Manuel-Kiwi-Edition-03-76-81

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Comprendre et utiliser les notions
élémentaires de probabilités
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Mémento
Aborder
la notion
Reprendre
contact
Mémento
34. Aborder des questions relatives au hasard
1
Parmi les expériences ci-dessous, lesquelles
sont des expériences aléatoires ? Pour celles qui le
sont, citer des issues possibles.
a. Le temps qu’il fera demain.
b. La note que j’aurai au prochain contrôle de maths.
c. La face obtenue lors d’un lancer de dé à 6 faces.
d. Jouer à « papier caillou ciseaux ».
e. Tirer une carte dans un jeu de 32 cartes.
f. La face obtenue quand je lance un dé à 4 faces.
2
Attribuer à chacune des situations ci-dessous,
l’un des termes suivants: impossible, certain,
peuprobable ou très probable.
a. Trouver un billet de 20€ par terre aujourd’hui.
b. Noël aura lieu cette année le 25 décembre.
c. Il va neiger pendant la première semaine du mois
de janvier.
d. Obtenir –3 en lançant un dé ordinaire à 6faces.
e. Un élève de votre classe a son anniversaire demain.
3
Voici un diagramme en bâtons représentant
les risques de précipitations pendant un après-midi
denovembre.
Risque de
précipitations
14 h
27 %
16 h
84 %
18 h
85 %
20 h
10 %
a. Donner une plage horaire pendant laquelle il est
très probable qu’il pleuve cet après-midi-là.
b. À partir de quelle heure est-il peu probable de voir
arriver la pluie ?
Des exemples d’expériences aléatoires:
lancer un dé, jouer à Pile ou Face, jouer au loto,
tirer une boule dans une urne opaque…
• Une expérience aléatoire est une expérience
pour laquelle on connaît, a priori tous les résultats
possibles, mais quand on réalise l’expérience on ne
sait pas lequel de ces résultats va se produire.
• Les résultats possibles d’une expérience aléatoire
sont les issues de l’expérience.
• Obtenir une ou plusieurs issues constitue
unévénement.
Exemple 1 : On lance une pièce de monnaie.
C’est une expérience aléatoire: on sait
que la pièce peut tomber sur Pile ou
Face mais en la lançant on ne peut pas
prévoir sur quel côté elle va tomber.
Les issues de l’expérience sont Pile et Face.
Obtenir Pile est un événement.
Exemple 2 : Lancer un dé à 6 faces est une
expérience aléatoire: le dé peut
tomber sur 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6
mais en le lançant on ne peut pas
prévoir sur quelle face il va tomber.
Les issues possibles sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6.
Obtenir 1 ou 3 est un événement.
Obtenir un nombre pair est un événement.
Dans un jeu, on peut estimer les chances de
réalisation d’un événement en utilisant les mots
impossible, probable et certain.
Exemple 3 : Au loto, on connaît toutes les
combinaisons possibles. Il est peu probable
de gagner car le nombre de combinaisons est
très grand. Mais gagner n’est pas impossible.
Exemple 4 : Voici trois urnes opaques différentes.
On tire une boule au hasard dans chaque urne.
Ici, il est très probable de tirer
une boule bleue car les boules
bleues sont beaucoup plus
nombreuses que les rouges.
Ici, il est certain de tirer une
boule bleue car il n’y a que des
boules bleues.
Ici, il est impossible de tirer une
boule bleue car il n’y en a pas.
Un jeu est équitable si les participants ont
autant de chances de gagner au départ.
ATTENDU DE FIN DE CYCLE
si les participants ont
si les participants ont
si les participants ont
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Bilan
34. Aborder des questions relatives au hasard
Proposition A B C
1. Lors d'une bataille de dé
à six faces, j'obtiens 6, alors:
il est impossible
que mon adversaire
gagne.
une seule issue permet
à mon adversaire
de faire match nul.
il est certain que
je gagne la partie.
2. Je lance un dé à six faces
et j'obtiens 4, alors:
il est certain que
je vais obtenir 4
au prochain lancer.
il est impossible
que j’obtienne 4
au prochain lancer.
je ne peux pas connaître
à l'avance le résultat
du prochain lancer.
3. Je joue à Pile ou Face avec
une pièce équilibrée:
j'ai autant de chances
d'obtenir Pile que Face.
il est plus probable que
la pièce tombe sur Pile.
il est plus probable que
la pièce tombe sur Face.
