QUASI-GROUPO IDES QUANTIQUES Rappels sur les cog ebro des

Algebre/Algebra
QUASI-GROUPOIDES QUANTIQUES
Alain Bruguieres et Georges Maltsiniotis
Resume - Le but de cette note est d'introduire une notion generalisant a la fois celle de groupode quantique,
introduite dans [4], et celle de quasi-groupe quantique (quasi-bigebre de Hopf, quasi-triangulaire), introduite
par Drinfeld [3]. Cette notion, qu'on pourrait appeler quasi-groupode quantique, permet de generaliser certain
resultats de [1].
QUASI-QUANTUM GROUPOIDS
Abstract - The aim of this note is to introduce a notion that generalizes simultaneously the notion of
quantum groupoid [4] and the notion of quasi-quantum group (quasi-triangular quasi-Hopf algebra) introduced
by Drinfeld [3]. This new mathematical object may be called a quasi-quantum groupoid. Some results of [1] can
be generalized in this framework.
Dans cette note, k designe un anneau commutatif. Par algebre, on entend k -algebre
associative, unitaire. Le produit tensoriel sur k est note . Si B est une algebre, on note
Bo l'algebre opposee, et Be l'algebre enveloppante Bo B . La categorie des B -modules a
droite est notee Mod(B). On identie la categorie Bimod(B; B) des (B; B)-bimodules a la
categorie Mod(Be ) en munissant tout (B; B)-bimodule M de la structure de Be -module
a droite donnee par : m (x y) = x m y . Un tel bimodule M peut aussi ^etre vu comme
un (Bo ; Bo)-bimodule ; on le note alors M o .
Rappels sur les cogebrodes [2], [1]. | Soit B une algebre. Un cogebrode de
base B est un (B; B)-bimodule L muni de morphismes de (B; B)-bimodules : L ?!
L B L et " : L ?! B , appeles respectivement coproduit et counite, veriant les axiomes
suivants : (1L B ) = ( B 1L) et (1L B ") = 1L = (" B 1L ). Un morphisme de
cogebrodes de base B est un morphisme de (B; B)-bimodules compatible aux coproduits
et aux counites.
1
Le (B; B)-bimodule Be est muni d'une structure de cogebrode, dont le coproduit
est deni par (x y) = (x 1) B (1 y) et la counite par "(x y) = xy . Si L est
un cogebrode de base B , Lo est naturellement muni d'une structure de cogebrode de
base Bo . Si : B ?! C est un morphisme d'algebres, et si L est un cogebrode de base
B , alors C B L B C est naturellement muni d'une structure de cogebrode de base C ,
qu'on note L . Si L et L0 sont des cogebrodes de bases respectives B et B0 , L L0 est
naturellement muni d'une structure de cogebrode de base B B0 . Lorsque B = B0 et B
est commutatif, L Be L0 est muni d'une structure de cogebrode de base B , s'identiant
au cogebrode B (L L0 ), ou B designe la multiplication de B .
Soit L un cogebrode de base B . Un L -comodule a droite est un B -module a droite
V muni d'une coaction a droite de L , c'est-a-dire un morphisme de B -modules a droite
: V ?! V B L veriant les axiomes suivants : ( B 1L ) = (1V B ) et (1V B ") =
1V . Un morphisme de L -comodules a droite est un morphisme de B -modules a droite
compatible aux coactions. La categorie des L -comodules a droite est notee Comod(L) .
Notations diverses. | Soit B une algebre commutative. Si P et M sont des
(B; B)-bimodules, et n un entier, on notera C n(P; M ) le k -module des applications de
P n dans M qui sont B -lineaires a droite et a gauche en chaque variable, et C (P; M ) la
L
somme directe C n(P; M ). Posant P (n) = P Be P Be Be P ( n fois), on identiera
C n(P; M ) a HomBe (P (n); M ). Pour ' 2 C n(P; B) et 2 C m(P; M ) (ou ' 2 C n(P; M )
et 2 C m(P; B)) on note ' l'element de C n+m(P; M ) deni par :
(' )(x1 ; . . . ; xn; y1 ; . . . ; ym ) = '(x1 ; . . . ; xn ) (y1 ; . . . ; ym ) :
On fait ainsi de C (P; B) une algebre graduee, et de C (P; M ) un C (P; B)-bimodule
gradue. Pour 2 Sn et ' 2 C n(P; M ), on note '(1)...(n) l'element de C n(P; M ) deni
par : (x1 ; . . . ; xn ) 7! '(x(1) ; . . . ; x(n)).
Soit a present (L; ; ") un cogebrode de base B . Pour tout (B; B)-bimodule M , on
pose C n(M ) = C n(L; M ). Si M et N sont deux (B; B)-bimodules, on denit un produit
: C n(M ) C n(N ) ?! C n(M B N ), appele produit de convolution, par la formule :
(' )(x1 ; . . . ; xn) =
X
i1 ;...;in
'(y1i1 ; . . . ; ynin ) B (z1i1 ; . . . ; znin ) ;
2
P
ou x1 , . . . , xn sont dans L , et (xl ) =
ylil B zlil , pour 1 l n . Le produit est
il 2Il
associatif, et admet pour element neutre "n = " " " 2 C n(B). En particulier, C n(B)
est une algebre unitaire. Pour : f1; . . . ; mg ,! f1; . . . ; ng injection et 2 C m(B) on
note (1)...(m) l'element '(1)...(n) de C n(B) , ou ' = "n?m et 2 Sn designe un
prolongement arbitraire de .
