Division euclidienne

Division euclidienne
Exercice 1. Décomposition en puissances croissantes
Soit A∈K[X] de degré >0. Montrer que pour tout polynôme P∈Kn[X], il existe des polynômes
P0, P1, . . . , Pnuniques vérifiant :
deg Pi<deg A
P=P0+P1A+. . . +PnAn.
Exercice 2. Linéarité du reste et du quotient
Soit B∈K[X] de degré n > 0. On considère les applications :
Φ:K[X]−→ Kn−1[X]
P7−→ Ret Ψ:K[X]−→ K[X]
P7−→ Qavec P=QB +R.
1) Montrer que Φet Ψsont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images.
2) Montrer que Φ(P1P2) = Φ(Φ(P1)Φ(P2)).
Exercice 3. Endomorphisme P7→ AP mod B
Soit E=K3[X], A=X4−1, B=X4−Xet ϕ:E−→ E
P7−→ reste de la div. euclid. de AP par B.
Chercher Ker ϕ, Im ϕ.
Exercice 4. Congruences
Soient P∈K[X], a, b ∈Kdistincts, et α=P(a), β=P(b).
1) Quel est le reste de la division euclidienne de Ppar (X−a)(X−b) ?
2) Trouver le reste de la division euclidienne de (cos θ+Xsin θ)npar X2+ 1.
Exercice 5. Congruences
Déterminer les polynômes P∈Q3[X] divisibles par X+ 1 et dont les restes des divisions euclidiennes
par X+ 2, X + 3, X + 4 sont égaux.
Exercice 6. Calcul de pgcd
Calculer le pgcd de Pet Qpour :
1) P=X4+X3−3X2−4X−1, Q=X3+X2−X−1.
2) P=X4−10X2+ 1, Q=X4−4X3+ 6X2−4X+ 1.
3) P=X5−iX4+X3−X2+iX −1, Q=X4−iX3+ 3X2−2iX + 2.
Exercice 7. Coefficients de Bézout
Montrer que les polynômes Pet Qsuivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈K[X] tels que
UP +V Q = 1.
1) P=X4+X3−2X+ 1, Q=X2+X+ 1.
2) P=X3+X2+ 1, Q=X3+X+ 1.
Exercice 8. Division de (X+ 1)n−Xn−1par X2+X+ 1
Chercher le reste de la division euclidienne de (X+ 1)n−Xn−1 par X2+X+ 1.
Exercice 9. Ensi P 90
Pour quels n∈Nle polynôme (1 + X4)n−Xnest-il divisible par 1 + X+X2dans R[X] ?
euclide.tex – jeudi 5 août 2010

Exercice 10. Division de (X−2)2n+ (X−1)n−1par (X−1)(X−2)
Soit Pn= (X−2)2n+ (X−1)n−1.
1) Montrer que Pnest divisible par X−1 et par X−2. On note Q1et Q2les quotients correspondant.
2) Montrer que Pnest divisible par (X−1)(X−2) et que le quotient est Q2−Q1.
3) Montrer que ce quotient est égal à :
((X−2)2n−2−(X−2)2n−3+. . . −(X−2) + 1) + ((X−1)n−2+ (X−1)n−3+. . . + (X−1) + 1).
Exercice 11. Calcul de restes
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
1) de X50 par X2−3X+ 2.
2) de (X+√3)17 par X2+ 1.
3) de X8−32X2+ 48 par (X−√2)3.
Exercice 12. Divisibilité
Trouver λ, µ ∈Ctels que X2+X+ 1 divise X5+λX3+µX2+ 1.
Exercice 13. Congruences
Soit P∈K[X] tel que les restes des divisions de Ppar X2+ 1 et X2−1 valent respectivement 2X−2
et −4X. Quel est le reste de la division de Ppar X4−1 ?
Exercice 14. pgcd(Xn−1, Xm−1)
Soient m, n ∈N∗. Chercher pgcd(Xn−1, Xm−1).
Exercice 15. Degré minimal dans la formule de Bézout
Soient P, Q ∈K[X] non nuls et D= pgcd(P, Q).
1) Démontrer qu’il existe U, V ∈K[X] uniques tels que : (U P +V Q =D
deg U < deg Q−deg D
deg V < deg P−deg D.
2) Montrer que la méthode des divisions euclidiennes fournit Uet V.
Exercice 16. Application (U, V )7→ UA +V B
Soient A, B ∈K[X], p= deg A,q= deg B. On considère l’application :
Φ:Kq−1[X]×Kp−1[X]−→ Kp+q−1[X]
(U, V )7−→ UA +V B.
Démontrer que : A∧B= 1 ⇔Φest bijective.
Exercice 17. pgcd(P(X), P (−X)) et ppcm(P(X), P (−X))
Soit Kun corps de caractéristique diffrénete de 2 et P∈K[X]. Démontrer que pgcd(P(X), P (−X)) et
ppcm(P(X), P (−X)) sont pairs ou impairs.
Exercice 18. A◦P|B◦P⇒A|B
Soient A, B, P ∈K[X] avec Pnon constant. Montrer que si A◦Pdivise B◦P, alors Adivise B.
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solutions
Exercice 3.
Im ϕ={P∈Etel que X−1|P}, Ker ϕ= vect(X3+X2+X).
Exercice 4.
1) α(b−X) + β(X−a)
b−a.
2) cos nθ +Xsin nθ.
Exercice 5.
P=λ((X+ 2)(X+ 3)(X+ 4) −6).
Exercice 6.
1) X+ 1
2) 1
3) X2−iX + 1
Exercice 7.
1) 7U=X+ 3, 7V=−X3−3X2+X+ 4.
2) 3U= 2X2−X+ 1, 3V=−2X2−X+ 2.
Exercice 8.
Substituer jàX⇒R=
(−1)n−2 si n≡0 (mod 3)
((−1)n+1 −1)(X+ 1) si n≡1 (mod 3)
((−1)n+ 1)Xsi n≡2 (mod 3).
Exercice 9.
n≡0 (mod 6).
Exercice 10.
3) Développer le produit.
Exercice 11.
1) (250 −1)X+ 2 −250.
2) 216(X−√3).
3) 192(X−√2)2.
Exercice 12.
λ=µ=−1.
Exercice 13.
−3X3+X2−X−1.
Exercice 14.
n=qm +r⇒Xn−1≡Xr−1 (mod Xm−1). On applique la méthode des divisions euclidiennes entre
net m⇒pgcd = Xn∧m−1.
Exercice 15.
2) Récurrence.
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