii) Quelqu’un cite tous les philosophes : ∃x∀y(P y →Cxy)
(viii) Personne ne cite tous les philosophes : ¬∃x∀y(P y →Cxy)
(ix) Quelqu’un qui se cite ne cite pas tous les philosophes :
∃x(Cxx ∧ ¬∀y(P y →Cxy))
(x) Tout philosophe cite quelque philosophe qui ne cite personne :
∀x(P x → ∃y(P y ∧Cxy ∧ ¬∃zCyz))
(xi) Tout philosophe cite quelque philosophe qui n’a rien ´ecrit.
∀x(P x → ∃y(P y ∧Cxy ∧ ¬∃zEyz))
Exercice 28 Si le vocabulaire consid´er´e contient une seule constante c, une seule pr´edicat
unaire P, et une seule pr´edicat binaire R, et si on a disponible une seule variable x, quelles
sont les formules atomiques qui peuvent ˆetre form´ees dans le langage correspondant de la
logique des pr´edicats ? P c,P x,Rcc,Rxx,Rcx,Rxc.
Exercice 29 Pour chacune des expressions suivantes, d´eterminez si elle est une formule de
la logique des pr´edicats.1On suppose que l’arit´e du pr´edicat Pest 1 et l’arit´e du pr´edicat
Rest 2 ; x, y, z sont des variables et cest une constante.
(i)∀R∃: Non. Des justifications possibles de la r´eponse : Un quantificateur est toujours
imm´ediatement suivi d’une variable dans une formule (ce qui n’est pas le cas ici pour
aucun des deux quantificateurs) / un pr´edicat binaire est toujours suivi d’une suite
de deux termes dans une formule (ce qui n’est pas le cas ici non plus).
(ii)∀x(∃yRxy → ¬∀zRzx) : Oui. Pour justifier la r´eponse, vous pouvez construire un
arbre syntaxique.
(iii)P c ∨Rxc ∧P y : Non. Les connecteurs binaires (∧,∨et →) sont selon la syntaxe
toujours introduits avec des paranth`eses : si ψet χsont des formules et ◦est un tel
connecteur, alors (ψ◦χ) — et non pas ψ◦χ— est une formule. D’ailleurs, ici on
note que l’expression P c∨Rxc∧P y n’est pas seulement syntaxiquement mal form´ee
mais aussi s´emantiquement ambigu¨ e. Il y aurait deux mani`eres de la d´esambigu¨ ıser :
1Pour justifier votre r´eponse, vous pouvez utiliser les arbres syntaxiques ou directement les conditions
qui sp´ecifient la syntaxe. Quand une expression n’est pas bien form´ee (n’est pas une formule), il faut
en particulier expliquer pourquoi elle ne peut pas ˆetre construite en utilisant les r`egles syntaxiques ou
pourquoi un essai de dessiner un arbre syntaxique qui respecte ces r`egles va ´echouer.

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((P c ∨Rxc)∧P y) et (P c ∨(Rxc ∧P y)).2
(iv)P xy : Non, car ‘P’ est un pr´edicate unaire.
(v)∃x(P x ∧ ∀y(Rxy →(∃zRzy ∨ ¬P c))) : Oui. Pour justifier la r´eponse, vous
pouvez construire un arbre syntaxique.
Exercice 32 Dans chacun des cas suivants, d´eterminez quelles occurrences des variables
sont li´ees et quelles occurrences des variables sont libres dans la formule en question ;
d´eterminez aussi si la formule est un ´enonc´e.
(i)∃x(P xy ∧Qx) :3Toutes les deux occurrences de xdans des formules atomiques
sont li´ees par l’unique occurrence du quantificateur ∃x; l’occurrence de yest libre.
La formule n’est pas un ´enonc´e (une formule close) parce que cette formule a des
occurrences des variables libres.
(ii) (∃xP xy ∧Qx) : L’occurrence de xdans ‘P xy’ est li´ee par l’unique occurrence de
∃x, l’occurrence de ylibre comme aussi l’occurrence de xdans ‘Qx’. La formule
n’est pas un ´enonc´e.
(iii) (∀x∀yP xy →Rxy) : L’occurrence de xdans ‘P xy’ est est li´ee par l’unique
occurrence de ∀x, l’occurrence de ydans ‘P xy’ ´etant li´ee par l’unique occurrence
de ∀y. Les occurrences de xet de ydans ‘Rxy’ sont libres. La formule n’est pas un
´enonc´e.