4. Une urne opaque contient
4boules vertes et 3 boules bleues.
Il est plus probable que je
tire une boule verte.
Il est plus probable que
je tire une boule bleue.
Je peux savoir à l'avance
la couleur de la boule
que je vais tirer.
4
Imaginer…
a. une expérience aléatoire dont l’un des événe-
ments est impossible.
b. une expérience aléatoire dont l’un des événe-
ments est certain.
c. une expérience aléatoire dont l’un des événe-
ments est probable.
Pour les exercices
5
à
7
, Maria et Alexandre
s’affrontent en lançant un dé à 6 faces. Celui qui
obtient le plus grand nombre gagne la partie.
Recopier et compléter chaque phrase en utilisant les
mots probable, certain ou impossible.
5
Alexandre a obtenu 3 au lancer de dé.
a. Quelles issues permettraient à Maria d’obtenir
lavictoire ?
b. Il est … que Maria gagne cette partie.
6
Maria a obtenu 1 au lancer de dé.
a. Quelles issues permettraient à Alexandre d’ob-
tenir la victoire ?
b. Il est … qu’Alexandre ne perdra pas la partie.
7
Alexandre a obtenu 6 au lancer de dé.
a. Quelles issues permettraient à Maria d’obtenir
lavictoire ?
b. Il est … que Maria gagne la partie.
Pour les exercices
8
et
9
, Claire et Jérémy tirent
à tour de rôle une boule dans leur urne opaque.
Le premier qui tire une boule rouge remporte la partie.
Après l’avoir tirée, ils remettent la boule dans l’urne.
8
Voici la composition des
deux urnes lors de la première
manche. Urne de
Jérémy
Urne de
Claire
a. Jérémy dit à Claire : « Il est plus probable que tu
gagnes la partie. ». Est-ce vrai ? Pourquoi ?
b. Que faudrait-il faire pour que le jeu soit équitable ?
9
Voici la composition
des deux urnes lors de la
seconde manche. Claire tire
une boule noire. Urne de
Jérémy
Urne de
Claire
a. Combien d’issues permettent à Jérémy de gagner
cette manche ?
b. Ce jeu est-il équitable ?
10
Ryan et Sofia décident
de jouer à la roue de loterie.
Chacun choisit une couleur
avant de lancer la roue.
Lorsque la roue s’arrête, la flèche
désigne la couleur gagnante.
a. Quelles sont les issues de cette expérience
aléatoire ?
b. Sofia choisit la couleur « Bleu ».
Combien d’issues lui permettent de gagner ?
c. Ryan choisit la couleur « Orange ».
Combien d’issues lui permettent de gagner ?
d. Ce jeu est-il équitable ?
11
Ryan et Sofia jouent
avec cette roue.
a. Quelles sont les issues de
cette expérience aléatoire ?
b. Quelle couleur faut-il choisir pour avoir le plus de
chances de gagner ?
12
Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes.
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Faire le point
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élémentaires de probabilités
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Aborder
la notion
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contact
35. Mettre en relation fréquence et probabilité
1
On possède un dé à 4faces
colorées. On lance 100 fois le dé et
on note à chaque fois la couleur de
la face obtenue.
Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répar-
tition de ces 100 lancers.
30
25
20
15
10
5
0
26 30
20 24
1. Déterminer la fréquence d’apparition:
a. de la couleur orange b. de la couleur verte
On suppose que le dé est équilibré.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a. la couleur orange ? b. la couleur verte ?
3. Expliquer l’écart entre les fréquences observées et
les probabilités.
2
On considère une urne opaque contenant
des boules vertes, rouges et bleues. On effectue
200tirages dans l’urne.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Boules
Nombre d’apparitions 67 70 …
Fréquence d’apparition ………
b. Voici la composition de l’urne. Sur
une échelle de probabilité, placer les
trois événements suivants : “Obtenir
une boule verte”, “Obtenir une boule
rouge”, “Obtenir une boule bleue”.
c. Expliquer l’écart entre les fréquences obtenues à
la questiona. et les probabilités de la questionb..
1. Fréquence
En répétant un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement se
stabilise autour d’un nombre. Ce nombre, qui est toujours compris entre 0 et 1, est la probabilité de voir
l’événement se réaliser.
