THE ORIE TANNAKIENNE NON COMMUTATIVE Alain Bruguieres Universite de Paris VII, U. F. R. de mathematiques 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France ABSTRACT. Inspired by a recent paper by Deligne [2], we extend the Tannaka-Krein duality results (over a eld) to the non-commutative situation. To be precise, we establish a 1{1 correspondence between `tensorial autonomous categories' equipped with a `bre functor' (i. e. tannakian categories without the commutativity condition on the tensor product), and `quantum groupoids' (as dened by Maltsiniotis, [9]) which are `transitive' (7.1.). When the base eld is perfect, a quantum groupoid over Sp ec B is transitive i it is projective and faithfully at over B k B . Moreover, the bre functor is unique up to `quantum isomorphism' (7.6.). Actually, we show Tannaka-Krein duality results in the more general setting where there is no monoidal structure on the category (and the functor); the algebraic object corresponding to such a category is a `semi-transitive' coalgebroid (5.2. and 5.8.). Introduction La theorie des categories tannakiennes est issue d'une idee d'Alexandre Grothendieck, developpee par N. Saavedra Rivano dans sa these [10]. Elle fut concue comme un outil indispensable a l'elaboration de la theorie des motifs. Alexandre Grothendieck aurait souhaite que ces categories fussent nommees \categories de Galois{Poincare{Grothendieck", mais l'usage en a decide autrement. Inspire par la lecture de la contribution de P. Deligne au Grothendieck Festschrift [2], et anime par la conviction que l'etude des groupes quantiques etait intimement liee a celle des categories de leurs representations, je me suis xe pour but dans ce travail d'adapter, dans la mesure du possible, les resultats de la theorie des categories tannakiennes a un cadre non commutatif. Resumons tres brievement la situation dans le cas commutatif : a un groupe algebrique ane G sur le corps des complexes, on associe la categorie T = rep(G) de ses representations algebriques de dimension nie. Cette categorie est assortie d'un foncteur oubli ! de T vers la categorie vect(C) des espaces vectoriels complexes de dimension nie. On desire donner une caracterisation interne des categories ainsi obtenues. On observe les faits suivants. (i) D'une part, la categorie T est munie d'un bifoncteur : T T ?! T qui est \associatif", \commutatif" et admet un \element neutre". Autrement dit, T est une categorie monodale symetrique. (ii) En outre, tout objet de T admet un dual : on dit que T est autonome; on peut alors denir de facon interne la dimension d'un objet de T , qui est a priori un nombre complexe. (iii) D'autre part, la categorie T est abelienne C-lineaire, de facon \compatible a sa structure monodale" : elle est tensorielle. (iv) La categorie T est \assez petite" en ce sens qu'il existe un objet V tel que tout objet soit sous-quotient d'un V n , n 2 N. (v) Le foncteur ! : T ?! vect(C) est \compatible au produit tensoriel" (monodal symetrique), et exact : on dit que c'est un foncteur bre. Dans ce cadre volontairement restreint, les resultats de la these de Saavedra [10] se traduisent comme suit : etant donnee une categorie veriant (i)|(iv) et admettant un foncteur bre (on dit alors que T est tannakienne), il existe un groupe algebrique ane G, unique a isomorphisme pres, tel que T s'identie a rep(G), le foncteur bre correspondant au foncteur oubli. Le groupe G s'obtient comme groupe des automorphismes du foncteur bre. En outre, si T est tannakienne, le foncteur bre est unique a isomorphisme pres. Dans la suite, j'emploierai l'expression \resultats tannakiens" pour designer ces proprietes, ou leurs analogues. Deligne donne dans [2] une caracterisation purement interne des categories tannakiennes : si une categorie T verie (i)|(iv), elle est tannakienne si et seulement si la dimension interne de tout objet de T est un entier naturel. Le resume ci-dessus comporte deux simplications : en general, le corps de base k n'est suppose ni algebriquement clos, ni de caracteristique zero, et on ne fait pas l'hypothese (iv). On est alors amene a considerer des foncteurs bres a valeurs non dans vect(k), mais dans la categorie Qcoh(S) des faisceaux quasi-coherents sur un k-schema S , qu'on ne perd rien a supposer ane. Alors, l'objet G n'est plus un groupe algebrique, mais un groupode algebrique (c'est-a-dire un groupode dans la categorie des k-schemas) veriant une certaine propriete de transitivite. Le groupode en question n'est unique qu'en un sens local. En outre, la caracterisation interne due a Deligne n'est valable qu'en caracteristique zero. La demonstration de Saavedra presentait une lacune, ainsi d'ailleurs que les hypotheses de ses enonces; Deligne donne la demonstration complete dans [2]. Le jeu tannakien repose sur le fait qu'a tout foncteur F d'une categorie C vers la categorie des modules projectifs de type ni sur un anneau B , on peut associer un objet L(F ) qui \represente" les endomorphismes de ce foncteur. Cet objet est un cogebrode de base B . Quand on enrichit la structure de la categorie C et du foncteur F , on enrichit d'autant la structure du cogebrode L(F ). Par exemple, lorsque C est monodale et F aussi, L(F ) se voit dote d'une structure d'anneau; c'est un bigebrode, au sens donne a ce terme par Maltsiniotis [9]. Si C et F sont symetriques, le bigebrode obtenu est commutatif; si (i)|(v) sont satisfaits, on obtient une algebre de Hopf de type ni. (On peut dresser ainsi tout un \dictionnaire tannakien", cf. [4].) Les contributions de ce travail qui me paraissent les plus originales sont l'introduction de la notion de k-cogebrode semi-transitif, qui permet de d'enoncer et de demontrer les \resultats tannakiens" en termes de k-cogebrodes (theoreme 5.2, proposition 5.8.); une caracterisation simple des k-cogebrodes semi-transitifs lorsque k est parfait (theoreme 6.1.); la demonstration des \resultats tannakiens" dans le cadre des k-bigebrodes de Hopf \quantiques"(theoreme 7.1.); et l'introduction de la notion de bigebrodes de Hopf quantiquement isomorphes, qui permet de formuler une version \quantique" du theoreme d'unicite du foncteur bre (7.6.). Mon parti pris a ete de formuler et de demontrer les \resultats tannakiens" dans le cadre le plus general, celui des cogebrodes. Il y a a mon sens deux avantages a cela. D'une part, c'est plus simple; d'autre part, cela permet d'envisager d'un coup un eventail assez large d'applications. En eet, il sut d'utiliser le \dictionnaire tannakien" pour etendre les resultats sur les cogebrodes a des structures plus riches. Dans le present travail, je m'interesse aux bigebrodes de Hopf (dont la multiplication est associative); mais on pourrait tout aussi bien denir une notion de quasi-bigebrode de Hopf, a la maniere de Drinfeld, en remplacant l'associativite de la multiplication par une condition plus faible de quasi-associativite : on obtiendrait des resultats similaires. Je remercie vivement Georges Maltsiniotis d'avoir gentiment accepte la corvee de faire une lecture tres attentive de ce travail, et de m'avoirsignale quelques erreurs et fait plusieurs suggestions extr^emement judicieuses. Plan. Dans la section 1, nous precisons le vocabulaire des categorie monodales. La section 2 introduit dierentes notions de categories monodales munies d'une structure lineaire. Interesse que j'etais au cas non symetrique, je me suis trouve amene a m'ecarter des conventions que Deligne utilise. J'en ai prote pour rendre hommage a R. Penrose, dont la contribution me parait importante et parfois un peu negligee, en donnant son nom a la notion la plus generale; ce que j'appelle categorie tensorielle est une categorie de Penrose abelienne (sans supposer l'existence de duaux ni d'une symetrie). On trouvera dans cette section quelques resultats qui gurent dans [2] ou [3] pour ce qui concerne le cas symetrique, mais dont il fallait bien verier la validite dans ce cadre plus general. Les sections 3 et 4 rassemblent un outillage issu de [2] qui sera indispensable dans la section 5. La section 3 introduit les cogebrodes, et precise quelques proprietes des comodules sur les cogebrodes. Nous y rappelons l'enonce du theoreme de Barr-Beck. La construction du cogebrode universel associe a un foncteur a valeurs dans une categorie de modules, et l'enonce de quelques proprietes de fonctorialite de cette construction universelle, font l'objet de la section 4. Dans la section 5, nous denissons les cogebrodes semi-transitifs, et nous formulons et demontrons les \resultats tannakiens" en termes de cogebrodes semi-transitifs. Dans 6, on voit que lorsque le corps k est parfait, on a une meilleure caracterisation des cogebrodes semi-transitifs. Ce sont la les resultats les plus importants de ce travail, puisque toute la suite en decoule aisement. Dans la section 7, les resultats de 5 et 6 sont interpretes en termes de bigebrodes de Hopf transitifs. Dans la section 8, nous examinons deux cas particuliers. Tout d'abord, le cas des bigebres de Hopf (qui englobe les \groupes quantiques"), puis la situation commutative, ou nous verions que la notion de transitivite qui appara^t dans la section 7 correspond a la notion usuelle, ce qui permet de retrouver les resultats tannakiens classiques. Notations. Si A est une categorie, Ob(A) est la collection des objets de A . Pour X , Y 2 Ob(A), on designe l'ensemble des morphismes de X vers Y par HomA (X; Y ), ou plus simplement Hom(X; Y ). On note E ns la categorie des ensembles. Si A est un anneau, Mod(A) est la categorie des A-modules a droite, mod(A), la categorie des A-modules a droite de type ni, et proj(A), celle des A-modules a droite projectifs de type ni. On note Ao l'anneau oppose a A, de sorte que Mod(Ao ) est la categorie des A-modules a gauche. Soit k un anneau commutatif et A, B deux k-algebres. Alors Bimodk (A; B) est la categorie Mod(Ao k B); autrement dit, la categorie des (A; B)-bimodules (notons que les deux structures de k-module sur un tel bimodule concident). Si M est un (A; B)bimodule, on note M o le (B o ; Ao )-bimodule qui lui est canoniquement associe. On designe par Spec (A) le spectre d'un anneau commutatif A. Si S est un schema, on note OS son faisceau structural, Qcoh(S) la categorie des faisceaux quasi-coherents sur S , et vect(S) la sous-categorie pleine des faisceaux localement libres de type ni. Si K est un corps commutatif, on note aussi vect(K) la categorie des K -espaces vectoriels de dimension nie. On note Comod(B : L) la categorie des comodules a droite d'un k-cogebrode L de base B, et comod(B : L) la sous-categorie pleine des comodules qui sont de type ni comme B-modules. Le cogebrode oppose, de base B o , est note Lo . La categorie des L-comodules a gauche est Comod(B o : Lo ). Si L est un bigebrode de base B , on designe par Rep(B : L) la categorie des representations de L : c'est la categorie Comod(B : L) munie de la structure monodale naturelle. On note rep(B : L) la sous-categorie monodale des representations de type ni comme B-modules. On note I la representation unite. 1.|Rappels sur les categories monodales Categories monodales. | | | | Une categorie monodale est la donnee d'une categorie C , d'un bifoncteur : C C ?! C (appele produit tensoriel), d'un objet I de C (l' objet unite), d'isomorphismes fonctoriels aA;B;C : (A B) C ?! A (B C) lA : I A ?! A rA : A I ?! A avec pour axiomes la commutativite des diagrammes suivants : ((A B) C) D aA B;C;D w (A B) (C D) aA;B;C D w A (B (C D)) u aA;B;C 1D u (A (B C)) D 1A aB;C;D aA;B C;D w A ((B C) D) (A I) B A A rA 1B AA C aA;I;B A B w A (I B) ? ? ?? 1A lB : Le premier de ces diagrammes s'appelle le pentagone de MacLane. Les isomorphismes a, l, r, sont appeles respectivement contrainte d'associativite, contrainte d'unite a gauche, contrainte d'unite a droite. Par abus, nous designerons le plus souvent la categorie monodale (C ; ; I; a; l; r) par le symbole C . La categorie monodale C est dite stricte lorsque les conditions suivantes sont remplies : 1) le produit tensoriel est associatif sur les objets : A (B C) = (A B) C; 2) l'objet unite est neutre pour le produit : A I = A = I A; 3) les contraintes a, l, r sont les identites : aA;B;C = 1A B C ; lA = rA = 1A : Il resulte de ces hypotheses que le produit tensoriel est associatif sur les morphismes de C , et que 1I est neutre pour ce produit. Foncteurs monodaux. Soient (C ; ; I; a; l; r) et (C 0 ; 0 ; I 0; a0; l0 ; r0) deux categories monodales. Un foncteur monodal de C vers C 0 est la donnee | d'un foncteur F : C ?! C 0 , | d'un isomorphisme fonctoriel 2A;B : F (A) 0 F (B) ?! F(A B), | d'un isomorphisme 0 : I 0 ?! F(I), avec pour axiomes la commutativite des diagrammes suivants : (F (A) 0 F (B)) 0 F (C) 2 A;B 0 1F (C) a0F (A);F (B);F (C) u u F((A B) C) 1F (A) 0 2 B;C u 0 F(A B) 0 F(C) 2 A B;C w F (A) 0 (F (B) 0 F (C)) F (A) F(B C) F (aA;B;C) u 2 A;B C w F (A (B C)) I 0 0 F (A) 0 0 1F (A) u0 l0F (A) rF0 (A) F (A) u w F (A) F (A) 0 I 0 u u F (lA ) 1 F (rA ) F (I) F(A) I;A w F (I A) u 0F A ( ) 0 0 F (A I) u A;I F (A) F (I) : 2 2 Les isomorphismes 2 A;B et 0 s'appellent respectivement contrainte de compatibilite aux produits tensoriels, et contrainte de compatibilite aux unites. Nous designerons le foncteur monodal (F; 2; 0) par le symbole F lorsque cela n'induira pas d'ambigute. Une equivalence de categories monodales est un foncteur monodal F : C ?! C 0 qui induit sur les categories sous-jacentes une equivalence de categories. Du theoreme de coherence de MacLane [7] resulte en particulier que pour toute categorie monodale C il existe une categorie monodale stricte C 0 et une equivalence de categories monodales F : C 0 ?! C . Nous utiliserons souvent ce theoreme, de facon tacite, pour etendre a une categorie monodale quelconque une propriete, une construction ou une notion valide dans une categorie monodale stricte. Tressages et symetries. Soit C une categorie monodale, qu'on suppose stricte (en vertu de la remarque pre- cedente, ce qui suit s'adapte au cas d'une categorie monodale quelconque). Un tressage sur C est un isomorphisme fonctoriel RA;B : A B ?! B A rendant commutatifs les triangles suivants : A B[ C RA;B 1C [[] RA;B C B A C w B C A 1B RA;C RA B;C A B[ C [[] 1A RB;C A C B w C A B RA;C 1B : Il est facile de voir que ces conditions entra^nent : RI;A = RA;I = 1A . Si R est un tressage sur C, il en va de m^eme de Ro deni par : Ro A;B = (RB;A )?1 . On dit que R est un tressage symetrique, ou plus simplement une symetrie, si R = Ro . Une categorie monodale tressee (resp. symetrique) est une categorie monodale munie d'un tressage (resp. d'une symetrie). Soient C , C 0 deux categories monodales tressees (resp. symetriques). Un foncteur monodal F de C dans C 0 est dit tresse (resp. symetrique) si le diagramme suivant est commutatif : F (A) 0 F (B) A;B w F (A B) 2 R0F (A);F (B) u0 u F (RA;B ) F(B) F (A) B;A w F (B A) 2 : Dualite dans les categories monodales. Soient C une categorie monodale, supposee stricte, et A un objet de C . Un dual a droite de A est la donnee | d'un objet A_ de C , | d'un morphisme e : A A_ ?! I , appele evaluation, | d'un morphisme h : I ?! A_ A, appele coevaluation, avec les conditions : (e 1A )(1A h) = 1A (1A_ e)(h 1A_ ) = 1A_ : Il resulte de cette denition que le foncteur ? A_ est adjoint a gauche au foncteur ? A, et que le foncteur A_ ? est adjoint a droite au foncteur A ?; autrement dit, on a des isomorphismes fonctoriels Hom(X; Y A) ' Hom(X A_ ; Y ) et Hom(A X; Y ) ' Hom(X; A_ Y ). Un dual a droite, s'il existe, est unique a isomorphisme unique pres. Plus precisement, supposons que (B1 ; e1 ; h1) et (B2 ; e2 ; h2) soient deux duaux a droite de l'objet A. Il existe alors un isomorphisme unique : B1 ?! B2 veriant : e1 = e2 (1A ) et h2 = ( 1A )h1 . E tant donnes deux objets A, B admettant des duaux a droite A_ , B _ , on peut associer a tout morphisme f : A ?! B son dual a droite f _ : B _ ?! A_ deni par la composition des eches B _ = I B _ hA 1 w A_ A B _ 1 f 1 w A_ B B _ 1 eB w A_ I = A_ : Bien que cette notion depende du choix d'un dual pour les objets consideres, elle est fonctorielle en ce sens que si f : A ?! B et g : B ?! C sont deux morphismes de C et A_ , B _ , C _ sont des duaux de A, B , C respectivement, alors (gf)_ = f _ g_ . Soient C , C 0 deux categories monodales, et F un foncteur monodal de C vers C 0 . Si _ (A ; e; h) est un dual a droite d'un objet A de C , alors (F (A_ ); e0; h0) est un dual a droite de F(A), ou e0 est la composee de F (e) et h0 , celle de F (A) 0 F(A_ ) ' F(A A_ ) ???! F (I) ' I 0 ; F (h) I 0 ' F (I) ???! F(A_ A) ' F (A_ ) 0 F (A) : Une categorie monodale est dite autonome a droite lorsque tout objet admet un dual a droite. Si on choisit un dual a droite A_ pour chaque objet A on denit un foncteur contravariant ?