34. Aborder des questions relatives au hasard ATTENDU DE FIN DE CYCLE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilités Reprendre contact • Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on connaît, a priori tous les résultats possibles, mais quand on réalise l’expérience on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire. • Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont les issues de l’expérience. • Obtenir une ou plusieurs issues constitue un événement. Exemple 1 : On lance une pièce de monnaie. C’est une expérience aléatoire : on sait que la pièce peut tomber sur Pile ou Face mais en la lançant on ne peut pas prévoir sur quel côté elle va tomber. Les issues de l’expérience sont Pile et Face. Obtenir Pile est un événement. Dans un jeu, on peut estimer les chances de réalisation d’un événement en utilisant les mots impossible, probable et certain. Exemple 3 : Au loto, on connaît toutes les combinaisons possibles. Il est peu probable de gagner car le nombre de combinaisons est très grand. Mais gagner n’est pas impossible. Exemple 4 : Voici trois urnes opaques différentes. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Ici, il est très probable de tirer une boule bleue car les boules bleues sont beaucoup plus nombreuses que les rouges. 14 h e P010-163-9782013953788.indd 76 85 % 27 % déo d co 2 Attribuer à chacune des situations ci-dessous, l’un des termes suivants : impossible, certain, peu probable ou très probable. a. Trouver un billet de 20 € par terre aujourd’hui. b. Noël aura lieu cette année le 25 décembre. c. Il va neiger pendant la première semaine du mois de janvier. d. Obtenir – 3 en lançant un dé ordinaire à 6 faces. e. Un élève de votre classe a son anniversaire demain. Risque de précipitations 84 % Ici, il est impossible de tirer une boule bleue car il n’y en a pas. Un jeu est équitable si les participants ont autant de chances de gagner au départ. 76 3 Voici un diagramme en bâtons représentant les risques de précipitations pendant un après-midi de novembre. Ici, il est certain de tirer une boule bleue car il n’y a que des boules bleues. Vi Exemple 2 : Lancer un dé à 6 faces est une expérience aléatoire : le dé peut tomber sur 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 mais en le lançant on ne peut pas prévoir sur quelle face il va tomber. Les issues possibles sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6. Obtenir 1 ou 3 est un événement. Obtenir un nombre pair est un événement. A 1 Parmi les expériences ci-dessous, lesquelles sont des expériences aléatoires ? Pour celles qui le sont, citer des issues possibles. a. Le temps qu’il fera demain. b. La note que j’aurai au prochain contrôle de maths. c. La face obtenue lors d’un lancer de dé à 6 faces. d. Jouer à « papier caillou ciseaux ». e. Tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. f. La face obtenue quand je lance un dé à 4 faces. Aborder la notion Mémento Des exemples d’expériences aléatoires : lancer un dé, jouer à Pile ou Face, jouer au loto, tirer une boule dans une urne opaque… Par tie urs 16 h 18 h 10 % 20 h a. Donner une plage horaire pendant laquelle il est très probable qu’il pleuve cet après-midi-là. b. À partir de quelle heure est-il peu probable de voir arriver la pluie ? 07/06/2016 18:35 34. Aborder des questions relatives au hasard ATTENDU DE FIN DE CYCLE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilités 4 Imaginer… a. une expérience aléatoire dont l’un des événements est impossible. b. une expérience aléatoire dont l’un des événements est certain. c. une expérience aléatoire dont l’un des événements est probable. Pour les exercices 5 à 7 , Maria et Alexandre s’affrontent en lançant un dé à 6 faces. Celui qui obtient le plus grand nombre gagne la partie. Recopier et compléter chaque phrase en utilisant les mots probable, certain ou impossible. 5 Alexandre a obtenu 3 au lancer de dé. a. Quelles issues permettraient à Maria d’obtenir la victoire ? b. Il est … que Maria gagne cette partie. 6 Maria a obtenu 1 au lancer de dé. a. Quelles issues permettraient à Alexandre d’obtenir la victoire ? b. Il est … qu’Alexandre ne perdra pas la partie. 7 Alexandre a obtenu 6 au lancer de dé. a. Quelles issues permettraient à Maria d’obtenir la victoire ? b. Il est … que Maria gagne la partie. Pour les exercices 8 et 9 , Claire et Jérémy tirent à tour de rôle une boule dans leur urne opaque. Le premier qui tire une boule rouge remporte la partie. Après l’avoir tirée, ils remettent la boule dans l’urne. 8 Voici la composition des deux urnes lors de la première manche. Urne de Urne de Jérémy Claire a. Jérémy dit à Claire : « Il est plus probable que tu gagnes la partie. ». Est-ce vrai ? Pourquoi ? b. Que faudrait-il faire pour que le jeu soit équitable ? 