Chapitre 4 - Fonctions-variations

Chapitre 4
Fonctions – variations
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CHAPITRE 4 : FONCTIONS – VARIATIONS
Enoncé :
Voici les représentations graphiques de plusieurs fonctions :
a. Courbe représentative de la fonction f
b. Courbe représentative de la fonction g
c. Courbe représentative de la fonction h
d. Courbe représentative de la fonction j
e. Courbe représentative de la fonction k
f. Courbe représentative de la fonction l
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1. Quelle serait une définition intuitive d’une fonction croissante ?
……………………………………………………………………………………………………………….
D’une fonction décroissante ?
……………………………………………………………………………………………………………….
Matérialiser en rouge sur l’axe des abscisses des courbes représentatives de f, g et h les
intervalles sur lesquels la fonction correspondante est croissante, et en vert les intervalles sur
lesquels elle est décroissante.
Synthèse : Compléter le tableau suivant :
Fonction
Ensemble de
définition de
la fonction
Intervalles sur lesquels la
fonction est croissante
Intervalles sur lesquels la
fonction est décroissante
f
g
h
2. Reprendre l’activité de l’aire du rectangle inscrite dans un triangle rectangle, page 61 du livre.
Que voit-on lorsque x varie de 0 à 1,5 ? → plus x augmente, plus l’aire ………………. .
Même question lorsque x varie de 1,5 à 3 ? → plus x augmente, plus l’aire ……………….. .
3. On considère la représentation graphique de j. On se place sur l’intervalle [−10 ; −6]. Si l’on
prend deux éléments a et b quelconques de cet intervalle tels que a
b, peut-on comparer
leurs images ? ………… Si oui, que vérifient-elles ? …………………………………………………
Répondre aux mêmes questions lorsqu’on se place sur l’intervalle [−6 ; −2], puis sur [−2 ; 2].
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
4. Reprendre ces questions avec les courbes représentatives de k et l (attention, selon l’ensemble
de définition, il peut y avoir des intervalles sur lesquels on ne pourra pas traiter la question) :
Que peut-on en déduire ? …………………………………………………………………………………
Dans tout ce paragraphe, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de
représentative f, et a un réel de l’intervalle I.
, de courbe
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1. Fonctions croissantes et décroissantes
Il s’agit d’exprimer mathématiquement le fait qu’une fonction « monte » ou « descend ».
Définitions et propriétés
f est dite croissante sur I si pour tous réels a f est dite décroissante sur I si pour tous réels
et b de I tels que a
b,
a et b de I tels que a
b,
f(a)
f(b).
f(a)
f(b).
Une fonction croissante conserve l’ordre :
pour tous réels u et v de I, f(u) et f(v) sont
rangés dans le même ordre que u et v,
autrement dit :
•
•
Si u
Si u
v, alors f(u)
v, alors f(u)
f(v) ;
f(v).
Une fonction décroissante « inverse »
l’ordre : pour tous réels u et v de I, f(u) et
f(v) sont rangés dans l’ordre contraire de u
et v, autrement dit :
•
•
Si u
Si u
v, alors f(u)
v, alors f(u)
f(v) ;
f(v).
f(v)
f(u)
f(u)
f(v)
u
o
v
u
o
v
Remarques :
• En remplaçant les inégalités larges dans la définition d’une fonction croissante par des
inégalités strictes, on dit alors que la fonction f est strictement croissante ;
• En remplaçant les inégalités larges dans la définition d’une fonction décroissante par
des inégalités strictes, on dit alors que la fonction f est strictement décroissante.
• Ces définitions ne sont valables que sur un intervalle I, et pas une réunion d’intervalles
disjoints.
Contre-exemple : Soit f la fonction définie sur [−3 ; 0[ ∪ ]0 ; 3] par ƒ(x) = 1/x. Sur
quels intervalles cette fonction est-elle décroissante. On considère u = −1 et v = 2.
f(u) = ……………… et f(v) = ………………, donc f(u) … f(v), ce qui contredit la
définition d’une fonction décroissante.
2. Variations d’une fonction
Étudier les variations d’une fonction, c’est étudier le(s) intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction est
croissante, décroissante ou éventuellement constante.
Ces résultats peuvent se résumer dans un tableau de variation, qui est une forme stylisée de courbe
représentative où l’on indique uniquement si la courbe monte, descend ou est stable. Dans la
première ligne on indique les valeurs importantes de x et dans la seconde les variations de f.