_ de C dans C . Naturellement, on denit de m^eme la notion de dual a gauche d'un objet A de T : il s'agit de la donnee | d'un objet _A de C , | d'un morphisme " : _A A ?! I , appele evaluation, | d'un morphisme : I ?! A _A, appele coevaluation, avec les conditions : (1A ")( 1A ) = 1A (" 1_A )(1_A ) = 1_A : On a bien s^ur les proprietes analogues a celles enoncees a propos des duaux a droite; en particulier, le foncteur _A ? est adjoint a gauche au foncteur A ?, et le foncteur ? _A est adjoint a droite au foncteur ? A. D'autre part il est clair que (B; e; h) est un dual a droite de A si et seulement si (A; e; h) est un dual a gauche de B . Si C est une categorie monodale tressee, il revient au m^eme de se donner un dual a droite ou un dual a gauche d'un objet A. En eet, (B; e; h) est un dual a droite de A si et seulement si (B; "; ) est un dual a gauche de A, ou " = e RB;A et = (RA;B )?1 h. Une categorie monodale est dite autonome lorsque tout objet admet un dual a droite et un dual a gauche. EXEMPLE. Soient k un anneau commutatif, et A, B deux k-algebres non necessairement commutatives. On note Bimodk (A; B) la categorie des (A; B)-bimodules, qui s'identie a Mod(Ao k B). E tant donnee une troisieme k-algebre C , considerons le bifoncteur Bimodk (A; B) Bimodk (B; C) ?! Bimodk (A; C) (M; M 0) 7?! M B M 0 : Les isomorphismes naturels (M B M 0) C M 00 ' M B (M 0 C M 00 ) et M B B ' M ' A A M verient, mutatis mutandis, des proprietes analogues a celles que l'on requiert des contraintes d'associativite et d'unite dans une categorie monodale. 1 En particulier, Bimodk (A; A) se voit ainsi dote d'une structure de categorie monodale. Quels sont les objets de Bimodk (A; A) qui admettent un dual a gauche? Plus generalement, appelons dual a gauche 2 d'un objet M de Bimodk (A; B) un objet _M de Bimodk (B; A) muni d'un morphisme " : _M A M ?! B dans Bimodk (B; B) (l'evaluation) et d'un morphisme : A ?! M B _M dans Bimodk (A; A) (la coevaluation), tels que l'on ait : (1M B ")( A 1M ) = 1M et (" B 1_M )(1_M A ) = 1_M : P Supposons que M admette un tel dual (_M; "; ). Alors on a (1A ) = n1 xi xi , avec xi 2 M et xi 2 _M . Les xi denissent un morphisme de B -modules a droite s : B n ?! M ; d'autre part, chaque xi denit un morphisme de B -modules a droite "(xi A ?) de M vers B , d'ou j : M ?! B n . On verie que sj = 1M , donc M est facteur direct de B n comme B-module a droite. Reciproquement, supposons M projectif de type ni comme B -module. Posons _M = HomB (M; B); ainsi, _M est naturellement muni d'une structure de (B; A)-bimodule. Soit " : _M A M ?! B le morphisme d'evaluation ordinaire; d'autre part, soit @ 2 M B _M l'element qui correspond a l'identite de M dans l'isomorphisme canonique M B _M ' EndB (M). Alors l'element @ est central (c'est-a-dire qu'on a @a = a@ pour a dans A) et on denit la coevaluation : A ?! M B _M par (1A ) = @ . On verie que l'on obtient ainsi un dual a gauche de M . En conclusion, un objet de Bimodk (A; B) admet un dual a gauche si et seulement s'il est projectif de type ni comme B -module. 1 Autrement dit, on a une 2-categorie dont les objets sont les k-algebres, les 1-eches de A a B sont les objets de Bimodk (B; A), et les 2-eches sont les morphismes de bimodules. 2 Il s'agit de la notion de dual a gauche d'une 1-eche dans une 2-categorie. En particulier, la categorie des k-modules est monodale symetrique, et les objets admettant un dual sont les modules projectifs de type ni. Morphismes fonctoriels monodaux. Soient C , C 0 deux categories monodales, et F , G deux foncteurs monodaux de C dans C 0 . Un morphisme fonctoriel monodal ' : F ?! G est un morphisme fonctoriel 'A : F (A) ?! G(A) rendant commutatifs les diagrammes suivants, qui expriment la compatibilite de ' aux contraintes de F et G : 0 F(A) 0 F(B) 'A 'B w G(A) 0 G(B) ' u F (A B) 'A B u ' w G(I) 44 j h ' 4 hh ' h 0 F (I) 4 7 w G(A B) 'I I : Proposition 1.1. Un morphisme fonctoriel monodal est un isomorphisme lorsque la ca- tegorie de depart est autonome a droite (ou a gauche). Demonstration. Soient C , C 0 deux categories monodales, F , G : C ?! C 0 deux foncteurs monodaux, et ' : F ?! G un morphisme fonctoriel monodal. Soit A un objet de C admettant un dual a droite (A_ ; e; h). Alors F (A_ ) est un dual a droite de F (A), ce qui revient a dire que F (A) est un dual a gauche de F(A_ ); de m^eme G(A) est un dual a gauche de G(A_ ). Ainsi le morphisme 'A_ : F (A_ ) ?! G(A_ ) induit par dualite a gauche un morphisme _('A_ ) : G(A) ?! F(A): Nous laissons au lecteur le soin de verier que ce morphisme est l'inverse de 'A (autrement dit, que 'A_ et ('A )_ sont inverses l'un de l'autre). ut 2.|Categories tensorielles Denition. On appelle categorie monodale additive une categorie additive munie d'une structure de categorie monodale de telle sorte que le produit tensoriel soit un bifoncteur bi-additif. Si T est une categorie monodale additive d'objet unite I , alors End(I) est un anneau commutatif, et pour tous A, B objets de T , Hom(A; B) est muni d'une structure de End(I)-bimodule. (Soient 2 End(I) et f 2 Hom(A; B); on se ramene au cas ou T est monodale stricte gr^ace au theoreme de coherence de MacLane; la structure de bimodule en question est alors donnee par f = f et f = f ). EXEMPLE. Soit B un anneau, et T la categorie des (B; B)-bimodules. C'est une categorie monodale additive pour laquelle I = B , et End(I) est le centre de B . Si M et M 0 sont deux objets de T , les deux structures de End(I)-module de Hom(M; M 0) ne concident generalement pas. Denition. Une categorie monodale additive T est une categorie de Penrose si pour tous A, B objets de T , les deux structures de End(I)-module de Hom(A; B) concident; la categorie sous-jacente est alors End(I)-lineaire. REMARQUE. Une categorie monodale additive tressee est une categorie de Penrose. (Cela resulte du fait que le tressage est fonctoriel et verie RI;A = RA;I = 1A via les isomorphismes fonctoriels A I ' I ' I A). Denition. On appelle categorie tensorielle une categorie de Penrose dont la categorie sous-jacente est abelienne. Proposition 2.1. Soit T une categorie tensorielle autonome. Alors 1) pour tout objet A de T , les foncteurs A ? et ? A sont exacts; _ 2) les foncteurs ? et _? sont quasi-inverses l'un de l'autre; ils sont donc pleinement deles et exacts. Demonstration. 1) Soit A un objet de T . Le foncteur A ? admet un adjoint a droite (le foncteur A_ ?) et un adjoint a gauche (le foncteur _A ?); il est donc exact. De m^eme pour ? A. 2) Supposons pour simplier qu'on ait choisi un dual a droite et un dual a gauche pour chaque objet de T . (On pourrait reformuler l'assertion 2) de telle sorte qu'elle ne depende pas d'un tel choix.) On a des isomorphismes fonctoriels : (_A)_ ' A ' _(A_ ), d'ou l'assertion. ut Denition. Soit k un anneau commutatif. On appelle categorie k -tensorielle une categorie tensorielle munie d'un isomorphisme d'anneaux End(I) ' k. Foncteurs bres et categories tannakiennes. Dans la suite de cette section, k est un corps commutatif. Pour tout k-schema S , soit Qcoh(S) la categorie des faisceaux quasi-coherents sur S , et vect(S) la sous-categorie pleine des faisceaux localement libres de type ni sur S (ou, si l'on prefere, des bres vectoriels sur S ). Notons que Qcoh(S) est une categorie tensorielle symetrique, et vect(S) une categorie de Penrose autonome symetrique. Dans les deux cas, l'anneau des endomorphismes de l'objet unite est H0 (OS ). REMARQUE. Dans la suite, on ne perdra rien a supposer que les k-schemas rencontres sont anes, c'est a dire de la forme S = Spec B , ou B est une k-algebre commutative; alors H0 (OS ) = B , la categorie Qcoh(S) s'identie a Mod(B), et vect(S), a la categorie proj(B) des B -modules projectifs de type ni. Si K est une extension de k, on designera aussi par vect(K) la categorie vect(Spec K) des K -espaces vectoriels de dimension nie. Denition. Soit T une categorie k-tensorielle autonome et S un k-schema. Un foncteur bre de T sur S est un foncteur monodal k-lineaire exact a droite de T dans Qcoh(S). 3 Le foncteur bre est dit non trivial si S est non vide. Soit ! : T ?! Qcoh(S) un foncteur bre. Pour tout objet A de T , les faisceaux !(A_ ) et !(_A) sont des duaux de !(A); or, si V est un objet de Qcoh(S), il admet un dual si et seulement s'il est localement libre de type ni, et ce dual est alors V = Hom(V; OS ) (cf. l'exemple de la section 1.). On a donc un isomorphisme fonctoriel !(A) ' !(A_ ) ; le 3 Pour Deligne [2], la notion de foncteur bre est plus restrictive : la categorie symetrique, ainsi que le foncteur monodal. T doit ^etre foncteur !(?_ ) est exact a droite (2.1.), et a valeurs dans les faisceaux localement libres de type ni, donc !(?_ ) est exact a gauche, et ! est exact. On a donc : Proposition 2.2. Un foncteur bre ! de T sur S est exact. Il est a valeurs dans vect(S) . En outre il est muni d'isomorphismes fonctoriels !(A_ ) ' !(_A) ' !(A) . ut Proposition 2.3. Un foncteur bre non trivial est dele. La demonstration repose sur le lemme suivant. Lemme 2.4. Dans une categorie tensorielle autonome T , tout sous-objet de l'objet unite I en est facteur direct. En particulier si End(I) est un corps, l'objet I est simple. Demontrons ce lemme. Soit A un sous-objet de I , Q = I=A et B = Q_ . On peut supposer d'une part que T est stricte, et d'autre part que I _ = I (avec eI = hI = 1I ); alors B appara^t comme un sous-objet de I . On a donc deux suites exactes courtes : 0 ?! A ?! I ?! Q ?! 0 et 0 ?! B ?! I ?! A_ ?! 0 : On va montrer : I = A B . Dans le diagramme commutatif A B y y u By u Q B y w A hww A A_ h u hkh eA u _ wI ww A u u wQ ww Q A_ y y obtenu en tensorisant ces deux suites exactes, lignes et colonnes sont des suites exactes; la commutativite des triangles adjacents a la eche oblique, qui se deduit facilement de la denition de la dualite, entra^ne que A B est nul. Par consequent le morphisme A B ?! I est un monomorphisme. Un raisonnement analogue sur le diagramme commutatif B Ay y u By u B Qy w A jhww A_ A h u hh hA u _ wI ww A u u _ wQ ww A Q y y montre que A_ Q est nul; le morphisme A B ?! I est donc aussi un epimorphisme, d'ou le lemme. ut Demontrons maintenant la proposition 2.3. Soit ! : T ?! Qcoh(S) un foncteur bre non trivial. C'est un foncteur exact entre categories abeliennes; pour qu'il soit dele, il sut que l'image d'un objet non nul soit non nulle. Soit A un objet non nul de T . On a (eA 1A )(1A hA ) = 1A 6= 0, donc eA : A A_ ?! I est un morphisme non nul; c'est donc un epimorphisme d'apres le lemme. Comme ! est exact, on a un epimorphisme de !(A) !(A_ ) sur OS , et !(A) est non nul si S est non vide. ut REMARQUES. 1) Soit T une categorie k-tensorielle, et T0 la sous-categorie pleine dont les objets sont les multiples de I ; elle est equivalente a la categorie vect(k) des k-espaces vectoriels de dimension nie. Du lemme 2.4. resulte que si T est autonome, alors T0 est stable par sous-quotients. En eet, il sut de voir que si I est un objet simple d'une categorie abelienne A , la sous-categorie pleine A0 de A dont les objets sont les multiples de I est stable par sous-quotients. Soit A un sous-objet de I n dans A , et montrons que A est isomorphe a un certain I p . On peut supposer que n est le plus petit entier tel qu'il existe un monomorphisme de A dans I n . Soit l'une des n projections canoniques de I n sur I n?1 , et q la restriction de a A. Par choix de n, q n'est pas un monomorphisme; Ker(q) est un sous-objet de Ker() = I , donc il est egal a Ker() car I est simple. Ainsi, A contient chacun des facteurs de I n , et donc A = I n . D'ou la stabilite de A0 par sous-objets; le m^eme raisonnement dans la categorie Ao montre que A0 est stable par sous-quotients. 2) Soient T une categorie k-tensorielle autonome, et ! un foncteur bre de T sur un k-schema S . Soit p : T ?! S un morphisme de schemas. Alors le changement de base denit un foncteur bre p! : T ?! Qcoh(T ) de T sur T . En particulier, si p est un point de S a valeurs dans une extension K de k, alors p ! est un foncteur bre de T sur Spec K . Ainsi, si T admet un foncteur bre non trivial, elle en admet un a valeurs dans vect(K), pour une certaine extension K de k. Denition. Une categorie k-lineaire A est dite localement de type ni (sur k ) si a) tout objet X de A est de longueur nie, b) pour tous X , Y objets de A , Hom(X; Y ) est de dimension nie sur le corps k. Proposition 2.5. Soit T une categorie k -tensorielle autonome. (i) Si T admet un foncteur bre non trivial, T est localement de type ni sur k . (ii) Soit ! un foncteur bre de T sur le spectre d'une k -algebre commutative B , et X , Y des objets de T . Alors le morphisme naturel Hom(X; Y ) k B ?! HomB (!