corrigé

Lycée J.P Vernant - 1ES3
Mathématiques
Année scolaire 2011-2012
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N◦ 5
Exercice 1 :
1. (a) Comme il y a 360 sachets qui présentent l'erreur d'étiquetage D1 et 120 sachets qui présentent les
deux défauts, alors on dénombre 360 − 120 = 240 sachets qui présente uniquement le défaut D1 .
L'évenement "`le sachet présente seulement le défaut D1 se note A = D1 ∩ D2 .Vu que le nombre
total de sachets examinés par le service qualité est de 120000 et qu'on tire un sachet au hasard
card(A)
240
2
(il y a donc équiprobabilité) alors P (A) =
=
=
= 0, 002 (où Ω désigne
card(Ω)
120000
1000
l'univers, c'est-à-dire ici l'ensemble des sachets passés au service qualité).
(b) L'évenement "le sachet ne présente aucun défaut"' (noté B = D1 ∩D2 ) a pour événement contraire
"le sachet présente au moins un des deux défauts"' (noté D1 ∪ D2 "').
Ainsi P (B) = 1 − P (D1 ∪ D2 ) = 1 − (P (D1 ) + P (D2 ) − P (D1 ∩ D2 )).
Or,
card(D1 )
360
3
P (D1 )
=
=
=
= 0, 003
card(Ω)
120000
1000
600
6
1
card(D2 )
=
=
=
= 0, 005
P (D2 )
=
card(Ω)
120000
12000
2000
card(D1 ∩ D2 )
120
1
P (D1 ∩ D2 ) =
=
=
= 0, 001
card(Ω)
120000
1000
Finalement, P (B) = 1 − (0, 003 + 0, 005 − 0, 001) = 1 − 0, 007 = 0, 993
2. (a) D'après l'énoncé, X(Ω) = {2, 45 ; 4, 05 ; 6, 45 ; 8, 05}. P (X = 2, 45) = P (B) = 0, 993 d'après la
question 1.b) ; P (X = 4, 05) = P (D1 ∩ D2 ) = P (A) = 0, 002.
De plus, on sait que P (X = 8, 05) = P (D1 ∩ D2 ) = 0, 001 (calcul fait avant). Finalement,
P (X = 6, 45) = 1 − (P (X = 2, 45) + P (X = 4, 05) + P (X = 8, 05)) = 1 − (0, 993 + 0, 002 + 0, 001)
= 1 − 0, 996 = 0, 004
Voici la loi de probabilité de la variable aléatoire X :
xi
2,45 4,05 6,45 8,05
P (X = xi ) 0,993 0,002 0,004 0,001
(b) E(X) =
4
∑
xi P (X = xi ) = 2, 45 × 0, 993 + 4, 05 × 0, 002 + 6, 45 × 0, 004 + 8, 05 × 0, 001 = 2, 4748.
i=1
Pour un grand nombre de sachets produits, le prix de revient tend à s'approcher de 2,4748 e en
moyenne par sachet.
Exercice 2 :
1. (a) Pour une mise de 1 euro, les diérents gains possibles sont :
• 10 − 1 = 9 euros si le joueur tire le jeton rouge.
• 5 − 1 = 4 euros si le joueur tire un des 3 jetons blancs
• −1 euro si le joueur tire un des n jetons noirs.
Il y a en tout 1 + 3 + n = n + 4 jetons dans le sac (l'ensemble des jetons formant l'univers Ω de
l'expérience aléatoire) et le tirage de chaque jeton est équiprobable donc :
card(X = 9)
1
• P (X = 9) =
=
(il y a un seul jeton rouge parmi les n + 4 jetons de l'urne)
card(Ω)
n+4
card(X = 4)
3
• P (X = 4) =
=
(il y a 3 jetons blancs parmi les n + 4 jetons de l'urne)
card(Ω)
n+4
n
card(X = −1)
=
(il y a n jetons noirs parmi les n + 4 jetons de l'urne).
card(Ω)
n+4
La loi de probabilité de X est
xi
9
4
−1
• P (X = −1) =
P (X = xi )
1
n+4
3
n+4
n
n+4
L'espérance du gain est
E(X) =
3
∑
xi P (X = xi ) = 9 ×
i=1
3
n
9 + 12 − n
21 − n
1
+4×
−1×
=
=
n+4
n+4
n+4
n+4
n+4
21 − n
= 0. Un quotient est nul lorsque son
n+4
numérateur est nul donc E(X) = 0 ⇔ 21 − n = 0 ⇔ n = 21. Il faut 21 jetons noirs pour que
Le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0 ⇔
le jeu soit équitable.
(b) Les diérents gains possibles sont :
• 10 − m lorsqu'on tire le jeton rouge, c'est-à-dire avec une probabilité de
tout 20 jetons dans le sac)
1
(si n = 16, il y a en
20
3
20
4
16
= .