(iv)∀x(∀yP xy →Rxy) : Toutes les deux occurrences de xdans des formules ato-
miques sont li´ees par l’unique occurrence de ∀x; l’occurrence de ydans ‘P xy’ est
li´ee par l’unique occurrence de ∀y; l’occurrence de ydans ‘Rxy’ est libre. La formule
n’est pas un ´enonc´e.
(v)∀x∀y(P xy →Rxy) : Toutes les deux occurrences de xdans des formules atomiques
sont li´ees par l’unique occurrence de ∀x; toutes les deux occurrences de ydans des
formules atomiques sont li´ees par l’unique occurrence de ∀y. La formule est bien un
´enonc´e car toutes les occurrences des variables dans cette formule sont li´ees.
2Pour une discussion de telles ambigu¨
ıt´es, cf les notes de cours de L1 (non pas L2), d´ebut du Ch 4.
3Dans cette exercice ‘Q’ est un pr´edicat unaire. Parfois pendant le cours j’ai utilis´e Qx pour d´esigner
un quantificateur de fa¸con g´en´erique (donc dans ce cas Qx est une ‘variable’ dont la valeur est soit ∃x
soit ∀x). Pour ´eviter ambigu¨ ıt´e il serait mieux utiliser dans le second cas une autre police, par ex. ‘Qx’
ou ‘Qx’.

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(vi) (∃ySx ∧ ∀x(Qy → ∃yRxy)) : L’occurrence de xdans ‘Sx’ est libre, comme aussi
l’occurrence de ydans ‘Qy’. L’occurrence de xdans ‘Rxy’ est li´ee par l’unique
occurrence du quantificateur ∀x, tandis que l’occurrence de ydans ‘Rxy’ est li´ee par
la deuxi`eme occurrence du quantificateur ∃y. La formule n’est pas un ´enonc´e.
(vii)∃y(Sx ∧(∀xQy → ∃yRxy)) : Toutes les deux occurrences de xdans des formules
atomiques sont libres ; l’occurrence de ydans ‘Qy’ est li´ee par la premi`ere occur-
rence du quantificateur ∃y; et l’occurrence de ydans ‘Rxy’ est li´ee par la deuxi`eme
occurrence de ∃y. La formule n’est pas un ´enonc´e.
Exercice 33 Quels aspects du contexte d’´evaluation faut-il connaˆıtre pour pouvoir d´e-
terminer la valeur de v´erit´e de l’´enonc´e de la forme suivante :
(i)P c : ici il suffit de connaˆıtre l’interpr´etation I(P) du pr´edicat ‘P’ et l’interpr´etation
I(c) de la constante ‘c’. Si I(c)∈ I(P) l’´enonc´e est vrai, autrement non.
(ii)∃xP x : Effectivement ici il est suffisant de connaˆıtre l’interpr´etation I(P) du
pr´edicat ‘P’ : Si l’ensemble I(P) est non vide, l’´enonc´e est vrai, autrement non.
Encore un troisi`eme exemple : l’´enonc´e ∃x¬P x. Dans ce cas il est n´ecessaire mais
non pas suffisant de connaˆıtre l’interpr´etation I(P) du pr´edicat ‘P’ ; il faut aussi
connaˆıtre le domaine (l’univers du discours) Ddu mod`ele. Si l’ensemble D\ I(P)
est non vide, alors l’´enonc´e est vrai, autrement non.4
Un mod`ele consiste en une sp´ecification d’un domaine et des interpr´etations des
constantes et des pr´edicats consid´er´es. Dans certains cas on n’a pas besoin de toute
cette information pour ´evaluer une formule dans un mod`ele. L’id´ee de l’exercice ´etait
d’identifier quelle information il est n´ecessaire de connaˆıtre pour pouvoir ´evaluer une
formule donn´ee.
Exercice 36 [modifi´e] Soit Dl’univers du discours qui consiste en trois individus : Ber-
trand Russell, Virginia Woolf et Pablo Picasso. On consid`ere deux pr´edicats «P»et
«C»avec la cl´e de traduction
4Souvent on suppose que le domaine d’un mod`ele est non vide. Si on fait cette hypoth`ese, alors dans
le cas particuli`ere o`u I(P) = ∅la connaissance de I(P) suffit pour inf´erer que l’´enonc´e ∃x¬P x est vrai ;
car dans ce cas il existe forc´ement au moins un individu dans Ddehors de I(P).