Soient X1 = (V1; 1 ); . . . ; Xn = (Vn ; n) des L -comodules a droite, et M un (B; B)bimodule. Pour ' 2 C n(M ), on denit une application 'X1;...;Xn de V1 B B Vn dans
V1 B B Vn B M par la formule :
'X1;...;Xn (v1 B B vn) =
X
i1 ;...;in
w1i1 B B wnin B '(xi11 ; . . . ; xinn ) ;
P
ou vl est pour 1 l n un element de Vl , d'image l(vl ) =
wlil B xill par la
il 2Il
coaction de L . Lorsque M = B , on denit ainsi sur V1 B B Vn une structure de
C n(B)-module a gauche.
Quasi-bigebrodes. | Soit B une algebre commutative. On appelle quasi-bigebrode
de base B la donnee d'un cogebrode L de base B muni d' elements 2 C 2(L), 2
C 0(L), et 2 C 3(B), veriant les axiomes suivants :
(QB1) : L Be L ?! L est un morphisme de cogebrodes de base B ;
(QB2) : Be ?! L est un morphisme de cogebrodes de base B ;
(QB3) est neutre a droite et a gauche pour (on a ( Be 1L ) = 1L = (1L Be ) ) ;
?
?
(QB4) ( Be 1L ) = (1L Be ) dans C 3(L);
?
?
?
(QB5) (1L Be 1L Be ) (
Be 1L Be 1L ) = (") (1L Be Be 1L ) (")
dans C 4(B);
(QB6) (1L Be Be 1L ) = "2 ;
(QB7) est inversible dans C 3(B) pour le produit de convolution (et son inverse sera note
?1 ).
Remarque. L'application denit une structure d'algebre non associative sur L pos-
sedant un element unite egal a (1 1), et les applications s; b : B ?! L denies par
3
s(a) = (1 a) et b(a) = (a 1) , pour a 2 B , sont des morphismes d'algebres, correspondant aux morphismes source et but d'un groupode. Lorsque = "3 , on retrouve la
notion de bigebrode introduite par G. Maltsiniotis dans [4] ; lorsque B = k , on obtient la
notion duale a la notion de quasi-bigebre (\quasibialgebra") introduite par Drinfeld [3].
Theoreme. Soit L = (L; ; ; ) un quasi-bigebrode de base B . Alors il existe sur
Comod(L) une structure naturelle de categorie monodale, qu'on notera Rep(L); en outre
le foncteur oubli U : Rep(L) ?! Mod(B) commute aux produits tensoriels et envoie l'objet
unite I sur B .
Demonstration. | 1) Si X1 = (V1 ; 1 ) et X2 = (V2 ; 2 ) sont des L -comodules a droite,
leur produit tensoriel est, par denition, le L -comodule a droite X1 X2 = (V1 B V2 ; ),
ou = X1;X2 : V1 B V2 ?! V1 B V2 B L . Que soit une coaction a droite resulte de
la condition (QB1) et cette construction est clairement fonctorielle.
2) L'objet-unite est deni par I = (B; s), ou s : B ! L = B L est deni ci dessus. Il
resulte de (QB2) que s est une coaction et de (QB3) que I est neutre a droite et a gauche
pour le produit tensoriel.
3) La contrainte d'associativite a . Soient trois L -comodules a droite Xi = (Vi ; i ) pour
i = 1; 2; 3. Considerons aX1;X2;X3 = X1;X2;X3 : V1 B V2 B V3 ?! V1 B V2 B V3 . Il
resulte de (QB4) que aX1;X2;X3 est un morphisme de comodules de (X1 X2) X3 vers
X1 (X2 X3), et a est clairement fonctoriel. De (QB5) resulte que a rend commutatif
le pentagone de MacLane, de (QB6), que a est compatible a l'unite, et de (QB7), que a
est un isomorphisme. tu
Denition. Soit L = (L; ; ; ) un quasi-bigebrode de base B . On appelle tressage de
L tout element R de C 2(B) veriant les conditions suivantes :
(T1) 21 R = R dans C 2(L) ;
(T2) R ( Be 1L ) = 312 R13 ?1321 R23 dans C 3(B) ;
(T3) R (1L Be ) = ?2311 R13 213 R12 ?1 dans C 3(B) ;
(T4) R est inversible dans C 2(B) .
4
Theoreme. Soit L un quasi-bigebrode de base B . La donnee d'un tressage de L denit
un tressage dans la categorie monodale Rep(L) .
