I- Pendule de FOUCAULT

physique
année scolaire 2015-2016
◦
Corrigé du DS commun de physique n 3 - Mécanique
I-
Pendule de FOUCAULT
I.A -
Préliminaires
La pesanteur
On dénit le poids comme la somme de deux forces :
- l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet f~G ;
- la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre f~ie . La force d'inertie d'entraînement est une
correction devant l'attraction gravitationnelle. Elle s'oppose en partie à cette dernière et modie la direction du
poids par rapport à la verticale du lieu.
1.b) Le schéma demandé est le suivant :
1)
1.a)
1.c) La force d'inertie d'entraînement est la plus grande à l'équateur, là où l'on est le plus éloigné de
l'axe de rotation. C'est donc à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôles qu'il est le plus
grand : g dépend de la latitude. De la même façon, plus l'altitude est élevée, plus l'attraction gravitationnelle
est faible, et plus la force d'inertie est forte : g dépend de l'altitude.
2) Le pendule de Foucault au... pôle Nord !
2.a)
L'étude du pendule simple de longueur L accroché en P xe peut se faire avec un principe
fondamental de la dynamique, un théorème du moment cinétique ou un théorème énergétique. Le référentiel
est supposé galiléen, le système réduit à un point matériel M de masse m subissant la tension du pendule T~
suivant la direction OM , et le poids m ~g .
Puisque les deux forces appliquées sur M sont dans le même plan vertical, lâché sans vitesse initiale, le mouvement de M est dans un plan vertical. Comme il est aussi dans le plan horizontal, la trajectoire de M est rectiligne.
On repère le pendule par θ, l'angle qu'il fait avec la verticale.
Par exemple,
l'énergie potentielle de pesanteur est Ep = m g z = −m g L cos θ,
et l'énergie cinétique Ec = 21 m v 2 = 12 m L2 θ̇2 .
La conservation de l'énergie mécanique (car T~ ne travaille pas) donne
dEm
= m g L θ̇ sin θ + m L2 θ̇ θ̈ = 0
dt
p
soit, aux petits angles (sin θ ≈ θ) : θ̈ + ω 2 θ = 0 avec ω = Lg = 2π
T .
q
La période d'oscillation est donc T = 2π Lg = 16 s .
2.b) P est xe dans le référentiel terrestre, qui tourne dans le référentiel géocentrique en 24 heures dans
le sens trigonométrique. Aussi, le plan d'oscillation du pendule tourne dans le référentiel terrestre en 24 heures
dans le sens horaire.
I.B 3)
Le pendule de Foucault à Paris
Position du problème
Le schéma demandé est le suivant :
3.a)
spé P C , P C1∗ et P C2∗
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~ de la Terre dans le référentiel
L'expression, dans la base (~ux , ~uy , ~uz ), du vecteur rotation Ω
~ = Ω (sin θ ~ux + cos θ ~uz ) = Ω (cos λ ~ux + sin λ ~uz ) .
géocentrique est Ω
3.c) La force d'inertie de Coriolis est
3.b)
~ ∧ ~v = −2 m Ω (cos λ ~ux + sin λ ~uz ) ∧ (ẋ ~ux + ẏ ~uy )
f~iC = −2 m Ω
dans le cas du mouvement horizontal d'un point matériel M au voisinage de P . La force d'inertie de Coriolis
est donc : f~iC = 2 m Ω (sin λ ẏ ~ux − sin λ ẋ ~uy − cos λ ẏ ~uz ) .
3.d) La force d'inertie de Coriolis verticale est
f~iCv = −2 m Ω cos λ ẏ ~uz
dont la norme est de l'ordre de
kf~iCv k ≈ 2 m Ω v ≈ 2 m Ω L
r
p
g
= 2mΩ gL
L
négligeable devant le poids du mobile car
kf~iCv k
≈ 2Ω
mg
s
L
4π
=
g
86400
r
67
= 3, 8 × 10−4 1
10
(cqfd).
Étude qualitative
La force d'inertie de Coriolis est orthogonale à la vitesse. On s'assure que cette force est à
droite de la vitesse (donc du mouvement) si sin λ > 0, c'est à dire dans l'hémisphère nord. Elle tend donc à
dévier le point matériel sur sa droite.
4.b) Le schéma de la trajectoire de ce point matériel M est le suivant :
4)
4.a)
Aussi, le plan d'oscillation du pendule tourne dans le référentiel terrestre dans le sens horaire.