(X); !(Y )) est injectif. Demonstration. (ii) Soit (f1 ; . . .; fn ) une famille libre dans Hom(X; Y ); il s'agit de montrer que la famille (!(f1 ); . . .; !(fn )) est libre sur B , autrement dit, que le morphisme de B-modules : B n ?! HomB (!(X); !(Y )) qu'elle induit est injectif. Via l'isomorphisme Hom(X; Y ) ' Hom(I; X _ Y ), la famille des fi denit un morphisme : I n ?! X _ Y . Si le noyau de etait non nul, les fi seraient lies, d'apres la remarque 1). Ainsi est un monomorphisme, de m^eme que !() : B n ,?! !(X _ Y ) par l'exactitude de ! . Le morphisme , compose de !() avec l'isomorphisme !(X _ Y ) ' HomB (!(X); !(Y )), est donc bien injectif. (i) D'apres la remarque 2), on peut trouver un foncteur bre ! de T a valeurs dans vect(K), ou K est une extension de k. On a dimk Hom(X; Y ) dimK !(X) dimK !(Y ) d'apres (ii), d'ou la condition b). De m^eme, la longueur de X est majoree par dimK (!(X)), car ! est dele exact, d'ou la condition a). ut Morphismes de foncteurs bres Soient T une categorie k-tensorielle autonome et !1 , !2 deux foncteurs bres de T sur un m^eme k-schema S . Denition. On appelle morphisme (de foncteurs bres) de !1 vers !2 tout morphisme fonctoriel monodal de !1 vers !2 . Un tel morphisme est toujours un isomorphisme, en vertu de la proposition 1.1. 3.|Cogebrodes Soient k un anneau commutatif et B une k-algebre non necessairement commutative. Rappelons que Bimodk (B; B) est la categorie des (B; B)-bimodules dont les structures de k-module a droite et a gauche concident. Denition. On appelle k -cogebrode de base B (ou simplement cogebrode de base B si k = Z) la donnee dans Bimodk (B; B) d'un objet L et de deux morphismes : L ?! L B L " : L ?! B de telle sorte que les diagrammes suivants soient commutatifs : L u w L B L 1 uL L B L 1 w L B L B L L B B L u 4 7 ' 44 " 1L 4 ' w L B B h j h u hh1L " L L B L : Le morphisme est appele comultiplication ou coproduit; le premier diagramme exprime la coassociativite du coproduit, le second traduit le fait que " est une counite. Si L et L0 sont deux k-cogebrodes de base B , un morphisme de k-cogebrodes de L vers L0 est un morphisme de Bimodk (B; B) compatible aux coproduits et aux counites. On denit ainsi la categorie Cogk (B) des k-cogebrodes de base B . Les limites inductives existent dans Cogk (B), et le foncteur oubli de Cogk (B) vers Bimodk (B; B) commute aux limites inductives. Soit f un morphisme de k-algebres de B vers B 0 ; si L est un k-cogebrode de base B , 0 L = B 0 B L B B 0 est naturellement muni d'une structure de k-cogebrode de base B 0 . Ainsi, f induit par changement de base un foncteur f : Cogk (B) ?! Cogk (B 0 ). REMARQUE. Un k-cogebrode de base k n'est autre qu'une k-cogebre. Denition. Soit L un k-cogebrode de base B . Un L -comodule a droite est un B -module a droite V muni d'un morphisme de B -modules a droite : V ?! V B L tel que les diagrammes suivants soient commutatifs : V u w V B L u 1V V B L 1 w V B L B L L ' w V B B h j h1V " h u h V V B L : Ces diagrammes expriment le fait que est une coaction a droite de L sur V . On imagine la denition d'un L -comodule a gauche. Les L-comodules a droite constituent une categorie, que l'on notera Comod(B : L), dont les morphismes sont les morphismes de B -modules qui sont compatibles aux coactions. On a donc un foncteur oubli U : Comod(B : L) ?! Mod(B): On notera comod(B : L) la sous-categorie pleine de Comod(B : L) des L-comodules dont le B -module sous-jacent est de type ni. Proposition 3.1. a) Dans la categorie Comod(B : L) , les limites inductives (et en particulier les conoyaux) existent. Le foncteur oubli U est dele, conservatif et commute aux limites inductives. b) Si L est plat comme B -module a gauche, Comod(B : L) est abelienne, et le foncteur oubli U est exact. Demonstration. a) Il est clair que U est dele et conservatif (ce qui signie qu'un morphisme dont l'image par U est un isomorphisme, est un isomorphisme). Si (Vi ) est un systeme inductif de L-comodules a droite, la limite inductive des U(Vi ) est naturellement munie d'une coaction a droite de L qui en fait une limite inductive des Vi . (Il n'en va generalement pas de m^eme des systemes projectifs.) b) Supposons L plat comme B -module a gauche. Par a), il sut de verier que les noyaux existent dans Comod(B : L), et que U commute a leur formation. Soit f : V ?! V 0 un morphisme de Comod(B : L). Soit N le noyau de U(f). Il resulte de l'hypothese de platitude que le morphisme N B L ?! U(V ) B L est le noyau de U(f) B 1L et que N B L B L ?! U(V ) B L B L est injectif; on peut en deduire sur N une structure de L-comodule a droite qui en fait un noyau de f . ut REMARQUE. Le foncteur U admet pour adjoint a droite le foncteur H de Mod(B) vers Comod(B : L) qui au B-module N associe le L-comodule (N B L; 1N B ). En eet, soient N un B-module a droite et V un L-comodule a droite, de coaction . L'application f 7! g = (f B 1L ) est une bijection de HomB (U(V ); N) vers HomComod(B:L) (V; H(N)), dont l'inverse est donne par g 7! (1N B ")g . Un morphisme f : L0 ?! L de k-cogebroides de base B induit un foncteur f : Comod(B : L0 ) ?! Comod(B : L) (V; ) 7?! (V; (1V B f)) : Proposition 3.2. Soit i : L0 ?! L un morphisme de k -cogebrodes de base B . On suppose que i est injectif, et que L et L=i(L0 ) sont plats comme B -modules a gauche. Alors le foncteur i : Comod(B : L0 ) ?! Comod(B : L) est pleinement dele, exact, et identie Comod(B : L0) a la sous-categorie strictement pleine 4 C de Comod(B : L) des L -comodules a droite V dont la coaction : V ?! V B L est a valeurs dans l'image de l'application 1V B i : V B L0 ,?! V B L . En outre, la sous-categorie abelienne C est stable par sous-quotients. Demonstration. Il resulte des hypotheses que L0 est lui aussi plat a gauche sur B . Utilisant la proposition 3.1, on voit que Comod(B : L0 ) est abelienne, et que le foncteur i : Comod(B : L0 ) ?! Comod(B : L) est dele et exact. L'image de i etant clairement contenue dans C , verions l'inclusion inverse. Quitte a remplacer L0 par son image par i, on peut supposer que i est une inclusion. Soit V un objet de C . Par injectivite de l'application j : V B L0 ?! V B L, la coaction de V se remonte de facon unique en une application 0 : V ?! V B L0 ; gr^ace a l'injectivite de l'application V B L0 B L0 ?! V B L B L, 0 est une coaction de L0 sur V , de sorte que V est naturellement muni d'une structure de L0 -comodule a droite. Tout morphisme V 0 ?! V de C est aussi un morphisme de L0 -comodules a droite, en vertu de l'injectivite de j . Enn, C est manifestement stable par quotients; l'inclusion de C dans Comod(B : L) etant exacte, C est aussi stable par sous-objets. ut Proposition 3.3. Soit L un k -cogebrode de base B , et supposons L projectif en tant que B -module a gauche. Alors tout L -comodule a droite est limite inductive ltrante de ses sous-comodules qui sont de type ni comme B -modules. Demonstration. Nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme. Soit A un anneau, M un A -module a gauche projectif, et N un A -module a droite. Alors pour tout element f de N A M , il existe un plus petit sous-module N0 de N veriant f 2 N0 A M . Ce sous-module est de type ni. Demonstration du lemme. Tra^tons tout d'abord le cas ou M est un module libre : M = A(I ) . Alors N A M ' N (I ) et f s'identie a une famille presque nulle (fi )i2I d'elements de N ; le sous-module N0 de N engendre par les fi convient. Dans le cas general, M est facteur direct d'un A-module libre M 0 ; considerons f comme un element de N A M 0 ; le plus petit sous-module N0 de N tel que N0 A M 0 contienne f convient. ut Revenons a la demonstration de la proposition. Notons que par la proposition 3.1, la categorie Comod(B : L) est abelienne, et le foncteur oubli U est exact. Soit V un L-comodule a droite, et u un element de V . Le lemme nous assure de l'existence d'un plus petit sous-module V0 de V tel que V0 B L contienne l'image de 4 Une sous-categorie strictement pleine est une sous-categorie pleine stable par isomorphie. u par la coaction . Montrons que V0 est un sous-comodule de V contenant u, ce qui achevera la demonstration. On a : u 2 V0 B L, donc u = (1V B ")( (u)) 2 V0 . D'autre part, ( B 1L) u = (1V B ) u 2 V0 B L B L. Ainsi, u 2 ( B 1L )?1 (V0 B L B L) = ?1 (V0 B L) B L (car L est plat a gauche sur B). D'ou, par denition de V0 , V0 ?1 (V0 B L), ce qui revient a : V0 V0 B L; autrement dit, V0 est un sous-comodule de V . ut Cogebrode oppose, produit tensoriel de cogebrodes. Si (L; ; ") est un k-cogebrode de base B , l'objet de Bimodk (B o ; B o ) canoniquement associe a L est muni d'une structure naturelle de k-cogebrode de base B o qu'on appelle le k -cogebrode oppose a L et qu'on note Lo ; il a pour counite ", et pour coproduit o = , ou est l'isomorphisme (L B L)o ' Lo Bo Lo deni par x y 7?! y x. REMARQUES. 1) Se donner un L-comodule a gauche revient a se donner un Lo -comodule a droite. 2) Soit V un L-comodule a droite, et supposons V projectif de type ni comme B module. Soit _V = HomB (V; B) : si l'on considere V comme un (k; B)-bimodule, _V n'est autre que le dual a gauche de V tel qu'il est deni dans l'exemple de la section 1. Alors _V est naturellement muni d'une structure de L-comodule a gauche, ou, si l'on prefere, de Lo -comodule a droite, la coaction de L etant la composee des morphismes _V 1 V w _V V _V 1 1 w _V V L _V "V 1 1 w L _V k B k B B B (ou "V et V sont l'evaluation et la coevaluation). De m^eme, si (L; ; ") et (L0 ; 0; "0) sont deux k-cogebrodes de bases respectives B et 0 B , alors L k L0 est naturellement muni d'une structure de k-cogebrode de base B k B 0 , qu'on appelle produit tensoriel sur k de L et L0 : la counite est " k "0 et la comultiplication est la composee de k 0 et de l'isomorphisme canonique (L B L) k (L0 B0 L0 ) ' (L k L0 ) B k B0 (L k L0 ) qui echange les deux facteurs du milieu. REMARQUE. Soient V un L-comodule a droite, et V 0 un L0 -comodule a droite. Alors V k V 0 est naturellement muni d'une structure de L k L0 -comodule a droite. Un (L; L0) -bicomodule est un objet V de Bimodk (B; B 0 ) muni d'une coaction de L a gauche : V ?! L B V et d'une coaction de L0 a droite 0 : V ?! V B0 L0 qui sont des morphismes de Bimodk (B; B 0 ), avec la condition de compatibilite : (1L B 0 ) = ( B0 1L0 ) 0 : La donnee d'un (L; L0 )-bicomodule equivaut a celle d'un Lo k L0 -comodule a droite. En particulier, tout k-cogebrode L de base B est naturellement muni d'une structure de Lo k L-comodule a droite. Une application du theoreme de Barr-Beck. Soient C une categorie, et End(C ) la categorie des endofoncteurs de C . Munie de la composition des foncteurs, c'est une categorie monodale stricte d'objet unite le foncteur identite. Dans cette categorie, un dual a droite (resp. a gauche) n'est autre qu'un adjoint a droite (resp. a gauche). Une comonade de C est un monode dans la categorie End(C )o . Autrement dit, c'est un foncteur : C ?! C muni de morphismes fonctoriels : ?! " : ?! 1C de telle sorte que les diagrammes suivants soient commutatifs : w u u 1C u 4 7= = 44 hhj w 1C " 1 4 u hh1 " 1 1 w : Soit X un objet de C . Une coaction de sur X est un morphisme : X ?! (X) tel que les diagrammes suivants commutent : X u w (X) u (X) (X) () w (X) X u ? wX ? ??"(X) (X) = : EXEMPLE. Soient A; B deux categories, et F : A ?! B un foncteur admettant un adjoint a droite G. Notons " : F G ?! 1B et : 1A ?! G F les eches d'adjonction. Soient = F G : B ?! B et = F G : ?! . Alors (; ; ") est une comonade de B . En outre = F : F ?! F denit fonctoriellement pour chaque objet X de A une coaction (X) de sur F (X). Soit B la categorie des objets de B munis d'une coaction de (avec morphismes compatibles aux coactions). Alors la coaction fonctorielle de sur F correspond a un foncteur Fe : A ?! B : Theoreme 3.4.(Barr-Beck). Dans la situation de l'exemple, supposons que le foncteur F verie les deux conditions suivantes : (i) Si l'image par F d'une double eche de A admet un noyau, alors cette double eche admet un noyau et l'image de ce noyau est le noyau de l'image de la double eche; (ii) Soient (f; g) une double eche de A de source X et u un morphisme de A de but X tel que fu = gu . Si F(u) est un noyau de (F (f); F (g)) alors u est un noyau de (f; g) . Alors Fe : A ?! B est une equivalence de categories. ut Pour la demonstration, voir [7], VI, 7. L'application que nous avons en vue est la suivante. Soient A, B deux anneaux, A = Mod(A) et B = Mod(B). Tout (A; B)-bimodule M denit un foncteur exact a droite F : A ?! B E 7?! E A M d'ou un foncteur pleinement dele Mod(Ao B) ?! Hom(A; B) M 7?!? A M qui admet la retraction F ?! F(A). Dans le cas A = B , si : B ?! B est le foncteur ? B L, la donnee d'une structure de comonade sur equivaut a la donnee d'une structure de cogebrode de base B sur L. Alors la categorie B n'est autre que Comod(B : L). Soient a present M un (A; B)-bimodule, projectif de type ni en tant que B -module, et F le foncteur ? A M de Mod(A) dans Mod(B). Considerons le (B; A)-bimodule _M , muni des morphismes " : _M A M ?! B et : A ?! M B _M introduits dans l'exemple de la section 1. Alors le foncteur G =? B _M : Mod(B) ?! Mod(A) est adjoint a droite a F . La structure de comonade sur = F G qui s'en deduit correspond a une structure de cogebrode de base B sur _M A M donnee par la comultiplication : _M A M ?! _M A M B _M A M x 7?! (1A ) x la counite etant ". Pour tout A-module a droite E , E A M est naturellement muni d'une structure de _M A M -comodule a droite donnee par : E A M ?! E A M B _M A M e x 7?! e (1A ) x : On a alors Proposition 3.5. Soit M un (A; B) -bimodule projectif de type ni sur B et delement plat sur A . Alors le foncteur Fe : Mod(A) ?! Comod(B : _M A M) est une equivalence de categories; en outre il induit une equivalence de categories entre mod(A) et comod(B : _M A M) . Demonstration. La premiere assertion de la proposition est la traduction du theoreme de Barr-Beck (3.4.); la seconde resulte de la proposition suivante, qui nous sera utile par ailleurs. Proposition 3.6. Soit M un (A; B) -bimodule delement plat sur A et de type ni sur B . Soit E un A -module a droite. Si E A M est un B -module de type ni (resp. de presentation nie), alors E est un A -module de type ni (resp. de presentation nie). Demonstration. Supposons E A M de type ni sur B ; alors il existe un sous-module de type ni E1 E tel que E1 A M ,?! E A M soit un isomorphisme; posons Q = E=E1 , de sorte qu'on a une suite exacte courte 0 ?! E1 ?! E ?! Q ?! 