Une interprétation des congruences relatives à la

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
J EAN -P IERRE S ERRE
Une interprétation des congruences relatives à la
fonction τ de Ramanujan
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 14, p. 1-17
9, no 1 (1967-1968),
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_1_A13_0>
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Séminaire
(Théorie
9e
14-01
des
nombres)
année, 1967/68 ,y
26 février 1968
n° 14
UNE INTERPRÉTATION DES CONGRUENCES RELATIVES
DE RAMANUJAN
À LA FONCTION
par Jean-Pierre SERRE
§
1. La fonction
T
1.1. Définition.
Posons
x~ ~n ~ 1)
Le coefficient de
est noté
T(n) .
[16~).
a :
Voici
On
quelques
La fonction
valeurs de
dans le
n
T ,
~
développement
T(n)
empruntées
1
T(5) =
4830
T(2) =
-24
T(6) =
-6048
T(3)
252
T(7) ~
-16744
T(8)
84480
,-(1)
=
=
T(4) - -1472
1.2. Premières
propriétés
de
=
en
D(x)
Ramanujan (cf. [5J,
série entière de
est la fonction de
à
T(9)
=
-113643
T( 10) =
-115920
...
T(300)
=
9458784518400
T.
On sait que, si l’on pose
est, à un facteur constant près, l’unique forme parabolique de
poids 12 (ou -~~2 , suivant les conventions adoptées) pour le groupe SL(2 ,
En particulier, pour tout nombre premier p , la fonction A est fonction propre
de l’opérateur de Hecke T , la valeur propre correspondante étant T(p)
(cf.,
par exemple, HECKE [6], p. 644-671). Ceci entraîne les propriétés suivantes, conet démontrées par MORDELL [14] :
jecturées par
la fonction A
(4)
ï(mn)
(5)
ï(p ) =ï(p ) ï(p)-p T(p~ )
=
ï(m) ï(n)
si
et
m
ï(n)
Ces formules ramènent le calcul de
1.3. La série de Dirichlet attachée à
n
sont
si
à celui de
entre
premiers
est
p
eux .
ï(p) ~
premier~
pour
p
n
l .
premier.
T .
Soit
la série de Dirichlet définie par
Les formules
T.
(4)
(5) équivalent
et
à la sui
vante :
De
plus,
dans le
la théorie de Hecke montre que
plan complexe,
est invariante par
Signalons à
des
ce
sujet
T
~s~
se
prolonge
en une
fonction entière
et que la fohction
i~-~
la
12 - s .
conjecture
de
Ramanujan
que l’on
peut formuler
de l’une
façons équivalentes suivantes :
-
Les racines du
-
Les racines du
-
s
L
On
aT(p)Î
polynôme
polynôme
2p 11 2
(~~
H
H
p ~X~
P
sont
imaginaires conjuguées 9
p -1I~2
sont de valeur absolue
.
§
2. Les congruences rel atives à
T
2.1. Résultats.
On
a
~ 13~~ .
des formules donnant
Plus
T(n)
modulo
2~1
y
37 > 53 >
7 , 23 , 691
précisément :
Puissances de
2. - On
trouve,
dans
~2~,
la valeur de
T(p)
mod
25 :
(cf.
LEHMER
En
fait,
cette congruence vaut
SWINNERTON-DYER
Puissances de
(non publié)
mod
2;
a
également
obtenu des congruences
3 . - On trouve
dans [15]
la valeur de
(non publié) a obtenu des
(mod 3) ou p -1 (mod 3) .