9 Voici la composition des deux urnes lors de la seconde manche. Claire tire Urne de Urne de Jérémy Claire une boule noire. a. Combien d’issues permettent à Jérémy de gagner cette manche ? b. Ce jeu est-il équitable ? 10 Ryan et Sofia décident de jouer à la roue de loterie. Chacun choisit une couleur avant de lancer la roue. Lorsque la roue s’arrête, la flèche désigne la couleur gagnante. Bilan 12 Par tie A a. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire ? b. Sofia choisit la couleur « Bleu ». Combien d’issues lui permettent de gagner ? c. Ryan choisit la couleur « Orange ». Combien d’issues lui permettent de gagner ? d. Ce jeu est-il équitable ? 11 Ryan et Sofia jouent avec cette roue. a. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire ? b. Quelle couleur faut-il choisir pour avoir le plus de chances de gagner ? Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes. Proposition A B 2. Je lance un dé à six faces et j'obtiens 4, alors : il est impossible que mon adversaire gagne. il est certain que je vais obtenir 4 au prochain lancer. une seule issue permet à mon adversaire de faire match nul. il est impossible que j’obtienne 4 au prochain lancer. je ne peux pas connaître à l'avance le résultat du prochain lancer. 3. Je joue à Pile ou Face avec une pièce équilibrée : j'ai autant de chances d'obtenir Pile que Face. il est plus probable que la pièce tombe sur Pile. il est plus probable que la pièce tombe sur Face. 4. Une urne opaque contient Il est plus probable que je Il est plus probable que je tire une boule bleue. 4 boules vertes et 3 boules bleues. tire une boule verte. Je peux savoir à l'avance la couleur de la boule que je vais tirer. 1. Lors d'une bataille de dé à six faces, j'obtiens 6, alors : C il est certain que je gagne la partie. Faire le point 77 P010-163-9782013953788.indd 77 07/06/2016 18:35 35. Mettre en relation fréquence et probabilité ATTENDU DE FIN DE CYCLE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilités Aborder la notion Reprendre contact Mémento 1. Fréquence En répétant un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement se stabilise autour d’un nombre. Ce nombre, qui est toujours compris entre 0 et 1, est la probabilité de voir l’événement se réaliser. Exemple 1 : Dix personnes P1 P2 … P10 lancent des pièces. Chaque personne effectue 20 lancers, puis 100 lancers, puis 1 000 lancers. On s’intéresse à l’événement « Obtenir Pile ». Voici les résultats présentés sur trois graphiques. Chaque personne effectue 20 lancers. Fréquence de Pile 1 0,75 0,5 0,25 0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Chaque personne effectue 100 lancers. Fréquence de Pile 1 0,75 0,5 0,25 0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Chaque personne effectue 1 000 lancers. Fréquence de Pile 1 0,75 0,5 0,25 0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Un événement peut être placé sur une échelle des probabilités. Événement Obtenir Pile Événement impossible certain 0 1 La probabilité d’un événement peut s’exprimer sous forme décimale, sous forme fractionnaire ou par un pourcentage. Probabilité d’obtenir Pile = 0,5 = 1 = 50 = 50 % 2 100 Les fréquences se stabilisent autour de 0,5. Dans certains cas, on ne peut faire qu’une estimation de la probabilité d’un événement en réalisant un grand nombre de fois l’expérience aléatoire. Exemple 3 : On lance un volant de badminton. sur la jupe OU Pour estimer la probabilité de l’événement « Le volant tombe sur la tête », on est obligé de réaliser un grand nombre de lancers de volant et d’observer la stabilisation de la fréquence. P010-163-9782013953788.indd 78 e déo d co 78 1 On possède un dé à 4 faces colorées. On lance 100 fois le dé et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répartition de ces 100 lancers. 30 25 20 15 10 5 0 26 30 20 24 2 On considère une urne opaque contenant des boules vertes, rouges et bleues. On effectue 200 tirages dans l’urne. a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Boules Nombre d’apparitions 67 70 Fréquence d’apparition … … b. Voici la composition de l’urne. Sur sur la tête. Vi Exemple 2 : Lorsque l’on lance un dé à 6 faces, les issues 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6, ont la 1 même probabilité de se réaliser : . 6 C’est une situation d’équiprobabilité. 3. Estimer une probabilité Il tombe A 1. Déterminer la fréquence d’apparition : a. de la couleur orange b. de la couleur verte On suppose que le dé est équilibré. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir : a. la couleur orange ? b. la couleur verte ? 3. Expliquer l’écart entre les fréquences observées et les probabilités. En réalisant un très grand nombre de lancers, la fréquence de Pile se stabilise autour de 0,5. Par conséquent la probabilité de l’événement « Obtenir Pile » est 0,5. 