0 : Comme E1 A M ?! E A M est surjectif, on a Q A M = 0, d'ou Q = 0 et E = E1 , et E est de type ni. Si en outre E A M est de presentation nie, considerons un epimorphisme An ?! E , de noyau N . Alors N A M est le noyau de M n ?! E A M ; il est donc de type ni; par consequent N est de type ni. ut Nous aurons besoin dans la section 8 d'une autre application du theoreme de BarrBeck : la descente delement plate des comodules. Propositon 3.7. Soit f : B ?! B0 un morphisme d'anneaux. On suppose que B 0 est delement plat a gauche sur B . Soit L un cogebrode de base B , plat a gauche sur B , et L0 le cogebrode de base B 0 qui s'en deduit par changement de base. Alors le foncteur naturel Comod(B : L) ?! Comod(B 0 : L0 ) (V; ) 7! (V B B 0 ; B 1B0 ) est une equivalence de categories. En outre, il induit une equivalence de categories de comod(B : L) vers comod(B 0 : L0) . Demonstration. Le foncteur P =? B B 0 : Mod(B) ?! Mod(B 0 ) est dele exact, et admet pour adjoint a droite le foncteur Q : Mod(B 0 ) ?! Mod(B) qui associe a un B 0 -module le B-module sous-jacent. D'autre part, d'apres (3.1.) et la remarque qui le suit, la categorie Comod(B : L) est abelienne et le foncteur oubli U : Comod(B : L) ?! Mod(B) est dele, exact, et admet pour adjoint a droite le foncteur H : Mod(B 0 ) ?! Comod(B : L) qui a tout B -module a droite N associe le L-comodule (N B L; 1N B ). Par consequent, le foncteur F = P U : Comod(B : L) ?! Mod(B 0 ) est dele exact, et admet l'adjoint a droite G = H Q. Nous pouvons donc lui appliquer le theoreme de Barr-Beck. On a F G(N) = N B0 (B 0 B L B B 0 ), donc la structure de comonade de F G correspond a une structure de cogebrode de base B 0 sur B 0 B L B B 0 , qui n'est autre que L0 . D'ou l'equivalence de categories Fe : Comod(B : L) ?! Comod(B 0 : L0 ). La seconde assertion resulte de la proposition 3.7. ut 4.|Cogebrode associe a un foncteur Soit k un anneau commutatif. Soient C une categorie essentiellement petite, B1 , B2 deux k-algebres et F1 , F2 deux foncteurs de C vers proj(B1 ) et proj(B2 ) respectivement. Soit Lk (F1 ; F2) le foncteur Bimodk (B1 ; B2 ) ?! E ns M 7?! fmorphismes fonctoriels B2 -lineaires : F2 ?! F1 B M g : 1 Proposition 4.1. Le foncteur Lk (F1; F2) est representable. On notera Lk (F1; F2) l'objet de Bimodk (B1 ; B2 ) qui represente ce foncteur, et 0 le morphisme fonctoriel B2 -lineaire universel F2 ?! F1 B Lk (F1; F2) dont il est muni. Demonstration. Precisons la propriete universelle satisfaite par Lk (F1 ; F2) et 0 : soit M un objet de Bimodk (B1 ; B2 ) et un morphisme fonctoriel B2 -lineaire de F2 vers F1 B M ; alors il existe un morphisme de (B1 ; B2)-bimodules unique de Lk (F1; F2) vers M tel qu'on ait = (1F B )0 . Construisons a present Lk (F1; F2) et 0 . Si B est un anneau et N un objet de proj(B), on note _N le B -module a gauche HomB (N; B). M _F1(X) k F2 (X). Pour tout On peut supposer C petite. Posons alors L0 = 1 1 1 1 X 2Ob(C) morphisme f de C , de source X et de but Y , on forme le diagramme : (Df ) _F1(Y ) k F2(X) _F1 (f ) 1 w _F1(X) k F2(X) 1 F2 (f ) u w _F1(Y ) k F2(Y ) u L0 et Lk (F1 ; F2) est le quotient de L0 qui rend les diagrammes Df commutatifs. Soient X un objet de C , : k ?! F1 (X) B _F1(X) le morphisme de coevaluation, et notons le morphisme de passage au quotient L0 ?! Lk (F1; F2). Alors 0 (X) est la composee de 1 1 1 F2(X) ???! F1(X) B _F1 (X) k F2(X) ???! F1(X) B Lk (F1; F2) ; les relations denissant Lk (F1 ; F2) etant exactement ce qu'il faut pour assurer la fonctorialite de 0 en X . ut 1 1 Comultiplication|Counite Soit C une categorie (essentiellement petite), et supposons donnes des k-algebres Bi , et des foncteurs Fi : C ?! proj(Bi ). De la propriete universelle se deduit un morphisme de Bimodk (B1 ; B3) (F1; F2; F3) : Lk (F1; F3) ?! Lk (F1; F2) B Lk (F2; F3) appele comultiplication ou coproduit. La comultiplication est coassociative, autrement dit, elle rend commutatif le diagramme suivant : 2 (F1 ;F3 ;F4 ) Lk (F1 ; F4) (F1 ;F2 ;F4 ) w Lk(F1; F3) B 3 u u Lk (F3 ; F4) (F1 ;F2 ;F3 ) 1 Lk (F1 ; F2) B Lk (F2 ; F4) 1 (F ;F ;F ) w Lk (F1 ; F2) B Lk (F2 ; F3) B Lk (F3 ; F4) 2 2 3 2 4 3 De m^eme, pour toute k-algebre B et tout foncteur F : C ?! proj(B), on a par la propriete universelle un morphisme de Bimodk (B; B) "(F ) : Lk (F; F ) ?! B appele counite, car il rend commutatif le diagramme suivant : B1 B Lk (F1; F2) u 1 ' ? ? ?? (F1 ;F1 ;F2 ) u "(F1 ) 1 Lk (F1; F1) B Lk (F1; F2) w L (F ; F ) B AA(F ;F ;F )k 1 2 1 B"(F ) 2 AC ' Lk (F1; F2)A 2 u 1 2 2 2 Lk (F1; F2) B Lk (F2; F2) 2 1 Pour tout foncteur F : C ?! proj(B), Lk (F; F) est ainsi muni d'une structure de k-cogebrode de base B , qu'on notera Lk (F ). Proposition 4.2. Le cogebrode Lk (F ) represente le foncteur Cogk (B) ?! E ns L 7?! fcoactions a droite fonctorielles de L sur F g : En eet, 0 : F ?! F B Lk (F ) est une coaction fonctorielle de Lk (F ) sur F , et on verie que, dans la bijection entre morphismes fonctoriels F ?! F B L et morphismes (B; B)-lineaires de Lk (F) vers L, les coactions a droite correspondent exactement aux morphismes de k-cogebroides. ut 4.3. Quelques proprietes de fonctorialite. (i) Changement de scalaires. Soit Bi ?! Ci un morphisme de k-algebres pour i = 1, 2. Alors C1 B Lk (F1 ; F2) B C2 ' Lk (F1 B C1; F2 B C2) : 1 2 1 2 (ii) Fonctorialite par rapport a C . Tout foncteur T d'une categorie C 0 dans C induit un morphisme Lk (F1 T; F2 T) ?! Lk (F1; F2) de facon compatible aux coproduits et aux counites. (iii) Limites inductives. Si C est limite inductive ltrante de categories C i , et si Ti : C i ?! C est le foncteur naturel, le morphisme ?! lim Lk (F1 T i ; F2 T i ) ?! Lk (F1; F2) est un isomorphisme. (iv) Dualite. Soit F : C ?! proj(B). En associant a un B -module a droite M le B -module a gauche _M = HomB (M; B), on denit un foncteur _ ? : proj(B)o ?! proj(B o ) qui est une equivalence de categories; notons F % le foncteur de C o vers proj(B o ) obtenu par composition de F et du foncteur _ ?. Alors on a Lk (F1; F2) ' Lk (F2% ; F1% )o (si M est un (B1 ; B2 )-bimodule, M o designe le (B2 o ; B1 o )-bimodule associe). En particulier, on a un isomorphisme de k-cogebrodes Lk (F % ) ' Lk (F )o . (v) Produits tensoriels. Soient Fi : C ?! proj(Bi ) et Fi0 : C 0 ?! proj(Bi ) pour i = 1, 2, et supposons les algebres Bi commutatives. Alors on peut former Fi Bi Fi0 : C C 0 ?! proj(Bi ) et on a : Lk (F1 B F10 ; F2 B F20 ) ' Lk (F1; F2) B k B Lk (F10 ; F20) : 1 2 1 2 REMARQUE. Soient C une categorie, k un anneau commutatif, B une k-algebre, F un foncteur de C dans proj(B), et C0 une sous-categorie pleine de C . Notons T le foncteur d'inclusion. Nous dirons que C0 engendre F si pour tout objet X de C , le B -module a droite F(X) est engendre par les images des morphismes F (f), pour f decrivant les morphismes dans C de but X et de source un objet de C0 . Alors si C0 engendre F , le morphisme naturel Lk (F T) ?! Lk (F ) est surjectif. EXEMPLE. Soient k un anneau commutatif, A et B deux k-algebres, et M un objet de Bimodk (A; B). On suppose M projectif de type ni comme B -module. Notons F le foncteur ? A M de Mod(A) vers Mod(B). Soit C une sous-categorie pleine de Mod(A) contenant A et dont l'image par F est contenue dans proj(B). Proposition 4.4. Avec les notations ci-dessus, on a un isomorphisme naturel de coge_M A M ?! Lk (FjC ) : brodes Demonstration. Soit C0 la sous-categorie pleine de Mod(A) ayant A pour seul objet. Notons L0 = Lk (FjC ) et L = Lk (FjC ). On a L0 = _M A M . L'inclusion C0 C induit par fonctorialite un morphisme : L0 ?! L qui est surjectif, car C0 engendre C (cf. remarque precedente). D'autre part, la coaction a droite de L0 = _M A M sur M s'etend naturellement en une coaction de L0 sur le foncteur F =? A M ; d'ou un morphisme de L vers L0 veriant = 1L . Ainsi est inverse de . ut 0 0 5.|Cogebrodes semi-transitifs Dans toute cette section, k est un corps commutatif, sauf mention explicite du contraire. (Il me semble dicile de contourner cette hypothese). Resumons le but de cette section en quelques mots. Soit B une k-algebre. On a introduit dans les sections 3 et 4 les deux constructions suivantes. a) A tout k-cogebroide L de base B , on associe le couple (comod(B : L); U), ou U est le foncteur oubli de comod(B : L) vers mod(B). b) A tout couple (C ; F), ou C est une categorie (essentiellement petite) et F un foncteur de C vers proj(B), on associe un k-cogebroide Lk (F ) de base B . Idealement, on aimerait caracteriser tous les couples (C ; F ) obtenus par le procede a), et pouvoir reconstruire le cogebroide L a partir d'un tel couple par le procede b) : c'est la reconstruction tannakienne. En fait, pour un k-cogebrode quelconque L de base B , la categorie comod(B; L) n'est pas satisfaisante de ce point de vue la : d'une part, elle n'est pas necessairement abelienne, et d'autre part, le foncteur oubli U n'est pas necessairement a valeurs dans proj(B), ce qui interdit de lui appliquer le procede b). Voila pourquoi on est amene a introduire la notion de k -cogebrode semi-transitif; si la categorie C est abelienne k-lineaire, et F : C ?! Mod(B) est k-lineaire, dele et exact, et a valeurs dans proj(B), alors Lk (F ) est semi-transitif; en outre, tout k-cogebrode semitransitif est de cette forme. C'est essentiellement le theoreme 5.2, d^u a Deligne (bien que [2] n'introduise pas explicitement la notion de semi-transitivite). Autre inter^et de cette notion : le theoreme fondamental des cogebres se generalise aux cogebrodes semi-transitifs. Rappelons qu'a une categorie A , on associe une categorie Ind A de la facon suivante : les objets de Ind A sont les systemes inductifs ltrants de A ; on les appelle les Ind-objets de A . Si (X i ) et (Y j ) sont deux tels systemes, on pose ? HomInd A (X i ); (Y j ) = lim??! lim HomA (X i ; Y j ): i j C'est une facon universelle d'adjoindre a la categorie A des limites inductives ltrantes. Denition. Un k-cogebrode L de base B est dit semi-transitif s'il verie les trois conditions suivantes. ST1 Tout objet de comod(B : L) est projectif en tant que B -module. ST2 Tout objet de Comod(B : L) est limite inductive ltrante d'objets de comod(B : L). ST3 La categorie k-lineaire comod(B : L) est localement de type ni. EXEMPLE STANDARD. Soit A une k-algebre de dimension nie; la categorie mod(A) est abelienne, k-lineaire, localement de type ni. Soit B une k-algebre, et M un objet de Bimodk (A; B) delement plat sur A, et projectif de type ni sur B . Soit F le foncteur ? A M de mod(A) dans Mod(B). Alors L = _M A M est un k-cogebrode de base B (voir 4.4.), et il resulte du theoreme de Barr-Beck (3.5.) que les foncteurs naturels Mod(A) ?! Comod(B : L) et mod(A) ?! comod(B : L) sont des equivalences de categories, de sorte que L verie ST2 et ST3. Un k-cogebrode de cette forme sera dit de type standard. Si on fait l'hypothese supplementaire que F est a valeurs dans proj(B), le k-cogebrode L, qui s'identie alors a Lk (F ), verie ST1. Il est donc semi-transitif. Un tel k-cogebrode sera dit semi-transitif de type standard. Proposition 5.1. Soit k un anneau commutatif. Soit B une k -algebre et L un k cogebrode de base B . On fait l'hypothese que le B -module sous-jacent a tout objet de comod(B : L) est projectif. Alors (i) la categorie comod(B : L) est abelienne et la restriction du foncteur oubli U : Comod(B : L) ?! Mod(B) a la categorie comod(B : L) est dele exacte; en outre tout objet de comod(B : L) est noetherien; (ii) tout L -comodule a droite qui est limite inductive ltrante d'objets de comod(B : L) est projectif en tant que B -module (plus precisement, somme directe de B -modules projectifs de type ni); (iii) le foncteur naturel Ind comod(B : L) ?! Comod(B : L) est pleinement dele. En particulier, si L est un k-cogebrode semi-transitif de base B , tout L-comodule a droite est projectif comme B -module, et Comod(B : L) est equivalente a Ind comod(B : L). Demonstration. (i) Soit f : V 0 ?! V un morphisme de Comod(B : L). Si le noyau de U(f) est facteur direct de U(V 0 ) alors il est naturellement muni d'une coaction de L qui en fait un noyau de f . Supposons V de type ni comme B -module. Le conoyau de f est de type ni, donc projectif, comme B-module. Ainsi Im(U(f)) est facteur direct de U(V ), donc projectif, et donc Ker(U(f)) est facteur direct de U(V 0). Par consequent, f admet un noyau dans Comod(B : L), et l'image par U de ce noyau est le noyau de U(f). En particulier, les noyaux existent dans la categorie comod(B : L), et le foncteur oubli de comod(B : L) vers Mod(B) commute a leur formation; d'apres (3.1.), il en va de m^eme pour les sommes nies et les conoyaux, donc comod(B : L) est abelienne et le foncteur oubli est dele exact. Soit V un objet de comod(B : L), et (V Ln ) une suite croissante de sous-objets de V . Considerons le morphisme canonique f : Vn ?! V . L'image de U(f) est un facteur direct de U(V ); elle est donc de type ni comme B -module, et la suite des Vn est stationnaire. L'objet V est donc noetherien. (ii) Soit (Vi )i2I un systeme inductif ltrant d'objets de comod(B : L), et V = ?! lim Vi . Montrons qu'en tant que B -module, V est somme directe de sous-modules projectifs de type ni. On peut, quitte a remplacer Vi par son image dans V , supposer que les morphismes naturels Vi ?! V sont injectifs. (Cette image est encore un comodule, en tant que limite inductive des images de Vi dans les Vj pour i j ). On considerera donc les Vi comme inclus dans V . On aura besoin du fait suivant. Soit W un sous B -module de V somme d'une sousfamille quelconque de (Vi ). Alors pour tout j , W \ Vj est un sous-comodule de Vj . Demontrons-le. Puisque Vj est noetherien dans comod(B : L), on peut supposer que W est somme d'un nombre ni des Vi . Le systeme inductif etant ltrant, il existe un l tel que Vl contienne Vj et W . Alors W et Vj sont des sous-comodules de Vl , ainsi que W \ Vj = ker(W ?! Vl =Vj ). Soit maintenant M l'ensemble des couples (W; X), ou W est un sous B -module de V somme d'une sous-famille des Vi , et X un ensemble de sous-modules non nuls de V , projectifs de type ni sur B, dont W est la somme directe. On met sur M la relation d'ordre (W; X) (W 0 ; X 0 ) () W W 0 et X X 0 . Alors M n'est pas S S vide car il contient (0; ;). Si (Wk ; Xk )k2K est une famille croissante de M , alors ( Wk ; Xk ) en est une borne superieure dans M . Il existe donc un element maximal (W; X) dans M . Pour tout i, W \ Vi est un sous-comodule de Vi . Par consequent W \ Vi admet, en tant que sous-module de V , un supplementaire E qui est un B-module projectif de type ni. Si Vi n'est pas contenu dans W , le couple (W +Vi ; X [fE g), qui est dans M , contredit le choix de (W; X). On a donc W = V , d'ou l'assertion (ii). (iii) Les limites inductives existent dans la categorie