Les Equations de la Structure Interne et d`Evolution des - CEA-Irfu

1
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Modèles Stellaires 1-D Polytropiques vs 1-D Réalistes
Une approche simple, consiste a utiliser la loi dit des polytropes qui relie la pression à la densité par une formule
simple :
Cette relation P(ρ), est supposée a priori, sans se préoccuper quelle vérifie ou non le jeu complets des
Équations de la structure interne des étoiles (voir plus bas). Il suffit seulement de considérer l’équilibre
Hydrostatique et la conservation de la masse pour déterminer la structure d’une étoile polytropique (pas de
transfert de chaleur ni d’équilibre thermique). A partir de l’équilibre hydrostatique et en dérivant p/r à r le membre
de droite et de gauche, on obtient l’équation de Poisson:
Afin de dedimensionaliser cette équation nous allons faire plusieurs chgt de variable et obtenir l’équation
différentielle du 2eme ordre de Lane-Emden:
BC’s:
Nous préférons ici considérer un traitement plus réaliste de l’équation d’état du plasma stellaire, et nous ne nous
attardons donc pas sur le cas des « étoiles » polytropiques, nous conseillons cependant toute personne
intéressée par la structure interne des étoiles d’étudier les différents cas polytropiques car ils sont très instructifs.
Un modèle stellaire est construit en résolvant les 4 équations de bases de la structure interne déduite des
équations Hydrodynamiques en considérant comme hypothèses simplificatrices:
1) Conservation de la masse
2) Conservation de l’énergie
3) Équilibre hydrostatique
4) Transport de l’énergie principalement via rayonnement ou convection
n indice polytropique (0<= n <= 5), K cst.
2eme Partie
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Les Equations de la Structure Interne et
d’Evolution des Etoiles (I)
Elles se déduisent des équations du mouvement et de conservation
de l’énergie, en considérant l’équilibre hydrostatique et thermique:
Équations de structure
Il est nécessaire de posséder une description microscopique précise du plasma considéré
(équation d’état P(ρ,T,Xi), réseaux de réactions nucléaires permettant d’obtenir la
production d’énergie εΝ(ρ,T,Xi) et opacité κ(ρ,T,Xi)).

2
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Opacités
Critère de Schwarzshild
Cas solaire
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Réactions Nucléaires dans les Etoiles
Le degré d’importance de réactions nucléaires pour un milieu donné, dépend forcement de la composition du
gaz considéré. La plupart des réactions exothermiques impliquant des particules légères sont non résonnantes
et impliquent au moins les facteurs suivants:
Au cours de sa formation , l’étoile se contracte est le cœur s’échauffe, faisant en sorte que les réactions sont
plus rapides. Parce que l’exposant est large les réactions majeures sont celles dont le produit Z1Z2est petit.
Comme l’Univers et les étoiles en particulier sont composés initialement à ~92% d’Hydrogène et à ~7.8%
d’Hélium, les réactions impliquant ces deux éléments sont cruciales pour déterminer la production d’énergie.
Historiquement cependant une impasse a été difficile à passer, car toutes les réactions impliquant directement p
ou He4 sont instables:
Donc dans un gaz pur d’Hydrogène et d’Hélium aucune réaction exothermique à deux particules n’est produite!
Nous devons donc rechercher des réactions plus complexes entre p et He4ou faire intervenir des constituants
plus rares (les 0.02% restants de la composition initiale du gaz stellaire). Les candidats possibles sont les
isotopes de H et He4(D, T et He3). La première réaction a se produire suffisament rapidement entre deux
isotopes, est:
Elle opère durant la pré séquence principale, mais ne dure pas longtemps par manque de « carburant », D. Le
Même type de résultats est obtenus avec Li, Be, B qui brule a des température de quelques T6.
Nous devons donc établir les séquences plus complexes qui permettent de transformer l’Hydrogène en
Hélium4, i.e chaine proton-proton (pp) ou le cycle CNO (voir Clayton 1968).

3
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
La conversion de l’hydrogène en hélium implique une chaine de réaction qui ont pour produit final cette
conversion. La mise en évidence d’une telle chaine nécessite le calcul des taux de toutes les réactions
possibles entre toutes les paires de particules présentent. Heureusement en pratique ce n’est pas nécessaire
car beaucoup de réactions possèdent un taux très faible, soit par ce que leur section efficace est faible, soit
parce que le produit des abondances des particules considérées est trop petit. Par exemple, après que l’on
est formé le Deutérium, on pourrait imaginer la réaction D + D -> He4+ γ , sauf que cette réaction souffre
d’une petit section efficace et surtout l’abondance de Deutérium est maintenu à un bas niveau via son
interaction avec les protons. En procédant de cette manière on peut déterminer les réactions responsables
pour la conversion. La plus simple des chaines est celle qui se produit dans un gaz pur d’Hydrogène, PP1:
Un Exemple Concret: Le cas de la chaine PP1
Réactions taux
H+He3, D+D, D+He3 ont un
taux faible, en partie parce
que Li4 est instable et aussi D
reste faiblement abondant.
see Parker, Bahcall
& Fowler 1964, ApJ, 139
On peut alors écrire les équation pour la dépendance temporelle des abondances (somme création – somme
destruction), ce qui donne pour pour D:
Cette équation s’auto-régule et fait que l’abondance de Deutérium cherche une valeur d’équilibre (D/H)e. Comme
La durée de vie du Deutérium est très courte, il atteint vite une valeur d’équilibre. Du coup on peut mettre à
l’équilibre l’abondance de D, dans l’équation pour He3!
crée un He3, mais en brule 2
Cette équation s’auto-régule aussi et fait que l’abondance de He3 cherche une valeur d’équilibre (He3/H)e, mais
ce temps est clairement plus long que pour D (> 1 Gans si T6< 8). Si l’équilibre est atteint, alors 2 r33=rpp et
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Description Détaillée du Réseau de Réactions Nucléaires
PP chains
CNO bicycle
2e+
2e+
Energy excess and energy loss through neutrinos
At the solar age t~4.6 Gyr
the PP chains represent 98%
and the CNO bicycle ~2%
of the energy production
Dans PPII et PPIII,
1 He4 est produit avec
seulement 1 réaction
proton-proton. Donc si l’eq
est atteint, un He4 peut etre
produit au taux rpp plutot
que rpp/2 comme dans PPI.

4
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Fusion Nucléaire = Energie du Soleil
(age max 10-11 Milliards d’années)
Fusion de 4 atomes d’Hydrogène en un d’Hélium
Bilan: 4p -> He4 + 2e++ 2 νe+ 26.731 Mev
650 Millions de tonnes
d’Hydrogène converties
chaque seconde
Le Soleil brille car il est chaud! Il brille sur plusieurs milliards d’années grace
aux réactions présentent dans son cœur (pp-chains ~ 98%, CNO by-cycle ~ 2%)!
Moins perte par
neutrinos du à la
transformation des
protons en neutrons
Si chaines PP en equilibre:
Correction à PPI venant de PPII et PPIII
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Ces 4 équations couplées forment a two point boundary value problem, nous
Devons donc pour le résoudre choisir des conditions aux limites.
Résolution Numérique des Equations de la Structure Interne

5
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Résolution Numérique des Equations de la Structure Interne
Critère de Schwarzshild
Dr. A.S. Brun, EcAq2006, Maubuisson – 11/09/06
Sun
A stars massive stars
dwarfs
pp chain CNO Cycles
Transition between envelope and core convection: ~1.3 Msol
Zones Convectives dans les Etoiles