Corrigé du devoir n°8

MATHÉMATIQUES - Devoir surveillé nº7
Exercice 1 :
a) x ∈ ]0 ; 10] b) x ∈ ]–∞ ; 0[ ∪ [0,25 ; +∞[c) x ∈ ]–0,5 ; 0[ d) x ∈ ]0 ; 1016[
Exercice 3 :
1)
BAN
+
BAM
=
MAN
= 90°.
D'autre part,
BMA
+
BAM
+
ABM
= 180°, donc :
BMA
+
BAM
= 180° – 90° = 90°.
Donc,
BAN
= 90° –
BAM
et
BMA
= 90° –
BAM
.
Donc,
BAN
et
BMA
sont égaux.
Remarque : on dit que deux angles sont complémentaires lorsque leur somme vaut un angle droit.
Ici,
BAN
et
BAM
sont complémentaires, ainsi que
BMA
et
BAM
.
Comme
BAN
=
BMA
, alors tan (
BAN
) = tan (
BMA
).
Donc (par définition de la tangente) :
BN
BA =BA BM
.
2) En remplaçant, dans l'équation obtenue à la question 1), BM par x, BN par f (x) et BA par 1, on
trouve :
fx
1=1 x
, soit
fx= 1
x
.
3) Ici, x est positif, puisque c'est une distance. Or, on sait (leçon) que la fonction inverse est décroissante
sur ]0 ; +∞[. Donc f est décroissante.
Géométriquement, on remarque que lorsque MB augmente (M s'éloigne de B), BN diminue (N se
rapproche de B). Traduction : lorsque x augmente, f (x) diminue. Ça correspond.
4) C'est un théorème classique de collège : dans un triangle rectangle, la médiane relative à
l'hypoténuse mesure la moitié de celle-ci.
D'une façon équivalente, on sait que si un triangle AMN est rectangle en A, alors A appartient au
cercle de diamètre [MN], et en appelant par exemple I le milieu de [MN], ça équivaut à : A appartient
au cercle de centre I et de rayon IM (= IN).
On peut démontrer ce théorème de plusieurs façons. Par exemple, on peut compléter le triangle AMN
pour former un rectangle AMPN. Comme AMPN est un rectangle, ses diagonales se coupent en leur
milieu et ont la même longueur, donc IA = IM.
On peut aussi démontrer que MAI et AIN sont tous deux isocèles en I... Bref.
5) IA = IM, donc
IA=MN
2=MBBN 2=1 2
x1
x
.
6) Vu la question précédente, il suffit de démontrer : IA  1.
Or le triangle AIB est rectangle en B, donc IA, qui est son hypoténuse, est le plus grand des trois
côtés. En particulier, IA  AB, et comme AB = 1, IA  1.
On obtient une inégalité intéressante : pour tout x positif,
1
2
x1
x
1
donc
x1
x
2
.
Ainsi : Quand ils sont positifs, la somme de deux nombres inverses est supérieure ou égale à 2.
Exercice 4 :
1) C'est facile : C(x) = 5,5x + 1200. L'ensemble de définition est [0 ; 2000], puisque l'entreprise ne peut
fabriquer plus de 2000 objets par jour.

2) On en déduit :
Cmx= Cx
x=5,5 x1200 x=5,5 x x1200 x=5,51200 x
.
Remarque : la fonction Cm est définie sur ]0 ; 2000] (0 exclu.)
3) On sait que lorsque x est positif, quand x augmente,
1
x
diminue (car la fonction inverse est
décroissante sur ]0 ; +∞[.
Donc, ici, quand x augmente, alors
1
x
diminue, donc
1200
x
diminue, donc
5,5100
x
diminue.
Ainsi, x et Cm(x) varient en sens inverse : Cm est décroissante.
4) On doit avoir : Cm(x)  7. C'est une inéquation, qu'on va résoudre :
5,51200
x7
1200
x1,5
12001,5 x
* 
1200
1,5 x
donc
x800
.
* : On n'a pas changé le sens de l'inégalité quand on a multiplié par x car on sait que x est positif.
Conclusion : pour faire un bénéfice, il faut fabriquer au moins 800 objets.
5) Lorsque l'entreprise fabrique 400 objets, le coût moyen de production est :
Cm400=5,51200
400 =8,5
.
Donc le prix de vente doit être au minimum de 8,5 €, sinon l'entreprise est en déficit.
6) Comme la fonction Cm est décroissante, Cm(x) est minimal lorsque x est le plus grand possible,
autrement dit lorsque x = 2000. Dans ce cas, le coût moyen de production d'un objet est de :
Cm2000=5,51200
2000 =6,1
. On peut illustrer ceci par un tableau de variation :
x0 2000
Cm(x)6,1
Exercice 2 :
A, H
B
C
D, E
FG