SWINNERTON-DYER
que
On
p = 1
congruences
T(p)
C 13 ~
démontre :
2~2
modulo
mod 3 :
modulo
36
ou
37
suivant
=
connait, pour l ’instant,
résidu quadratique mod 7 , et
ne
Puissances de
dents. On
plus précisément, LEHMER
.
dans
23 . - Le résultat
a (cf. WILTON [21]),
T(p)
la valeur de
pour
c’est
ce cas
a
ici
une
mod
p
forme
+
un
72
~‘0
que
lorsque
p
est
(LEHMER [l3]).
peu différente des
précé-
p ~ 23 :
T(p)
=
0
(mod 23)
si
p
est
(16) T(p)
=
2
(mod 23)
si
p
est de la forme
T(p)
=
-1
(mod 23)
si
p
est résidu
non
p as de la forme
résidu quadratique
u~
+
quadratique
u2
+
23v2 .
non
mod
23 ~
23v 2
mod
23,
mais n’est
[Soit
K =
~( --23 ).
décompose
se
Dire que
K
dans
en
u2
soit de la forme
deux idéaux
23v y
+
est résidu
p
T(p)
Telles sont les congruences
(4)
et
(5~,
en
on
p
et p ; pour que p
p soit p rinci al (rappe-
égal
3 ).]
à
1
(17)
mules
est
K
691 . - On
Puissances de
signifie que
premiers distincts p
il faut et il suffit que
lons que le nombre de classes de
mod 23
quadratique
=
connues
1
+
sur
p~~
(mod 691) .
T(p) ;
bien
entendu,
T(n) ,
déduit des congruences pour
en
utilisant les for-
quelconque.
n
2.2. Démonstrations.
Je
me
bornerai à de brèves
indications ;
pour
détails,
de
plus
voir
~2 ~? ~ 12 ~f
[13L [15], M, [21].
(a)
Considérons les séries d’Eisenstein de poids
Puisque
son
le carré de
linéaire de
est
E.et
E
une
forme modulaire de
~"~12"’6~T~ ’
En
691 , on obtient
691 , on trouve :
multipliant par
modulo
et
poids
12 :
12 , c’est
une
combinai-
de D; d’où:
(19)
duisant
6
~~ a =65520
°
des séries à coefficients
entiers, et,
en
ré-
d’où :
(21)
T(n)
Lorsque
(b)
gues
n
=
p
est
premier,
Les congruences
au
mod
691~ .
= 611(n~
°
cela donne bien la congruence
2a , 3~ , 5~ ~ ~
précédent (mais plus compliqués)
se
(17~e
démontrent par des arguments analo-
utilisant les fonctions
de
Ramanujan
(c)
(cf.
LEHMER
La congruence
2.3. Les zéros de
C13~~.
la f onction
Y a-t-il des nombres
particulier,
à
10~~2
premiers
T(p) =
tels que
p
la densité de l’ensemble des
et le
plus petit
[2l]):
WILTON
T .
T(p) =
tels que
p
T(p) =
tel que
p
0 ? On n’en connait pas. En
(cf. LEHMER [12], [13]) :
tout cas, les congruences ci-dessus entraînent
En
(cf.
résulte facilement de la suivante
modulo 23
0
est
un
est inférieure
0
nombre d’au moins
15
chiffres.
o
§ 3.
Les
représentations ~-adiques attachées
à
T
3.1. Notations.
algébrique de ,g; pour tout nombre premier £ , nous noterons
K la plus grande sous-extension de Q qui est non ramifiée en dehors de
~ . Une sous-extension finie de ~ est contenue dans
K~ si, et seulement si, la
Soit ~
une
clôture
y
valeur absolue de
son
L’extension
la
est
Si
p
est
élément de Frobenius
gaison près.
puissance
une
de
galoisienne ; soit
terminologie de GROTHENDIECK,
Spec(Z) - ~~~ .
son
discriminant est
Gal(K /Q)
nombre
un
F,
y
premier
qui est
un
& .
son
est le
Galois ;
groupe fondamental
distinct de
élément de
groupe de
£ ,
nous
dans
de
associerons à
défini à conju-
p
Soit
une
k
anneau, soit N
un
représentation linéaire
un
k)
et soit
k. Pour tout
dans
de
degré
de
p(F p
) de
l’élément
entier,
conjugaison près.;
est déterminé à
en
,~ ~
particulier~
polynôme
le
est bien défini.
