SPECIALITE 1/4 EXERCICE 1 (6 points)

SPECIALITE 1/4
EXERCICE 1 (6 points)
Les parties 1 et 2 sont indépendantes
Partie 1 : question de cours
• Rappel 1 : Croissance d’une fonction
Dire qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I signifie que pour tous
nombres a et b de I, si a < b alors f(a) < f (b).
• Rappel 2 : Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de bornes a et b (finies ou infinies). Alors,
pour tout réel k strictement compris entre les limites de f en a et en b , il existe au moins un
réel α de I tel que f(α)= k. Autrement dit, l’équation f (x ) = k admet au moins une solution
dans I
Démonstration avec β > α.
Supposons qu’il existe deux réels α et β tels que f (β ) = k et f (α) = k avec β distinct de.
Si β > α, alors f (β) > f (α) (On sait que f est strictement croissante), on a donc f (β) > k
Contradiction avec f (β ) = k. La supposition est donc fausse, et le réel α est unique
Partie 2 : Exercice
On donne la fonction f définie sur R par : f(x) = x
3
– 15x – 4
C est sa courbe représentative dans un repère.
a) Justifier la continuité de f sur R.
la fonction f définie sur R par : f(x) = x
3
– 15x – 4 est une fonction polynôme donc elle est
continue sur R.
b) Étudier les limites de f en - ∞ et en + ∞
En - ∞ et en + ∞
la fonction f définie sur R par : f(x) = x
3
– 15x – 4 est une fonction polynôme donc elle a
même limite - ∞ et en + ∞ que celle de son terme de plus haut degré.
Or lim
x→- oo
x
3
= - ∞ donc lim
x→ - oo
f(x) = - ∞
Et lim
x→ + oo
x
3
= + ∞ donc lim
x→ - oo
f(x) = + ∞
c) Déterminer les variations de f et dresser son tableau de variation.
la fonction f définie sur R par : f(x) = x
3
– 15x – 4 est une fonction polynôme donc elle est
dérivable sur R et f ’(x) = 3x² - 15
Signe de la dérivée :
f ’(x) = 0 ⇔ 3x² - 15 = 0 ⇔ x² = 5 ⇔ x = +/- 5
la fonction f’ est un trinôme du 2
nd
degré donc est toujours du signe de a en dehors de
l’intervalle formé par les racines. Ici a = 3 > 0 d’où
d) Tracer la courbe C
x
f '
f(x)
−∞
+
−∞
−
5
−
10 5 - 4
5
+
−
10 5 - 4
+
∞
+
∞

SPECIALITE 2/4
e) Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions dans R.
d’après le tableau de variation ( et la courbe ) la fonction f est continue, strictement
croissante sur ]-∞ ;- 5[ d’une valeur négative à une valeur positive, donc il existe un réel
α < - 5 tel que f(α) = 0.
De même, sur ] - 5 ; + 5 [, la fonction f est continue, strictement d’une valeur positive
à une valeur négative, donc il existe un réel - 5 < β < 5 tel que f(β) = 0.
Pour x > 5, il est clair que la solution est γ = 4
Conclusion : l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions dans R.
f) L’une des solutions est un nombre entier, donner un encadrement d’amplitude 10
-3
de
chacune des autres solutions α et β (avec α < β).
La calculatrice donne α = -3,732 et β = - 0,268
g) Étudier le signe de la fonction f.
D’après la courbe et les questions e et f,
x −∞ α
β γ + ∞
f(x) - + - +
En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation x
3
– 15x – 4 > 0
S = ] α ; β[ ∪ ]γ ; + ∞[
EXERCICE 2 ( 5 points)
Question 1 :
D = R f(x) = (x – 1)² f ’(x) = 2(x - 1)
Question 2 :
f(x) = e
2
x−
- 1 est négative sur [0 ; + ∞[ seulement
Question 3 :
y = f ’(2) (x – 2) + f(2)
Question 4 :
f ’(0) = 0 f ’(2) = 0 lim
x→+ oo
f(x) = 0
Question 5 :
La partie réelle de z
1
² est 0 | |
z
1
× z
2
= 2 2 z
1
z
2
= 1 - 3 – i(1 + 3)
4

