Corrigé du devoir n°8

MATHÉMATIQUES - Devoir surveillé nº7
Exercice 1 :
a) x ∈ ]0 ; 10]
b) x ∈ ]–∞ ; 0[ ∪ [0,25 ; +∞[
c) x ∈ ]–0,5 ; 0[
d) x ∈ ]0 ; 1016[
Exercice 3 :
1)

BAN + 
BAM = 
MAN = 90°.

D'autre part, BMA + 
BAM + 
ABM = 180°, donc : 
BMA + 
BAM = 180° – 90° = 90°.
Donc, 
BAN = 90° – 
BAM et 
BMA = 90° – 
BAM .


Donc, BAN et BMA sont égaux.
Remarque : on dit que deux angles sont complémentaires lorsque leur somme vaut un angle droit.
Ici, 
BAN et 
BAM sont complémentaires, ainsi que 
BMA et 
BAM .
Comme 
BAN = 
BMA , alors tan ( 
BAN ) = tan ( 
BMA ).
BN BA
=
Donc (par définition de la tangente) : .
BA BM
2)
3)
4)
5)
6)
En remplaçant, dans l'équation obtenue à la question 1), BM par x, BN par f (x) et BA par 1, on f x  1
1
= , soit f  x= .
trouve :
1
x
x
Ici, x est positif, puisque c'est une distance. Or, on sait (leçon) que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[. Donc f est décroissante.
Géométriquement, on remarque que lorsque MB augmente (M s'éloigne de B), BN diminue (N se rapproche de B). Traduction : lorsque x augmente, f (x) diminue. Ça correspond.
C'est un théorème classique de collège : dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de celle­ci. D'une façon équivalente, on sait que si un triangle AMN est rectangle en A, alors A appartient au cercle de diamètre [MN], et en appelant par exemple I le milieu de [MN], ça équivaut à : A appartient au cercle de centre I et de rayon IM (= IN).
On peut démontrer ce théorème de plusieurs façons. Par exemple, on peut compléter le triangle AMN pour former un rectangle AMPN. Comme AMPN est un rectangle, ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur, donc IA = IM.
On peut aussi démontrer que MAI et AIN sont tous deux isocèles en I... Bref.
MN MBBN 1
1
=
= x .
IA = IM, donc IA=
2
2
2
x
Vu la question précédente, il suffit de démontrer : IA  1.
Or le triangle AIB est rectangle en B, donc IA, qui est son hypoténuse, est le plus grand des trois côtés. En particulier, IA  AB, et comme AB = 1, IA  1. 1
1
1
x 1 donc x 2 .
On obtient une inégalité intéressante : pour tout x positif, 2
x
x
Ainsi : Quand ils sont positifs, la somme de deux nombres inverses est supérieure ou égale à 2.
 
 
 
Exercice 4 :
1)
C'est facile : C(x) = 5,5x + 1200. L'ensemble de définition est [0 ; 2000], puisque l'entreprise ne peut fabriquer plus de 2000 objets par jour.
2)
3)
4)
C  x 5,5 x1200 5,5 x 1200
1200
=
=

=5,5
. x
x
x
x
x
Remarque : la fonction Cm est définie sur ]0 ; 2000] (0 exclu.)
1
On sait que lorsque x est positif, quand x augmente, diminue (car la fonction inverse est x
décroissante sur ]0 ; +∞[.
1
1200
100
Donc, ici, quand x augmente, alors diminue, donc diminue, donc 5,5
diminue.
x
x
x
Ainsi, x et Cm(x) varient en sens inverse : Cm est décroissante.
On en déduit : C m  x=
On doit avoir : Cm(x)  7. C'est une inéquation, qu'on va résoudre :
1200
1200
1200
5,5
7  1,5  12001,5 x *  x donc x800 .
x
x
1,5
* : On n'a pas changé le sens de l'inégalité quand on a multiplié par x car on sait que x est positif.
Conclusion : pour faire un bénéfice, il faut fabriquer au moins 800 objets.
5)
Lorsque l'entreprise fabrique 400 objets, le coût moyen de production est : C m400=5,5
Donc le prix de vente doit être au minimum de 8,5 €, sinon l'entreprise est en déficit.
6)
1200
=8,5 .
400
Comme la fonction Cm est décroissante, Cm(x) est minimal lorsque x est le plus grand possible, autrement dit lorsque x = 2000. Dans ce cas, le coût moyen de production d'un objet est de : 1200
C m2000=5,5
=6,1 . On peut illustrer ceci par un tableau de variation :
2000
x
0
2000
Cm(x)
6,1
Exercice 2 :
A, H
B
D, E
G
F
C