Étude quantitative
−→
~f est dirigée selon −
5.a) La tension du l T
M P = (−x ~ux − y ~uy − z ~uz ), avec |x| et |y| L, donc
−z ≈ L, aussi, on a bien :
4.c)
5)
Tf étant la norme de la tension.
5.b)
Tf
T~f =
(−x ~ux − y ~uy + L ~uz )
L
Pour les petits angles, les forces appliquées au point M sont :
spé P C , P C1∗ et P C2∗
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• le poids m ~g = −m g ~uz ;
T
• la tension T~f = f (−x ~ux − y ~uy + L ~uz ) ;
L
• la force de Coriolis f~iCh = 2 m Ω (sin λ ẏ ~ux − sin λ ẋ ~uy )
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point M donne, puisque le mouvement est horizontal :
m (ẍ ~ux + ÿ ~uy ) = −m g ~uz +
Tf
(−x ~ux − y ~uy + L ~uz ) + 2 m Ω (sin λ ẏ ~ux − sin λ ẋ ~uy − cos λ ẏ ~uz )
L
La projection suivant ~uz donne (en négligeant la projection verticale de la force de Coriolis veant le poids) :
m g = Tf
et les deux autres projections :
(
T
mẍ = − Lf x + 2 m Ω sin λ ẏ
T
mÿ = − Lf y − 2 m Ω sin λ ẋ
En utilisant m g = Tf et en simpliant par m, on trouve bien : soit
avec ω =
ẍ = −ω 2 x + α ẏ
ÿ = −ω 2 y − α ẋ
et α = 2 Ω sin λ .
En posant f = x + i y , on a
pg
L
5.c)
f¨ = ẍ + i ÿ = −ω 2 x + α ẏ − i ω 2 y − i α ẋ = −ω 2 (x + i y) − i α (x +˙ i y)
soit une équation en f seulement : f¨ + i α f˙ + ω 2 f = 0 alors que les équations précédentes couplaient x et y .
5.d) Dans la mesure où il s'agit d'une équation diérentielle linéaire, du second ordre, à coecients
constants (complexes !), sans second membre, il faut utiliser l'équation caractéristique :
r2 + i α r + ω2 = 0
Comme ∆ = − α2 + 4 ω 2 < 0, on a
r=
−i α ± i
√
α2 + 4 ω 2
2
soient uniquement des racines complexes. La solution de la nouvelle équation diérentielle peut donc bien s'écrire
sous la forme
√
avec ω0 =
5.e)
• T0 = √
• et T 0 =
α2 +4 ω 2
2
f (t) = e−i Ω sin λ t c− e−i ω0 t + c+ e+i ω0 t
q
p
= Ω2 sin2 λ + ω 2 = Ω2 sin2 λ + Lg .
On trouve donc
2π
g
Ω2 sin2 λ+ L
2π
Ω sin λ
=
=
2π
q
2π
( 86400
)
2
sin2 (48◦ 510 )+ 9,8
67
2π
q
2
2π
( 86400
)
sin2 (48◦ 510 )
=
≈
2π
9,8
67
86400
sin(48◦ 510 )
= T soit T0 = 16 s,
= 11, 5 × 103 s soit un peu moins de 32 h.
ce qui coïncide avec les valeurs données dans le document introductif.
5.f ) Pour le pendule de Foucault au pôle Nord (λ = π2 ), on retrouve bien T 0 = 24 h.
Pour le pendule de Foucault à l'équateur (λ = 0) T 0 → ∞, ce qui laisse entendre que le plan d'oscillation du
pendule reste xe. ceci est cohérent avec le fait que la force d'inertie de Coriolis horizontale est nulle.
II-
Roue-vanne de Sagebien
Le volume d'eau compris entre deux pales distantes angulairement de β est ∆V = 21 βd(R02 − R2 ).
β
Pendant ∆t, si la roue tourne de β , la vitesse angulaire est ω = ∆t
et le volume qui est passé est
1)
∆V = Dv ∆t =
d'où
ω=
spé P C , P C1∗ et P C2∗
1
βd(R02 − R2 ) = d h0 v ∆t
2
β
2 d h0 v
=
∆t
d (R02 − R2 )
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soit ω =
2)
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2 h0 v
R02 −R2
.
La vitesse moyenne de la pale est vm =
R+R0
2 ω
. On veut donc que
vm
R + R0
(R02 − R2 )
(R0 − R) (R0 + R)
=
=
=
ω
2
2 h0
2 h0
soit soit h0 = R0 − R .
3,6×103
Dv
Dm
Comme Dv = ∆V
∆t = d h0 v , h0 = d v = ρ d v = 103 ×1,4×0,60 soit h0 = 4, 3 m.
