Analyse fonctionnelle - Université d`Orléans

Universit´e d’Orl´eans
UFR Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Master de Math´ematiques
M1S1MT05 – Analyse fonctionnelle
Automne 2007
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF1.html
Annexe : Compl´ements de topologie
D´efinitions : Une topologie sur un ensemble Xest une famille Tde parties de X
v´erifiant
•∅, X ∈ T ,
•Test stable par r´eunion quelconque : Uj∈ T ∀ j∈J=⇒Sj∈JUj∈ T ,
•Test stable par intersection finie : U1,...,UN∈ T =⇒U1∩... ∩UN∈ T .
(X, T) est un espace topologique.
Les ´el´ements de Tsont les ouverts de la topologie.
Autres notions de base : Ensemble ferm´e,voisinage d’un point, adh´erence d’une partie,
int´erieur d’une partie, fronti`ere d’une partie, continuit´e d’une application, comparaison
de topologies.
Exemples :
•La topologie grossi`ere T={ ∅, X },
•La topologie discr`ete T=P(X) ,
•La topologie m´etrique associ´ee `a une distance.
D´efinitions ´equivalentes de la topologie Tengendr´ee par une famille de parties Fd’un
ensemble X:
•Test la plus petite topologie sur Xcontenant F
( i.e. l’intersection des topologies sur Xqui contiennent F),
•Test constitu´ee des r´eunions quelconques A=Sj∈JAjd’intersections finies
Aj=Aj,1∩... ∩Aj,Njd’ensembles Aj,ℓ pris dans b F=F ∪ {∅, X }.
Les ensembles Ajsont appel´es ouverts fondamentaux .
Exemple : La topologie dans un espace m´etrique est engendr´ee par les boules ouvertes.
D´efinition : Soient fj:X→Xjune famille d’applications d’un ensemble Xdans des
espaces topologiques Xj. La topologie initiale pour les applications fj(ou topologie la
moins fine rendant continues les applications fj) est la topologie sur Xengendr´ee par
les ensembles f−1
j(Uj), avec Ujouvert dans Xj.
Propri´et´e universelle de la topologie initiale : Une application f:Y→Xd’un espace
topologique Ydans Xest continue si et seulement si chaque application compos´ee
fj◦f:Y→Xjest continue.
Exemples :
•La topologie produit sur X=Qj∈JXjest la topologie initiale pour les projections
prj:x= (xj)j∈J7−→ xjde Xsur Xj. Les ouverts fondamentaux sont les produits
U=Qj∈JUj, o`u Ujest ouvert dans Xjet Uj=Xjen dehors d’un nombre fini
d’indices j∈J.
•La topologie induite par un espace topologique Ysur une partie Xest la topologie
initiale pour l’inclusion i:X→Y. Elle est constitu´ee des intersections X∩Uavec X
des ouverts Ude Y.

