Devoir Surveillé 2 : La géométrie dans l`espace - Wicky-math

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Devoir Surveillé 2 : La géométrie dans l’espace
Exercice 1. ABCDEF GH est un cube d’arête a, représenté dans l’exercice 3.
1. (a) Démontrer que EGC A,EF C D et BDHF sont trois rectangles
(b) En déduire que le milieu Ode [AG]est équidistant des huit sommets du cube.
2. (a) Calculer la distance de Oà chacun des huit sommets, en fonction de a
(b) En déduire le volume de la sphère de centre Oqui passe par ces huits sommets
3. Calculer le rapport du volume de la sphère à celui du cube.
Exercice 2. On considère une pyramide régulière SABCD de sommet S, de base carrée ABC D dont
les faces latérales sont des triangles équilatéraux. On pose AB =a. On appelle Ile milieu de [SA],Jle
milieu de [SB]et Ole centre de ABCD.
1. Faire une figure en prenant a= 5 cm.
2. Montrer que AC =a√2.
3. Démontrer (SA)et (SC)sont perpendiculaires.
4. Déterminer, en jusitifant les intersections suivantes :
(a) des plans (SAB)et (SBC)
(b) des plans (SAC)et (SBD)
(c) de la droite (SO)et du plan (ADC)
5. (a) Démontrer que les points A,C,S,Oet Isont coplanaires.
(b) En déduire que les droites (CI)et (SO)sont sécantes. Que représente leur intersection pour le
triangle SAC ?
6. Déterminer la position relative des droites (SB)et (AC).
7. Démontrer que (I J )est parallèle au plan (ABC).
Exercice 3. ABCDEF GH est un cube. I,J,K
et Lsont les milieux respectifs des segments [AE],
[AB],[BC ]et [CG]
1. Quelle est la nature du quadrilatère AILC ?
2. Démontrer que les droites (J K )et (AC)sont
parallèles.
3. En déduire que les droites (J K )et (LI)sont
parallèles
4. Démontrer que les droites (I J )et (KL)sont
coplanaires.
5. En déduire qu’elles sont sécantes en un point
S
6. Déterminer l’intersection des plans (ABF )et
(F BC)
7. Démontrer que le point Sappartient à la
droite (BF )
A B
CD
E F
GH
I
J
K
L
1