Comod(B : L), d'ou un foncteur naturel de Ind comod(B : L) vers Comod(B : L). Il s'agit donc de montrer que si X = (Vi ) et Y = (Wj ) sont deux Ind-objets de comod(B : L), et si on pose V = ?! lim Vi et W = ?! lim Wj (limites inductives dans Comod(B : L)), on a : HomInd comod(B:L) (X; Y ) ' HomComod(B:L) (V; W) : Pour cette verication, on utilise le lemme suivant. Lemme. Avec les hypotheses de la proposition, soit V un objet de comod(B : L) et (Wi )i2I un systeme inductif ltrant de comod(B : L) , de limite inductive W . Alors le morphisme naturel ?! lim Hom(V; Wi ) ?! Hom(V; W ) est un isomorphisme. Avant de demontrer ce lemme, montrons comment l'assertion (iii) en resulte. On a lim Hom ?!j (Vi ; Wj ) ' Hom(Vi ; W ) d'apres le lemme, donc Hom(V; W ) ' lim?Hom(Vi ; W ) ' lim??! lim Hom(Vi ; Wj ) = HomInd comod(B:L) (X; Y ) (par denition), d'ou (iii). i j Reste a demontrer le lemme. Soit l'application naturelle de ?! lim Hom(V; Wi ) vers Hom(V; W ). Comme le foncteur oubli U est dele et commute aux limites inductives, l'injectivite de se verie de facon standard en termes de B -modules. Montrons que est surjectif. Soit donc f : V ?! W . Comme V est de type ni en tant que B -module, il existe i 2 I tel que f soit a valeurs dans l'image de U(Wi ) ?! U(W ). Notons Wi0 cette image. Soit Qi le conoyau du morphisme Wi ?! W . Ce comodule est limite inductive ltrante des conoyaux des morphismes Wi ?! Wj pour j i; il est donc projectif comme B-module, d'apres l'assertion (ii). Par consequent, Wi0 , qui est aussi le noyau de U(W ) ?! U(Qi ), est naturellement muni d'une structure de comodule qui en fait le noyau de W ?! Qi , et f se factorise a travers Wi0 . Soit Ki le noyau de Wi ?! Wi0 , et pour tout j i, soit Ki;j le noyau du morphisme Wi ?! Wj . Les Ki;j constituent une famille croissante de sous-comodules de Wi , dont la reunion est Ki . D'apres l'assertion (i), Wi est noetherien; il existe donc j i tel que Ki = Ki;j ; gr^ace au monomorphisme Wi0 ,?! Wj ainsi deni, le morphisme f se factorise a travers Wj . Cela denit un antecedent de f par , d'ou le lemme, et la proposition. ut tu Theoreme 5.2. (Deligne). Soit A une categorie abelienne k -lineaire localement de type ni (et essentiellement petite). Soit B une k -algebre, et F : A ?! Mod(B) un foncteur k -lineaire dele, exact, a valeurs dans proj(B) . Posons L = Lk (F ) . Alors 1) le k -cogebrode L est semi-transitif; 2) le foncteur Fe : A ?! comod(B; L) est une equivalence de categories. Demonstration du theoreme 5.2. Nous dirons qu'un objet X de A est un generateur de A si tout objet de A est sous-quotient d'un multiple de X . On demontre d'abord le theoreme lorsque A admet un generateur, puis on se ramene a ce cas, non sans quelques contorsions, par un procede appele desossage. Lemme 5.3. (Gabber). Si A admet un generateur, elle admet un generateur projectif P ; autrement dit, il existe une k -algebre de dimension nie A ( A = End(P ) ) telle que A soit equivalente a mod(A) . ut REMARQUE. Pour la demonstration de ce lemme, se reporter a [2]. Notons que si A est une k-algebre de dimension nie, mod(A) est abelienne. En outre, si B est une sous-categorie strictement pleine 5 de mod(A) stable par sommes directes nies et sousquotients, il existe un ideal bilatere I de A tel que les objets de B soient exactement les A-modules a droite de type ni annules par I : autrement dit, B s'identie a mod(A=I) mod(A). Montrons le theoreme dans le cas ou A admet un generateur. On peut donc supposer A = mod(A), A etant une k-algebre de dimension nie. Le foncteur F est alors de la forme ? A M , ou M est un objet de Bimodk (A; B) qui est projectif de type ni sur B et delement plat sur A; autrement dit, on est dans la situation de l'exemple standard : L = _M A M est semi-transitif de type standard, et on a mod(A) ' comod(B : L). Le theoreme est donc verie dans ce cas. Venons-en maintenant au cas general. Nous aurons besoin de la notion suivante. Denition. Soit L un k-cogebrode de base B . On appelle desossage de L la donnee d'une famille inductive ltrante (Li )i2I de k-cogebrodes de base B , veriant : (i) L est la limite inductive des Li ; (ii) pour tout i, le morphisme i : Li ?! L est injectif; (iii) pour tout i, Li et le conoyau de i sont plats a gauche sur B . 5 Voir note 4. REMARQUE. Supposons que L admette un desossage (Li ). Cela implique que L est plat a gauche sur B . On identie Li a son image dans L. D'apres la proposition 3.2, la categorie Comod(B : Li ) s'identie a la sous-categorie strictement pleine de Comod(B : L) des comodules V dont la comultiplication est a valeurs dans V B Li ; c'est une souscategorie abelienne stable par sous-quotients. En outre, si V est un L-comodule a droite de type ni comme B -module, il existe i tel que V soit un Li -comodule, donc comod(B : L) est la reunion ltrante de ses sous-categories strictement pleines comod(B : Li ). Revenons a la demonstration du theoreme 5.2. Pour tout objet X de A , notons AX la sous-categorie strictement pleine de A dont les objets sont les sous-quotients des X n pour n 2 N. Notons F X la restriction de F a AX , et soit LX = Lk (F X ). La categorie AX admet X pour generateur, donc LX est semi-transitif de type standard, et on peut appliquer le theoreme 5.2. au foncteur F X : AX ?! Mod(B). Lemme 5.4. La famille inductive ltrante (LX ) est un desossage de L . Demonstration du lemme. On a A = ?! lim AX donc Lk (F ) = ?! lim Lk (F X ) (voir 4.3. X (iii)). D'autre part, soit Y est un objet de A ; appliquant le lemme 5.3. et la remarque qui le suit, on peut supposer que AX = mod(A) et que AY = mod(A=I), A etant une k-algebre de dimension nie, et I un ideal bilatere de A. Alors LX ' _M A M , ou M est un objet de Bimodk (A; B) delement plat sur A et projectif de type ni (donc plat) sur B ; en particulier LX est plat a gauche sur B . D'autre part, LY = _(M=IM) A=I (M=IM) ' _(M=IM) A M ; puisqu' en tant que B -modules, M ' F X (A) et M=IM ' F Y (A=I) sont projectifs de type ni, il en va de m^eme de IM et de _(IM), d'ou la suite exacte courte : 0 ?! _(M=IM) ?! _M ?! _(IM) ?! 0 et comme M est plat sur A, la suite : 0 ?! LY ?! LX ?! _(IM) A M ?! 0 est egalement exacte et le conoyau de LY ?! LX est plat a gauche. Par passage a la limite inductive le conoyau de LY ?! L est plat a gauche. ut Si L est un k-cogebrode de base B , considerons la condition : AB la categorie comod(B : L) est abelienne, et le foncteur oubli de comod(B : L) vers Mod(B) est exact. Notons que si L est un k-cogebrode de type standard, ou semi-transitif, il satisfait a AB. Lemme 5.5. Soit L un k -cogebrode de base B admettant un desossage (Li ) . Si les Li verient AB (resp. ST1, resp ST2, resp. ST3 et AB) il en va de m^eme pour L. En particulier, si les Li sont semi-transitifs, L est semi-transitif. Demonstration du lemme 5.5. D'apres la remarque sur les desossages, comod(B : L) est union ltrante de ses sous-categories strictement pleines comod(B : Li ); d'ou l'assertion sur ST1. En outre, si dans comod(B : Li ) les Hom sont de dimension nie, il en va de m^eme dans comod(B : L). Si chacun des Li satisfait a AB, l'inclusion comod(B : Li ) ,?! Comod(B : L) est un foncteur exact; on en deduit que L verie AB. En outre, comod(B : Li ) est une sous-categorie pleine de Comod(B : L) stable par quotients, donc par sous-quotients; par consequent, si les objets des categories comod(B : Li ) sont de longueur nie, il en va de m^eme des objets de comod(B : L). D'ou l'assertion sur AB et ST3. Supposons que les Li verient ST2, et soit V un L-comodule a droite, designant la coaction. Pour i 2 I posons V i = ?1 (V B Li ). Ainsi V est la reunion ltrante des V i . Verions l'inclusion V i V i B Li . On a ( B 1L ) V i = (1V B ) V i V B Li B Li donc V i ( B 1L )?1(V B Li B Li ) = V i B Li car Li est plat a gauche sur B . Ainsi V i est un objet de Comod(B : Li ) et, a ce titre, limite inductive ltrante d'objets de comod(B : Li ) comod(B : L), d'ou l'assertion a). ut Le cogebrode L admet un desossage par les cogebrodes LX qui sont semi-transitifs de type standard, d'ou l'assertion 1) du theoreme. D'autre part, le foncteur A ?! comod(B : L) induit une equivalence entre AX et comod(B : LX ) pour tout X . Or A (resp. comod(B : L)) est reunion ltrante de ses souscategories pleines AX (resp. comod(B : LX )); donc Fe est une equivalence de categories, et induit une equivalence de IndA vers Comod(B : L) en vertu de (5.1.), ce qui acheve la demonstration du theoreme. ut Le lemme suivant sera utile dans la section 7, mais il est plus commode de le demontrer maintenant. Lemme 5.6. Soient A et F comme dans l'enonce du theoreme 5.2, et soit X un objet de A . Alors avec les notations introduites ci-dessus, LX est l'image de _F (X) k F(X) dans L = Lk (F ) , et AX a pour image comod(B : LX ) dans l'equivalence A ?! comod(B : L) . Demonstration. Rappelons (section 4) que le k-cogebrode L = Lk (F ) est le quotient L de L0 = X 2Ob(A) _F(X) k F (X) qui rend commutatifs les diagrammes (Df ). Notons X l'image de _F(X) k F(X) dans L. Montrons qu'on a X = LX . On a vu au cours de la demonstration de (5.2.) que LX = P , pour P generateur projectif de AX , et qu'en outre, AP ' comod(B : LP ). Comme on a AX = AP , il ne reste plus qu'a demontrer LX = LP ; cela resulte de l'implication suivante : Y 2 Ob(AX ) =) Y X , dont la verication se decompose comme suit. 1) On a X Y = X + Y : considerer le diagramme Df , lorsque f est la projection de X Y sur X , puis sur Y . 2) Si Y est un sous-objet (resp. un quotient) de X , Y X : considerer le diagramme Df , ou f est le monomorphisme de Y vers X (resp. l'epimorphisme de X vers Y ). ut Consequences du theoreme 5.2. Le theoreme 5.2. permet de construire des k-cogebrodes semi-transitifs; la proposition suivante montre qu'on les obtient tous ainsi. Proposition 5.8. Soit L un k -cogebrode semi-transitif de base B , et U le foncteur oubli de comod(B : L) vers proj(B) . Alors le morphisme naturel de k -cogebrodes Lk (U) ?! L est un isomorphisme. Demonstration. Notons L0 = Lk (U). Le theoreme 5.2. s'applique au foncteur U , et en particulier le foncteur naturel Ue : comod(B : L) ?! comod(B : L0 ) est une equivalence de categories (c'est m^eme ici un isomorphisme de categories). D'autre part f induit par restriction un foncteur comod(B : L0) ?! comod(B : L) qui est par denition de f un inverse a gauche de Ue ; c'est donc une equivalence de categories. Par consequent, pour tout B -module a droite de type ni V , les coactions a droite de L0 sur V correspondent bijectivement a celles de L par l'application : 7! 0 = (1V B f) . Comme L verie ST2, le L-comodule a droite (L; ) est limite inductive ltrante d'objets de comod(B : L), d'ou une coaction a droite 0 de L0 sur L telle que (L; ) = f (L; 0). Soit g = (" B 1L )0 : L ?! L0 . C'est un inverse a droite de f . En eet, f g = f(" B 1L )0 = (" B 1L)(1L B f)0 = (" B 1L ) = 1L . Il sut donc de montrer que g est surjectif. On peut deja armer que l'inverse de est donne par 0 7! (1V B g). Par consequent si V est un objet de comod(B : L), la coaction naturelle de L0 sur V se factorise a travers 1V B g , et la eche naturelle _V k V ?! L0 se factorise a travers g . Le cogebrode L0 etant, par construction, engendre par les images des _V k V comme (B; B)-bimodule, on en deduit la surjectivite de g , d'ou la proposition. ut Corollaire 5.9. Un k -cogebrode semi-transitif admet un desossage en k -cogebrodes semi0 0 transitifs de type standard. ut Proposition 5.10. Si L est un k -cogebrode semi-transitif de base B , alors Lo est un k -cogebrode semi-transitif de base B o . Demonstration. Soit L un k-cogebrode semi-transitif de base B . Posons A = comod(B : L) et soit F le foncteur oubli A ?! proj(B). On a L ' Lk (F ). Soit F % le foncteur exact : Ao ?! proj(B o ) deni par X 7?! _F (X). On a Lk (F % ) ' Lo d'apres 4.3. (iv). Or, Lk (F % ) est semi-transitif d'apres le theoreme 5.2, d'ou l'assertion. ut Il en resulte que tout L-comodule a gauche est projectif comme B -module; en particulier, L est projectif, donc plat, comme B -module a gauche. Proposition 5.11. Soient L et L0 deux k -cogebrodes semi-transitifs de bases respectives B et B 0 . Soient V , W dans comod(B : L) et V 0 , W 0 dans comod(B 0 : L0 ) , et formons les L k L0 -comodules V k V 0 et W k W 0 . Alors Hom(V k V 0 ; W k W 0) ' Hom(V; W ) k Hom(V 0 ; W 0) : Demonstration. Posons L00 = L k L0 et B 00 = B k B 0 . D'apres (5.9.), L et L0 admettent chacun un desossage par des cogebrodes de type standard, (Li ) et (L0 j ) respectivement. Or on a le lemme suivant. Lemme 5.12.j Soient L et L0 deux k -cogebrodes de bases respectives B et Bj 0 . Soient (Li )i2I et (L0 )j 2J des desossages de L et L0 respectivement. Alors (Li k L0 )(i;j )2I J est un desossage de L k L0 . Demonstration du lemme. Il est clair que Li k L0 j est plat a gauche sur B k B 0 . Considerons la suite exacte courte 0 ?! Li k (L0 =L0j ) ?! (L k L0 )=(Li k L0j ) ?! (L=Li ) k L0 ?! 0 : Les termes extr^emes sont plats a gauche sur B k B 0 , donc le terme du milieu l'est aussi. ut Poursuivons la demonstration de la proposition.j On peut trouver i et j tels que V et W soient des Li -comodules et V 0 et W 0 des L0 -comodules; V k V 0 et W j k W 0 j i 0 sont alors des L k L -comodules. Or en vertu du lemme, comod(B 00 : Li k L0 ) est une sous-categorie pleine de comod(B 00 : L00). Quitte a remplacer L par Li et L0 par L0 i , on peut donc supposer que L et L0 sont de type standard. Alors L est de la forme _M A M , ou A est une k-algebre de dimension nie, M un objet de Bimodk (A; B) delement plat a gauche et projectif de type ni a droite, et comod(B : L) ' mod(A); et L0 admet une description similaire _M 0 A0 M 0 , de sorte que comod(B 0 : L0 ) ' mod(A0 ). Posons A00 = A k A0 et M 00 = M k M 0 . Alors L00 ' _M 00 A00 M 00 est de type standard, et comod(B 00 : L00) ' mod(A00 ). On se ramene donc au lemme suivant. Lemme. Soient A et A0 deux k -algebres de dimension nie, V , W deux A -modules de type ni, et V 0 , W 0 deux A0 -modules de type ni. Alors HomA (V; W ) k HomA0 (V 0 ; W 0) ' HomA k A0 (V k V 0 ; W k W 0 ) : Demonstration. Soit H = Homk (V; W ), H0 = HomA (V; W), H 0 = Homk (V 0; W 0), H00 = Hom0A (V; W ) et H 00 = Homk (V k V 0; W k W 0 ) ' H k H 0 . Alors f 2 H 00 est A-lineaire (resp. A0 -lineaire) si et seulement s'il est dans H0 k H 0 (resp. H k H00 ); on a (H0 k H 0 ) \ (H k H00 ) = H0 k H00 , d'ou le lemme. ut ut 6.