Dans
ce
qui suit,
Z
ou
=
nous nous
lim
intéresserons surtout
ou Ql
au cas
où l’anneau
p étant
l’homomorphisme
=
est
k
continu.
3.2. Une conjecture.
C’est 1 a suivante :
CONJECTURE. - Pour tout nombre
il existe
prem.ier ~ ,
une
représentation linéaire
continue
V
où
est
un Ql-espace
2, satisfaisant à
vectoriel de dimension
la condition
suivante :
(C)
Hp
Pour tout nombre
premier p ~
le
polynôme
(X) du n° 1.3.
La condition (C) peut
être ref ormulée ainsi :
(Ct)
y
Pour t out
Dans la
ment
terminologie de
compatible
tionnel réduit
de
est
P
p~
au
polynôme
système
stricte-
égal
on a
C 17 ~ (chap. I, ~ 2~,
représentations Sadiques
les
p.
forment
rationnelles
un
de ,
à ensemble excep-
à ~ .
Remarques .
~ Ql*
1.° Soit
par l’action de
n°
1.2) ;
on
a
sur
la
représentation l-adique
les racines
p . La deuxième
ln-ièmes
partie
de
degré
donnée
chap. I,
de l’unité
de la condition
1
(24) équivaut
à
donc
2° Soit
plexe ;
l’élément d’ordre
c
il est défini à
conclut que
en
a
à isomorphisme
le fait que
p
de
induit par la
conjugaison près. D’après
3° La représentation
unique,
2
pour valeurs propres
dont la
p
près.
conjecture
Cela résulte de
est irréductible
(cf.
n° 5.1
1
(25) ,
et
on a
conjugaison
com-
det( p (c~ ~ ~ -1 .
On
-1 .
ci-dessus affirme l’existence est
(chap. I,
ci-après).
n°
2. 3~ ~
combiné
avec
3.3. Les représentations
Gal(K /Q)
existe, il y a un réseau
de V
cf. [17J (chap. I, n° 1.1). Autrement dit, on
qui est stable par
peut considérer p comme un homomorphisme de Gal(K l/Q) dans GL ( 2 , Zl) - et
non pas seulement dans
GL(2 ~ ~ ~ . (Noter toutefois qu’il n’y a plus unicité :
des réseaux différents peuvent donner des représentations non isomorphes. ) Par réObservons d’abord que, si
duction
modulo ln ,
on
en
03C1l :ô
déduit des
représentations
modulo ~n , cî. n° 2.1.
Or, pour certains ~n , on connaît explicitement
Une première vérification de la conjecture consiste donc à chercher, pour ces valeurs
une représentation
ayant les propriétés voulues. C’est ce
que
nous
allons faire.
3.4. Représentations correspondant
(a)
cas,
pour
Il
on
n’y
a
aucune
difficulté
aux
congruences du
modulo
§
2.
28 , 33 , 3 7
ou
691. Dans chaque
a :
p ~ ~ ’
triangulaire
avec
a
= 0 , 2 ,y 41 ,
1
ou
0
respectivement.
Toute
représentation
où
03C6 , 03C8 : Gal(Kl/Q)
(Z/lnZ)*
~
sont congrus
pondà
question.
(mod ln)) à
a
à
~11-al ,
et
t
X
x
rére
9
la
(b)
Le
Soit
C’est
de £
cas
E
une
=
23
et
le corps obtenu
n
adjoignant à Q
en
extension galoisienne
Galois est le
groupe 6
s’interprète
1
=
des
de g,
y
irréductible de degré
suivant que
s
2
de 6 ;
est d’ordre
quotient de
on
~~ -23~ . ~
formules (16)
ristique (mod 23). Comme r
(c)
me
Le
cas
2
de
est
conduit à douter de la
SWINNERTON-DYER
mérique
la
structure
ce
groupe
OL(2 .
r
23 ;
(On
son
groupe de
sait que
E
est
l’unique représentation
E~3
s
De
r
plus, puisque Gal(E/~) est
comme une représentation de
p 23
est irréductible
et
r
modulo
ont même
23 ,
cela
polynôme
un
caracté-
entraîne :
beaucoup moins évident que les précédents (et m’avait mêconjecture J). Heureusementy il a été traité par
plus probante de
D’après
a, si
montrent que
(non publié) ,
complète
on
Soit
l’équation
en
de trois lettres.