• −m lorsqu'on tire un des 16 jetons noirs, c'est-à-dire avec une probabilité de
20
5
La loi de probabilité de X est
xi
10 − m 5 − m −m
• 5 − m lorsqu'on tire un des trois jetons blancs, c'est-à-dire avec une probabilité de
P (X = xi )
1
20
3
20
4
5
L'espérance du gain est
E(X) =
3
∑
xi P (X = xi ) = (10 − m) ×
i=1
=
1
3
4
+ (5 − m) ×
−m×
20
20
5
10 − m + 3(5 − m) − 16m
10 − 17m + 15 − 3m
25 − 20m
5 − 4m
=
=
=
20
20
20
4
Le jeu est équitable si et seulement si :
E(X) = 0 ⇔
5 − 4m
5
= 0 ⇔ 5 − 4m = 0 ⇔ 4m = 5 ⇔ m = = 1, 25
4
4
Pour que le jeu soit équitable, il faut miser 1 euro et 25 centimes.
2. (a) Dans le cas général, la loi de probabilité de X est
xi
10 − m
5−m
−m
P (X = xi )
1
n+4
3
n+4
n
n+4
L'espérance est
E(X) = (10 − m) ×
=
3
n
1
+ (5 − m) ×
−m×
n+4
n+4
n+4
10 − m + 3(5 − m) − nm
10 − m + 15 − 3m − nm
25 − 4m − nm
=
=
n+4
n+4
n+4
25 − 4m − nm
= 0. Un quotient est nul si
n+4
et seulement si le numérateur est nul donc E(X) = 0 ⇔ 25 − 4m − nm = 0. Pour que le jeu soit
équitable, il faut choisir n et m tels que nm + 4m = 25 ⇔ m(n + 4) = 25.
(b) Le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0 ⇔
Exercice 3 :
1. Figure :
Les solutions de l'inéquation 1 + x 6 x2 + x3 , c'est-à-dire f (x) 6 g(x), sont les abscisses des points de
Cf qui se trouvent en dessous de la courbe Cg . L'ensemble des solutions est S = [1 ; +∞[.
2. (a) f (x) − g(x) = 1 + x − (x2 + x3 ) = 1 + x − x2 (1 + x) (on a factorisé x2 + x3 par x2 ).
(b) On factorise l'expression précédente par (1+x) : f (x)−g(x) = (1+x)−x2 (1+x) = (1+x)(1−x2 )
(c) f (x)−g(x) = (1+x)(1+x)(1−x) puisque 1−x2 = (1+x)(1−x) d'où f (x)−g(x) = (1+x)2 (1−x).
Comme un carré est toujours positif, alors (1 + x)2 6 0 donc f (x) − g(x) = (1 + x)2 (1 − x) a
même signe que (1 − x).
(d) 1 + x 6 x2 + x3 ⇔ f (x) 6 g(x) ⇔ f (x) − g(x) 6 0 ⇔ 1 − x 6 0 (la dernière équivalence est
due à la question précédente). Ainsi, 1 + x 6 x2 + x3 ⇔ 1 6 x. On retrouve que l'ensemble des
solutions de 1 + x 6 x2 + x3 est S = [1 ; +∞[ (résultat cohérent avec la réponse graphique).
Exercice 4 :
1. On note N le nombre de participants. L'organisateur gagne alors 0, 35N euros et il perd l'argent des
cadeaux : 6 × 3100 + 500 × 52 + 2000 × 12 = 68600 euros. Le jeu est rentable pour l'organisateur si et
seulement si 0, 35N > 68600 ⇔ N >
68600
⇔ N > 196000. Pour que le jeu soit rentable, il faut
0, 35
qu'au moins 196000 personnes participent au jeu.
2. (a) Les diérents gains possibles sont :
• 3100 − 0, 35 = 3099, 35 euros pour les 6 gagnants des weekends de luxe ;
• 52 − 0, 35 = 51, 65 euros pour les 500 gagnants du parfum
• 12 − 0, 35 = 11, 65 euros pour les 2000 gagnants des tee-shirts
• −0, 35 euro pour tous les autres participants tirés au sort.
6
3
=
car 6 partici280000
14000
500
1
pant sur les 280000 tirés au sort gagnent le voyage. De même, P (G = 51, 65) =
=
;
280000
560
On note G la valeur du gain d'un participant. P (G = 3099, 65) =
P (G = 11, 65) =
2000
1
=
puis
280000
140
P (G = −0, 35) =
280000 − 6 − 500 − 2000
277494
19821
=
=
280000
280000
20000
La loi de probabilité de G est :
(b) E(G) =
4
∑
i=1
xi
3099, 65
51, 65
11, 65
−0, 35
P (G = xi )
3
14000
1
560
1
140
19821
20000
xi P (G = xi ) = 3099, 65×
3
1
1
19821
+51, 65×
+11, 65×
−0, 35×
= −0, 105
140000
560
140
20000
(c) D'après le calcul de l'espérance, on peut dire qu'en moyenne, un participant ayant donné la bonne
réponse perd 0,105 euro. Le bénéce moyen réalisé par l'organisateur sur les SMS ayant la bonne
réponse est égal à 0,105 euro.
(d) Si le participant donne la mauvaise réponse, il perd nécessairement 0,35 euro donc le bénéce
moyen réalisé par l'organisateur sur les SMS ayant la mauvaise réponse est 0,35 euro.