|Cogebrodes geometriquement semi-transitifs Dans cette section, k sera toujours un corps commutatif. La notion de semi-transitivite qui a ete introduite dans le paragraphe precedent presente quelques inconvenients. Le produit tensoriel sur k de deux k-cogebrodes semitransitifs n'est pas necessairement semi-transitif, comme nous le verrons ci-apres; en outre, la semi-transitivite se comporte mal vis-a-vis des changements de scalaires; enn il n'est pas facile de verier qu'un cogebrode donne est semi-transitif. Pour ces raisons, on est amene a introduire une version plus forte de la semi-transitivite. Denition. Soit L un k-cogebrode de base B . On dira que L est geometriquement semi-transitif s'il verie les deux conditions suivantes : (i) L est projectif en tant que B o k B -module; (ii) la categorie comod(B : L) est localement de type ni (c'est la condition ST3). Soient L un k-cogebrode de base B , et K une extension de k. Alors L k K est naturellement muni d'une structure de K -cogebrode de base BK = B k K ; on notera LK le K -cogebrode ainsi obtenu. Ce changement de scalaires est une operation distincte du changement de base introduit dans la section 3. Theoreme 6.1. Soit L un k -cogebrode de base B . Les trois conditions suivantes sont equivalentes : a) L est geometriquement semi-transitif; b) pour toute extension K du corps k , LK est un K -cogebrode semi-transitif; c) il existe une extension parfaite K de k telle que LK soit un K -cogebrode semitransitif. Si le corps de base k est parfait, il est donc equivalent de dire d'un k-cogebrode qu'il est semi-transitif ou qu'il est geometriquement semi-transitif. Cette section sera essentiellement consacree a la demonstration du theoreme 6.1. Puisque b) =) c) est \trivial", on montrera a) =) b), puis c) =) a). Tout k-cogebrode geometriquement semi-transitif est semi-transitif : c'est une consequence immediate de la proposition suivante. Proposition 6.2. Soit L un k -cogebrode de base B , et supposons que L soit projectif en tant que B o k B -module. Alors : (i) tout L -comodule a droite est projectif en tant que B -module; (ii) la categorie comod(B : L) est abelienne, et le foncteur oubli U de comod(B : L) vers Mod(B) est dele exact; (iii) tout objet de Comod(B : L) est limite inductive ltrante d'objets de comod(B : L) . Demonstration. (i) Soient V un L-module a droite, et : V ?! V B L une coaction a droite de L sur V ; puisque admet la section 1V B ", le B -module a droite V est facteur direct de V B L; or, L est facteur direct d'un B o k B -module libre, et donc V est facteur direct d'une somme directe de copies de V B (B o k B) ' V k B , qui est un B-module libre car k est un corps; ainsi, V est un B -module projectif. (ii) resulte de la proposition 5.1, qui s'applique a L en vertu de (i). (iii) resulte de la proposition 3.3, car L est projectif comme B-module a gauche. ut L'implication a) =) b) du theoreme 6.1. resultera donc immediatement du lemme suivant. Lemme 6.3. Soient L un k -cogebrode de base B , et K une extension de k . Alors LK est geometriquement semi-transitif si et seulement si L est geometriquement semi-transitif. Demonstration. Considerons les conditions (i) et (ii) de la denition d'un cogebrode geometriquement semi-transitif. Alors L verie (i) si et seulement si LK la verie : c'est un cas particulier du lemme suivant. Lemme 6.4. Soient K une extension de k , A une k -algebre; notons AK = A k K , et soit N un A -module a droite; alors N est projectif () NK = N A AK est un AK -module projectif. Demonstration de 6.4. L'assertion =) est evidente. Supposons NK projectif, i.e. facteur direct d'un AK -module libre. Comme A-module, AK est libre, donc NK est projectif comme A-module; d'autre part N est facteur direct de NK comme A-module; il est donc projectif. ut On suppose donc que L et LK verient (i); en particulier la proposition 6.2. s'applique a ces deux cogebrodes. Supposons que LK verie (ii), et considerons le foncteur G : comod(B : L) ?! comod(BK : LK ) (V; ) 7?! (VK = V k K; k 1K ) : Les foncteurs oubli sont deles exacts, donc G l'est aussi, et tout objet de comod(B : L) est de longueur nie; en outre, l'application Hom(V; W) k K ?! Hom(G(V ); G(W )) est injective pour tous V; W objets de comod(B : L), donc Hom(V; W ) est de dimension nie, et L verie (ii). Reciproquement, supposons que L verie la condition (ii), i.e. ST3, et montrons que LK la verie aussi; le k-cogebrode L est geometriquement semi-transitif, donc en particulier semi-transitif, et il admet un desossage (Li ), les Li etant des k-cogebrodes de type standard. Alors les Li K sont des K -cogebrodes de type standard, et constituent un desossage de LK , donc ce dernier verie aussi ST3 en vertu du lemme 5.5. ut On a vu que tout k-cogebrode geometriquement semi-transitif est semi-transitif; la reciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant. EXEMPLE. Soient k un corps commutatif, et B une k-algebre. Alors B est naturellement muni d'une structure de k-cogebrode de base B qu'on note encore abusivement B. La categorie comod(B : B) s'identie a mod(B); ainsi B est un k-cogebrode semitransitif de base B si et seulement si B est une k-algebre de dimension nie veriant mod(B) = proj(B), autrement dit, une k-algebre de dimension nie semisimple. Or, si K est une extension nie non separable de k, K n'est pas projectif en tant que K k K -module, et K k K n'est pas une k-algebre semisimple. Ainsi K est un k-cogebrode semi-transitif de base K mais il n'est pas geometriquement semi-transitif, et K k K n'est pas semi-transitif en tant que k-cogebrode de base K k K . Cet exemple met en evidence un probleme de separabilite qui appelle les denitions suivantes. Denitions. Une categorie abelienne k-lineaire localement de type ni C est dite separable si pour tout objet simple S de C , le centre du corps End(S) est une extension separable de k. Un k-cogebrode semi-transitif de base B est dit separable si la categorie comod(B : L) est separable. Proposition 6.5. Soient L et L0 deux k -cogebrodes semi-transitifs de bases respectives B et B 0 . Si l'un au moins de ces deux k -cogebrodes est separable, alors L k L0 est un k -cogebrode semi-transitif de base B k B 0 . Demonstration. Supposons L separable, etj notons L00 = L k Lj0 . Les k-cogebrodes L et L0 admettent des desossages (Li ) et (L0 ), ou les Li et les L0 sont semi-transitifs de type standard; en outre les Li sont separables. Les Li k L0j constituent un desossage de L00 en vertu de (5.12.); par (5.5.), on peut donc supposer que L et L0 sont de type standard. Soit donc L = _M A M et L0 = _M 0 A0 M 0 , ou A et A0 sont deux k-algebres de dimension nie, M , et M 0 deux objets de Bimod(A; B) et Bimod(A0 ; B 0 ) respectivement, et supposons les foncteurs F =? A M : mod(A) ?! Mod(B) et F 0 =? A0 M 0 : mod(A0 ) ?! Mod(B 0 ) deles exacts, a valeurs dans les modules projectifs de type ni. On a comod(B : L) ' mod(A), et on fait l'hypothese que mod(A) est separable. Posons A00 = A k A0 , B 00 = B k B 0 et M 00 = M k M 0 . Alors L k L0 ' _M 00 A00 M 00 , donc L00 est de type standard; pour montrer qu'il est semi-transitif, il sut donc de verier que tout objet N 00 de mod(A00) satisfait a la condition : ( Q ) le B 00 -module a gauche N 00 A00 M 00 est projectif. Si N 00 est de la forme N k N 0 , ou N et N 0 sont des objets de mod(A) et mod(A0 ) respectivement, on a N 00 A00 M 00 ' F (N) k F 0(N 00 ), donc d'apres les hypotheses faites sur F et F 0 , N 00 verie ( Q ). D'apres Jordan-Holder, il sut de verier ( Q ) lorsque N 00 est un objet simple de mod(A k A0 ). Dans ce cas, N 00 est quotient d'un module de la forme N k N 0 , ou N et N 0 sont simples (exercice). Or on a le lemme suivant. Lemme 6.6. [2]. Soient A , A0 deux k -algebres de dimension nie, et N , N 0 deux objets simples de mod(A) et mod(A0 ) respectivement. On suppose que le centre de End(N) est separable sur k . Alors N k N 0 est un objet semisimple de mod(A k A0 ) . Demonstration du lemme. Quitte a quotienter A (resp. A0 ) par l'annulateur de N (resp. N 0 ) on peut supposer que N et N 0 sont deles. Alors A et A0 sont des k-algebres simples, et le centre de A est une extension separable de k, donc A k A0 est une k-algebre semisimple (cf. Bourbaki, Algebre, Chap. 8, x 7). ut Par consequent N 00 est facteur direct de N k N 0 , et satisfait donc ( Q ). ut Corollaire 6.7. Tout k -cogebrode semi-transitif separable est geometriquement semitransitif. Demonstration. Soit L un k-cogebrode semi-transitif de base B . Alors Lo est semitransitif (5.10.). Si L est separable, Lo k L est semi-transitif, d'apres (6.4). Or L est muni d'une structure de Lo k L-comodule a droite (cf. section 3). C'est donc un B o k B -module projectif, d'ou le corollaire. ut Si k est parfait, tout k-cogebrode semi-transitif est donc geometriquement semitransitif. L'implication c) =) a) du theoreme 6.1. en resulte gr^ace au lemme 6.3, ce qui acheve la demonstration de ce theoreme. ut 7.|Application aux bigebrodes de Hopf Soit k un anneau commutatif. Soit B une k-algebre commutative, et notons B la multiplication de B; c'est un morphisme de k-algebres de B k B vers B . Ainsi, si L est un k-cogebrode de base B, et si l'on considere L k L, qui est un k-cogebrode de base B k B, on peut former son image directe B (L k L) ' L B k B L, qui est un k-cogebrode de base B. D'autre part, B k B est naturellement muni d'une structure de k-cogebrode de base B . Denition. Un k -bigebrode de base B est un k-cogebrode L de base B muni d'une structure de B k B-algebre, veriant : 1) la structure de (B; B)-bimodule sous-jacente a la structure de k-cogebrode de L concide avec celle induite par sa structure de B k B -algebre; autrement dit, si designe la multiplication L B k B L ?! L et l'unite B k B ?! L , on a pour m dans L et x, y dans B : x m y = ((x y) m) = (m (x y)) 2) la multiplication : L B k B L ' B (L k L) ?! L est un morphisme de kcogebrodes de base B. 3) l'unite : B k B ?! L est un morphisme de k-cogebrodes de base B . Si L est un k-bigebrode de base B , on appelle respectivement source et but les morphismes de k-algebres s, b : B ?! L denis par s(x) = (1B x) et b(x) = (x 1B ). REMARQUE. Il s'agit de la notion introduite par Maltsiniotis, bien que la denition ici adoptee diere legerement de celle donnee dans [9]. On peut regretter qu'il faille supposer la base B commutative dans cette denition; cependant, j'ai d^u me resigner a faire cette hypothese, sans laquelle je ne peux, en toute generalite, formuler de relation de compatibilite satisfaisante entre le produit et le coproduit. Je vois deux raisons de penser que cette notion n'est pas mauvaise : (1) c'est exactement la notion dont on a besoin pour formuler les resultats tannakiens; (2) quand on etudie les proprietes des bigebres de Hopf (ou si l'on prefere, des groupes quantiques) on a envie de considerer un bigebrode de base B comme un outil permettant d'etudier les proprietes de familles de bigebres de Hopf parametrees par Spec (B); dans cette optique de theorie de la deformation, on n'a pas de raison particuliere de souhaiter que l'espace des parametres soit \non commutatif". Si L et L0 sont deux k-bigebrodes de base B , un morphisme de k -bigebrodes de L vers L0 est un morphisme de k-cogebrodes qui est aussi un morphisme de B k B -algebres. On denit ainsi la categorie Bigk (B) des k-bigebrodes de base B . Tout morphisme de k-algebres commutatives f : B ?! B 0 induit par changement de base un foncteur f : Bigk (B) ?! Bigk (B 0 ). Si L est un k-bigebrode de base B , de cogebrode sous-jacent L, de produit et d'unite , on notera Lo le k-bigebrode de base B , de cogebrode sous-jacent Lo , de produit o , et d'unite o = , ou est l'echange des facteurs de B k B . Denition. Soit L un k-bigebrode de base B . Un antipode de L est un morphisme de (B; B)-bimodules i : L ?! Lo tel que le diagramme suivant soit commutatif : L B L i B 1L w Lo B L s " L wL u u u L B L 1L B i w L B Lo wB b u wL Si un antipode existe, il est unique; c'est un morphisme de k-bigebrodes de L vers Lo [9]. Cependant il n'est pas necessairement bijectif. On dira que L est un k -bigebrode de Hopf s'il admet un antipode bijectif. REMARQUE. Un k-bigebrode (de Hopf) de base k est exactement une k-bigebre (de Hopf). D'autre part, comme nous le verrons dans la section 8, la donnee d'un bigebrode de Hopf commutatif (en tant qu'algebre) equivaut a celle d'un groupode algebrique ane. EXEMPLE. Soient C une categorie monodale (essentiellement petite), et ! un foncteur monodal de C vers proj(B). Alors Lk (!) est naturellement muni d'une structure de kbigebrode de base B. Cela resulte des proprietes de fonctorialite enumerees au 4.3. D'apres 4.3. (v), on a un isomorphisme Lk (!) B k B Lk (!) ' Lk (! B !). D'autre part, l'isomorphisme fonctoriel ! B ! ' ! induit un isomorphisme de k-cogebrodes entre Lk (! B !) et Lk (! ); enn on a un morphisme naturel de k-cogebrodes de Lk (! ) vers Lk (!), d'ou par composition la multiplication : Lk (!) B k B Lk (!) ?! Lk (!). De m^eme, soit la categorie monodale initiale (qui a un seul objet et un seul morphisme) et I l'unique foncteur monodal de vers C . Alors Lk (! I) ' B k B et est le morphisme naturel B k B ' Lk (! I) ?! Lk (!). On notera Endk (!) le k-bigebrode ainsi deni. Si f : B ?! B 0 est un morphisme de k-algebres commutatives, on a Endk (! B B 0 ) ' f Endk (!) (voir 4.3. (i)). Lorsque C est une categorie monodale symetrique et ! est un foncteur monodal symetrique, Endk (!) est commutatif. Lorsque C est une categorie monodale autonome a gauche, Endk (!) admet un antipode. Si C est autonome, Endk (!) est un k-bigebro de de Hopf, qu'on notera Autk (!). En eet, l'isomorphisme naturel !(_A) ' !