corrigé du CC2 - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1, L3 (ANAR)
Année 2016-2017
Contrôle continu 2
40 min
Justifiez toutes vos réponses ! ! ! Seuls les théorèmes, propositions, lemmes et
corollaires vus en cours pourront être admis, les exemples du cours et les exercices
faits en TD doivent être redémontrés. Les documents et les calculatrices ne sont pas
autorisés.
Le barème envisagé est entre parenthèses et est donné à titre indicatif.
Exercice 1. (Total 10 points) Soit Kun corps.
1. Déterminer les idéaux de K[X]/(X3). (3 points)
2. Lesquels de ces idéaux sont maximaux, lesquels sont premiers ? (7 points)
Corrigé 1. 1. Considérons le morphisme canonique π:K[X]→K[X]/(X3).
Comme ce morphisme est surjectif le théorème de correspondance des idéaux
livre une bijection entre les idéaux Jde K[X]qui contiennent ker(π) = (X3)
et les idéaux J/(X3)de K[X]/(X3). Les idéaux Jde l’anneau euclidien K[X]
sont de principaux de la forme (g)et (X3)⊂(g)si et seulement si gdivise X.
Si X3=g·havec het gnon inversibles, alors deg(g) + deg(h) = deg(X3) = 3
et donc gou hest de degré 1et , à inversible près, de la forme X−β. Ceci
implique que βest une racine de X3et donc β= 0. Il en résulte qu’à inversible
près les polynômes gsont 1, X, X2et X3. Les idéaux correspondants aux idéaux
(X3)⊆(X2)⊆(X)⊆(1) = K[X]sont donc (0) = (X3)/(X3)⊆(X2)/(X3)⊆
(X)/(X3)⊆(1) = K[X]/(X3).
2. (a) K[X]/(X3): Cet idéal n’est pas propre et donc il n’est ni maximal ni pre-
mier.
(b) (X)/(X3).Méthode 1 : L’inclusion (X)⊂(1) = K[X]est
stricte car, comme le corps Kest intègre, 1 = h·Ximplique
0 = deg(1) = deg(h) + deg(X)≥1qui est impossible. D’après le théorème
de correspondance l’inclusion (X)/(X3)⊂K[X]/(X3)est également stricte
et les inclusions ci dessus montrent que idéal (X)/(X3)⊂K[X]/(X3)est
propre et maximal (il est donc premier).
Méthode 2 : D’après le 3eThéorème d’isomorphisme
(K[X]/(X3))/((X)/(X3)) ∼
=K[X]/(X). Via la PU des anneaux po-
lynômes on étend le morphisme identité ϕ:K→K;a7→ aen un
morphisme d’évaluation ϕX→0:K[X]→K;f7→ f(0) dont le noyau est
(X). En effet (X)⊂ker(ϕX→0)et pour l’inclusion inverse nous divisons
f∈ker(ϕX→0)par X(possible car coefficient de tête 1) et nous obtenons
f−q·X=ravec r= 0 ou deg(r)=0. Donc r∈ker(ϕX→0)∩Ket
0 = ϕX→0(r) = r. Le morphisme ϕX→0étant surjectif par construction,
le 1er Théorème d’isomorphisme montre que K[X]/(X)∼
=Kqui est un
corps. Donc (X)/(X3)est un idéal maximal de K[X]/(X3).
1

(c) (X2)/(X3):Méthode 1:Nous avons X6∈ (X2). En effet si X=X2·h
avec h∈K[X], alors hest non nul et, comme K[X]est intègre,
1 = deg(X) = deg(X2) + deg(h)>2. Il en résulte que X6∈ (X2)/(X3)
alors que X·X=X2∈(X2)/(X3), ce qui montre que l’idéal (X2)/(X3)
n’est pas premier (et donc pas maximal).
Méthode 2 : D’après le 3eThéorème d’isomorphisme
(K[X]/(X3))/((X2)/(X3)) ∼
=K[X]/(X2). L’élément X=X+ (X2)
de K[X]/(X2)est non nul (unicité de l’écriture dans la K-base (1, X))
alors que X·X= 0. Donc l’anneau K[X]/(X2)n’est pas intègre et l’idéal
(X2)/(X3)n’est pas premier (et donc pas maximal).
(d) (0) : Les éléments X=X+(X3)et X2=X2+(X3)de K[X]/(X3)sont non
nuls (unicité de l’écriture dans la K-base (1, X, X2)) alors que X·X2= 0.
Donc l’anneau K[X]/(X3)∼
=(K[X]/(X3))/(0) n’est pas intègre et l’idéal
(0) n’est pas premier (et donc pas maximal).
Exercice 2. (Total 10 points)
1. Montrer que le polynôme h=X4+X3+X2+X+ 1 est irréductible dans
F2[X]. (4 points)
2. Déterminer un générateur du groupe multiplicatif L∗du corps L=F2[X]/(h).
(4 points)
3. Donner (sous la forme de votre choix) les éléments de L∗qui ne sont pas des
générateurs en indiquant leur ordre respectif. (2 points)
Corrigé 2. Supposons h=g1·g2dans F2[X]avec ginon inversibles. Comme F2est
un corps, F2[X]est intègre et donc les gisont non nuls. Comme les inversibles de
F2[X]sont dans F2\ {0}nous obtenons que deg(gi)≥1. Comme deg(g1) + deg(g2) =
deg(h) = 4, il existe un giavec deg(gi)∈ {1,2}. Les polynômes de degré 1de F2[X]
sont Xet X+ 1. Si un de ces polynômes divisait halors 0ou 1serait zéro de hce
qui n’est pas le cas. Donc deg(g1) = deg(g2) = 2 et les gin’ont pas de zéro dans
F2. Les polynômes de degré 2dans F2[X]sont X2=X·X,X2+ 1 = (X+ 1)2,
X2+X=X·(X+ 1) et X2+X+ 1. Le seul n’ayant pas de zéro dans F2étant
X2+X+ 1 nous obtenons h= (X2+X+ 1)2=X4+X2+ 1 ce qui est impossible car
deux polynômes de même degré sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients.
Donc hest irréductible et F2[X]/(h)est un corps à 2deg(h)= 24= 16 éléments. Le
groupe multiplicatif est cyclic d’ordre 16 −1 = 15 = 3 ·5et donc tout élément qui
n’est pas d’ordre 1,3ou 5est un générateur. Calculons l’ordre de Xen exprimant
les puissances dans la F2-base (1, X, X2, X3):X,X2,X3,X4=X3+X2+X+ 1
(car d’après le cours X4+X3+X2+X+ 1 = 0) et X5=X4+X3+X2+X= 1.
Les 4éléments d’ordre 5sont donc X, X2, X3et X4. Calculons l’ordre de X+ 1
en exprimant les puissances dans la F2-base (1, X, X2, X3):(X+ 1)2=X2+ 1,
(X+ 1)3=X3+X2+X+ 1 6= 1. Donc X+ 1 n’est ni d’ordre 5ni d’ordre 3et donc
est d’ordre 15, c’est un générateur de L∗. Les éléments d’ordre 3sont donc (X+ 1)5
et (X+ 1)10. Le dernier élément qui n’est pas un générateur est 1d’ordre un.
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