Comme h0 = R0 − R, R0 = 4, 3 + 11 soit R0 = 15 m.
Enn ω = 2×4,3×0,60
soit ω == 50 r mmrad · s−1 .
152 −112
3) La relation fondamentale de l'hydrostatique projetée sur un axe vertical ascendant s'écrit
dont l'intégration donne : p1 (z) = p0 − ρ g z en amont et p2 (z) = p0 − ρ g (z + H) en aval.
4) La force de pression par unité de surface est
dP
dz
= −ρ g
−−
→
d2 F = (p1 (z) − p2 (z)) dx dz ~u = ρ g H dx dz ~u
où ~u est un vecteur unitaire orthogonal à la pale, dirigé dans le sens de l'écoulement. Cette force élémentaire étant la même partout sur la pale, la résultante s'applique au milieu de la pale et a pour expression
F~ = ρ g H d (R0 − R) ~u .
Pour calculer le moment, on peut utiliser la méthode du bras de levier : la force F~ a pour bras de levier
car elle s'applique au milieu de la pale car la densité de force est uniforme le long de la pale (et α ≈ 0) et
R+R0
2
~ = ρ g H d (R0 − R)
tend à faire tourner la roue dans le sens trigonométrique, aussi M
~ k = (pk − pk−1 ) d (R0 − R)
Sur chaque pale, on retrouve le moment M
tout, on trouve
5)
X
k
.
~ex . Du coup, en sommant
0
0
~ k = (p1 − p2 ) d (R0 − R) R + R ~ex = ρ g H d (R0 − R) R + R ~ex = M
~
M
2
2
Ca ne change donc rien.
6) AN :
Γ = 103 × 9, 80 × 3, 0 × 1, 4 ×
7)
R+R
2
0
R+R0
ex
2 ~
15, 32 − 11, 02
= 2, 3 × 106 N · m
2
La puissance P des forces mécaniques exercées sur la roue par l'eau est
P = Γω = ρgH d
soit
R02 − R2 2 h0 v
= ρ g H d h0 v
2
(R02 − R2 )
P = 103 × 9, 80 × 3, 0 × 1, 4 × 4, 3 × 0, 60 = 1, 1 × 105 W
Si l'écoulement est non uniforme il peut y a avoir des pertes par viscosité.
Si l'écoulement est non laminaire, il peut y a avoir des pertes par turbulence.
D'autre part, en dehors des pertes hydrauliques, la faible vitesse de rotation de la roue va imposer des
engrenages qui vont dissiper de l'énergie (frottements et glissement...).
9) On peut prendre une puissance de 150 chevaux - vapeurs pour une voiture :
8)
P 0 = 150 × 740 = 110 kW
qui est est du même ordre de grandeur que dans le cas de la roue-vanne de Sagebien.
Le moteur de voiture tourne à 3000 tours par minutes, soit un couple
Γ0 =
150 × 740
P
≈
= 350 N · m
ω
2π × 3000
60
qui est beaucoup plus petit que dans le cas de la roue-vanne de Sagebien.
spé P C , P C1∗ et P C2∗
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III-
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Approche documentaire : étude de la marche
La jambe assimilée à un pendule
Pendule simple.
L'étude du pendule simple de longueur L accroché en O xe peut se faire avec un principe fondamental de la
dynamique, un théorème du moment cinétique ou un théorème énergétique. Le référentiel terrestre est supposé
galiléen, le système réduit à un point matériel M de masse m subissant la tension du pendule T~ suivant la
direction OM , et le poids m ~g . On repère le pendule par θ, l'angle qu'il fait avec la verticale.
Par exemple,
l'énergie potentielle de pesanteur est Ep = m g z = −m g L cos θ,
et l'énergie cinétique Ec = 21 m v 2 = 12 m L2 θ̇2 .
La conservation de l'énergie mécanique (car T~ ne travaille pas) donne
1)
1.a)
dEm
= m g L θ̇ sin θ + m L2 θ̇ θ̈ = 0
dt
p
soit, aux petits angles (sin θ ≈ θ) : θ̈ + ω02 θ = 0 avec ω0 = Lg .
En admettant que l'oscillation de la jambe se fait avec la pulsation propre ω0 =
d'un pas est égale à la demi-période pendulaire
T0
T =
=π
2
s
L
=π
g
r
pg
L
=
2π
T0
, comme la durée
0, 90
= 0, 95 s
9, 81
On trouve un peu plus que les 0,8 secondes du document. En fait, la jambe n'est pas un pendule simple, mais
plutôt un pendule pesant (la masse n'est pas ponctuelle)...
