Division euclidienne

Division euclidienne
Exercice 1. Décomposition en puissances croissantes
Soit A ∈ K[X] de degré > 0. Montrer que pour tout polynôme P ∈ Kn [X], il existe des polynômes
P0 , P1 , . . . , Pn uniques vérifiant :
deg Pi < deg A
P = P0 + P1 A + . . . + Pn An .
Exercice 2. Linéarité du reste et du quotient
Soit B ∈ K[X] de degré n > 0. On considère les applications :
Φ:
K[X]
P
−→
7−→
Kn−1 [X]
R
et
Ψ:
K[X]
P
−→
7−→
K[X]
Q
avec P = QB + R.
1) Montrer que Φ et Ψ sont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images.
2) Montrer que Φ(P1 P2 ) = Φ(Φ(P1 )Φ(P2 )).
Exercice 3. Endomorphisme P 7→ AP mod B
4
4
Soit E = K3 [X], A = X − 1, B = X − X et ϕ :
E
P
−→
7−→
E
reste de la div. euclid. de AP par B.
Chercher Ker ϕ, Im ϕ.
Exercice 4. Congruences
Soient P ∈ K[X], a, b ∈ K distincts, et α = P (a), β = P (b).
1) Quel est le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) ?
2) Trouver le reste de la division euclidienne de (cos θ + X sin θ)n par X 2 + 1.
Exercice 5. Congruences
Déterminer les polynômes P ∈ Q3 [X] divisibles par X + 1 et dont les restes des divisions euclidiennes
par X + 2, X + 3, X + 4 sont égaux.
Exercice 6. Calcul de pgcd
Calculer le pgcd de P et Q pour :
1) P = X 4 + X 3 − 3X 2 − 4X − 1, Q = X 3 + X 2 − X − 1.
2) P = X 4 − 10X 2 + 1, Q = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1.
3) P = X 5 − iX 4 + X 3 − X 2 + iX − 1, Q = X 4 − iX 3 + 3X 2 − 2iX + 2.
Exercice 7. Coefficients de Bézout
Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈ K[X] tels que
U P + V Q = 1.
1) P = X 4 + X 3 − 2X + 1, Q = X 2 + X + 1.
2) P = X 3 + X 2 + 1, Q = X 3 + X + 1.
Exercice 8. Division de (X + 1)n − X n − 1 par X 2 + X + 1
Chercher le reste de la division euclidienne de (X + 1)n − X n − 1 par X 2 + X + 1.
Exercice 9. Ensi P 90
Pour quels n ∈ N le polynôme (1 + X 4 )n − X n est-il divisible par 1 + X + X 2 dans R[X] ?
euclide.tex – jeudi 5 août 2010
Exercice 10. Division de (X − 2)2n + (X − 1)n − 1 par (X − 1)(X − 2)
Soit Pn = (X − 2)2n + (X − 1)n − 1.
1) Montrer que Pn est divisible par X − 1 et par X − 2. On note Q1 et Q2 les quotients correspondant.
2) Montrer que Pn est divisible par (X − 1)(X − 2) et que le quotient est Q2 − Q1 .
3) Montrer que ce quotient est égal à :
((X − 2)2n−2 − (X − 2)2n−3 + . . . − (X − 2) + 1) + ((X − 1)n−2 + (X − 1)n−3 + . . . + (X − 1) + 1).
Exercice 11. Calcul de restes
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
2
1) de X 50 par
2.
√ X17 − 3X +
2) de (X + 3) par X 2 + 1. √
3) de X 8 − 32X 2 + 48 par (X − 2)3 .
Exercice 12. Divisibilité
Trouver λ, µ ∈ C tels que X 2 + X + 1 divise X 5 + λX 3 + µX 2 + 1.
Exercice 13. Congruences
Soit P ∈ K[X] tel que les restes des divisions de P par X 2 + 1 et X 2 − 1 valent respectivement 2X − 2
et −4X. Quel est le reste de la division de P par X 4 − 1 ?
Exercice 14. pgcd(X n − 1, X m − 1)
Soient m, n ∈ N∗ . Chercher pgcd(X n − 1, X m − 1).
Exercice 15. Degré minimal dans la formule de Bézout
Soient P, Q ∈ K[X] non nuls et D = pgcd(P, Q).
UP + V Q = D
deg U < deg Q − deg D
deg V < deg P − deg D.
2) Montrer que la méthode des divisions euclidiennes fournit U et V .
(
1) Démontrer qu’il existe U, V ∈ K[X] uniques tels que :
Exercice 16. Application (U, V ) 7→ U A + V B
Soient A, B ∈ K[X], p = deg A, q = deg B. On considère l’application :
Φ:
Kq−1 [X] × Kp−1 [X]
(U, V )
−→
7−→
Kp+q−1 [X]
U A + V B.
Démontrer que : A ∧ B = 1 ⇔ Φ est bijective.
Exercice 17. pgcd(P (X), P (−X)) et ppcm(P (X), P (−X))
Soit K un corps de caractéristique diffrénete de 2 et P ∈ K[X]. Démontrer que pgcd(P (X), P (−X)) et
ppcm(P (X), P (−X)) sont pairs ou impairs.
Exercice 18. A ◦ P | B ◦ P ⇒ A | B
Soient A, B, P ∈ K[X] avec P non constant. Montrer que si A ◦ P divise B ◦ P , alors A divise B.
euclide.tex – page 2
solutions
Exercice 3.
Im ϕ = {P ∈ E tel que X − 1 | P }, Ker ϕ = vect(X 3 + X 2 + X).
Exercice 4.
α(b − X) + β(X − a)
1)
.
b−a
2) cos nθ + X sin nθ.
Exercice 5.
P = λ((X + 2)(X + 3)(X + 4) − 6).
Exercice 6.
1) X + 1
2) 1
3) X 2 − iX + 1
Exercice 7.
1) 7U = X + 3, 7V = −X 3 − 3X 2 + X + 4.
2) 3U = 2X 2 − X + 1, 3V = −2X 2 − X + 2.
Exercice 8.

si n ≡ 0 (mod 3)
 (−1)n − 2
Substituer j à X ⇒ R = ((−1)n+1 − 1)(X + 1) si n ≡ 1 (mod 3)

((−1)n + 1)X
si n ≡ 2 (mod 3).
Exercice 9.
n ≡ 0 (mod 6).
Exercice 10.
3) Développer le produit.
Exercice 11.
50
1) (250 − 1)X
√+2−2 .
16
2) 2 (X − √3).
3) 192(X − 2)2 .
Exercice 12.
λ = µ = −1.
Exercice 13.
−3X 3 + X 2 − X − 1.
Exercice 14.
n = qm + r ⇒ X n − 1 ≡ X r − 1 (mod X m − 1). On applique la méthode des divisions euclidiennes entre
n et m ⇒ pgcd = X n∧m − 1.
Exercice 15.
2) Récurrence.
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