Synthèse : géométrie dans l`espace

Ch 15 – synthèse – géométrie dans l’espace
JA
Synthèse : géométrie dans l’espace
a) Sujet 1 : Toulouse 1993
On donne une longueur a et on considère une pyramide SABCD de sommet S et dont la base
ABCD est un carré de côté a ; de plus on suppose que SA = a, SB = SD= a 2
a) démontrer que les faces ASB et ASD de la pyramide sont des triangles rectangles.
En déduire que (SA) est une droite perpendiculaire au plan qui contient la face ABCD.
b) calculer la longueur du segment [SC] en fonction de a.
Démontrer que les faces SBC et SDC de la pyramide sont aussi des triangles rectangles.
c) 1. Construire sur une feuille un carré ABCD puis tracer en utilisant uniquement la règle non
graduée et le compas le patron de cette pyramide.
2. Ecrire le programme de construction du patron.
b) Sujet 2 :
Une boîte de chocolats a la forme d’une
pyramide tronquée.
Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle
A’B’C’D’ de centre H’ sont dans des plans
parallèles. On donne :
AB = 6 cm ; BC = 18 cm ; HH’ = 8 cm ;
SH= 24 cm
1. calculer le volume V1 de la pyramide SABCD
de hauteur SH
2. quel est le coefficient k de la réduction qui
permet de passer de la pyramide SABCD à la
pyramide SA’B’C’D’ de hauteur SH’
3. En déduire le volume V2 de la pyramide
SA’B’C’D’ puis le volume V3 de la boîte de
chocolats.
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Correction
c) Sujet 1
a) Soit le triangle ASB
AS²+AB² = a² + a²= 2a²
SB² =( a 2 )²=2a²
AS²+AB²=SB²
D’après la réciproque du Théorème de Pythagore puisque AS²+AB²=SB² le triangle est rectangle en
A et SB est l’hypoténuse.
De même pour ASD rectangle en A.
Comme (SA) est perpendiculaire à (AB) et comme (AB) est une droite du plan ABCD, la droite (SA)
est perpendiculaire au plan qui contient ABCD.
Pr : une droite orthogonale à un plan si elle est orthogonale à une droite du plan.
b) Puisque (SA) est orthogonale au plan qui contient ABCD elle est orthogonale à 2 droites
sécantes du plan (en particulier (AC))
donc SAC est un triangle rectangle en A
SA = a AC = a 2 (diagonale du carré)
D’après le théorème de Pythagore
SC² = SA² + AC² = a² + 2a² = 3a² donc SC = a 3
SB² + BC² = 2a² + a² = 3a²
SC² = ( a 3 )²=3a²
BS²+CB²=SC²
D’après la réciproque du Théorème de Pythagore puisque BS²+CB²=SC² le triangle est rectangle en
B et SC est l’hypoténuse.
De même : SD² + DC² = 2a² + a² = 3a²
SC² = ( a 3 )²=3a²
DS²+CD²=SC²
D’après la réciproque du Théorème de Pythagore puisque DS²+CD²=SC² le triangle est rectangle en
D et SC est l’hypoténuse.
c)
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d) Sujet 2
1) V1 = 1/3 Base x H = 1/3 x AB x BC x SH = 1/3 x 6 x 18 x 24 = 864
V1 = 864 cm3
2) le coefficient de réduction est k =
3
2
3) V2 = k 3 xV1    x 864  256
3
V3 = V1 – V2 = 864 – 256 = 608
Donc V3 = 608 cm3
SH ' 24  8 2


SH
24
3
doù V2  256 cm3