Énoncé - Math France

A2017 – MATH II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Sous-groupes compacts du groupe linéaire
Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension n>0dont le produit scalaire
est noté È,Íet la norme euclidienne associée est notée ÎÎ. On note L(E)l’espace
vectoriel des endomorphismes de Eet GL(E)le groupe des automorphismes de E.
Pour tout endomorphisme ude E, on note uil’endomorphisme u¶u¶···¶u(i
fois) avec la convention u0=Id
E(identité). L’ensemble vide est noté ?.
On rappelle qu’un sous-ensemble Cde Eest convexe si pour tous x, y dans C
et tout ⁄œ[0,1], on a ⁄x+(1≠⁄)yœC. De plus, pour toute famille a1, ...., ap
d’éléments de Cconvexe et tous nombres réels positifs ou nuls ⁄1, ...., ⁄pdont la
somme égale 1, on a
p
ÿ
i=1
⁄iaiœC.
Si Fest un sous-ensemble quelconque de E, on appelle enveloppe convexe de
F, et on note Conv(F), le plus petit sous-ensemble convexe de E(au sens de
l’inclusion) contenant F. On note Hl’ensemble des (⁄1, ..., ⁄n+1)œ(R+)n+1 tels
que
n+1
ÿ
i=1
⁄i=1et on admet que Conv(F)est l’ensemble des combinaisons linéaires
de la forme
n+1
ÿ
i=1
⁄ixioù x1,...,x
n+1 œFet (⁄1, ...., ⁄n+1)œH.
L’espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant nlignes et mcolonnes
est noté Mn,m(R). On notera en particulier Mn(R)=Mn,n(R). La matrice trans-
posée d’une matrice Aàcoefficients réels est notée AT. La trace de AœMn(R)
est notée Tr(A).
On note GLn(R)le groupe linéaire des matrices de Mn(R)inversibles et On(R)
le groupe orthogonal d’ordre n.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
A Préliminaires sur les matrices symétriques
On note Sn(R)le sous-espace vectoriel de Mn(R)formé des matrices symé-
triques. Une matrice SœSn(R)est dite définie positive si et seulement si pour
tout XœMn,1(R)non nul, on a XTSX > 0. On note S++
n(R)l’ensemble des
matrices symétriques définies positives.
1. Montrer qu’une matrice symétrique SœSn(R)est définie positive si et seule-
ment si son spectre est contenu dans Rú+.
2. En déduire que pour tout SœS++
n(R), il existe RœGLn(R)tel que S=
RTR. Réciproquement montrer que pour tout RœGLn(R),RTRœS++
n(R).
1 TSVP

3. Montrer que l’ensemble S++
n(R)est convexe.
B Autres préliminaires
Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes.
4. Soit Kun sous-ensemble compact de Eet Conv(K)son enveloppe convexe.
On rappelle que Hest l’ensemble des (⁄1, ..., ⁄n+1)œ(R+)n+1 tels que
qn+1
i=1 ⁄i=1. Définir une application „de Rn+1 ◊En+1 dans Etelle que
Conv(K)=„(H◊Kn+1). En déduire que Conv(K)est un sous-ensemble
compact de E.
5. On désigne par gun endomorphisme de Etel que pour tous x, y dans E,
Èx, yÍ=0implique Èg(x),g(y)Í=0.
Montrer qu’il existe un nombre réel positif ktel que pour tout xœE,
Îg(x)Î=kÎxÎ. (On pourra utiliser une base orthonormée (e1,e
2, ..., en)de
Eet considérer les vecteurs e1+eiet e1≠eipour iœ{2,...,n}.)
En déduire que gest la composée d’une homothétie et d’un endomorphisme
orthogonal.
6. On se place dans l’espace vectoriel euclidien Mn(R)muni du produit scalaire
défini par ÈA, BÍ=Tr(ATB). (On ne demande pas de vérifier que c’est bien
un produit scalaire.)
Montrer que le groupe orthogonal On(R)est un sous-groupe compact du
groupe linéaire GLn(R).
C Quelques propriétés de la compacité
Soit (xn)nœNune suite d’éléments de Epour laquelle il existe un réel Á>0tel
que pour tous entiers naturels n”=p, on ait Îxn≠xpÎ>Á.
7. Montrer que cette suite n’admet aucune suite extraite convergente.
Soit Kun sous-ensemble compact de E. On note B(x, r)la boule ouverte de centre
xœEet de rayon r.
8. Montrer que pour tout réel Á>0, il existe un entier p>0et x1,...,x
p
éléments de Etels que K™
p
€
i=1
B(xi,Á). (On pourra raisonner par l’absurde.)
On considère une famille (i)iœIde sous-ensembles ouverts de E,Iétant un en-
2