Exemple 1 : Dix personnes P1 P2 … P10 lancent des pièces. Chaque personne effectue 20 lancers, puis 100 lancers, puis
1 000 lancers. On s’intéresse à l’événement « Obtenir Pile ».
Voici les résultats présentés sur trois graphiques.
0
0,25
0,5
0,75
1
Chaque personne
eectue 20 lancers.
Fréquence de Pile
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
0
0,25
0,5
0,75
1
Chaque personne
eectue 100 lancers.
Fréquence de Pile
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
0
0,25
0,5
0,75
1
Chaque personne
eectue 1 000 lancers.
Fréquence de Pile
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
Les fréquences
se stabilisent
autour de 0,5.
En réalisant un très grand nombre de lancers, la fréquence de Pile se stabilise autour de 0,5.
Par conséquent la probabilité de l’événement « Obtenir Pile » est 0,5.
2. Probabilité
Un événement peut être placé sur une échelle des
probabilités.
La probabilité d’un événement peut s’exprimer
sous forme décimale, sous forme fractionnaire ou
par un pourcentage.
Probabilité d’obtenir Pile = 0,5 =
1
2
=
50
100
= 50 %
Exemple 2 : Lorsque l’on lance un dé à 6faces,
les issues 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6, ont la
même probabilité de se réaliser: 1
6
.
C’est une situation d’équiprobabilité.
3. Estimer une probabilité
Dans certains cas, on ne peut faire qu’une estimation
de la probabilité d’un événement en réalisant un
grand nombre de fois l’expérience aléatoire.
Exemple 3 : On lance un volant de badminton.
Il tombe sur la jupe OU sur la tête.
Pour estimer la probabilité de l’événement « Levolant
tombe sur latête », on est obligé de réaliser un
grand nombre de lancers devolant et d’observer la
stabilisation de la fréquence.
Événement
impossible Événement certain
Obtenir Pile
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Bilan
35. Mettre en relation fréquence et probabilité
Proposition A B C
1. Je lance une pièce de monnaie
20 fois de suite.
J’obtiens 15 Pile et 5 Face.
Je n'ai pas obtenu autant
de Pile que de Face.
Ma pièce est truquée.
Je dois réaliser un très
grand nombre de fois
cette expérience pour
me prononcer.
Au prochain lancer,
la probabilité d'obtenir
Face est plus élevée que
celle d’obtenir Pile.
On fait tourner la roue et on
s’intéresse à la couleur du secteur
sur lequel la roue s’arrête. C'est une situation
d'équiprobabilité.
La probabilité d'obtenir
la couleur orange est plus
grande que celle d'obtenir
la couleur bleue.
La probabilité d'obtenir la
couleur bleue est
plus grande que
celle d'obtenir
la couleur orange.
La probabilité d'obtenir
la couleur bleue est
1
8
.
La probabilité d'obtenir
la couleur bleue
est 50%.
La probabilité d'obtenir
la couleur bleue est 0,5.
4. On a lancé 10000 fois une
pièce de monnaie. La fréquence
d’apparition de Face est de 65%.
Il est très probable que
ma pièce soit truquée.
Il est plus probable
qu'au prochain lancer
on obtienne Pile.
Il est plus probable
qu'au prochain lancer
on obtienne Face.
3
Quand on lance une punaise, elle tombe
sur la pointe ou sur le dos .
On a lancé 900 fois une punaise et on a représenté
les fréquences de l’issue « Sur la pointe » dans le
graphique ci-dessous.
0900800700600500400300200100
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10 Nombre de lancers cumulés
Fréquence d’apparition de l’issue Pointe
a. Décrire l’allure du nuage de points entre 0 et
300lancers, puis entre 600 et 900 lancers.
b. D’après le graphique, estimer la probabilité de
l’événement « La punaise tombe sur la pointe. »
4
On a réalisé 1 000 tirages dans un sac qui
contient des jetons qui sont soit jaunes, soit verts,
soit rouges, soit bleus. Après chaque tirage, on a
remis le jeton dans le sac. Les fréquences d’appari-
tions sont lisibles dans le graphique ci-dessous.
0900800 1 000700600500400300200100
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,2
0,1
0,3
Nombre de tirages
Fréquence d’apparition
a. Quelle est la couleur la plus présente dans le sac ?