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Exemple
La fonction f représentée ci-contre est décroissante sur
[…… ; ……], croissante sur […… ; ……] et décroissante
sur […… ; ……] :
x
−2
−1
2
3
ƒ(x)
La ligne « x » se lit sur l’axe des ………………… et la
ligne « ƒ(x) » se lit sur l’axe des ………………… .
Remarques : Un tableau de variation d’une fonction donné sans la représentation graphique associée
amène donc plusieurs informations :
•
•
•
•
De plus, si la fonction présente une valeur interdite (comme dans le contre-exemple), on la matérialise par une double-barre : on reprend la fonction du contre-exemple : ƒ(x) = 1/x définie sur [−3 ; 0[
∪ ]0 ; 3]. Son tableau de variations est le suivant :
−3
0
3
x
ƒ(x)
Exercice : Reprendre les représentations graphiques de l’activité d’introduction, et dresser le tableau de
variations de chacune des fonctions correspondantes.
On fera bien attention au fait qu’une étude de variation faite à partir d’un graphique donné
ou d’une représentation graphique obtenue sur l’écran d’une calculatrice ne donne pas
forcément les mêmes résultats. En effet :
• pour une représentation graphique donnée, la convention graphique veut que les
points importants soient placés, ce qui nous permet de connaître avec précision les
variations ;
• pour une représentation graphique à la calculatrice, il peut y avoir de petites
variations que l’on ne peut voir sans effectuer un zoom ;
• si une fonction est donnée par son expression algébrique, il faut vérifier sa
croissance ou décroissance en utilisant la définition.
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Techniques pour montrer qu’une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle :
1. L’énoncé demande de montrer que la fonction f définie sur par ƒ(x) = 2x + 1 est
croissante. On se donne deux éléments a et b de tels que a
b. On applique ensuite les
règles d’ordre que nous avons étudié dans le mini-chapitre « Ordre, intervalles » :
(car la multiplication par un nombre positif ne modifie pas le sens)
a
b
2a
2b
2a + 1
2b + 1 (car l’addition d’un réel quelconque ne modifie pas le sens)
ƒ(a)
ƒ(b).
Le critère de la définition d’une fonction croissante est vérifié, la fonction f est donc bien
croissante.
1
est
x
b. On
2. L’énonce demande de montrer que la fonction g définie sur [1 ; +∞
∞[ par g(x) = x +
croissante. On se donne déjà deux réels a et b dans l’intervalle [1 ; +∞[ tels que a
essaye d’abord la méthode 1 :
1
1
1
1
1
a
b
1. On se retrouve avec a
b et
, et on ne peut pas
a
b
a
b
additionner membre à membre car les inégalités ne sont pas dans le même sens. Il faut
trouver une autre méthode !!!
On va calculer ƒ(b) − ƒ(a), et déterminer son signe sachant que a
b (cela veut dire qu’il
faille transformer l’expression de ƒ(b) − ƒ(a) de sorte que le résultat s’exprime sous forme
de produits ou quotients dont on peut déterminer le signe) :
1
1 1
a−b
1
1
= (b − a) 1 −
ƒ(b) − ƒ(a) = b + − a + = (b − a) + − = (b − a) +
a
b a
ab
ab
b
ab − 1
= (b − a)
.
ab
A partir de là, on fait un tableau de signes :
b−a
+
ab − 1
+
+
ab
+
ƒ(b) − ƒ(a)
car a
b
car a
1 et b
1 ab
1
car on vient de voir que ab
1
D’où ƒ(b) − ƒ(a)
0, c’est-à-dire ƒ(b)
ƒ(a), ou encore ƒ(a)
ƒ(b). Le critère de la
définition d’une fonction croissante est vérifié, donc f est bien croissante sur [1 ; +∞[.
Exercice d’introduction 1 : Reprendre l’activité p. 61.
Quel était le but du problème ?
En quelle valeur de x ce problème était-il satisfait ? x0 =
Quelle était la valeur correspondante de l’aire ? 0 =
Peut-on trouver une valeur différente de x0 telle que l’aire correspondante soit plus grande que
Finalement, quel est le terme qui qualifierait au mieux 0 ?
Exercice d’introduction 2 :
Un rectangle a un périmètre égal à 16 cm. On appelle x sa largeur.
1. Déterminer l’ensemble des valeurs que peut prendre x.
0
?
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2. Déterminer l’aire (x) du rectangle en fonction de x et donner son ensemble de définition.
3. Construire un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 0,25. Quelle semble être l’évolution de
l’aire du rectangle ? Quel semble être l’aire maximale ?