semble quelconque, telle que K™€
iœI
i.
9. Montrer qu’il existe un réel –>0tel que pour tout xœK, il existe iœItel
que B(x, –)soit contenue dans l’ouvert i. (On pourra raisonner par l’ab-
surde pour construire une suite d’éléments de Kn’ayant aucune suite extraite
convergente.) En déduire qu’il existe une sous-famille finie (i1, ....ip)de la
famille (i)iœItelle que K™
p
€
k=1
ik.
Soit (Fi)iœIune famille de fermés de Econtenus dans Ket d’intersection vide :
uiœIFi=?.
10. Montrer qu’il existe une sous-famille finie (Fi1, ...., Fip)de la famille (Fi)iœI
telle que up
k=1 Fik=?.
D Théorème du point fixe de Markov-Kakutani
Soit Gun sous-groupe compact de GL(E)et Kun sous-ensemble non vide,
compact et convexe de E. Pour tout xœE, on pose NG(x) = sup
uœGÎu(x)Î.
11. Montrer que NGest bien définie, et que c’est une norme sur E.
12. Montrer en outre que NGvérifie les deux propriétés suivantes :
•pour tous uœGet xœE,NG(u(x)) = NG(x);
•pour tous x, y dans Eavec xnon nul, NG(x+y)=NG(x)+NG(y)si
et seulement si ⁄x=yoù ⁄œR+.
Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si zœE, l’applica-
tion qui à uœGassocie ||u(z)|| est continue.
On considère un élément ude L(E)et on suppose que Kest stable par u, c’est-
à-dire que u(K)est inclus dans K. Pour tout xœKet nœNú, on pose xn=
1
n
n≠1
ÿ
i=0
ui(x). Enfin, on appelle diamètre de Kle nombre réel ”(K) = sup
x,yœKÎx≠yÎ
qui est bien défini car Kest borné.
13. Montrer que la suite (xn)nœNúest à valeurs dans Ket en déduire qu’il en
existe une suite extraite convergente vers un élément ade K. Montrer par
ailleurs que pour tout nœNú,Îu(xn)≠xnÎ6”(K)
n. En déduire que l’élément
ade Kest un point fixe de u.
3 TSVP

On suppose maintenant que le compact non vide convexe Kest stable par tous les
éléments de G. Soit run entier >1,u1,u
2, ...., urdes éléments de Get u=1
r
r
ÿ
i=1
ui.
14. Montrer que Kest stable par uet en déduire l’existence d’un élément aœK
tel que u(a)=a.
15. Montrer que NG11
r
r
ÿ
i=1
ui(a)2=1
r
r
ÿ
i=1
NG1ui(a)2. En déduire que pour tout
jœ{1,...,r}, on a NG3uj(a)+
r
ÿ
i=1
i”=j
ui(a)4=NG1uj(a)2+NG3r
ÿ
i=1
i”=j
ui(a)4.
16. En déduire, pour tout jœ{1,...,r}, l’existence d’un nombre réel ⁄j>0tel
que u(a)=⁄j+1
ruj(a).
17. Déduire de la question précédente que aest un point fixe de tous les endo-
morphismes uioù iœ{1,...,r}.
18. En utilisant le résultat de la question 10, montrer qu’il existe aœKtel que
pour tout uœG,u(a)=a.
E Sous-groupes compacts de GLn(R)
On se place à nouveau dans l’espace vectoriel euclidien Mn(R)muni du produit
scalaire défini par ÈA, BÍ=Tr(ATB). On rappelle que GLn(R)désigne le groupe
linéaire et On(R)le groupe orthogonal d’ordre n.
Soit Gun sous-groupe compact de GLn(R). Si AœG, on définit l’application
flAde Mn(R)dans lui-même par la formule flA(M)=ATMA. On vérifie facilement,
et on l’admet, que pour tout MœMn(R), l’application qui à AœGassocie flA(M)
est continue.
On note H={flA|AœG},={ATA|AœG}et K=Conv().
19. Montrer que flAœGL(Mn(R)) et que Hest un sous-groupe compact de
GL(Mn(R)).
20. Montrer que est un compact contenu dans S++
net que Kest un sous-
ensemble compact de S++
n(R)qui est stable par tous les éléments de H.
21. Montrer qu’il existe MœKtel que pour tout AœG,flA(M)=M. En
déduire l’existence de NœGLn(R)tel que pour tout AœG,NAN≠1œ
On(R). En déduire enfin qu’il existe un sous-groupe G1de On(R)tel que
G=N≠1G1N={N≠1BN ;BœG1}.
4