Chapitre 11 : FONCTIONS AFFINES

Chapitre 11 :
FONCTIONS AFFINES
0) Introduction :
6 cm
I) Notion de fonction affine :
a et b désignent deux nombres relatifs donnés.
1) Définition : Fonction affine :
a et b désignent deux nombres relatifs donnés.
Une fonction affine f est une fonction qui, à un nombre, associe le nombre a x + b.
On note : f : x  a x + b
Remarques :
•Pour calculer l'image de x par la fonction f, on multiplie x par a, puis on ajoute b : x a x a x + b.
•Le nombre f (x) est l'image de x par la fonction f.
•f est une fonction ; mais x, f(x) et a x + b sont des nombres.
•f(0) = a × 0 + b = b donc b est l'image de 0 par f.
Exemples :
1. La fonction f qui, a un nombre x associe son double augmenté de 5 se note f : x  2 x + 5.
•f est de la forme f : x  a x + b avec a = 2 et b = 5, donc f est une fonction affine.
•f(–3) = 2 × (–3) + 5 = –1. L'image du nombre -3 par la fonction f est –1.
2. On considère la situation suivante :
« Dans la bibliothèque de Gerstfeld, il est possible d'acheter une carte rose à 7,50 € par an, permettant d'emprunter des
livres à un tarif préférentiel de 0,20 € par ouvrage »
La fonction g qui, au nombre de livres empruntés par an associe le prix à payer
en euros par an est une fonction affine.
En effet, en posant x = le nombre de livres empruntés par an, on obtient :
g : x  0,2 x + 7,50
2) Cas particuliers :
On considère la fonction affine f : x  a x + b
•Lorsque b = 0, la fonction f est la fonction linéaire de coefficient a.
•Lorsque a = 0, la fonction f est la fonction constante égale à b.
Démonstrations :
•Pour b = 0, la fonction f : x  a x + b devient f : x  a x + 0
on obtient f : x  a x.
On en déduit que la fonction f est linéaire de coefficient a.
•Pour a = 0, la fonction f : x  a x + b devient f : x  0 x + b
on obtient f : x  b. A tout nombre x, la fonction f associe le nombre b.
On en déduit que la fonction f est la fonction constante égale à b.
11. FONCTIONS AFFINES 1
× a+ b
g(x)

Exemples :
1. On considère la situation suivante :
« Dans la bibliothèque de Gerstfeld, une participation de 0,50 € est demandée par livre emprunté »
La fonction h qui, au nombre de livres empruntés par an associe le prix à payer en euros
par an est une fonction linéaire.
En effet, en posant x = le nombre de livres empruntés par an, on obtient :
h : x  0,5 x
La représentation graphique de la fonction h est une droite passant par l'origine.
2. On considère la situation suivante :
« Dans la bibliothèque de Gerstfeld, une participation de 15 € est demandée par an pour l'achat d'une carte verte
permettant d'emprunter autant de livres que souhaité sans supplément »
La fonction i qui, au nombre de livres empruntés par an associe le prix à payer en euros
par an est une fonction constante.
En effet, en posant x = le nombre de livres empruntés par an, on obtient :
i : x  15
3) Propriété : (admise)
Si une fonction f est affine et n'est pas constante,
alors tout nombre admet un antécédent et un seul par la fonction f.
Exemple :
Déterminer combien de livres un lecteur muni de la carte rose a emprunté sachant qu'il a payé 11,50 pour un an
(prix de l'abonnement + prix de la location des livres).
En reprenant la notation de l'exemple 1.2., il faut donc trouver le nombre x, tel que : g(x) = 11,50 €.
Or, la fonction g : x  0,2 x + 7,50 est de la forme g : x  a x + b avec a ≠ 0
donc g est une fonction affine non constante.
D'après la propriété, tout nombre admet un antécédent et un seul par la fonction g.
L'unique solution de l'équation 0,2 x + 7,50 = 11,50 est 20.
On en déduit que le lecteur a emprunté exactement 20 livres.
Remarque :
La propriété n'est vrai que dans le cas d'une fonction affine non constante.
En effet, en considérant la fonction i : x  15, on constante que :
•le nombre 15 admet une infinité d'antécédents par la fonction i : tous les nombres.
•Le nombre 2 n'admet pas d'antécédent par la fonction i.
11. FONCTIONS AFFINES 2
h(x)
i(x)
g(x)

