Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1 1 Exercice 1 : taux d

Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
1
Exercice 1 : taux d’accroissement (2 points)
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 2x² - 3 en 1.
En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) = 3
x² + 1 en -2.
En déduire le nombre dérivé de g en -2.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur  et sa courbe .
a) Déterminer la valeur de f’(-1).
b) Montrer que la tangente T à  au point d’abscisse -1 a pour équation y = -5x – 1.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur .
d) En déduire la position de T par rapport à .
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points)
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -x²
b) g : x  - 
x
c) h : x  - x + 8 + x
d) i : x  x + 5
2x - 1

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2
Exercice 1 : taux d’accroissement (2 points)
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 3x² - 2 en -2.
En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) = 1
x² + 2 en 1.
En déduire le nombre dérivé de g en 1.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur  et sa courbe .
a) Déterminer la valeur de f’(2).
b) Montrer que la tangente T à  au point d’abscisse 2 a pour équation y = - 2x + 3.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur .
d) En déduire la position de T par rapport à .
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points)
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -2x3
b) g : x  5
x
c) h : x  2 x – x² + 5
d) i : x  2x - 5
x + 1

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CORRECTION
3
Exercice 1 : taux d’accroissement (2 points)
a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur  par :
f(x) = 2x² - 3 en 1.
En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur  par :
g(x) = 3
x² + 1 en -2.
En déduire le nombre dérivé de g en -2.
a) Le taux d’accroissement, pour h non nul, de la fonction f en 1 est :
t(h) = f(1 + h) – f(1)
h = 2(1 + h)² - 3 – (21² - 3) h
Soit t(h) = 2(1 + 2h + h²) – 3 – 2 + 3
h = 2 + 4h + 2h² - 2 h = h(4 + 2h) h = 4 + 2h
Le nombre dérivé de f en 1 est lim
h0 t(h) = 4 + 20 = 4
Donc f’(1) = 4
b) Le taux d’accroissement, pour h non nul, de la fonction g en -2 est :
t(h) =g(-2 + h) – g(-2)
h =
3
(-2 + h)² + 1 - 3 (-2)² + 1
h = 3
1
4 – 4h + h² + 1- 1
5
h
Soit t(h) = 3
5
(h² - 4h + 5)5- (h² - 4h + 5)
5(h² - 4h + 5)
h= 3
h5 – h² + 4h – 5
5(h² - 4h + 5) 
Soit t(h) = 3
hh(-h + 4)
5(h² - 4h + 5)= 3
5-h + 4
h² - 4h + 5
Le nombre dérivé de g en 1 est lim
h0 t(h) = 3
54
5= 12
25
Donc g’(-2) = 12
25

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CORRECTION
4
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur  et sa courbe .
a) Déterminer la valeur de f’(-1).
b) Montrer que la tangente T à  au point d’abscisse -1 a pour équation y = -5x – 1.
c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur .
d) En déduire la position de T par rapport à .
a) f’(x) = 22x – 1 = 4x – 1
f’(-1) = 22(-1) – 1 = -4 – 1 = -5
b) Une équation de la tangente T à au point d’abscisse -1 a pour équation :
y = f’(-1)(x – (-1)) + f(-1).
Or f(-1) = 2(-1)² - (-1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4 et f’(-1) = -5.
Une équation de T est donc : y = -5(x + 1) + 4 = -5x – 5 + 4 = -5x – 1.
c) g est une fonction polynôme de degré 2.
g(x) = 2(x² + 2x + 1) =2(x + 1)²
Or un carré est toujours positif ou nul et g(-1) = 2(-1 + 1)² = 20² = 0
Donc g(x) s’annule en x = -1 et est strictement positif pour x  -1.
d) f(x) – (-5x – 1) = 2x² - x + 1 – (-5x – 1) = 2x² - x + 1 + 5x + 1
f(x) – (-5x – 1) = 2x² + 4x + 2 = g(x).
Or g(x) > 0 si x  -1, donc est au dessus de T pour x  -1.
Et pour x = -1,  et T ont en commun le point de coordonnées (-1 ;-5) .
Vérification graphique :

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CORRECTION
5
Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points)
Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de
définition et de dérivabilité.
a) f : x  -x²
b) g : x  - 
x
c) h : x  - x + 8 + x
d) i : x  x + 5
2x - 1
a) f est définie et dérivable sur  et f’(x) = -2x
b) g est définie et dérivable sur  \ {0} = * et g’(x) = -   -1
x² =  x²
c) h est définie sur ] -  ;0] = + et dérivable sur ]-  ; 0[ et h’(x) = -1 + 1
2 x
d) i est définie et dérivable sur  \ 
1
2.
Pour x   \ 
1
2, on pose i(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = x + 5 et v(x) = 2x – 1.
On a alors : i’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
(v(x))² .
Or, u’(x) = 1 et v’(x) = 2
Donc i’(x) = 1(2x – 1) – (x + 5)2
(2x – 1)² = 2x – 1 – 2x – 10 (2x – 1)² = - 11 (2x – 1)²