Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1 1 Exercice 1 : taux d

Première ES-L
IE2 dérivation
Exercice 1 : taux d’accroissement
2015-2016 S1
(2 points)
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 2x² - 3 en 1.
En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) =
3
en -2.
x² + 1
En déduire le nombre dérivé de g en -2.
Exercice 2 : tangente à une courbe
(4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur  et sa courbe
.
a) Déterminer la valeur de f’(-1).
b) Montrer que la tangente
T à  au point d’abscisse -1 a pour équation y = -5x – 1.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur .
d) En déduire la position de
T par rapport à .
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées
(4 points)
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -x²
b) g : x  -

x
c) h : x  - x + 8 +
d) i : x 
x
x+5
2x - 1
1
Première ES-L
IE2 dérivation
Exercice 1 : taux d’accroissement
2015-2016 S2
(2 points)
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 3x² - 2 en -2.
En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) =
1
en 1.
x² + 2
En déduire le nombre dérivé de g en 1.
Exercice 2 : tangente à une courbe
(4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur  et sa courbe
.
a) Déterminer la valeur de f’(2).
b) Montrer que la tangente
T à  au point d’abscisse 2 a pour équation y = - 2x + 3.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur .
d) En déduire la position de
T par rapport à .
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées
(4 points)
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -2x3
b) g : x 
5
x
c) h : x  2 x – x² + 5
d) i : x 
2x - 5
x+1
2
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IE2 dérivation
CORRECTION
Exercice 1 : taux d’accroissement
(2 points)
2015-2016 S1
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 2x² - 3 en 1.
En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) =
3
en -2.
x² + 1
En déduire le nombre dérivé de g en -2.
a) Le taux d’accroissement, pour h non nul, de la fonction f en 1 est :
t(h) =
f(1 + h) – f(1) 2(1 + h)² - 3 – (21² - 3)
=
h
h
Soit t(h) =
2(1 + 2h + h²) – 3 – 2 + 3 2 + 4h + 2h² - 2 h(4 + 2h)
=
=
= 4 + 2h
h
h
h
Le nombre dérivé de f en 1 est lim t(h) = 4 + 20 = 4
h0
Donc f’(1) = 4
b) Le taux d’accroissement, pour h non nul, de la fonction g en -2 est :
3
3
1
1
4 – 4h + h² + 1 5
g(-2 + h) – g(-2) (-2 + h)² + 1 (-2)² + 1
t(h) =
=
= 3

h
h
h
(h² - 4h + 5)
5
(h² - 4h + 5)5 5(h² - 4h + 5) 3 5 – h² + 4h – 5
Soit t(h) = 3
= 

h 5(h² - 4h + 5)
h
3
3
h(-h + 4)
-h + 4
Soit t(h) = 
= 
h 5(h² - 4h + 5) 5 h² - 4h + 5
3 4 12
Le nombre dérivé de g en 1 est lim t(h) =  =
h0
5 5 25
Donc g’(-2) =
12
25
3
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CORRECTION
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
2015-2016 S1
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur  et sa courbe
.
a) Déterminer la valeur de f’(-1).
b) Montrer que la tangente
T à  au point d’abscisse -1 a pour équation y = -5x – 1.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur .
d) En déduire la position de
T par rapport à .
a) f’(x) = 22x – 1 = 4x – 1
f’(-1) = 22(-1) – 1 = -4 – 1 = -5
b) Une équation de la tangente
T à au point d’abscisse -1 a pour équation :
y = f’(-1)(x – (-1)) + f(-1).
Or f(-1) = 2(-1)² - (-1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4 et f’(-1) = -5.
Une équation de
T est donc : y = -5(x + 1) + 4 = -5x – 5 + 4 = -5x – 1.
c) g est une fonction polynôme de degré 2.
g(x) = 2(x² + 2x + 1) =2(x + 1)²
Or un carré est toujours positif ou nul et g(-1) = 2(-1 + 1)² = 20² = 0
Donc g(x) s’annule en x = -1 et est strictement positif pour x  -1.
d) f(x) – (-5x – 1) = 2x² - x + 1 – (-5x – 1) = 2x² - x + 1 + 5x + 1
f(x) – (-5x – 1) = 2x² + 4x + 2 = g(x).
Or g(x) > 0 si x  -1, donc est au dessus de
Et pour x = -1,
T pour x  -1.
 et T ont en commun le point de coordonnées (-1 ;-5) .
Vérification graphique :
4
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CORRECTION
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points)
2015-2016 S1
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -x²
b) g : x  -

x
c) h : x  - x + 8 +
d) i : x 
x
x+5
2x - 1
a) f est définie et dérivable sur  et f’(x) = -2x
b) g est définie et dérivable sur  \ {0} = * et g’(x) = -  
-1