II) Représentation graphique d'une fonction affine :
a et b désignent deux nombres relatifs donnés. On considère la fonction affine f : x  a x + b.
1) Propriété : (admise)
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction f est une droite.
Exemple :
On considère la fonction g : x  0,2 x + 7,50
On a : g(0) = 0,2 × 0 + 7,50 = 0 + 7,5 = 7,5
g(5) = 0,2 × 5 + 7,50 = 1 + 7,5 = 8,5
D'où la représentation graphique de la fonction g est la droite (Δ) qui passe par les points :
A (0 ; 7,5) et B(5 ; 8,5)
2) Propriété – Définition :
La droite (d) est la représentation graphique de la fonction f : x  a x + b.
La droite (d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées B(0 ; b).
•Le nombre b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite (d).
•Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d).
Exercice :
La droite (d) ci-contre est la représentation graphique de la fonction affine
f : x  2 x + 5
Le coefficient directeur de la droite (d) est 2 et son ordonnée à l'origine est 5.
III) Proportionnalité des accroissements :
a et b désignent deux nombres relatifs donnés. On considère la fonction affine f : x  a x + b.
1) Propriété : (admise)
Les accroissements des images f(x) sont proportionnels aux accroissements des nombres associés.
Le coefficient de proportionnalité de ces accroissements est le nombre a.
Mathématiquement:
Pour deux nombres distincts
x1
et
x2
, on a :
f(x1)–f(x2)=a(x1–x2)
ou encore
a=f(x1)–f(x2)
x1–x2
Remarque :
Cette propriété permet de déterminer le coefficient directeur a de la droite représentative d'une fonction affine lorsque
l'on connaît deux nombres distincts
x1
et
x2
et leurs images
f(x1)
et
f(x2)
11. FONCTIONS AFFINES 3
Δ

IV) Déterminer une fonction affine :
a et b désignent deux nombres relatifs donnés.
1) Méthode : Par lecture graphique
Pour déterminer graphiquement une fonction affine (simple), on procède en deux étapes :
•On déterminer son coefficient directeur ;
•On détermine son ordonnée à l'origine.
Exemple :
Lecture du coefficient directeur :
Pour obtenir une estimation de la valeur du coefficient directeur de la droite
représentative d'une fonction affine, on essaie de compléter la phrase
suivante à l'aide du graphique :
« Lorsque l'abscisse augmente de +1, l'ordonnée augmente de … »
(Si la phrase doit être remplacée par :
« Lorsque l'abscisse augmente de +1, l'ordonnée diminue de … »
alors le coefficient directeur est négatif)
Lecture de l'ordonnée à l'origine
l'ordonnée à l'origine est déterminée par la valeur de l'ordonnée du point
d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnée (ici
yB
).
graphiquement, on obtient :
f1
: x  2 x + 1
2) Méthode : Par le biais du calcul grâce à la proportionnalité des accroissements
Lorsque l'on connaît deux nombres distincts
x1
et
x2
et leurs images
f(x1)
et
f(x2)
,
on peut déterminer une fonction en procédant en deux étapes :
•On détermine le coefficient directeur grâce à la formule de la proportionnalité des accroissements ;
•On cherche l'ordonnée à l'origine en substituant les valeurs de l'un des points connus.
Exemple :
On considère la fonction affine
f2
telle que
f2(3)=6
et
f2(5)=12
Calcul du coefficient directeur :
On sait que le coefficient directeur de la fonction affine est égal à :
en remplaçant par les valeurs numériques, on obtient :
On en déduit que
f2
est de la forme :
f2
: x  3 x + b.
Calcul du coefficient directeur :
Comme
f2(3)=6
, on sait que : 3 × 3 + b = 6
et donc que b = (-3)
On en déduit que
f2
: x  3 x – 3.
11. FONCTIONS AFFINES 4
Dans l'exemple ci-dessous,
un carreau correspond à une unité
Valeur du coefficient directeur
a=f2(5)–f2(3)
5–3=12 –6 5–3=3
a=f2(x1)–f2(x2)
x1–x2
f2

3) Méthode : Par le biais du calcul grâce à un système de deux équations à deux inconnues
Lorsque l'on connaît deux points appartenant à une droite représentative d'une fonction affine,
on sait que ces deux points vérifient l'équation de cette droite.
En substituant deux fois consécutivement la valeur de l'abscisse d'un point ainsi que de son image dans
l'équation de la droite, on obtient un système de deux équations à deux inconnues qu'il suffit de résoudre pour
obtenir l'équation de la droite.
Exemple :
On considère la fonction affine
f2
telle que
f2(3)=6
et
f2(5)=12
.
Comme
f2
est une fonction affine, on sait que
f2
: x  a x + b .
On a d'une part :
f2(3)=6
donc a × 3 + b = 6
On a d'autre part :
f2(5)=12
donc a × 5 + b = 12
On en déduit que a et b,
doivent vérifier à la fois
a × 3 + b = 6
et à la fois
a × 5 + b = 12
On obtient un système de deux équations à deux inconnues qu'il suffit de résoudre pour obtenir la fonction affine :
3 a + b = 6
5 a + b = 12
11. FONCTIONS AFFINES 5