4. Montrer que 16 – (x) = x2 − 8x + 16, puis factoriser x² − 8x+16.
En déduire le signe de 16 – (x). Quelle est donc la plus grande valeur possible pour l’aire du rectangle
et pour quelle valeur de x est-elle atteinte ? Comparer avec les réponses obtenues à la question
précédente.
5. Observer ces résultats à l’aide de la courbe représentative de la fonction .
Dans ce paragraphe,
représentative .
f désigne toujours une fonction définie sur un intervalle I, de courbe
Définitions
On dit que f(a) est le maximum de f sur I On dit que f(a) est le minimum de f sur I
lorsque pour tout réel x de I, ƒ(x) … ƒ(a).
lorsque pour tout réel x de I, ƒ(x) … ƒ(a).
f( )
f( )
f( )
f( )
o
Remarque : On dit aussi que f admet un maximum (ou un minimum) en a sur I. La valeur du
maximum (ou du minimum) doit être une valeur atteinte par la fonction, comme le montre
l’exemple suivant.
Exemple : La fonction f définie sur par f (x) = x2 + 1 n’admet pas −1 comme minimum. En effet,
si on a bien f (x)
−1 sur , il n’existe pas de a tel que f (a) = −1.
Par contre 1 est bien le minimum de f sur car
• f (x)
1 pour tout x ∈
ET
• f (0) = 1.
On dira donc : le minimum de f sur
est 1 et il est atteint pour a = 0.
Dans ce paragraphe, f désigne toujours et encore une fonction définie sur un intervalle I, et
courbe représentative.
sa
Exercice :
a. Tracer à la calculatrice les courbes représentatives des fonctions ƒ(x) = x2 et g(x) = x3. Que
constate-t-on par rapport à ces courbes en terme de symétrie ?
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b. Recopier et compléter le tableau suivant :
x
ƒ(x)
ƒ(−x)
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
c.
g(x)
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g(−x)
Que pourrait-on conjecturer pour la fonction f ? Pour la fonction g ? Démontrer ces conjectures.
Définitions
Une fonction ƒ est dite paire sur I si pour tout Une fonction ƒ est dite impaire sur I si pour
réel x de I,
tout réel x de I,
ƒ(−x) = ………
ƒ(−x) = …………
Exercice 1
On considère la fonction f (x) = x2 − 6x + 5.
Conjecturer le tableau de variations de f à l’aide de sa
représentation graphique.
Démontrer la conjecture.
Indication :
1) Factoriser f (v) − f (u).
2) Déterminer le sens de variation de f sur [3 ;+ ∞ [.
3) Déterminer le sens de variation de f sur ]− ∞ ;3].
4) Établir le tableau de variation de f.
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur
par f (x) = x2 – 5.
On s’intéresse au minimum de f sur
1) Montrer que ƒ(x) 5.
2) Cela suffit-il pour déterminer le minimum de la
fonction f ?
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur
par f(x) = (x+1)²-2
1) Quel est le minimum de f sur
pour quelle
valeur de x est-il atteint ?
2) On souhaite étudier les variations de f sur .
Emettre une conjecture puis la démontrer.
Exercice 4
Tracer une courbe susceptible de représenter la
fonction f sachant que :
f est définie sur l’intervalle [-3 ; 3]
f est strictement décroissante sur [-3 ; -1]
f est strictement croissante sur [-1 ; 3]
pour tout x appartenant à [-3 ;3], -1 ≤ f(x) ≤ 4.
Exercice 5
Tracer une courbe susceptible de représenter la
fonction f sachant que :
f est définie sur l’intervalle [-3 ; 4]
f admet un minimum en -1 et un maximum en 2
les images de -3 et de 4 sont respectivement 2 et 1
0 a deux antécédents : -2 et 1
Exercice 6
Soit f la fonction définie sur par f (x) = 2(x + 1)2 − 3.
On note (Π) sa courbe représentative dans un repère
orthonormal.
1) Etudier les variations de f :
a. Sur ]- ∞ ;-1]
b. Sur ]-1 ; + ∞ [
2) En déduire le tableau de variations de f sur .
3) Tracer (Π).
(unité graphique : 1cm)
4) Soit (d) la droite d’équation y= −1. Calculer les
coordonnées des points d’intersection de (Π) et (d).
5) Résoudre l’inéquation ƒ(x)
−1. Interpréter graphiquement ce résultat.
6) Soit h la fonction affine définie par h(x) = 4x + 5.
On note (∆) sa courbe représentative.
a. Tracer (∆) dans le même repère que (Π).
b. Déterminer les points d’intersection à (Π) et (∆).