Exercice C5 - XMaths
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Exercice C5 1°) a) On sait que l'urne contient 10 % de jetons bleus. Il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus, il y a donc 30 % de jetons blancs. Le reste est composé de jetons rouges. Il y a donc 60 % de jetons rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. La probabilité de gagner le gain de base, soit 2 euros, est la probabilité de tirer un jeton rouge c'est-àdire 0,6 puisqu'il y a 60 % de jetons rouges. La probabilité de gagner le carré du gain de base, soit 4 euros, est la probabilité de tirer un jeton blanc c'est-à-dire 0,3 puisqu'il y a 30 % de jetons blancs. La probabilité de perdre le cube du gain de base, soit 8 euros, est la probabilité de tirer un jeton bleu c'est-à-dire 0,1 puisqu'il y a 10 % de jetons bleus. On en déduit la loi de probabilité du gain : Gain Probabilité 2 0,6 -8 0,1 4 0,3 b) Le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages correspond à l'espérance mathématique du gain. On a : E = 2 x 0,6 + 4 x 0,3 - 8 x 0,1 = 1,6 Le gain moyen est de 1,6 euro. 2°) a) Si le gain de base est x, le gain moyen sera : E = x x 0,6 + x2 x 0,3 - x3 x 0,1 = - 0,1 x3 + 0,3 x2 + 0,6 x Trouver la valeur g0 du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal, revient donc à déterminer pour quelle valeur de x la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f(x) = - 0,1 x3 + 0,3 x2 + 0,6 x atteint son maximum. b) On a f'(x) = - 0,1 x 3x2 + 0,3 x 2x + 0,6 donc f'(x) = -0,3 x2 + 0,6 x + 0,6 = 0,3( -x2 + 2x + 2) c) Le signe de f'(x) est le signe du trinôme du second degré -x2 + 2x + 2 . Ce trinôme a pour discriminant ∆ = 22 - 4 x (-1) x 2 = 4 + 8 = 12 > 0 Le trinôme a donc deux racines qui sont : x1 = -2 - 12 = -2 - 2 3 = 1 + 3 et x2 = -2 + 12 = -2 + 2 3 = 1 - 3 2 x (-1) -2 2 x (-1) -2 Seule la racine x1 = 1 + 3 est dans l'intervalle [0 ; +∞[. La règle du signe du trinôme permet de donner le signe de f'(x) : Si x ∈ [0 ; 1+ 3 [ , f'(x) > 0 ; si x ∈ ]1+ 3 ; +∞[ , f'(x) < 0 et si x = 1+ 3 , f'(x) = 0 On en déduit que : f est croissante sur [0 ; 1+ 3 ] et décroissante sur [1+ 3 ; +∞[. d) Le sens de variation de f permet d'en déduire que f a un maximum pour x = 1 + 3 . La valeur g0 du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal est donc g0 = 1 + 3 c'est-à-dire g0 ≈ 2,73 euros . Le gain moyen maximal est f(1 + 3 ) et on a f(1 + 3 ) = - 0,1 x (1 + 3 )3 + 0,3 x (1 + 3 )2 + 0,6 x (1 + 3 ) = - 0,1 x (1 + 3 x 3 + 3 x 3 2 + 3 3) + 0,3 x (1 + 2 x 3 + 3 2) + 0,6 x (1 + 3 ) = - 0,1 - 0,3 3 - 0,9 - 0,3 3 + 0,3 + 0,6 3 + 0,9 + 0,6 + 0,6 3 = 0,8 + 0,6 3 et on a 0,8 + 0,6 3 ≈ 1,84 Le gain moyen maximum est de 1,84 euro. http://xmaths.free.fr TES − Probabilités − Exercices page 1 / 1