2. Probabilité Par tie … … une échelle de probabilité, placer les trois événements suivants : “Obtenir une boule verte”, “Obtenir une boule rouge”, “Obtenir une boule bleue”. c. Expliquer l’écart entre les fréquences obtenues à la question a. et les probabilités de la question b.. urs 07/06/2016 18:35 35. Mettre en relation fréquence et probabilité ATTENDU DE FIN DE CYCLE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilités 3 Quand on lance une punaise, elle tombe sur la pointe ou sur le dos . On a lancé 900 fois une punaise et on a représenté les fréquences de l’issue « Sur la pointe » dans le graphique ci-dessous. 0,50 Fréquence d’apparition de l’issue Pointe 0,40 0,30 0,20 0,10 Nombre de lancers cumulés 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 a. Décrire l’allure du nuage de points entre 0 et 300 lancers, puis entre 600 et 900 lancers. b. D’après le graphique, estimer la probabilité de l’événement « La punaise tombe sur la pointe. » 4 On a réalisé 1 000 tirages dans un sac qui contient des jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. Après chaque tirage, on a remis le jeton dans le sac. Les fréquences d’apparitions sont lisibles dans le graphique ci-dessous. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Fréquence d’apparition 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 Nombre de tirages a. Quelle est la couleur la plus présente dans le sac ? Justifier la réponse. b. D’après le graphique, estimer la probabilité d’obtenir chacune des couleurs. Pour les exercices 5 à 7 , on considère une urne opaque qui contient des boules vertes et des boules rouges. Pour chaque exercice : a. Tracer une échelle des probabilités de longueur 6 cm. b. Placer les événements « Obtenir une boule rouge » et « Obtenir une boule verte ». 5 Bilan 6 9 7 Par tie A 8 On fait tourner la roue ci-contre et on s’intéresse à la couleur du secteur sur lequel la roue s’arrête. 1. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire ? 2. Est-ce une situation d’équiprobabilité ? Expliquer. 3. Quelle est la probabilité : a. d’obtenir un secteur vert ? b. d’obtenir un secteur orange ? c. d’obtenir un secteur bleu ? Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes. Proposition A 1. Je lance une pièce de monnaie 20 fois de suite. J’obtiens 15 Pile et 5 Face. Je n'ai pas obtenu autant de Pile que de Face. Ma pièce est truquée. On fait tourner la roue et on s’intéresse à la couleur du secteur 2. sur lequel la roue s’arrête. C'est une situation d'équiprobabilité. La probabilité d'obtenir 3. la couleur bleue est 1 . 8 4. On a lancé 10 000 fois une pièce de monnaie. La fréquence d’apparition de Face est de 65 %. Il est très probable que ma pièce soit truquée. B C Au prochain lancer, la probabilité d'obtenir Face est plus élevée que celle d’obtenir Pile. La probabilité d'obtenir la La probabilité d'obtenir couleur bleue est la couleur orange est plus plus grande que grande que celle d'obtenir celle d'obtenir la couleur bleue. la couleur orange. Je dois réaliser un très grand nombre de fois cette expérience pour me prononcer. La probabilité d'obtenir la couleur bleue est 50 %. La probabilité d'obtenir la couleur bleue est 0,5. Il est plus probable qu'au prochain lancer on obtienne Pile. Il est plus probable qu'au prochain lancer on obtienne Face. Faire le point 79 P010-163-9782013953788.indd 79 07/06/2016 18:36 36. Calculer des probabilités dans un contexte simple ATTENDU DE FIN DE CYCLE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilités Mémento Pour représenter une expérience aléatoire, on peut utiliser un arbre des issues physiques ou un arbre des probabilités. Exemple 1 : On tire une boule au hasard dans une urne opaque. Arbre des issues 4 boules donc 4 issues Arbre des probabilités 3– 4 2 types de boules : rouge et verte 1– 4 1. Probabilités d’événements particuliers La probabilité d’un événement certain est 1. La probabilité d’un événement impossible est 0. 2. Evénements incompatibles Exemple 2 : On lance un dé cubique à 6 faces. Les événements « Obtenir un nombre pair » et « Obtenir 5 » ne peuvent pas se réaliser en même temps. Ces deux événements sont incompatibles. Exemple 3 : On lance un dé cubique à 6 faces. On s’intéresse à l’événement «Obtenir 1 ». 1 La probabilité de cet événement est . 6 L’événement contraire est « NE PAS obtenir 1 ». La probabilité de l’événement contraire se trouve aussi par le calcul : 1 − 1 = 5 . 6 6 Exemple 4 : Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge. On tire une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne, puis on tire une deuxième boule. On peut représenter cette expérience à deux épreuves grâce à des arbres. Arbre des probabilités 1 – 3 1 – 3 2 – 3 2 – 3 1 – 3 2 – 3 Sur l’arbre des issues, on lit que la probabilité d’« Obtenir deux boules rouges » est 1 . 9 Sur l’arbre des probabilités, on calcule le produit des probabilités le long du chemin qui conduit à obtenir deux boules rouges : 1 × 1 = 1 . 