EXERCICE 1 (6 points) Les parties 1 et 2 sont indépendantes Partie 1 : question de cours • Rappel 1 : Croissance d’une fonction Dire qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I signifie que pour tous nombres a et b de I, si a < b alors f(a) < f (b). • Rappel 2 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I de bornes a et b (finies ou infinies). Alors, pour tout réel k strictement compris entre les limites de f en a et en b , il existe au moins un réel α de I tel que f(α)= k. Autrement dit, l’équation f (x ) = k admet au moins une solution dans I Démonstration avec β > α. Supposons qu’il existe deux réels α et β tels que f (β ) = k et f (α) = k avec β distinct de. Si β > α, alors f (β) > f (α) (On sait que f est strictement croissante), on a donc f (β) > k Contradiction avec f (β ) = k. La supposition est donc fausse, et le réel α est unique Partie 2 : Exercice On donne la fonction f définie sur R par : f(x) = x3 – 15x – 4 C est sa courbe représentative dans un repère. a) Justifier la continuité de f sur R. la fonction f définie sur R par : f(x) = x3 – 15x – 4 est une fonction polynôme donc elle est continue sur R. b) Étudier les limites de f en - ∞ et en + ∞ En - ∞ et en + ∞ la fonction f définie sur R par : f(x) = x3 – 15x – 4 est une fonction polynôme donc elle a même limite - ∞ et en + ∞ que celle de son terme de plus haut degré. Or lim x3 = - ∞ donc lim f(x) = - ∞ x→- oo Et x→ - oo x3 = + ∞ donc lim lim x→ + oo x→ - oo f(x) = + ∞ c) Déterminer les variations de f et dresser son tableau de variation. la fonction f définie sur R par : f(x) = x3 – 15x – 4 est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R et f ’(x) = 3x² - 15 Signe de la dérivée : f ’(x) = 0 ⇔ 3x² - 15 = 0 ⇔ x² = 5 ⇔ x = +/- 5 la fonction f’ est un trinôme du 2nd degré donc est toujours du signe de a en dehors de l’intervalle formé par les racines. Ici a = 3 > 0 d’où x −∞ f' f(x) −∞ + − 5 +∞ 5 + − +∞ 10 5 - 4 − 10 5-4 d) Tracer la courbe C SPECIALITE 1/4 e) Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions dans R. d’après le tableau de variation ( et la courbe ) la fonction f est continue, strictement croissante sur ]-∞ ;- 5[ d’une valeur négative à une valeur positive, donc il existe un réel α < - 5 tel que f(α) = 0. De même, sur ] - 5 ; + 5 [, la fonction f est continue, strictement d’une valeur positive à une valeur négative, donc il existe un réel - 5 < β < 5 tel que f(β) = 0. Pour x > 5, il est clair que la solution est γ = 4 Conclusion : l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions dans R. f) L’une des solutions est un nombre entier, donner un encadrement d’amplitude 10-3 de chacune des autres solutions α et β (avec α < β). La calculatrice donne α = -3,732 et β = - 0,268 g) Étudier le signe de la fonction f. D’après la courbe et les questions e et f, x +∞ −∞ α β γ f(x) + + En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation x3 – 15x – 4 > 0 S = ] α ; β[ ∪ ]γ ; + ∞[ EXERCICE 2 (5 points) Question 1 : D=R Question 2 : f(x) = (x – 1)² f ’(x) = 2(x - 1) −x f(x) = e 2 - 1 est négative sur [0 ; + ∞[ seulement Question 3 : y = f ’(2) (x – 2) + f(2) Question 