1.b) Pendule pesant.
Cette fois-ci, l'énergie potentielle de pesanteur est Ep = m g z = −m g L2 cos θ,
et l'énergie cinétique Ec = 21 J Ω2 = 16 m L2 θ̇2 .
La conservation de l'énergie mécanique (car T~ ne travaille pas) donne
L
L2
dEm
= m g θ̇ sin θ + m
θ̇ θ̈ = 0
dt
2
3
q
soit, aux petits angles (sin θ ≈ θ) : θ̈ + ω02 θ = 0 avec ω0 = 23 Lg .
Cette fois-ci,
T0
T =
=π
2
s
2L
=π
3g
r
2 × 0, 90
= 0, 78 s
3 × 9, 81
On trouve les 0,8 secondes du document.
2) Le pendule inversé.
2.a) D'après le document :
• L est la longueur de la jambe tendue jusqu'à la hanche, axe de rotation ;
• a est la longueur du pas ;
• h est la hauteur dont s'élève le corps lors de la marche.
Sur le schéma suivant apparaissent les longueurs L, a et h dénies dans le document :
2.b)
2.c)
La vitesse v est reliée à la longueur d'un pas a et à la durée d'un pas T : v = Ta .
Le système formé par la masse M et la jambe de masse nulle est xe et ressent :
spé P C , P C1∗ et P C2∗
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• le poids M ~g ;
• la force F~ de contact exercée par le sol sur la jambe ;
• la force d'inertie d'entraînement −M ~ae .
Quand la jambe est verticale, −M ~ae = −M Ω2 L ~uz .
2
Comme le nombre de Froude est le rapport entre la force d'inertie et le poids, F r = Ω g L .
~ + M ~g − M ~ae = ~0, d'où en projection Fz = M g − ω 2 L .
2.d) L'équilibre du système impose : F
p
Comme le contact du système avec le sol a lieu si Fz ≥ 0, alors soit Ω ≤ Lg . Le nombre de Froude doit donc
être inférieur ou égal à 1.
a
, soit v = Ta = L Ω. La précédente
2.e) Dans l'approximation des petits angles, Ω T = θ ≈ sin θ = L
√
inégalité nous donne : v ≤ vmax = L g .
√
Faisons l'application numérique : vmax = 1 × 9, 81 = 3, 1 m · s−1 , ce qui est cohérent avec le document :
"pour un adulte dont les jambes mesurent un mètre, cela correspond à une vitesse de l'ordre de trois mètres
par seconde, c'est-à-dire dix kilomètres par heure."
3) Etude énergétique
3.a) Comme M v 2 est une énergie, α est sans dimension. On peut penser que α ≈ 21 , soit comme ordre
de grandeur, 1.
3.b) L'élévation de la personne est
r
L2
h=L−
−
a 2 21
=L−L 1−
2L
a 2
2
Dans le cas des petits angles, L a, donc
1 a 2
h≈L−L 1−
2 2L
3.c)
a2
8L
=
Ainsi, l'expression de la puissance dépensée à vitesse constante en fonction de a est
v
P =
a
La puissance est minimale si
dP
da
a2
αM v + M g
8 L2
2
= 0, soit
q
8 α v2 L
g
=M
gv
αv +
a
a 8L
31
gv
−1
+
=0
a2
8L
α v3
ce qui donne a = aopt =
.
q
Dans le cadre du pendule pesant, on avait trouvé T = π 23 Lg . On a donc bien aopt ∝ T v , comme
dit dans le document.
5
3.e) Dans le document, pour L = 1 m et v = 3,6
= 1, 4 m · s−1 , aopt = 0, 75 m, donc
3.d)
α=
g a2opt
9, 81 × 0, 752
=
8 v2 L
8 × 1, 42 × 1
On trouve donc α = 0, 35 qui n'est pas très loin de 0,5.
4) Conclusion : un enfant.
4.a)
4.b)
4.c)
La durée optimale de son pas est T = π
√
q
2L
3g
=π
q
2×0,45
3×9,81
= 0, 55 s .
√
Sa vitesse maximale est vmax = g L = 9, 81 × 0, 45 = 2, 1 m · s−1 soit 7,6 kilomètres par heure.
a = aopt =
q
8 α v2 L
g
=
q
8 ×0,35×0,45
9,81
× 1, 4 = 0, 50 m .
Pour être dans le cas des petits angles, il faut que a L, ce qui n'est plus le cas ici... L'enfant va certainement
augmenter la fréquence de son pas.
spé P C , P C1∗ et P C2∗
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