=
x² x²
c) h est définie sur ] -  ;0] = + et dérivable sur ]-  ; 0[ et h’(x) = -1 +
1
2 x
1
d) i est définie et dérivable sur  \  .
2
1
u(x)
Pour x   \  , on pose i(x) =
avec u(x) = x + 5 et v(x) = 2x – 1.
v(x)
2
On a alors : i’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
.
(v(x))²
Or, u’(x) = 1 et v’(x) = 2
Donc i’(x) =
1(2x – 1) – (x + 5)2 2x – 1 – 2x – 10
11
=
=(2x – 1)²
(2x – 1)²
(2x – 1)²
5
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CORRECTION
Exercice 1 : taux d’accroissement
(2 points)
2015-2016 S2
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 3x² - 2 en -2.
En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) =
1
en 1.
x² + 2
En déduire le nombre dérivé de g en 1.
a) Le taux d’accroissement, pour h non nul, de la fonction f en -2 est :
t(h) =
f(-2 + h) – f(-2) 3(-2 + h)² - 2 – (3(-2)² - 2)
=
h
h
Soit t(h) =
3(4 – 4h + h²) – 2 - 12 + 2 12 – 12h + 3h² - 12 h(-12 + 3h)
=
=
h
h
h
t(h) = -12 + 3h.
Le nombre dérivé de f en 1 est lim t(h) = -12 + 0 = -12
h0
Donc f’(-2) = -12
b) Le taux d’accroissement, pour h non nul, de la fonction g en 1 est :
1
1
1
1
–
g(1 + h) – g(1) (1 + h)² + 2 1² + 2 1 + 2h + h² + 2 3
t(h) =
=
=
h
h
h
t(h) =
3
h² + 2h + 3
3 – h² - 2h – 3
-h(h + 2)
=
=

(h² + 2h + 3)3h 3h(h² + 2h + 3) 3h(h² + 2h + 3) 3h(h² + 2h + 3)
Soit t(h) = -
h+2
3(h² + 2h + 3)
Le nombre dérivé de g en 1 est lim t(h) = h0
Donc g’(1) = -
0+2
2
=3(0² + 20 + 3)
9
2
9
6
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CORRECTION
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
2015-2016 S2
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur  et sa courbe
.
a) Déterminer la valeur de f’(2).
b) Montrer que la tangente
T à  au point d’abscisse 2 a pour équation y = - 2x + 3.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur .
d) En déduire la position de
T par rapport à .
a) f'(x) = - 2x + 2 et f’(2) = -22 + 2 = -2
b) Une équation de la tangente
T à au point d’abscisse 2 a pour équation :
y = f’(-2)(x - 2) + f(2).
Or f(2) = -2² + 22 - 1 = -4 + 4 - 1 = -1 et f’(2) = -2.
Une équation de
T est donc : y = -2(x - 2) - 1 = -2x + 4 - 1 = -2x + 3.
c) g est une fonction polynôme de degré 2.
g(x) = - (x² - 4x + 4) = - (x – 2)²
Or un carré est toujours positif ou nul et g(2) = -(2 - 2)² = - 0² = 0
Donc g(x) s’annule en x = 2 et est strictement négatif pour x  2.
d) f(x) – (-2x + 3) =-x² + 2x - 1 – (-2x + 3) = -x² + 2x - 1 + 2x – 3 = -x² + 4x - 4
f(x) – (-2x + 3) = g(x).
Or g(x) < 0 si x  2, donc est en dessous de
Et pour x = 2,
T pour x  2.
 et T ont en commun le point de coordonnées (2 ; -2) .
Vérification graphique :
7
Première ES-L
IE2 dérivation
CORRECTION
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points)
2015-2016 S2
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -2x3
b) g : x 
5
x
c) h : x  2 x – x² + 5
d) i : x 
2x - 5
x+1
a) f est définie et dérivable sur  et f’(x) = -23x² = -6x²
5
-1
b) g est définie et dérivable sur  \ {0} = * et g’(x) = 5 = x² x²
c) h est définie sur ] -  ;0] = + et dérivable sur ]-  ; 0[ et h’(x) = 2
h’(x) =
1
x
1
2 x
- 2x
- 2x
d) i est définie et dérivable sur  \ {-1}.
Pour x   \ {-1}, on pose i(x) =
On a alors : i’(x) =
u(x)
avec u(x) = 2x - 5 et v(x) = x + 1.
v(x)
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
.
(v(x))²
Or, u’(x) = 2 et v’(x) = 1
Donc i’(x) =
2(x + 1) – (2x - 5)1 2x + 2 - 2x + 5
7
=
=
(x + 1)²
(x + 1)²
(x + 1)²
8