4 : f ’(0) = 0 f ’(2) = 0 Question 5 : La partie réelle de z1² est 0 SPECIALITE |z1 × z2|= 2 2 lim x→+ oo f(x) = 0 z1 1 - 3 – i(1 + 3) = z2 4 2/4 EXERCICE 3 (5 points) → → Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v ) . On considère le point A d’affixe 1 + i . On associe, à tout point M du plan d’affixe z non nulle, le point M' d’affixe : z–1–i z’ = z Le point M ' est appelé le point image du point M. 1. Déterminer, sous forme algébrique, l’affixe du point B’, image du point B d’affixe i. i – 1 – i -1 z’ = = =i i i 2. Montrer que, pour tout point M du plan d’affixe z non nulle, l’affixe z' du point M' est telle que z' ≠ 1 . (On pourra raisonner par l’absurde). z–1–i Supposons que z’ = 1 alors = 1 d’où z – 1 – i = z soit encore -1-i = 0 ce qui est z impossible donc z' ≠ 1 Dans tout ce qui suit, on pose z = x + iy avec x et y réels. 3. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M' est telle que |z’| = 1 z–1–i |z – 1 – i| |z’| = 1 ⇔ z = 1 ⇔ = 1 ⇔ |z – 1 – i| = |z| ⇔ |x + iy – 1 – i|= |x + iy|⇔ |z| |x – 1 + (y-1)i|= |x + iy| ⇔ |x – 1 + (y-1)i|²= |x + iy|² ⇔ (x – 1)² + (y – 1)² = x² + y² ⇔ (x² –2x + 1) + (y² – 2y + 1) = x² + y² ⇔ –2x + 1 – 2y + 1= 0 ⇔ – 2y = 2x – 2 ⇔ y = 1 – x équation de droite. 4. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction de x et y. z – 1 – i x + iy – 1 – i [(x-1)+i(y-1)][x-iy] x(x-1) + y(y-1) + i[x(y-1) – y(x-1)] = = = z x + iy x² + y² x² + y² x² + y² - x – y y–x D’où Re(z’) = et Im(z’) = x² + y² x² + y² 5. Quel est l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M ' est un nombre réel ? y–x z’ réel ⇔ Im(z’) = 0 ⇔ = 0 ⇔ y = x droite, 1ère bissectrice x² + y² EXERCICE 4 (4 points) a + b = 392 1. Trouver tous les couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant PGCD (a ; b) = 56 Si PGCD(a,b) = 56 alors il existe deux entiers naturels non nuls a’ et b’ premiers entre eux tels que a = 56a’ et b = 56b’ d’où a + b = 392 devient a’ + b’ = 7 Les entiers naturels vérifiant a’ + b’ = 7 sont (1 ; 6) (2 ; 5) (3 ; 4) Par conséquent les couples vérifiant le système sont (56 ; 336) (112 ; 280) (168 ; 224) avec des rôles symétriques pour a et b. SPECIALITE 3/4 2. a et b sont deux entiers naturels a non nuls tels que PGCD(a + b, ab) = 7. a. En remarquant que a² = a(a + b) – ab, démontrer que 7 divise a². Si PGCD(a + b, ab) = 7. alors 7 divise a+b et 7 divise ab et par conséquent toute combinaison linéaire de a + b et ab donc =a(a + b) – ab c'est-à-dire a². b. En déduire que 7 divise a. Si 7 divise a² alors a² = 7k = (p1 × p2 × …)² où p1 × p2 × … est la décomposition de a en facteurs premiers, comme 7 est premier, 7 est l’un de ces facteurs donc 7 divise a. c. Montrer par une méthode analogue que 7 divise b. Il suffit d’écrire b² = b(a + b) – ab, donc 7 divise b² et donc b d. Démontrer que PGCD( a, b) = 7. Comme 7 divise a et 7 divise b, alors 7 divise leur somme a +b et leur produit ab donc 7 est un diviseur de a+b et ab, De même si 7 est un diviseur de a+b et ab alors on a vu qu’il divisait a et b. Les diviseurs de a et b sont donc ceux de a+b et ab, par conséquent PGCD( a, b) = PGCD(a + b, ab) = 7 SPECIALITE 4/4