(A) induit par 4.3. (iv) un isomorphisme de k-cogebrodes entre Lk (! _?) et Lk (!)o ; on a d'autre part un morphisme naturel de Lk (! _?) vers Lk (!); d'ou par composition un morphisme i de Lk (!) vers Lk (!)o qui est un antipode de Endk (!). Si C est autonome, le foncteur _? est une equivalence de categories, donc le morphisme naturel de Lk (! _?) vers Lk (!) est un isomorphisme, ainsi que i. Representations d'un bigebrode de Hopf. Soit L un k-bigebrode de base B . On appelle representation de L tout L -comodule a droite; une representation de type ni de L est une representation de L dont le B -module sous-jacent est de type ni. Soient V , V 0 deux L -comodules a droite. Alors V k V 0 est un L k L -comodule a droite, donc par le changement de base B : B k B ?! B , V B V 0 = B (V k V 0) est un B (L k L)-comodule a droite. On en deduit, via la multiplication : B (L k L) ?! L (qui est un morphisme de cogebrodes), une coaction a droite de L sur V B V 0 ; d'ou un bifoncteur B : Comod(B : L) Comod(B : L) ?! Comod(B : L) : D'autre part, s : B ?! L ' B B L est une coaction a droite de L sur B , d'ou une representation de L appelee representation unite, et notee I . Les endomorphismes de I sont les x 2 B veriant s(x) = b(x). Avec les contraintes d'associativite et d'unite heritees de Mod(B), la categorie des representations de L devient une categorie monodale : c'est une categorie de Penrose, qu'on notera Rep(B : L); on designe par rep(B : L) la sous-categorie monodale pleine de Rep(B : L) des representations de type ni. Le foncteur oubli U : Rep(B : L) ?! Mod(B) est, par construction, muni d'une structure monodale. Si L est un k-bigebrode de Hopf, toute representation de L dont le B -module sousjacent est projectif de type ni admet un dual a droite et un dual a gauche. En eet, soit V une telle representation. Nous avons vu dans la section 3 que V = _V est naturellement muni d'une structure de Lo -comodule a droite. Via le morphisme de k-cogebrodes i : Lo ?! L (resp. i?1 : Lo ?! L ), on obtient une structure de L -comodule a droite sur V qui en fait un dual a gauche (resp. a droite) de V (avec l'evaluation et la coevaluation usuelles). Bigebrodes transitifs. Soient k un corps commutatif, et B une k-algebre commutative. Denition. Un k-bigebrode L de base B est dit transitif (resp. geometriquement transitif) si c'est un k-bigebrode de Hopf qui verie les conditions suivantes : 1) le k-cogebrode de base B sous-jacent a L est semi-transitif (resp. geometriquement semi-transitif); 2) on a B 6= 0, et tout x 2 B tel que s(x) = b(x) est dans k. REMARQUES SUR LA DEFINITION. Soit I la representation unite de L . La condition 2) signie End(I) = k, car on a End(I) = fx 2 B t.q. s(x) = b(x)g . Pour que L soit transitif (resp. geometriquement transitif), il sut qu'il verie la condition 2), et que le k-cogebrode sous-jacent L verie ST1 et ST2 (resp. soit projectif comme B k B-module). En eet, dans un cas comme dans l'autre, il s'agit de verier que L verie ST3. Or, comod(B : L) est abelienne, et le foncteur oubli U : comod(B : L) ?! Mod(B) est dele exact, a valeurs dans proj(B), par 5.1. (resp. 6.2.). La categorie monodale rep(B : L) est donc k-tensorielle (c'est ici que End(I) = k intervient), autonome (car les representations de type ni sont projectives comme B -modules), et le foncteur oubli est un foncteur bre non trivial; d'apres (2.5.), rep(B : L) est localement de type ni, d'ou ST3. Theoreme 7.1. 1) Soient T une categorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite) et ! un foncteur bre non trivial de T sur Spec (B) . Alors le k -bigebrode de Hopf Autk (!) est transitif, et ! induit une equivalence de categories monodales !e : T ?! rep(B : Autk (!)) qui s'etend en une equivalence de categories monodales Ind(T ) ?! Rep(B : Autk (!)): 2) Soit L un k -bigebrode de Hopf transitif de base B , et supposons B non nul. Alors rep(B : L) est une categorie k -tensorielle autonome, le foncteur oubli U de rep(B : L) vers Mod(B) est un foncteur bre, et le morphisme naturel Autk (U) ?! L est un isomorphisme de k -bigebrodes de base B . Demonstration du theoreme 7.1. 1) La categorie T est abelienne k-lineaire, localement de type ni; en outre le foncteur ! est dele, exact, et a valeurs dans proj(B) (cf. 2.2, 2.3, et 2.5.). D'apres le theoreme 5.2, le k-cogebrode sous-jacent a L = Autk (!) est semi-transitif, la categorie T est equivalente a comod(B : L), et Ind(T ), a Comod(B : L). Ces equivalences sont naturellement munies d'une structure monodale. La representation unite de L s'identie donc a l'objet unite I de T , et comme on a End(I) = k, L est transitif. 2) Soit L un k-bigebrode de Hopf transitif de base B . Comme on l'a vu dans la remarque ci-dessus, la categorie rep(B : L) est k-tensorielle autonome, et le foncteur oubli U est naturellement muni d'une structure monodale qui en fait un foncteur bre non trivial. Le morphisme naturel de k-cogebrodes L ' Lk (U) est donc un isomorphisme, d'apres la proposition 5.8. On verie que c'est un morphisme d'algebres. ut Proposition 7.2. Soit L un k -bigebrode de Hopf transitif de base B . Alors toute representation non nulle de L est projective et delement plate comme B -module. Demonstration. Toute representation de L est projective, donc plate, comme B module; en outre elle est limite inductive ltrante de ses sous-representations de type ni (5.1. et ST2). Il sut donc de verier que toute representation de type ni, non nulle, est delement plate. Soit C une B -algebre commutative non nulle. Le foncteur monodal ! de rep (B : L) vers Mod(C) qui a toute representation V de L associe le C -module V B C, est exact a droite; c'est donc un foncteur bre, non trivial; d'apres (2.3.) il est dele, d'ou la proposition. ut Les k-bigebrodes de Hopf geometriquement transitifs admettent une caracterisation particulierement simple. Denition. Un k-bigebrode de Hopf transitif est dit separable si le k-cogebrode sousjacent est separable, autrement dit si pour toute representation simple de type ni V , le centre du corps End(V ) est une extension separable de k. Si L est un k-bigebrode de base B , notons LK le K -bigebrode L k K , de base BK = B k K , obtenu a partir de L par changement de scalaires. Proposition 7.3. Soit L un k -bigebrode de Hopf de base B . Les conditions suivantes sont equivalentes : a) L est geometriquement transitif; b) L est projectif et delement plat comme B k B -module, et B 6= 0 ; c) Pour toute extension K de k , le K -bigebrode de Hopf LK est transitif de base BK . Demonstration. a) =) b). Soit L un k-bigebrode de Hopf de base B , et soit I sa representation unite. Supposons L geometriquement transitif, ce qui signie qu'il est projectif comme B k B-module, et que End(I) = k (cf. les remarques qui precedent le theoreme 7.1.). Alors Lo est un k-bigebrode de Hopf geometriquement transitif de base B; notons I o sa representation unite. Soit Le = Lo k L ; c'est un k-bigebrode de Hopf de base B e = B k B , projectif en tant que B e B e -module, et de representation unite I e = I o k I . D'apres la proposition 5.11, on a End(I e ) = End(I o ) k End(I) = k, donc Le est geometriquement transitif, et en particulier transitif; ainsi L , naturellement muni d'une coaction a droite de Le , est delement plat sur B k B en vertu de 7.2. b) =) a) et c). Supposons que L verie b). La condition de dele platitude entra^ne l'injectivite de l'unite : B k B ?! L et donc tout x 2 B veriant s(x) = b(x) est dans k. Ainsi, les endomorphismes de l'objet unite se reduisent a k. Comme L est projectif comme B k B-module, il est donc geometriquement transitif (d'ou a)), et en particulier transitif. D'autre part, si L verie la condition b), LK la verie pour toute extension K de k, d'ou c). c) =) b). Soit L veriant c), et K une extension parfaite de k (par exemple, sa cl^oture algebrique). Alors LK est transitif separable, donc geometriquement transitif (6.7.), et il verie donc b). Il resulte alors du lemme 6.4. et de la dele platitude de K sur k, que L verie b), d'ou la proposition 7.3. ut REMARQUE. Deligne montre dans [2] que tout k-bigebrode de Hopf transitif commutatif est geometriquement transitif; j'ignore encore si cela reste vrai dans le cadre non commutatif, lorsque k n'est pas parfait. E tant donnes une categorie k-tensorielle autonome (essentiellement petite) T et un foncteur bre non trivial ! de T sur Spec (B), il est utile de preciser dans quels cas le k-bigebrode transitif Autk (!) est de type ni en tant que B k B -algebre. (En eet, la moindre des choses qu'on puisse exiger d'un groupe quantique est qu'il soit de type ni en tant qu'algebre.) Denition. La categorie k-tensorielle autonome T est dite de type -ni s'il existe un objet X de T tel que tout objet soit sous-quotient d'un X n , n 2 N. Proposition 7.4. Les conditions suivantes sont equivalentes : (1) Le k -bigebrode de Hopf Autk (!) est une B k B -algebre de type ni; (2) la categorie k -tensorielle autonome T est de type -ni. Demonstration. Pour X objet de T , soit LX l'image de _!(X) k !(X) dans L = Lk (!). On a montre les faits suivants dans la section 5 (cf. (5.4.) et (5.6.)) : 1) les LX constituent un desossage de L; 2) les sous-quotients des multiples de X correspondent aux LX -comodules dans l'equivalence de categories !e : T ?! comod(B : L); 3) si Y est un objet de T X , LY LX . D'autre part, on a LX LY = LX Y par denition du produit de L = Autk (!). Par consequent,Ppour ntout objet X de T , la sous-algebre de L = Autk (!) engendree par LX est C X = LX . d'un X n . Alors C X contient nSupposons que tout objet de YT soit sous-quotient X X L pour tout n, donc tous les L , d'ou C = L , ce qui demontre (2) ) (1). Reciproquement, supposons L de type ni comme B k B -algebre. Il existe un objet Y de T tel que C Y = L ; quitte a remplacer Y par Y I , on peut supposer nque Y n est un sous-objet de Y n+1 ; L = C Y est alors la reunion croissante des L nY . Posons X = Y I . Pour tout objet Z de T , il existe n tel que !e (Z) soit un LY -comodule, autrement dit, que Z soit un sous-quotient d'un multiple de Y n , et donc d'un X m , d'ou (1) ) (2). ut Unicite du foncteur bre et isomorphismes quantiques. REMARQUES. Soit k un anneau commutatif. Soient C une categorie monodale (essentiellement petite), B1 , B2 deux k-algebres commutatives et !1 , !2 deux foncteurs monodaux de C vers proj(B1 ) et proj(B2 ) respectivement. On a alors les faits suivants. 1) Lk (!1; !2) est naturellement muni d'une structure de (B1 k B2 )-algebre. En eet, considerons le foncteur monodal ! = !1 !2 de C vers proj(B1 B2 ); soit L le kbigebrode Endk (!), de base B = B1 B2 ; alors, en vertu de 4. 3. (i), Lk (!1 ; !2) s'identie a B1 B L B B2 , d'ou la structure de B1 k B2 -algebre en question. Il est utile de donner une description plus explicite de cette structure d'algebre. Pour X objet de C , posons X = _!1 (X) k !2 (X), et notons aX le morphisme naturel X ?! Lk (!1 ; !2). Les structures monodales induisent des isomorphismes naturels X;Y : X B k B Y ?! 1 2 X Y et 0 : B1 k B2 ?! I . Alors la multiplication et l'unite de Lk (!1 ; !2) sont denies par : (aX B k B aY ) = aX Y X;Y et = aI 0 . On designe par Homk (!2; !1) cette algebre (l'interversion est signicative). Si C est autonome, on la note Isok (!2 ; !1). 2) Soit C une B1 k B2 -algebre commutative (cette hypothese est essentielle). Un morphisme de (B1 ; B2)-bimodules ' : Homk (!2 ; !1) ?! C correspond bijectivement a un morphisme fonctoriel de B2 -modules 'e : !2 ?! !1 B C , et donc aussi a un morphisme fonctoriel de C -modules 'b : !2 B C ?! !1 B C . On verie (en utilisant la description explicite de la structure d'algebre de Homk (!2 ; !1) donnee ci-dessus) que 'b est monodal si et seulement si ' est un morphisme d'algebre. Ainsi, les morphismes fonctoriels monodaux de !2 B C vers !1 B C sont en bijection naturelle avec les morphismes de B1 k B2 -algebres de Homk (!2 ; !1) vers C . 3) Lorsque Homk (!2; !1) est une algebre commutative, elle represente donc le foncteur de la categorie des B1 k B2 -algebres commutatives vers E ns deni par 1 2 1 2 1 2 1 C 7?! fmorphismes fonctoriels monodaux de !2 B C vers !1 B C g ; 1 2 ce qui justie la notation. Ces remarques inspirent la denition suivante. On suppose desormais que k est un corps commutatif. Denition. Soient T une categorie k-tensorielle autonome (essentiellement petite), B1 et B2 deux k-algebres commutatives, et !1 , !2 deux foncteurs bres de T sur Spec B1 et Spec B2 respectivement. On dit que !1 et !2 sont localement isomorphes au sens fpqc 6 s'il existe une B1 k B2 algebre delement plate C telle que les foncteurs bres !1 B C et !2 B C de T sur Spec C soient isomorphes. Proposition 7.5. Supposons k parfait. Soient !1 et !2 deux foncteurs bres non triviaux de T sur Spec B1 et Spec B2 respectivement. Si Isok (!2; !1) est commutatif, !1 et !2 sont localement isomorphes au sens fpqc. (C'est le cas en particulier si T , !1 et !2 sont 1 symetriques.) 2 Demonstration. Soit ! = !1 !2 , et B = B1 B2 . D'apres le theoreme 7.1, le kbigebrode de Hopf L = Autk (!) est transitif, donc geometriquement transitif, de base B ; d'apres (7.3.) il est delement plat sur B k B . Soit C = Isok (!2; !1) = B1 B L B B2 . C'est une B1 k B2 algebre commutative delement plate, et la remarque 3) s'applique; les foncteurs bres !1 et !2 , deviennent isomorphes apres tensorisation par C . ut REMARQUE. En general, Isok (!2 ; !1) n'est pas commutatif, et peut m^eme n'admettre aucun quotient commutatif non nul. Aussi est-on amene a introduire une notion plus faible d'isomorphisme, qui permet d'enoncer un resultat d'unicite du foncteur bre en toute generalite. On suppose desormais que k est parfait. Denition. Soient T une categorie k-tensorielle autonome (essentiellement petite), et !1 , !2 deux foncteurs bres non triviaux de T . On dira que !1 et !2 sont quantiquement isomorphes si Isok (!2; !1) n'est pas nul. 6 C'est-a-dire delement plat quasi-compact. Denition. On dira que deux k-bigebrodes de Hopf transitifs L1 et L2 , de bases respectives B1 et B2 , sont quantiquement isomorphes s'il existe un k-bigebrode de Hopf transitif L , de base B, et deux morphismes d'algebres de B vers B1 et B2 respectivement, de telle sorte que chacun des Li soit isomorphe au k-bigebrode de Hopf de base Bi obtenu a partir de L par changement de base. On a alors le theoreme d'unicite suivant : Theoreme 7.6. (On suppose k parfait.) 1) Soit T une categorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite). Si !1 et !2 sont deux foncteurs bres non triviaux de T sur Spec B1 et Spec B2 respectivement, alors !1 et !2 sont quantiquement isomorphes; qui plus est, Isok (!2; !1) est projectif et delement plat sur B1 k B2 ; enn, Autk (!1 ) et Autk (!2) sont quantiquement isomorphes. 2) Deux k -bigebrodes transitifs sont quantiquement isomorphes si et seulement s'il existe une equivalence monodale k -lineaire entre leurs categories de representations de type ni. Demonstration. 1) Posons B = B1 B2 , et considerons le foncteur bre ! = !1 !2 de T sur Spec B; soit L = Autk (!). Alors L est geometriquement transitif de base B = B1 B2 , donc projectif et delement plat sur B k B . Par consequent Isok (!2; !1) est projectif, delement plat sur B1 k B2 , et en particulier non nul. En outre Autk (!1 ) et Autk (!2) s'obtiennent a partir de L par les changements de base denis par les projections B ?! B1 et B ?! B2 . 