2, 1 , ou 3 .
peut considérer
Les
les racines de
ramifiée seulement
permutations
le corps de classes absolu du corps
de la manière suivante :
et
la
son
résultat constitue
fait la vérification
nu-
conjecture générale. SWINNERTON-DYER obtient même
Im(p ) -
du groupe
en
qu’il m’a communiquée c’est
et pas seulement de
un
sa
réduction
sous-groupe ouvert d’indice
mod
3.2
la
2 .
du
3*5- La représentation
Bien que l’on n’ait pas de congruence donnant
(et
simple
de
server
que l’existence de la
se
p
pour
cause -
cf. n° 4.3
représentation
démontrer de la manière suivante :
On observe que
T(p) (mod 11) comme
ci-dess ous ) , SWINNERTON-DYER
03C111,1 (i.
e.
03C111
module
une
fonction
m’a fait ob-
11 ) peut
Or la fonction
parabolique de poids 2
De plus , on sait (cf. SHII4URA [l9j) qu’il lui corresponde
représentation l-adique : celle associée à la courbe elliptique
pour le groupe
une
y~
(28)
On
conclut que
en
groupe des
(cf.
est
+
y
une
isomorphe à
forme
en
fait
égale
la
10x - 20 .
représentation
de cette courbe
11
de
l’image
que
x~ - x~ -
=
de division par
[l9])
GL(2
est
p
points
SHIMURA
est
.
tout £ ,
pour
x~) N(l -
H(l -
x
p. y
est
qui
On observera
elliptique.
priori
a
dans le
de
sous-groupe de
un
tout entier. La situation est donc
à
bien différente de celle du numéro
précédente
où l’on
ne
rencontrait que des grou-
pes résolubles.
Dans
i.
l’existence des représentations
e.
donc être considérés
pourront
sera
ainsi que dans le
paragraphe,
ce
(ce qui
suivant,
p
on
admet la
conjecture
Les résultats énoncés
et
3. 2,
du n°
ne
démontrés que quand la conjecture elle-même le
comme
imminent, cf. § 6).
est
4.1. Densité.
ï(p) module ~ dépend
La valeur de
Vu le théorème de
Cebotarev (cf.
par
L’ensemble des nombres premiers
a
gru à un entier donné
en
question
est
(De façon plus précise,
A
et où
grue à
non
de Isolément
exemple [17 ], chap. I,
p y distincts
modulo ln ,
l’ensemble
uniquement
a une
densité ;
cela
T(p)
tels que
implique:
soit
con-
cette densité est > 0
si
vide.
cette densité est
égale à
A/B ,
est le nombre d’éléments de
B
où
est l’ordre de
dont la trace est
con-
,n
n
a
2. 2~ g
n°
module ~ . )
4.2. Indépendance des divers nombres premiers.
K ~ ~ _ 2 ~ 3 , 5 , ... )
Les extensions
cela
provient simplement
part lui-même. On
en
de
ce
que g
sont linéairement
n’admet
conclut que les valeurs de
extension
aucune
T(p)
modulo
disjointes
non
ramifiée!
2 y 3 ~ .*-
Q;
sur
à
sont
n.
indépendantes :
celle des
p
si la densité des
vérifiant toutes
ces
p
tels que
.--
a.
(mod li1)
conditions à la fois est le
produit
est
des
d. t
d..
