Devoir Surveillé 2 : La géométrie dans l`espace - Wicky-math

2nde7
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DS2 - Espace
Devoir Surveillé 2 : La géométrie dans l’espace
Exercice 1. ABCDEF GH est un cube d’arête a, représenté dans l’exercice 3.
1. (a) Démontrer que EGCA, EF CD et BDHF sont trois rectangles
(b) En déduire que le milieu O de [AG] est équidistant des huit sommets du cube.
2. (a) Calculer la distance de O à chacun des huit sommets, en fonction de a
(b) En déduire le volume de la sphère de centre O qui passe par ces huits sommets
3. Calculer le rapport du volume de la sphère à celui du cube.
Exercice 2. On considère une pyramide régulière SABCD de sommet S, de base carrée ABCD dont
les faces latérales sont des triangles équilatéraux. On pose AB = a. On appelle I le milieu de [SA], J le
milieu de [SB] et O le centre de ABCD.
1. Faire une figure en prenant a = 5 cm.
√
2. Montrer que AC = a 2.
3. Démontrer (SA) et (SC) sont perpendiculaires.
4. Déterminer, en jusitifant les intersections suivantes :
(a) des plans (SAB) et (SBC)
(b) des plans (SAC) et (SBD)
(c) de la droite (SO) et du plan (ADC)
5. (a) Démontrer que les points A, C, S, O et I sont coplanaires.
(b) En déduire que les droites (CI) et (SO) sont sécantes. Que représente leur intersection pour le
triangle SAC ?
6. Déterminer la position relative des droites (SB) et (AC).
7. Démontrer que (IJ) est parallèle au plan (ABC).
Exercice 3. ABCDEF GH est un cube. I, J, K
et L sont les milieux respectifs des segments [AE],
[AB], [BC] et [CG]
1. Quelle est la nature du quadrilatère AILC ?
H
2. Démontrer que les droites (JK) et (AC) sont
parallèles.
G
E
F
3. En déduire que les droites (JK) et (LI) sont
parallèles
L
4. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont
coplanaires.
I
5. En déduire qu’elles sont sécantes en un point
S
D
C
K
6. Déterminer l’intersection des plans (ABF ) et
(F BC)
A
7. Démontrer que le point S appartient à la
droite (BF )
1
J
B