2) Notons Ui le foncteur oubli rep(Bi : Li) ?! Mod(Bi ). Supposons donnee une equivalence de categories monodales a : rep(B1 : L1) ?! rep(B2 : L2). Alors U1 et U2 a sont des foncteurs bres non triviaux de rep(B1 : L1 ); il resulte de l'assertion 1) que Autk (U1 ) et Autk (U2 a) sont quantiquement isomorphes; or on a Autk (Ui ) ' Li d'apres le theoreme 7.1, et Autk (U2 a) ' Autk (U2 ) car a est une equivalence de categories monodales, donc L1 et L2 sont quantiquement isomorphes. Reciproquement, supposons qu'il existe un morphisme d'algebres f : B1 ?! B2 tel que L2 = f L1 ; alors U1 B B2 est un foncteur bre non trivial de rep(B1 : L1 ); on a Autk (U1 B B2 ) ' f Autk (U1 ) ' L2 , donc d'apres le theoreme 7.1, rep(B1 : L1) est monodalement equivalente a rep(B2 : L2). ut 1 1 L'exemple de Maltsiniotis. Soit k un corps commutatif. Rappelons que, pour p0 , q0 non nuls dans k, on denit un groupe quantique Gl(2)p ;q de la facon suivante. Tout d'abord on construit une kbigebre Mp ;q : en tant que k-algebre, Mp ;q est engendree par des indeterminees a, b, c, d, avec les relations suivantes : ba = q0ab; dc = q0cd; ca = p0 ac; db = p0 bd; q0cb = p0bc; q0da = q0ad + (p0q0 ? 1)bc : Le coproduit : Mp ;q ?! Mp ;q k Mp ;q et la counite " : Mp ;q ?! k sont les morphismes d'algebres denis par les formules suivantes : (a) = a a + b c; (b) = a b + b d; (c) = c a + d c; (d) = c b + d d; "(a) = "(d) = 1; "(b) = "(c) = 0 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L'element = ad ? q0?1 bc verie Mp ;q = Mp ;q , () = et "() = 1. On pose Gl(2)p ;q = Mp ;q [ ?1 ]; alors Gl(2)p ;q herite de Mp ;q une structure de k-bigebre. En outre, il existe un anti-homomorphisme d'algebre unique i de L dans L veriant : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i(a) = d ?1; i(b) = ?q0b ?1 ; i(c) = ?q0?1 c ?1 ; i(d) = a ?1 ; et c'est un antipode bijectif de Gl(2)p ;q . Proposition 7.7. Soient p1 , q1 , p2 , q2 non nuls dans k . Les groupes quantiques Gl(2)p ;q et Gl(2)p ;q sont quantiquement isomorphes lorsqu'on a p1 q1 = p2 q2 . La reciproque est vraie, mais nous ne la demontrerons pas. Pour demontrer 7.7, nous allons utiliser un bigebrode de Hopf L construit par Maltsiniotis de la facon suivante [9]. Soient p, q des indeterminees, et notons B l'algebre des polyn^omes de Laurent k[p; q; p?1; q?1]. Dans B k B , soit ps = 1 p, qs = 1 q, pb = p 1 et qb = q 1. Soit L0 la B k B -algebre engendree par les indeterminees a, b, c, d, avec les relations : 0 0 1 2 1 2 ba = qsab; dc = qs cd; ca = pb ac; db = pb bd; qscb = pb bc; qbda = qsad + (psqs ? 1)bc; ps qs = pbqb : On denit des morphismes d'algebre : L0 ?! L0 B L0 et " : L0 ?! B par les formules suivantes : (ps ) = 1 ps; (qs) = 1 qs ; (pb ) = pb 1; (qb) = qb 1; (a) = a a + b c; (b) = a b + b d; (c) = c a + d c; (d) = c b + d d; "(ps ) = "(pb ) = p; "(qs ) = "(qb) = q; "(a) = "(d) = 1; "(b) = "(c) = 0 : Ainsi, L0 est muni d'une structure de k-bigebrode de base B . Soit = ad ? qs?1 bc 2 L0 . Alors L0 = L0 , () = , et "() = 1. Soit L l'algebre L0[ ?1]. Alors L herite de L0 une structure de k-bigebrode de base B . En outre, il existe un anti-homomorphisme d'algebres unique i de L dans L veriant : i(ps ) = pb ; i(qs ) = qb; i(pb ) = ps; i(qb ) = qs; i(a) = d ?1; i(b) = ?qbb ?1 ; i(c) = ?qs?1c ?1 ; i(d) = qs?1 qba ?1 ; et c'est un antipode bijectif de L . Ainsi, L est un k-bigebrode de Hopf de base B : c'est l'exemple de Maltsiniotis. REMARQUE. Soient p0 et q0 deux elements non nuls de k, et j0 : B ?! k le morphisme d'algebres deni par p ?! p0 et q ?! q0 . Alors la k-bigebre de Hopf j0 L n'est autre que le groupe quantique Gl(2)p ;q . Notons que L ne peut pas ^etre transitif : a cause de la relation ps qs = pbqb , l'unite B k B ?! L n'est pas injective. On peut y remedier de la facon suivante. Soient r un element non nul de k, et Br = B=(pq = r). Soit Lr le k-bigebrode de Hopf de base Br obtenu a partir de L par changement de base (autrement dit, en ajoutant la relation r = psqs (= pb qb)). Alors Lr est transitif. (En eet, on verie que Lr 0 0 est un Br k Br -module libre admettant pour base la famille des mon^omes de la forme aj bk cl dm ?n , ou (j; k; l; m; n) 2 N4 avec inf(j; m) = 0 ou n = 0.) Si p1q1 = p2q2 = r, Gl(2)p ;q et Gl(2)p ;q s'obtiennent a partir de Lr par changement de base : ils sont donc quantiquement isomorphes. ut REMARQUE. La bigebre de Hopf Gl(2)p ;p? n'est pas commutative si p0 6= 1; or elle est, d'apres la proposition, quantiquement isomorphe a Gl(2)1;1 , qui est une bigebre de Hopf commutative. Il me semble que la morale de tout ceci est qu'il faudra considerer un groupe quantique non comme la donnee d'une bigebre de Hopf, mais comme la donnee d'une classe d'isomorphisme quantique de bigebres de Hopf (ce qui revient a se donner la categorie de ses representations de type ni). Naturellement, il faudra faire des hypotheses plus fortes que cela, si on veut eviter des objets trop pathologiques : vraisemblablement, il faudra supposer que la categorie des representations soit un \tortil" (c'est-a-dire qu'elle soit tressee et balancee [4]). 1 1 2 0 2 0 1 8|Deux cas particuliers Le cas des bigebres de Hopf Soit k un corps algebriquement clos, T une categorie k-tensorielle autonome. Si T admet un foncteur bre non trivial ! sur un k-schema S de type ni, alors elle admet un foncteur bre sur Spec (k), car S a au moins un point a valeurs dans k. Le theoreme 7.1. et la proposition 7.4. prennent la forme suivante lorsque la base B est reduite au corps de base k. Theoreme 8.1. Soit k un corps commutatif. 1) Soit T une categorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite) et ! un foncteur bre de T sur Spec(k) . Alors ! induit une equivalence de categories monodales !e : T ?! rep(Autk (!)) qui s'etend en une equivalence de categories monodales Ind(T ) ?! Rep(Autk (!)) : En outre, la k -bigebre de Hopf Autk (!) est de type ni comme k -algebre si et seulement si T est de type -ni. 2) Si L est une k -bigebre de Hopf non nulle, et U le foncteur oubli de rep(L) vers vect(k) , le morphisme naturel Autk (U) ?! L est un isomorphisme de k -bigebres. ut REMARQUE. Cette situation a deja ete etudiee en detail, voir notemment [5], [6], [8], [11], [12], [13], [14]. Il est important de noter que la demonstration directe du theoreme 8.1. est beaucoup plus simple que celle du theoreme 7.1. La raison en est qu'une k-cogebre est toujours un k-cogebrode geometriquement semi-transitif, car un module sur un corps est toujours projectif. L'inter^et du theoreme 7.1. est ailleurs. D'une part, il permet de tra^ter les cas ou il n'existe pas de foncteur bre sur Spec (k); cela peut se produire notamment lorsque k n'est pas algebriquement clos. D'autre part, il permet de travailler sur des familles de bigebres de Hopf dependant d'un ou plusieurs parametres, comme dans l'exemple de Maltsiniotis (section 7) : on peut voir un bigebrode de Hopf transitif comme la donnee d'une famille de bigebres de Hopf deux a deux quantiquement isomorphes. Les resultats tannakiens classiques. Les resultats tannakiens classiques se formulent en termes de k-groupodes algebriques, et non de k-bigebrodes. Il s'agit maintenant de faire le lien entre ces notions : les resultats classiques seront alors consequence du theoreme 7.1. (au moins pour k parfait). Soit k un corps commutatif. Un k -groupode (algebrique) est un groupode dans la categorie des k-schemas. De facon explicite, c'est la donnee | de deux k-schemas G et S , | de deux morphismes s et b de G vers S appeles respectivement source et but, | d'un morphisme de S S -schemas : b Gs S b Gs ?! b Gs appele composition, astreinte a la condition que nous allons maintenant formuler. Soit T un k-schema. On note G(T) et S(T) l'ensemble des morphismes de T vers G et S respectivement. Alors s et b induisent des applications sT , bT de G(T) vers S(T ), et induit une loi de composition T partiellement denie sur G(T). On demande que pour tout T , ces donnees denissent un petit groupode (ensembliste) G (T ) dont les eches sont les elements de G(T ) et les objets, les elements de S(T). Ainsi on denit un foncteur contravariant G de la categorie des k-schemas vers la categorie des petits groupodes. Le k-groupode sera generalement designe par la seule lettre G; le schema S est la base du groupode. Le k-groupode G est dit ane si le morphisme (s; b) : G ?! S S est ane. Il est dit transitif si (s; b) est couvrant pour la topologie fpqc. A present, soit B une k-algebre commutative, S = Spec B , et G un k-groupode ane de base S . Alors la k-algebre L = O(G) est naturellement munie d'une structure de k-bigebrode de Hopf commutatif de base B . Reciproquement, si L est un k-bigebrode de Hopf commutatif de base B , alors G = Spec L devient naturellememt un k-groupode ane de base S = Spec B. En outre, lorsque G et L se correspondent ainsi, la donnee d'une representation de G est equivalente a la donnee d'un L -comodule a droite. Tout morphisme de schemas anes p : T ?! S denit par changement de base un k-groupode de base T note p G; a toute representation de G correspond fonctoriellement une representation de p G notee pV . Theoreme 8.2. Soit L un k -bigebrode de Hopf commutatif de base B 6= 0 , et G le k groupode associe. Alors G est transitif si et seulement si L est geometriquement transitif. Demonstration du theoreme. Conservons les notations ci-dessus. Rappelons que si f : X ?! Y est un morphisme de k-schemas anes, f est couvrant pour la topologie fpqc si et seulement s'il existe T ane et un morphisme g : T ?! X tel que T soit delement plat sur Y ; c'est en particulier le cas si X lui-m^eme est delement plat sur Y . Or si L est geometriquement transitif, il est delement plat sur B k B , d'apres (7.3.), et donc G est transitif. Supposons a present G transitif, et montrons que L est geometriquement transitif si B 6= 0. Si K est une extension de k, le K -groupode GK = Spec LK , obtenu a partir de G par changement de scalaires, est encore un K -groupode transitif; de sorte qu'en vertu de (7.3.), il sut de montrer que L est transitif. Or il resulte de la transitivite de G que l'unite : B k B ?! L est injective; on a donc End(I) = k si B 6= 0. Il sut donc de verier que le k-cogebrode L sous-jacent a L satisfait aux conditions ST1 et ST2. Cela reposera sur le lemme suivant. Lemme 8.3. Soit G un k -groupode ane transitif de base S . Soit P une propriete de S -schemas anes. On suppose que P verie les conditions suivantes : (1) soit p : T ?! S et q : T 0 ?! T ; alors P (p) ) P (pq) ; (2) avec les m^emes notations, si q est delement plat, alors P (pq) ) P (p) ; (3) soit T un k -schema ane, et p , q deux morphismes de T vers S , c'est-a-dire deux elements de S(T) . Si p et q sont isomorphes dans G (T) , alors P (p) , P (q) ; Alors si P est veriee par un S -schema ane non vide, elle est veriee par tous. Demonstration du lemme. Soit T un schema ane, et 1 , 2 deux elements de S(T ). Nous dirons que 1 et 2 sont localement isomorphes (au sens fpqc) s'il existe un schema ane T 0 et un morphisme q de T 0 vers T tel que T 0 soit delement plat sur T , et que 1q et 2q soient isomorphes dans G (T 0 ). Si 1 et 2 sont localement isomorphes, alors P (1 ) , P (2). Montrons que lorsque G est transitif, deux elements de S(T) sont toujours localement isomorphes. La transitivite se traduit par l'existence d'un schema ane Z et d'un morphisme Z ?! G de telle sorte que Z soit delement plat sur S S . Soit pr1 , pr2 les deux projections de S S sur S , et le morphisme de Z vers S S . Le fait que se releve a G signie que pr1 et pr2 sont isomorphes dans G (Z). Ainsi, pr1 et pr2 sont localement isomorphes. Soit a present 1 , 2 2 S(T ); alors i = pri(1; 2), donc 1 et 2 sont localement isomorphes. Considerons T1 , T2 deux schemas anes, et q1 2 S(T1 ), q2 2 S(T2 ). Soit T = T1 T2 , pi la projection de T sur Ti , i = qipi (pour i = 1, 2). Alors P (qi ) , P (i) et P (1 ) , P (2 ), d'ou le lemme. ut Nous allons utiliser ce lemme a trois reprises. E tant donne un S -schema ane p : T ?! S , et une representation V de G, soit P la propriete : p V est un O(T )-module plat. Il est clair que la propriete P verie les conditions (1), (2), (3) du lemme; elle est vraie lorsque T est le spectre d'un corps; elle est donc toujours vraie. Ainsi toute representation de G est plate sur S ; En appliquant ceci a L = O(G), on voit que G est plat a droite sur S , et a gauche aussi par raison de symetrie. Or pour tout S -schema p : T ?! S , le k-groupode p G est encore transitif de base T ; on en deduit que p G est plat a droite et a gauche sur T . Soit a present V une representation de type ni de G, et P la propriete : p V est un O(T)-module projectif de type ni. Le raisonnement ci-dessus s'applique, le seul point delicat etant de s'assurer que P verie (2), ce qui resulte immediatement du lemme classique suivant. Lemme. Soit A un anneau commutatif et B une A -algebre delement plate. Soit N un A -module. Si N A B est projectif de type ni sur B , N est projectif de type ni sur A . Demonstration. Soit NB = N A B , et supposons NB projectif de type ni. Il est en particulier plat, et comme B est delement plat sur A, N est plat. D'autre part NB est de presentation nie, donc N aussi en vertu de (3.6.). Or un module de type ni sur un anneau commutatif est projectif si et seulement s'il est plat et de presentation nie, d'ou le lemme. ut On en deduit que P est toujours vraie, et donc L verie ST1. De m^eme, soit V une representation quelconque de G, et P la propriete : p V est limite inductive ltrante de sous-representations de type ni. La encore, on fait le m^eme raisonnement, et la seule diculte est de montrer que P verie la condition (2); or pour tout S -schema ane p : T ?! S , p G est plat a gauche sur T . D'apres la proposition 3.7, tout morphisme delement plat de schemas anes q : T 0 ?! T induit une equivalence de categories q entre les representations de p G et celles de (pq) G; de plus les representations de type ni se correspondent par q ; d'ou la condition (2). Lorsque T est le spectre d'un corps, P est vraie en vertu de (3.3.); par consequent P est toujours vraie, et donc L verie ST3, d'ou le theoreme 8.2. ut REMARQUE. Pour un groupode, la transitivite s'exprime en termes de dele platitude; l'essentiel de la demonstration ci-dessus consiste a verier que, dans le cas commutatif, un k-bigebrode de Hopf delement plat sur B k B est projectif sur B k B . J'ignore si cette propriete reste vraie lorsque le bigebrode n'est plus suppose commutatif. (La demonstration ci-dessus n'est plus valable dans ce cas.) Cependant, je crois que la denition de la transitivite d'un bigebrode de Hopf donnee dans la section 7 est la bonne dans la mesure ou elle est issue de la theorie des cogebrodes. References bibliographiques. [1] L. BREEN, Tannakian Categories, preprint (1992). [2] P. DELIGNE, Categories tannakiennes, in The Grothendieck Festschrift, II, Progress in Mathematics 87, Birkhauser, pp. 111{195 (1990). [3] P. DELIGNE et J. S. MILNE, Tannakian Categories in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, Lecture Notes in Mathematics 900, Springer Verlag, pp. 101{228 (1982). [4] A. JOYAL et R. 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