Le même
argument de disjonction entraîne ceci :
Soient
;~
premier,
infinité de
et
n ~ 1 ,y
p0 premier
existe dans toute
en
(a, ~~ (En
cune
(mod ~n~ ~
P -
(mod ?
po
progression arithmétique
précis :
congruence
sur
f
an +
( a , b) =
1
et
premiers entre eux,
au-
b ,y
avec
modulo M
p
peut entraîner quoi
ne
ce
que
soit
sur
la valeur
modulo 11 .
vertu du
en
Aucune congruence
GL(2 ~
Cebotarev :
tout entier
soit le groupe
l’image de
3.5) implique,
sont deux entiers
N
.)
modulo N
Le fait que
et
M
si
4.3. Absence de congruence
n°
une
1 .
termes moins
T(p)
de
Il existe alors
tels que
p
T(P ~
et il
p0 ~ ~ .
avec
sur
théorème
de
n’entraîne quoi que
p
-
ce
soit
sur
la valeur de
que soient les entiers
a,
b ,
c , avec
(cf.
T(p)
modulo 11 .
(Plus précisément : quels
infinité de nombres premiers
il existe
une
T-(p) ==
(mod 11) . )
c
Bien
entendu,
on
a un
4.4. Les nombres premiers
est facile de vérifier
généralement, si ~(x , Y) est
un corps de caractéristique zéro,
Plus
4l(p , T(p~~ -
tels que
En
effet,
on
Y~ >
bre
le
peut montrer
X
est
il
une
en
a une
ramène par
un
polynôme ~
et soit
premier,
alors
se
0
( cf .
l’ensemble des
"hyper-surface"
résulte quey si
Im(03C1l,1)
tous
ayant
ci-après)
E
numériquementy
une
ses
que
H.
au
cas
densité nulle.
comme
est
mesure
de Haar
dans .
(On
X
est
a
donc
nulle ; d’où
Soit
Tr(s)) =
Hae ’ et
de
H ,
remplacé
le
le résultat.
10-12
du n 0 2. 3 p ar
0 .)
un nom-
On
dans
son
on
0 . L’ensemble
X
intérieur est vide ;9
a
(X) =
rème de Cebotarev entraîne alors que la densité de l’ensemble des
E
Soit £
sous-groupe de
ouvert
tels que
A-adique
est de la forme
où $
coefficients
v
F
par la méthode
polynôme à deux variables, à coefficients
non identiquement nul,y l’ensemble des
p
considéré
de la variété
est la
ont
contient
un
argument facile
y
s
0
1,
densité nulle.
H. =
n° 5.1
T(p) =
tels que
p
a
p =
résultat analogue chaque fois que
SL(2 , Z/lZ) , propriété qu’il
indiquée dans [ 19 ~.
dans
tels que
p
( a , b) =
(mod b) et
p
0 . Le théotels que
4.5. Une congruence
(Je
me
borne ici à
l’a fait
me
observer,
6~ .
si
a vu
on
haut que
plus
Prenons,
p~ ~ 23 ~
Exemple :
particulier trivial. Toutefois,
peut certainement donner la valeur
un cas
particulieri
p
de la forme
=
59 =
62
+
modulo 23
est congru
p23 ~
en
p
u2
+
a
p
est
un
+
T(p)
de
à la
23v2 ;
23. ~.2 ~
9
232
modulo
représentation
on
T(~~ ~
=
-5189203740 ;
1
+
59~’~’ (mod 529) .
=
et
a
de
r
alors :1
vérifie bien que l’on
on
questions
sous-groupe ouvert de
été mentionné plus haut. On le démontre par
celle utilisée pour les "modules de Tate" des courbes
n°
SWINNERTON-DYER
23v2 .
§ 5. Compléments
5.1. L’image de
u2
de la forme
p
-5189203740
Ce résultat
comme
p .)
quel que soit
On
232 .
modulo
méthode analogue à
une
elliptiques
( ~ 17 ~,
chap. IV,
2.2) :
Tout
d’abord,
on
peut supposer
p
semi-simple
(sinon,
l’algèbre
de Lie de
"semi-simplifiée" Soit gl ~ M2 (Ql)
comme
groupe de Lie
réductive,
donc de la forme
puisque
c
x 5 , avec
est
p. j/
C
on
semi-simple,
abélienne et s
la
remplace par
sa
considérée
gl
est
une
algèbre
semi-simple. Si
a
~ ~ 0 ~ ~
est nécessairement
égale
l’algèbre
à
utilisant le fait que
Im( p,)
fie bien que
de Lie
gl
de
Im( p ~
formé d’homothéties. On
écarté,
cas
structure de
Im( p ~
d’indice
1
ou
2
qui
appliquant à
En
E
p
i.
il y aurait
qui signi-
ce
4p11 T(p)2,
e.