D´efinition : Soient fj:Xj→Xune famille d’applications d’espaces topologiques Xj
dans un ensemble X. La topologie finale pour les applications fj(ou topologie la plus
fine rendant continues les applications fj) est d´efinie par
T={A⊂X|f−1
j(A) est ouvert dans Xj∀j}.
Propri´et´e universelle de la topologie finale : Une application f:X→Yde Xdans
un espace topologique Yest continue si et seulement si chaque application compos´ee
f◦fj:Xj→Yest continue.
Exemple : Soit Xun espace topologique, muni d’une relation d’´equivalence ∼. La
topologie quotient sur Y=X/ ∼est la topologie finale pour la projection canonique de
Xsur Y.
D´efinition : Un espace topologique Xest s´epar´e (ou de Hausdorff ) si deux points
distincts peuvent toujours ˆetre s´epar´es par des ouverts disjoints :
∀x, y ∈Xavec x6=y,∃U, V ouverts avec x∈U,y∈Vet U∩V=∅.
Exemple : Tout espace m´etrique est s´epar´e.
D´efinition : Un espace topologique Xest compact s’il est s´epar´e et s’il v´erifie les
conditions ´equivalentes de Borel–Lebesgue.
Quelques propri´et´es des espaces compacts :
•Un espace compact poss`ede la propri´et´e de Bolzano–Weierstrass (condition n´ecessaire,
mais pas suffisante en g´en´eral).
•Une partie d’une espace compact est compacte (pour la topologie induite) si et seule-
ment si elle est ferm´ee.
•Soit f:X→Yune application continue d’un espace compact Xdans un espace
topologique s´epar´e Y. Alors f(X) est compact et fest un hom´eomorphisme (i.e. une
application bijective bicontinue) de Xsur f(X), si fest injective.
Th´eor`eme d’Urysohn : Etant donn´e deux parties ferm´ees disjointes F0et F1dans
un espace compact X, il existe une fonction continue f:X→[ 0,1 ] ´egale `a 0 sur F0
et `a 1 sur F1.
Th´eor`eme de Tietze : Soit Yune partie ferm´ee d’un espace compact X. Alors toute
fonction continue f:Y→Cse prolonge en une fonction continue F:X→Cavec
max x∈X|F(x)|= max y∈Y|f(y)|.
Th´eor`eme de Tychonoff : Un produit X=Qi∈IXid’espaces topologiques est com-
pact si et seulement si chaque composante Xiest compacte.
Exemples :
•Le cube de Hilbert [ 0,1 ]Nest compact.
•Soient Xun ensemble et Yun espace topologique. Rappelons que YXd´esigne
l’ensemble des applications de Xdans Yet observons que la topologie produit sur YX
co¨ıncide avec la topologie de la convergence simple (ou ponctuelle). D’apr`es Tychonoff,
YXest compact si et seulement si Yest compact.
Lemme : Un produit X=Qi∈IXid’espaces topologiques est s´epar´e si et seulement si
chaque composante Xiest s´epar´ee.
D´efinition : Une relation d’ordre (partiel) sur un ensemble Xest une partie Rde
X×Xtelle que
•(x, x)∈ R ∀ x∈X,

•(x, y)∈ R ,(y, x)∈ R =⇒x=y,
•(x, y)∈ R ,(y, z)∈ R =⇒(x, z)∈ R .
L’ordre est total si deux ´el´ements peuvent toujours ˆetre mis en relation.
Autre notation :
•x≤y⇐⇒ (x, y)∈ R
•x < y ⇐⇒ (x, y)∈ R et x6=y
Exemple : L’inclusion A⊂Best un ordre partiel sur les parties d’un ensemble X.
D´efinitions :
x∈Xest un majorant, resp. un minorant de A⊂Xsi x≥y, resp. x≤y∀y∈A.
x∈Xest maximal, resp. minimal si y≥x, resp. y≤x=⇒y=x.
Lemme de Zorn : Tout ensemble non vide ordonn´e inductif poss`ede un ´el´ement maxi-
mal (inductif signifie que toute partie totalement ordonn´ee poss`ede un majorant).
Remarques :
•Axiome de la th´eorie des ensembles, ´equivalent `a l’axiome du choix .
•Application 1 : Tout espace vectoriel Eposs`ede une base. Plus pr´ecis´ement, tout
syst`eme libre dans Epeut ˆetre compl´et´e en une base de E, et tout syst`eme de g´en´era-
teurs dans Epeut ˆetre ´epur´e en une base de E.
•Application 2 : Dans un anneau commutatif, tout id´eal est contenu dans un id´eal
maximal (th´eor`eme de Krull).
•Application 3 : th´eor`eme de Tychonoff
•Application 4 : th´eor`eme de Hahn–Banach
D´efinition : Un espace topologique est localement compact s’il est s´epar´e et si tout point
poss`ede un voisinage compact.
Exemple : Rnest localement compact.
Quelques propri´et´es des espaces localement compacts :
•Dans un espace localement compact X, tout point xposs`ede un syst`eme fondamental
de voisinages compacts (i.e. tout voisinage de xcontient un voisinage compact de x).
•Dans un espace localement compact X, une partie Yest localement compacte (pour
la topologie induite) si et seulement si Yest l’intersection d’une partie ouverte et d’une
partie ferm´ee de X.
•Tout espace localement compact est de Baire.
Proposition : Compactifi´e d’Alexandroff b X=X⊔ {∞} d’un espace localement com-
pact (non compact) X:
•Les ouverts Ude Xet les compl´ementaires b XrKdes parties compactes Kde X
constituent une topologie sur b
X,
•b Xest compact,
•Xest ouvert dans b Xet la topologie induite par b Xsur Xco¨ıncide avec la topologie
initiale de X.
Exemple : c Rn=Sn.
Propri´et´e fonctionnelle du compactifi´e d’Alexandroff : C( b X) = C0(X)⊕C.