L = (L; ; ; ). Soient X1 = (V1 ; 1 ), X2 =
(V2 ; 2) deux objets de Rep(L). On note V1;V2 : V1 B V2 ! V2 B V1 l'echange des
facteurs. Soit RX1 ;X2 l'application V1;V2 RX1;X2 de V1 B V2 dans V2 B V1 . Il resulte
de (T1) que RX1;X2 est un morphisme de L -comodules a droite de X1 X2 vers X2 X1 ,
et de (T4), que c'est un isomorphisme. La fonctorialite de R est immediate. Les hypotheses
(T2) et (T3) assurent la commutativite des deux hexagones de MacLane. ut
Demonstration. Soit R un tressage de
Denition. Soit L = (L; ; ; ) un quasi-bigebrode de base B . On appelle antipode de
L la donnee d'un element S de C 1(Lo ) et de deux elements , de C 1(B), veriant :
(A1) S : L ?! Lo est un morphisme de cogebrodes;
(A2) s = (S 1L );
(A3) b = (1L S );
(A4) (1L S 1L ) = " = ?1 (S 1L S );
( s et b sont denis dans la remarque). On dit qu'un quasi-bigebrode L est un quasi-
bigebrode de Hopf s'il possede un antipode (S; ; ), avec S bijectif.
C une categorie monodale de produit tensoriel , d'objet unite (strict)
I et de contrainte d'associativite a , X et Y des objets de C , et e : X Y ! I ,
h : I ! Y X des morphismes de C . On dit que (X; Y; e; h) est une dualite de C si
1 (1 h) = 1 et (1 e)a
(e 1X )a?X;Y;X
X
X
Y
Y;X;Y (h 1Y ) = 1Y . Le choix pour chaque objet
X de C d'une dualite (_X; X; eX ; hX ) determine un foncteur contravariant \dual a gauche"
_? de C dans C . En particulier, dans la categorie proj(B ) des B -modules projectifs de
Rappels. Soient
type ni sur une algebre commutative B , on a pour chaque objet V une dualite canonique
(V ; V; eV ; hV ), ou V = HomB (V; B), eV : V B V ! B est l'evaluation, et hV : B !
V B V la co-evaluation (c'est-a-dire l'application B -lineaire qui envoie 1 sur l'element
de V B V correspondant a 1V dans l'isomorphisme canonique V B V ' EndB (V )).
D'ou un foncteur dual a gauche qu'on note ? .
5
Theoreme. Soient L = (L; ; ; ) un quasi-bigebrode de base B , C la sous-categorie
monodale pleine de Rep(L) formee des L -comodules a droite qui sont projectifs de type ni
sur B , et (S; ; ) un antipode de L . Alors la categorie C est autonome a gauche, et plus
precisement, on peut construire pour chaque objet X de C une dualite (_X; X; eX ; hX ) ,
de sorte que le foncteur oubli commute aux foncteurs \dual a gauche" (autrement dit :
U _? =? U ). De plus, si L est un quasi-bigebrode de Hopf, la categorie C est autonome.
Demonstration. Soient V un B -module a droite projectif de type ni, et (V ; V; eV ; hV )
la dualite canonique. Soit une coaction a droite de L sur V , et X = (V; ). Soit
0 = (1V B S )L;V (eV B 1L
B V )(1V B B 1V )(1V B hV ) : V ?! V B L .
Il resulte de (A1) que 0 est une coaction a droite de L sur V . Soit _X le comodule
(V ; 0 ). Posons e = eV (1V B X ) et h = (X B 1V ) hV . Il resulte de (A2) et (A3)
que e est un morphisme de comodules de _X X vers I , et h , de I vers X _X . Il
resulte de (A4) que (_X; X; e; h) est une dualite de Rep(L). Il resulte aussi de (A4) que
si f est un morphisme de C , U (_f ) = U (f ) (transpose de U (f )).
Si S est un isomorphisme, soit Y = (W; 0 ) un L -comodule a droite, et supposons W
projectif de type ni comme B -module. Posons V = W , de sorte que W s'identie a V .
Soit = (1V B eV B S ?1)(1V B V B L;V )(1V B 0 B 1V )(hV B 1V ) : V ?! V B L .
Alors est une coaction a droite de L sur V , d'ou un comodule X = (V; ), et Y s'identie
a _X , donc admet X pour dual a droite. ut
References bibliographiques.
[1] A. BRUGUIE RES, Theorie tannakienne non commutative, Preprint Univ. Paris VII,
No. 69, 1993 (a para^tre dans Comm. in Algebra).
[2] P. DELIGNE, Categories tannakiennes, in The Grothendieck Festschrift, II, Progress
in Mathematics, 87, Birkhauser, 1990, pp. 111{195.
[3] V. G. DRINFELD, Quasi-Hopf Algebras, Leningrad Math. J., Vol. 1, No. 6, pp.14191457, 1990.
[4] G. MALTSINIOTIS, Groupodes quantiques, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 314, Serie I,
pp. 249{252, 1992.
Universite Paris VII, UFR de Mathematiques, URA n 212,
2, Place Jussieu, 75251 Paris CEDEX 05, France.
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