=
dans
de gl
existe dans
qu’il
au-dessus de
et
Pn
le théorème
qui est
ce
End(V.)
infinité de
une
est
N
Im( p ~
un
termes,
il existe
la
laquelle
sous-groupe ouvert
un
existerait
qu’il
est abélien. En d’autres
2 ,y
avec
V ,
est contenu dans le normalisateur
il s’ensuit
N y
M2 (Ql),
impossible. Or, si l’on avait s = 0 ,
opérerait de façon semi-simple sur V2 .
conclut
en
voit que le commutant
on
et que
ne.
et
Tr(03C1l(Fp))2/4,
tels que
Ce
abélienne,
serait
gl
est
était l’algèbre des homothéties de
Si
=
g.
en
est ouvert.
Il reste à montrer que le cas s = 0
l’algèbre
déduit que
en
on
SL ( 2 ~ ~ ~ ;
de Lie du groupe
p
absurde.
une
algèbre
de
i~ .
de
Vu la
sous-groupe ouvert
représentation
de [17] (chap. III,
n°
E
une
extension
p.
est abélien-
3.1),
on
voit
d’après le théorème
(chap. III, n° 2.3) ~ cela entraîne que toutes les représentations p1 (relatives
aux divers nombres premiers
~’ ~ ont la même propriété. En particulier, chacun des
1 ou 2 . C’est
groupes Im(03C1l,) possède un sous-groupe ouvert abélien d’indice
que
est "localement
p
absurde, puisque
algébrique"
sur
Im(03C111,1),
le groupe
E .
par
pas résoluble.
exemple, n’est
5.2. gestions.
(a)
;~
=
Peut-on déterminer
2 ? Plus
l’image
de
Im( p )
précisément.
p. ~
est contenu dans le sous-groupe
formé des éléments dont le déterminant est
Im(p.) H.
=
pour presque tout ,~
l’a fait SWINNERTON-DYER pour
comme
(ou
une
,~ ~ 2 , 3 , 5 , 7 , 23, 691 ) ?
également intéressant de trouver une "raison" expliquant
spéciale des représentations modulo 2 , 3, 5, 7, 23, 691 . Il y
Il serait
tions
(b)
(conjecturales)
là-dessus à la fin des notes de KUGA
L’ensemble des
p
(mod p)
à ~ 2 , 3 , 5 , ?~ ~
tels que
Est-il fini ? Est-il réduit
Une
analogie
tiques suggère
( assez vague)
groupe d’ inertie
près.
si, (p) ~ 0
Par
ï(p) =
que
I
de
exemple, est-il
(mod p) ?
0
p
T(p) =
GL(2, Z )
Est-il vrai que
puissance
même pour
H de
0
la forme si
des indica-
a
~9~.
est-il de densité nulle ?
représentations associées aux courbes ellip(mod p) peut avoir un rapport avec la structure du
dans Im( p ) , groupe qui est défini à conjugaison
avec
vrai que
les
I
soit
ouvert
dans
Im(p ) si,
et seulement
Pour
ces
tout
valeurs de
§
p y les congruences du
Im(p ) . [Démonstration : pour
montrent que Im(p ) est extension du
2
,F
(Z/pZ)*
groupe
p-ième
Q(p) .