Justifier la réponse.
b. D’après le graphique, estimer la probabilité d’ob-
tenir chacune des couleurs.
Pour les exercices
5
à
7
, on considère une urne
opaque qui contient des boules vertes et des boules
rouges. Pour chaque exercice :
a. Tracer une échelle des probabilités de longueur
6 cm.
b. Placer les événements « Obtenir une boule
rouge » et « Obtenir une boule verte ».
5 6 7
8
On fait tourner la roue
ci-contre et on s’intéresse à la
couleur du secteur sur lequel la
roue s’arrête.
1. Quelles sont les issues de
cette expérience aléatoire ?
2. Est-ce une situation d’équiprobabilité ? Expliquer.
3. Quelle est la probabilité :
a. d’obtenir un secteur vert ?
b. d’obtenir un secteur orange ?
c. d’obtenir un secteur bleu ?
9
Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes.
3.
2.
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contact
Pour représenter une expérience aléatoire, on peut
utiliser un arbre des issues physiques ou un arbre
des probabilités.
Exemple 1 : On tire une boule au hasard
dans une urne opaque.
Arbre des issues
4 boules
donc 4 issues
Arbre des probabilités
2 types de boules :
rouge et verte
3
–
4
1
–
4
1. Probabilités d’événements particuliers
La probabilité d’un événement certain est 1.
La probabilité d’un événement impossible est 0.
2. Evénements incompatibles
Exemple 2 : On lance un dé cubique à 6 faces.
Les événements « Obtenir un nombre pair » et
« Obtenir 5 » ne peuvent pas se réaliser en même
temps.
Ces deux événements sont incompatibles.
Lorsque deux événements sont incompatibles,
la probabilité pour que l’un ou l’autre se réalise
est égale à la somme des probabilités de ces deux
événements.
Dans l’exemple du lancer de dé, la probabilité de
l’événement « Obtenir un nombre pair ou 5 » est
donc égale à : 3
6
1
6
4
6
+=
.
3. Evénement contraire
Exemple 3 : On lance un dé cubique à 6 faces.
On s’intéresse à l’événement «Obtenir 1 ».
La probabilité de cet événement est 1
6
.
L’événement contraire est « NE PAS obtenir1 ».
La probabilité de l’événement contraire
se trouve aussi par le calcul: 11
6
5
6
−=
.
4. Expérience aléatoire à deux épreuves
Exemple 4 : Une urne contient deux boules vertes
et une boule rouge. On tire une première boule,
on note sa couleur, on la remet dans l’urne, puis on
tire une deuxième boule. On peut représenter cette
expérience à deux épreuves grâce à des arbres.
Arbre des issues Arbre des probabilités
1
–
3
1
–
3
1
–
3
2
–
3
2
–
3
2
–
3
Sur l’arbre des issues, on lit que la probabilité
d’« Obtenir deux boules rouges » est 1
9
.
Sur l’arbre des probabilités, on calcule le produit
des probabilités le long du chemin qui conduit à
obtenir deux boules rouges: ×=
1
3
1
3
1
9
.
36. Calculer des probabilités dans un contexte simple
Pour les exercices
1
et
2
,
on lance un dé à 6 faces.
Calculer la probabilité de chacun des
événements suivants :
1
a. Obtenir 4 ; b. Obtenir 7 ;
c. Obtenir un nombre pair ;
d. Obtenir 2 et 4 simultanément.
2
a. Obtenir un nombre entier ;
b. Obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ;
c. Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ;
d. Obtenir un nombre impair ;
e. Obtenir un nombre négatif.
3
On possède un dé à 6 faces sur lesquelles sont
inscrites les lettres V • A • L • I • S • E. On lance le dé
et on s’intéresse à la lettre qui s’affiche.
1. Représenter cette expérience à l’aide d’un arbre
des probabilités.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir:
a. une voyelle ? b. une consonne ?
c. une lettre du mot SALIVE ?
4
Une urne opaque contient 5 boules noires,
3boules vertes et 2boules rouges. On tire une boule
au hasard et on s’intéresse à sa couleur.
1. Représenter cette expérience aléatoire à l’aide
d’un arbre des probabilités.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir:
a. une boule noire ?
b. une boule rouge ?
c. une boule rouge ou une boule noire ?
d. une boule verte ?
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