Division euclidienne

#33
Division euclidienne
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Exercice 1.
(NEW)
Exercice 2.
Décomposition en puissances croissantes
Quel est le reste de la division de (X − 3)2n + (X − 2)n − 2 par (X − 2)2 ?
Soit A ∈ K[X] de degré > 0. Montrer que pour tout polynôme P ∈ Kn [X], il existe des polynômes
P0 , P1 , . . . , Pn uniques vériant :
(
Exercice 3.
deg Pi < deg A
P = P0 + P1 A + · · · + P n A n .
Linéarité du reste et du quotient
Soit B ∈ K[X] de degré n > 0. On considère les applications :
Φ : K[X] −→
P
7−→
Kn−1 [X]
R
et
Ψ : K[X] −→
P
7−→
K[X]
avec P = QB + R.
Q
1) Montrer que Φ et Ψ sont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images.
2) Simplier Φ(P1 P2 ).
Exercice 4.
Endomorphisme P 7−→ AP mod B
Soit E = K3 [X], A = X 4 −1, B = X 4 −X, et
Chercher Ker ϕ, Im ϕ.
Exercice 5.
Congruences
Exercice 6.
Congruences
Exercice 7.
Calcul de pgcd
ϕ: E
P
−→
7−→
E
reste de la div. euclid. de AP par B.
Soient P ∈ K[X], a, b ∈ K distincts, et α = P (a), β = P (b).
1) Quel est le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) ?
2) Trouver le reste de la division euclidienne de (cos θ + X sin θ)n par X 2 + 1.
Déterminer les polynômes P ∈ Q3 [X] divisibles par X + 1 et dont les restes des divisions par X +
2, X + 3, X + 4 sont égaux.
Calculer le pgcd de P et Q pour :
1) P = X 4 + X 3 − 3X 2 − 4X − 1
Q = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1
3) P = X 5 − iX 4 + X 3 − X 2 + iX − 1
Q = X3 + X2 − X − 1
2) P = X 4 − 10X 2 + 1
Exercice 8.
Q = X 4 − iX 3 + 3X 2 − 2iX + 2
Coecients de Bézout
Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈ K[X] tels que
U P + V Q = 1.
1) P = X 4 + X 3 − 2X + 1
2) P = X 3 + X 2 + 1
2
Q = X3 + X + 1
Q=X +X +1
14 septembre 2015
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Thierry Sageaux
Division euclidienne
Exercice 9.
Division de (X + 1)n − X n − 1 par X 2 + X + 1
Chercher le reste de la division euclidienne de (X + 1)n − X n − 1 par X 2 + X + 1.
Exercice 10.
Ensi P 90
Exercice 11.
Division de (X − 2)2 n + (X − 1)n − 1 par (X − 1)(X − 2)
Pour quels n ∈ N le polynôme (1 + X 4 )n − X n est-il divisible par 1 + X + X 2 dans R[X] ?
Soit Pn = (X − 2)2n + (X − 1)n − 1.
1) Montrer que Pn est divisible par X − 1 et par X − 2. On note Q1 et Q2 les quotients correspondant.
2) Montrer que Pn est divisible par (X − 1)(X − 2) et que le quotient est Q2 − Q1 .
3) Montrer que ce quotient est égal à :
(X − 2)2n−2 − (X − 2)2n−3 + · · · − (X − 2) + 1 + (X − 1)n−2 + (X − 1)n−3 + · · · + (X − 1) + 1 .
Exercice 12.
Calcul de restes
Exercice 13.
Divisibilité
Exercice 14.
Congruences
Exercice 15.
pgcd(X n − 1, X m − 1)
Exercice 16.
Degré minimal dans la formule de Bézout
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
1) de X 50 par X 2 − 3X + 2.
√ 17
par X 2 + 1.
2) de X + 3
√ 3
8
2
3) de X − 32X + 48 par X − 2 .
Trouver λ, µ ∈ C tels que X 2 + X + 1 divise X 5 + λX 3 + µX 2 + 1.
Soit P ∈ K[X] tel que les restes des divisions de P par X 2 + 1 et X 2 − 1 valent respectivement 2X − 2
et −4X . Quel est le reste de la division de P par X 4 − 1 ?
Soient m, n ∈ N∗ . Chercher pgcd(X n − 1, X m − 1).
Soient P, Q ∈ K[X] non nuls et D = pgcd(P, Q).


U P + V Q = D
1) Démontrer qu'il existe U, V ∈ K[X] uniques tels que : deg U < deg Q − deg D


deg V < deg P − deg D.
2)
Montrer que la méthode des divisions euclidiennes fournit U et V .
Exercice 17.
Application (U, V ) 7−→ U A + V B
Soient A, B ∈ K[X], p = deg A, q = deg B . On considère l'application :
Φ : Kq−1 [X] × Kp−1 [X] −→
(U, V )
7−→
Démontrer que : A ∧ B = 1 ⇐⇒ Φ est bijective.
Exercice 18.
pgcd(P (X), P (−X)) et ppcm(P (X), P (−X))
Soit P ∈ K[X]. Démontrer que pgcd(P (X), P (−X)) et ppcm(P (X), P (−X)) sont pairs ou impairs.
Exercice 19. A ◦ P |B ◦ P ⇒ A|B
Soient A, B, P ∈ K[X] avec P non constant. Montrer que si A ◦ P divise B ◦ P , alors A divise B .
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Thierry Sageaux
Kp+q−1 [X]
UA + V B
Division euclidienne
Solutions des exercices
Exercice 1.
−2nX + 4n − 1.
Exercice 4.
Im ϕ = {P ∈ E tel que X − 1 | P } (Bézout généralisé).
Ker ϕ = vect(X 3 + X 2 + X).
Exercice 5.
α(b − X) + β(X − a)
.
b−a
2) cos nθ + X sin nθ .
1)
Exercice 6.
P = λ((X + 2)(X + 3)(X + 4) − 6).
Exercice 7.
1) X + 1
2) 1
3) X 2 − iX + 1
Exercice 8.
1) 7U = X + 3, 7V = −X 3 − 3X 2 + X + 4
2) 3U = 2X 2 − X + 1, 3V = −2X 2 − X + 2
Exercice 9.

n

(−1) − 2
Substituer j à X ⇒ R = ((−1)n+1 − 1)(X + 1)


((−1)n + 1)X
si n ≡ 0 [3]
si n ≡ 1 [3]
si n ≡ 2 [3].
Exercice 10.
n ≡ 0 [6].
Exercice 11.
3) Faire le
produit.
Exercice 12.
50
1) (250 − 1)X
√ + 2 − 2 .
16
2) 2 X − 3 .
3) 192 X −
√ 2
2 .
Exercice 13.
λ = µ = −1.
Exercice 14.
−3X 3 + X 2 − X − 1.
Exercice 15.
n = qm + r ⇒ X n − 1 ≡ X r − 1 [X m − 1]. On applique la méthode des divisions euclidiennes entre n
et m ⇒ pgcd = X n∧m − 1.
Exercice 16.
2) Récurrence.
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Thierry Sageaux