cyclotomique
corps
=
pro-p-groupe ; le groupe
un
par
1
cas
On
conclut que
en
’~~
et l’on est ramené à voir que
N n 1
1
P
N . Si l’on avait
=
(Z/pZ)
quotient
,F
s’applique
N
élémentaire des
d’indice
N
de
en
par
et
p
~
P
cyclique de degré
ses y il
1
contenant
"irrégulier"
serait
2 , 3 , 5 , 7
sont
On notera que cet
distingué fermé
correspondrait à une extension
D’après la théorie du corps de clas-
résulterait que le nombre de classes du corps
p
"
la théorie
sous-groupe
Q(p) .
ramifiée de
non
p
ce
au
(Z/pZ)* ,
sur
20142014
Ip ~ N ,
n
P
p-groupes montrerait l’existence d’un sous-groupe
p
correspond
de
au sens
Kummer ;
serait divisible
or,
ce
n’est pas le
cas :
"réguliers".]
irrégulier
En fait, il me pa(puisqu’il divise le numérateur du nombre de Bernoulli b
raît probable que, pour p
autrement dit qu’il inter691 y on a
vient effectivement une extension non ramifiée de j~(69l) . On pourrait peut-être
argument
ne
pas à
s’applique
p
691 y qui
==
est
).
Im(03C1p) ,
=
trancher la
(c)
Hodge" (cf.
polynôme
H
(x)
P
au
P
1.3
sous
0(o
y
liptique
La
mesure 2 03C0 sin2
sans
question
n°
1.2)
de
1
691
admet-elle
"décompo-
une
P
(0 , 11) ?
type
2p
jï(p)jÎ
~
on
peut écrire
le
la forme
TT .
P
Est-il vrai que les angles
pour la
module
sous-groupe d’inertie
conjecture de Ramanujan
du n~
=p ’
avec 03B1p
p
[l7]y chap. III,
Si l’on admet la
ï(p)
examinant les valeurs de
en
La restriction de
sition de
(d)
question
o
soient
(o
ëquirëpartis
dans l’intervalle
SATO et TATE l ’ont
dp ,
conjecturé
(û ~ n)
dans le
cas
el-
prolongement analytique
des
multiplication complexe ?
est liée
([17],
chap. ly
A. 2)
à celle du
séries de Dirichlet
Il faudrait démontrer que
ne
s’annulant pas
au
point
L
m
(s~
est
prolongeable
en une
fonction entière de
s
entendu, il y a lieu aussi de conjecturer que Lm (s) a une équation fonctionnelle du type usuel. Plus précisément, il doit exister un "terme à l’infini"
Bien
ym (s~
tel que y (s) L (s)
m
m
peut même
On
risquer à conjecturer
se
Il semble que seuls les
la fonction
avec
soit invariant
L
cas
T ~s~
m =
du n°
1
1.3,
(ou anti-invariant)
de 03B3m (s) :
la forme
et
m =
et
L 2 ~s~
par
soient
2
connus: L1(s)
est liée par
coïncide
formule
une
simple à
la
fonction
étudiée par RANKIN
(cf.
5.3. Généralisation
Ce
qui
a
parabolique
qui
HARDY
aux
été dit pour
de
poids
Z . On
T
k
modulo
de les
déterminer,
Exemple :
peut
opérateurs
Prenons
de
partie),
aient des
on
=
16 , auquel
et dont les coefficients appar-
Im~ p ~
est
peut s’attendre à
ce
propriétés spéciales ;
et aussi d’examiner le
k
Hecke,
ici encore, prouver que
2 , 3 , 5 , 7
tions
aussi pour les coefficients de toute forme
peut l’être
dernière
D’après
174-180).
p.
formes modulaires.
est fonction propre des
tiennent à
[5],
cas
cas
on
a
ouvert
dans
que les
représenta-
il serait intéressant
des autres nombres
premiers.
