Devoir à la maison no 2

Université Grenoble I Topologie L351A
Devoir à la maison no2
À rendre avant le 1er décembre 2010
Exercice . Soit (X, d)un espace métrique compact et f:X→Xune application vérifiant
∀(x, y)∈X2, x 6=y=⇒d(f(x), f(y)) < d(x, y).
On veut montrer que fpossède un point fixe : il existe x∈Xtel que f(x) = x.
1. Soit g: (X, d)→(R,|.|)défini par g(x) = d(x, f (x)). Montrer que gest continue.
2. En observant que infx∈X{g(x)}est un minimum, atteint en x0, montrer que x0est un point
fixe de f.
Problème . (1)Sous-groupes compacts de GLn(R).
A.Théorème du point fixe de Kakutani. Soit Eun R-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit Kun compact convexe non vide de E. Soit Gun sous-groupe compact de GL(E)tel
que, pour tout g∈G, on a g(K)⊆K. On veut montrer qu’il existe x∈Ktel que, pour tout
g∈G,g(x) = x.
1) Soit u∈ L(E)tel que u(K)⊆K. Soit x∈Ket
xn:= 1
n+ 1 x+u(x) + u2(x) + · · · +un(x)
(uidésigne la composée u◦ · · · ◦ u i fois). Montrer que xn∈K.
2) Montrer que lim
n→+∞(xn+1 −xn) = 0 et lim n→+∞(u(xn)−xn) = 0.
3) Montrer que si aest une valeur d’adhérence de (xn)n∈Nalors u(a) = a. En déduire que
upossède un point fixe.
4) i) Montrer qu’il existe sur Eune norme euclidienne (i.e. qui provient d’un produit
scalaire).
ii) Soit k.kune telle norme sur E. Pour x∈E, soit
kxkG:= sup {kg(x)k, g ∈G}.
Montrer que, pour tout x∈E, on a kxkG∈Ret que k.kGdéfinit une norme sur E.
iii) Soit x, y ∈E. Montrer que si kx+ykG=kxkG+kykGalors il existe λ≥0tel que
y=λx ou x=λy. En déduire que si x1, . . . , xn∈Evérifient
kx1+· · · +xnkG=kx1kG+· · · +kxnkG
alors il existe x∈ {x1, . . . , xn}et λ1, . . . , λn≥0tels que xi=λix.
iv) Montrer que tous les éléments de Gsont des isométries pour k.kG.
5) Pour démontrer le théorème de Kakutani, on raisonne par l’absurde. Si g∈G, on pose
Ωg:= {x∈K;g(x)6=x}. Montrer qu’existent r∈N∗et g1, . . . , gr∈Gtels que
K=Sr
i=1 Ωgi(on montrera que Ωgest un ouvert de K).
6) Soit u:= 1
rPr
i=1 gi. Montrer qu’il existe k∈Ktel que u(k) = k.
7) Déduire de 4-iii) et 4-iv) que, pour tout i∈ {1, . . . , r}, on a gi(k) = kpuis aboutir à une
contradiction.
B.Théorème de Carathéodory. Soit Cune partie non vide de Rn. On désigne par conv(C)
l’enveloppe convexe de C,i.e. le plus petit convexe (pour l’inclusion) de Rncontenant C.
1) Justifier l’existence de conv(C).
1. Dans ce problème, les parties ne sont pas indépendantes entre elles.

2) Montrer que conv(C)est l’ensemble des éléments de la forme x=Pp
i=1 λiciavec p∈N∗,
c1, . . . , cp∈Cet λ1, . . . , λp≥0vérifiant Pp
i=1 λi= 1 (on dit que xest combinaison
linéaire convexe des ci).
3) Soit p≥n+ 2 et c1, . . . , cp∈C. En observant que la famille {c2−c1, . . . , cp−c1}
est liée sur R, montrer qu’il existe I⊆ {1, . . . , p}et (θi)1≤i≤p∈(R+)p\ {0}tels que
Pi∈Iθi=Pj6∈Iθj6= 0 et Pi∈Iθici=Pj6∈Iθjcj.
4) Soit x∈conv(C)écrit avec des cicomme dans B-2. Montrer que si p≥n+ 2 alors x
est combinaison linéaire convexe d’au plus p−1des ci.
5) En déduire le théorème de Carathéodory : tout point de conv(C)est combinaison linéaire
convexe d’au plus n+ 1 points de C.
6) Montrer alors que si Cest une partie compacte de Rnil en est de même pour conv(C).
7) Montrer que si Cest une partie compacte non vide d’un espace de Banach Ealors
l’adhérence conv(C)est compacte dans E(on pourra montrer que conv(C)est précom-
pact).
C. On veut montrer qu’un sous-groupe compact Gde GLn(R)est un sous-groupe du groupe des
isométries On(R)à conjugaison près : il existe p∈GLn(R)tel que pGp−1⊆On(R).
1) Montrer que On(R) := {P∈GLn(R) ; P−1=tP}est un sous-groupe compact de
GLn(R).
2) Soit qla forme quadratique provenant du produit scalaire usuel sur Rn:
∀x=
x1
.
.
.
xn
∈Rn, q(x) = x2
1+· · · +x2 n.
Soit P∈GLn(R). Montrer que P∈On(R)si et seulement si Pest une isométrie pour
q(i.e. ∀x∈Rn,q(P x) = q(x)).
3) Soit El’espace vectoriel des formes quadratiques sur Rn. Soit E+la partie de Eformée
des formes quadratiques définies positives. Montrer que E+est un ouvert de Eet que
E+={q◦A;A∈GLn(R)}.
4) Soit Gun sous-groupe compact de GLn(R). Soit Kl’enveloppe convexe de C:= {q◦g∈
E;g∈G}dans E. Prouver que K⊆ E+et que Kest compact (on utilisera B-5).
5) Pour g∈G, soit θg:E → E défini par θg(Q) = Q◦gpour Q∈ E. Justifier le fait que
θg∈GL(E).
6) Soit G:= {θg∈GL(E) ; g∈G}. Montrer que Gest un sous-groupe compact de GL(E).
7) Montrer que, pour tout e∈ G, on a e(K)⊆K.
8) Déduire du théorème de Kakutani l’existence de Q∈Ktel que, pour tout g∈G,
Q◦g=Q.
9) Conclure en utilisant C-3).