Exercice C5 - Cours et Exercices de Mathématiques

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Exercice C5
1°) a) On sait que l'urne contient 10% de jetons bleus.
Il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus, il y a donc 30% de jetons blancs.
Le reste est composé de jetons rouges. Il y a donc 60% de jetons rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
La probabilité de gagner le gain de base, soit 2 euros, est la probabilité de tirer un jeton rouge c'est-à-
dire 0,6 puisqu'il y a 60% de jetons rouges.
La probabilité de gagner le carré du gain de base, soit 4 euros, est la probabilité de tirer un jeton blanc
c'est-à-dire 0,3 puisqu'il y a 30% de jetons blancs.
La probabilité de perdre le cube du gain de base, soit 8 euros, est la probabilité de tirer un jeton bleu
c'est-à-dire 0,1 puisqu'il y a 10% de jetons bleus.
On en déduit la loi de probabilité du gain :
Gain 2 4 -8
Probabilité 0,6 0,3 0,1
b) Le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages correspond à l'espérance
mathématique du gain.
On a : E = 2 x 0,6 + 4 x 0,3 - 8 x 0,1 = 1,6
Le gain moyen est de 1,6 euro.
2°) a) Si le gain de base est x, le gain moyen sera :
E = x x 0,6 + x
2
x 0,3 - x
3
x 0,1 = - 0,1 x
3
+ 0,3 x
2
+ 0,6 x
Trouver la valeur g
0
du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages
soit maximal, revient donc à déterminer pour quelle valeur de x la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f(x) = - 0,1 x
3
+ 0,3 x
2
+ 0,6 x atteint son maximum.
b) On a f'(x) = - 0,1 x 3x
2
+ 0,3 x 2x + 0,6 donc f'(x) = -0,3 x
2
+ 0,6 x + 0,6 = 0,3( -x
2
+ 2x + 2)
c) Le signe de f'(x) est le signe du trinôme du second degré -x
2
+ 2x + 2 .
Ce trinôme a pour discriminant ∆ = 2
2
- 4 x (-1) x 2 = 4 + 8 = 12 > 0
Le trinôme a donc deux racines qui sont :
x
1
= -2 - 12
2 x (-1) = -2 - 2 3 -2 = 1 + 3
et x
2
= -2 + 12
2 x (-1) = -2 + 2 3 -2 = 1 - 3
Seule la racine x
1
= 1 + 3 est dans l'intervalle [0 ; +∞[.
La règle du signe du trinôme permet de donner le signe de f'(x) :
Si x ∈ [0 ; 1+3 [ , f'(x) > 0 ; si x ∈ ]1+3 ; +∞[ , f'(x) < 0 et si x = 1+3 , f'(x) = 0
On en déduit que : f est croissante sur [0 ; 1+3 [ et décroissante sur ]1+3 ; +∞[.
d) Le sens de variation de f permet d'en déduire que f a un maximum pour x = 1 + 3 .
La valeur g
0
du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit
maximal est donc g
0
= 1 + 3 c'est-à-dire g
0
≈ 2,73 euros .