SPECIALITE 3/4
EXERCICE 3 ( 5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;
→
u ,
→
v ) . On considère le
point A d’affixe 1 + i . On associe, à tout point M du plan d’affixe z non nulle, le point M'
d’affixe :
z’ = z – 1 – i
z
Le point M ' est appelé le point image du point M.
1. Déterminer, sous forme algébrique, l’affixe du point B’, image du point B d’affixe i.
z’ = i – 1 – i
i= -1 i= i
2. Montrer que, pour tout point M du plan d’affixe z non nulle, l’affixe z' du point M' est
telle que z' ≠ 1 . (On pourra raisonner par l’absurde).
Supposons que z’ = 1 alors z – 1 – i
z = 1 d’où z – 1 – i = z soit encore -1-i = 0 ce qui est
impossible donc z' ≠ 1
Dans tout ce qui suit, on pose z = x + iy avec x et y réels.
3. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe
du point M' est telle que
| |
z’ = 1
| |
z’ = 1 ⇔
z – 1 – i
z = 1 ⇔
| |
z – 1 – i
| |
z = 1 ⇔
| |
z – 1 – i =
| |
z ⇔
| |
x + iy – 1 – i =
| |
x + iy ⇔
| |
x – 1 + (y-1)i =
| |
x + iy ⇔
| |
x – 1 + (y-1)i ²=
| |
x + iy ² ⇔ (x – 1)² + (y – 1)² = x² + y² ⇔
(x² –2x + 1) + (y² – 2y + 1) = x² + y² ⇔ –2x + 1 – 2y + 1= 0 ⇔ – 2y = 2x – 2 ⇔
y = 1 – x équation de droite.
4. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction de x et y.
z – 1 – i
z = x + iy – 1 – i x + iy = [(x-1)+i(y-1)][x-iy] x² + y² = x(x-1) + y(y-1) + i[x(y-1) – y(x-1)] x² + y²
D’où Re(z’) = x² + y² - x – y
x² + y² et Im(z’) = y – x x² + y²
5. Quel est l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du
point M ' est un nombre réel ?
z’ réel ⇔ Im(z’) = 0 ⇔ y – x
x² + y² = 0 ⇔ y = x droite, 1
ère
bissectrice
EXERCICE 4 (4 points)
1. Trouver tous les couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant
a + b = 392
PGCD (a ; b) = 56
Si PGCD(a,b) = 56 alors il existe deux entiers naturels non nuls a’ et b’ premiers entre eux
tels que a = 56a’ et b = 56b’ d’où a + b = 392 devient a’ + b’ = 7
Les entiers naturels vérifiant a’ + b’ = 7 sont (1 ; 6) (2 ; 5) (3 ; 4)
Par conséquent les couples vérifiant le système sont (56 ; 336) (112 ; 280) (168 ; 224)
avec des rôles symétriques pour a et b.

SPECIALITE 4/4
2. a et b sont deux entiers naturels a non nuls tels que PGCD(a + b, ab) = 7.
a. En remarquant que a² = a(a + b) – ab, démontrer que 7 divise a².
Si PGCD(a + b, ab) = 7. alors 7 divise a+b et 7 divise ab et par conséquent toute
combinaison linéaire de a + b et ab donc =a(a + b) – ab c'est-à-dire a².
b. En déduire que 7 divise a.
Si 7 divise a² alors a² = 7k = (p
1
× p
2
× …)² où p
1
× p
2
× … est la décomposition de
a en facteurs premiers, comme 7 est premier, 7 est l’un de ces facteurs donc 7
divise a.
c. Montrer par une méthode analogue que 7 divise b.
Il suffit d’écrire b² = b(a + b) – ab, donc 7 divise b² et donc b
d. Démontrer que PGCD( a, b) = 7.
Comme 7 divise a et 7 divise b, alors 7 divise leur somme a +b et leur produit ab
donc 7 est un diviseur de a+b et ab,
De même si 7 est un diviseur de a+b et ab alors on a vu qu’il divisait a et b.
Les diviseurs de a et b sont donc ceux de a+b et ab, par conséquent
PGCD( a, b) = PGCD(a + b, ab) = 7