3 3 9 od co P010-163-9782013953788.indd 80 3 On possède un dé à 6 faces sur lesquelles sont inscrites les lettres V • A • L • I • S • E. On lance le dé et on s’intéresse à la lettre qui s’affiche. 1. Représenter cette expérience à l’aide d’un arbre des probabilités. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir : a. une voyelle ? b. une consonne ? c. une lettre du mot SALIVE ? 4 Une urne opaque contient 5 boules noires, 3 boules vertes et 2 boules rouges. On tire une boule au hasard et on s’intéresse à sa couleur. 1. Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre des probabilités. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir : a. une boule noire ? b. une boule rouge ? c. une boule rouge ou une boule noire ? d. une boule verte ? e dé 80 2 a. Obtenir un nombre entier ; b. Obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ; c. Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ; d. Obtenir un nombre impair ; e. Obtenir un nombre négatif. 4. Expérience aléatoire à deux épreuves Vi Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité pour que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme des probabilités de ces deux événements. Dans l’exemple du lancer de dé, la probabilité de l’événement « Obtenir un nombre pair ou 5 » est donc égale à : 3 + 1 = 4 . 6 6 6 3. Evénement contraire Arbre des issues A Pour les exercices 1 et 2 , on lance un dé à 6 faces. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : b. Obtenir 7 ; 1 a. Obtenir 4 ; c. Obtenir un nombre pair ; d. Obtenir 2 et 4 simultanément. Aborder la notion Reprendre contact Par tie urs 07/06/2016 18:36 ATTENDU DE FIN DE CYCLE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilités 36. Calculer des probabilités dans un contexte simple 5 Un jeu de 32 cartes est composé de 4 couleurs : Pique, Trèfle, Carreau, Cœur. On pioche une carte au hasard. 1. Calculer la probabilité de piocher : a. un carreau ; b. une carte rouge ; c. un roi ; d. l’as de pique. 2. Farhad a déjà en main l’as de carreau. Calculer la probabilité de piocher un carreau. 6 Voici un plateau d’un jeu d’échec. Mohamed pense à une case et Lydia doit retrouver la case choisie par Mohamed. Quelle est la probabilité que la case choisie par Mohamed soit : a. une case blanche ? b. une case de la colonne B ? c. une case de la 7e ligne ? d. la case avec la croix ? 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C D E F G H 7 On lance la roue de loterie ci-contre. Voici trois événements : Obtenir vert. Obtenir orange. Obtenir bleu ou vert. Pour chaque événement proposé, a. décrire par une phrase l’événement contraire. b. calculer la probabilité de l’événement contraire. 8 On considère une expérience aléatoire à deux épreuves : On pioche une boule dans une urne opaque, on note sa couleur et on remet la boule dans l’urne. On pioche une nouvelle fois dans la même urne et on note la couleur de la boule. 1. Représenter les issues de cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre ou d’un tableau. 2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements ci-dessous : a. obtenir deux boules vertes ; b. obtenir deux boules de couleurs différentes ; c. obtenir une boule bleue ; d. ne pas obtenir de boules vertes. Bilan 10 1. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. 2. On lance un dé à 6 faces. On s’intéresse à l’évènement « Obtenir un nombre strictement plus petit que 4 ». 3. On s’intéresse à la roue de loterie suivante : 3 A 9 On fait tourner deux roues de 5€ 5€ 10 € loterie de suite l’une après l’autre. 10 € 30 € Le montant désigné par la flèche re 20 € 30 € de la 1 roue est le montant gagné. 20 € e Sur la 2 roue, la couleur orange permet de doubler les gains. La couleur verte ne change pas les gains. 1. Représenter les issues de cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre ou d’un tableau. 2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : a. gagner 10 € à la fin de la partie ; b. gagner 20 € à la fin de la partie ; c. gagner au moins 30 € à la fin de la partie. Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes. Proposition 2 Par tie 1 4 6 5 A B C La probabilité d’obtenir deux fois Pile est 0,5. Une issue sur quatre permet d’obtenir deux fois Pile. La probabilité d’obtenir deux fois Pile est 0,25. La probabilité de cet événement est 4 . 6 L’événement contraire est « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4. » La probabilité de l’événement contraire est 3 . 6 Les évènements « Obtenir la couleur orange » et « Obtenir un nombre pair » sont incompatibles. Les évènements « Obtenir la couleur verte » et « Obtenir un nombre impair » sont incompatibles. Les évènements « Obtenir un nombre pair » et « Obtenir la couleur verte » sont incompatibles. Faire le point 81 P010-163-9782013953788.indd 81 07/06/2016 18:36