(Noter
3617
que
est le numérateur du nombre de Bernoulli
b 1~ ;
c’est
un
nombre
irrégulier.)
premier
Quant
formes
aux
paraboliques
SL ( 2 a Z~
de
qui sont fonctions propres des opé-
rateurs de
Hecke, mais ne sont pas à coefficients entiers, il doit leur corresponreprésentations " E-rationnelles" au sens
(chap. I, n° 2.3). D’ail-
dre des
l’espace des formes paraboliques est de dimension h , on doit pouvoir
associer des représentations l-adiques de degré 2h sur lesquelles opèrent
T
de Hecke, et c’est en réduisant ces représentations par rapport à l’algèp
de Hecke que l’on trouve les représentations de degré 2 qui nous intéressent.
leurs,
lui
les
bre
si
§ 6. Historique
L’idée
d’interpréter
arithmétiques comme des traces d’opéraremonte à DAVENPORT-HASSE [3]. Toutefois, il ne s’agissait surexponentielles dont les propriétés étaient connues (sommes de
teurs de Frobenius
tout que de
certaines fonctions
sommes
Gauss, sommes de Jacobi). La note de
prétation "frobeniusienne" de toutes
on
obtient
(grâce
n’était pas
à
connue.
WEIL avait
"l’hypothèse de
Ainsi, pour les
WEIL
[20]
les sommes
va
plus loin ; elle donne
exponentielles à
Riemann pour les
sommes
courbes")
une
inter-
variable, et
majoration qui
une
une
de Kloosterman
remarqué depuis longtemps l’analogie
de la
conjecture de Ramanujan
l’inégalité (39). Il avait suggéré que l’on devait pouvoir écrire T(p) sous
la forme
+ 03B1p
, où 03B1p et ?p sont des valeurs propres d’un endomorp
p
phisme de Frobenius, opérant sur une cohomologie de dimension 11 convenable.
D’autre part, en 1960, il m’avait demandé quelle pouvait être, de ce point de vue,
l’interprétation des cohgruences connues sur T(p) (j’avais été incapable de lui
répondre, faute d’avoir compris le rapport entre "cohomologie" et "représentations
l-adiques").
avec
Un pas
EICHLER
important
j~4] ;
il
a
vers
l’interprétation cohomologique
de
T(p)
a
été fait par
montré comment les coefficients des formes paraboliques de poids
(pour
2
certains sous-groupes de congruence du groupe
modulaire)
sont liés
aux
"modules de Tate" de la courbe modulaire correspondante. Ses résultats ont été
pris
SHIMURA [18],
par
Pour
k
poids
un
puis complétés
quelconque,
dérer la variété fibrée
(la
produit
en
de
point essentiel par IGUSA
(cf.
introduction)
modulaire). Les idées de
KUGA-SHIMURA [10], à cela près que :
1° Ils
s’expriment
en
l’idée de consi-
a eu
SATO ont été
"nombre de
n’obtiennent donc pas de
[7].
elliptique générique
fois la courbe
k - 2
base étant la courbe
forme par
en
SATO
sur un
re-
points" et non en "groupes
représentations l-adiques.
précisées
de
et mises
cohomologie" ;
qu’ils considèrent n’est pas le groupe modulaire SL(2 , Z)
groupe d’unités de quaternions, qui est à quotient compact (ce qui facilite
2° Le groupe
ils
mais
un
leur
tâche).
Toutefois,
on
pouvait espérer
les théorèmes
généraux
permettraient
avec
M.
et à
ses
sur
que les idées de SATO et
KUGA-SHIMURA, combinées
la
dus à A. GROTHENDIECK et
d’aboutir à
du n° 3.2 et pour
de Weil
(ce
dernier
mence
la
S., "Conjecture
le 28 février
espoir
semble
conjecture
de
Ramanujan
groupe modulaire
se
réaliser:
pour établir la
conjectu-
le
sur
plus qu’il n’en faut
au
aux
point
de
Pour
plus
de
Ramanujan et
de
"conjectures standard"
point avait d’ailleurs été déjà traité par IHARA
ingénieuse).
méthode extrêmement
à l’I. H. Eo
ramener
théorie applicable
une
sous-groupes de congruence. Cet
P. DELIGNE aurait réussi à démontrer
re
A-adique
cohomologie
[8J
par
une
détails, voir le séminaire de DELIGNE
représentations l-adiques", qui com-
1968.
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