limite-continuité-dérivabilité-fonction exponentielle

TS Devoir Surveillé n ° 2
- Durée 2 h
- Calculatrices de lycée inutiles et interdites
Barème :
1 ) 3 pts 2 ) 3 pts 3 ) 4,5 pts 4 ) 3 pts
5 ) 6,5 pts
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Commentaires : Lisez l’énoncé en entier avant de commencer et répondez bien aux questions qui vous sont demandées . Vous
pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous souhaitez . Soyez propre et clair .
limite-continuité-dérivabilité-fonction exponentielle-récurrence
Ex 1 :
On pose pour tout x ≥ 0 et pour tout n ∈ IN * , fn ( x ) = x n x .
Montrer que pour tout n ∈ IN * fn est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ , puis exprimer f 'n + 1 ( x ) en fonction de fn ( x ) .
Ex 2 :
Soit a, b , c et d des réels fixés et n un entier ( n ≥ 1 ) .
On considère la fonction f : x
→
a x + b
( c x + d ) n définie sur IR-{- d c } .
( On suppose c
≠ 0, d ≠ 0 et que a, b , c , d et n sont choisis de telle sorte que la fonction f n'est pas constante )
Montrer qu'il existe une fonction affine g telle que :
f ' ( x ) = g ( x )
( c x + d ) n+1
Ex 3 :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sans déterminer l'ensemble de dérivabilité.
f : x
→
x2 - 5 x + 6
g : x
→
1
sin4x
h : x
→
f ( x ) e f ( x ) ( où f : x
→
x2 - 5 x + 6 )
Ex 4 :
Soit la fonction f : x → x e x définie sur IR.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 la dérivée n-ième de f est la fonction x → ( x + n ) e x
Ex 5 :
Soit la fonction f : x → x + x2 - 1
A ) Déterminer l'ensemble D de définition de f.
B ) Montrer que pour tout x ∈ D , f ( x ) f ( - x ) = - 1
C ) Déterminer la limite de f en + ∞ , puis déduire de B ) celle en - ∞.
D ) Montrer que pour tout x ∈ D-{-1;1}, f ' ( x ) a le même signe que f ( x )
En déduire les variations de f sur ] 1 ; + ∞ [ , puis sur ] - ∞ ; - 1 [ ( utiliser B) ... )
E ) Montrer que la droite d : y = 2 x est asymptote à Cf en + ∞
F ) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en - 1.
G ) Tracer Cf et d .

Correction
Ex 1 :
On pose pour tout x ≥ 0 et pour tout n ∈ IN * , fn ( x ) = x n x .
Montrer que pour tout n ∈ IN * fn est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ , puis exprimer f 'n + 1 ( x ) en fonction de fn ( x ) .
Pour tout n ∈ IN * , x → x n est dérivable sur IR , donc sur ] 0 ; + ∞ [ et x → x est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [
On en déduit ( par produit ) que fn ( x ) est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.
Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , on a alors :
f 'n + 1 ( x ) = ( n + 1 ) x n x + x n + 1 1
2x = ( n + 1 ) x n x + 1
2 x n x = fn ( x ) ( n + 3 2 )
Ex 2 :
Soit a, b , c et d des réels fixés et n un entier ( n ≥ 1 ) .
On considère la fonction f : x
→
a x + b
( c x + d ) n définie sur IR-{- d c } .
( On suppose c
≠ 0, d ≠ 0 et que a, b , c , d et n sont choisis de telle sorte que la fonction f n'est pas constante )
Montrer qu'il existe une fonction affine g telle que :
f ' ( x ) = g ( x )
( c x + d ) n+1
f est une fonction rationnelle ; elle est donc dérivable sur son ensemble de définition IR-{- d
c }
Pour tout x ∈ IR - { - d
c }, on a :
f ' ( x ) = a ( c x + d ) n - c n ( c x + d ) n - 1 ( a x + b )
( c x + d ) 2n = ( c x + d ) n - 1 ( a ( c x + d ) - c n ( a x + b ) ) ( c x + d ) 2n
On en déduit que :
f ' ( x ) = ( ac - acn ) x + ad - cnb
( c x + d ) n+1 …
Ex 3 :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sans déterminer l'ensemble de dérivabilité.
f : x
→
x2 - 5 x + 6 f ' ( x ) = 2 x -5
2 x2 - 5 x + 6
g : x
→
1
sin4x g' ( x ) = - 4 cos x sin5 x
h : x
→
f ( x ) e f ( x ) h ' ( x ) = 2 x -5
2 x2 - 5 x + 6 e f ( x ) + x2 - 5 x + 6 2 x -5 2 x2 - 5 x + 6 e f ( x )
= ( 2 x - 5 ) e f ( x ) (1
2 x2 - 5 x + 6 + 1
2 )
Ex 4 :
Soit la fonction f : x → x e x définie sur IR.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 la dérivée n-ième de f est la fonction x → ( x + n ) e x
Initialisation :
f est dérivable sur IR ( produit de fonctions dérivables sur IR )
Pour tout x ∈ IR, on a :
f ' ( x ) = ( x + 1 ) e x
Hérédité :
Supposons que pour un entier naturel n ≥ 1 fixé, f ( n ) = ( x + n ) e x
f ( n ) est dérivable sur IR ( produit de fonctions dérivables sur IR )
Pour tout x ∈ IR, on a :
f ( n +1) ( x ) = ( f ( n ) ) ' ( x ) = ( x + n ) e x + e x = ( x + n + 1) e x
On en déduit que pour tout entier naturel n ≥ 1 la dérivée n-ième de f est la fonction x → ( x + n ) e x

Ex 5 :
Soit la fonction f : x → x + x2 - 1
A ) Déterminer l'ensemble D de définition de f.
D = ] - ∞ ; -1 ] ∪ [ 1 ; + ∞ [
B ) Montrer que pour tout x ∈ D , f ( x ) f ( - x ) = - 1
Pour tout x ∈ D :
f ( x ) f ( - x ) = ( x + x2 - 1 ) ( - x + x2 - 1 ) = -1
C ) Déterminer la limite de f en + ∞ , puis déduire de B ) celle en - ∞.
lim
x → +∞ f ( x ) = + ∞ ( facile )
lim
x → -∞ f ( x ) = lim x → +∞ f ( - x ) = lim x → +∞ - 1
f ( x) = 0
D ) Montrer que pour tout x ∈ D-{-1;1}, f ' ( x ) a le même signe que f ( x )
En déduire les variations de f sur ] 1 ; + ∞ [ , puis sur ] - ∞ ; - 1 [ ( utiliser B ) ... )
x → x 2 - 1 est dérivable sur IR, donc sur x ∈ D-{-1;1}, et pour tout x ∈ D-{-1;1}, x 2 - 1 > 0 .
On en déduit que x → x2 - 1 est dérivable sur D-{-1;1}.
D'autre part x → x est dérivable sur IR, donc sur D-{-1;1}..
On en déduit ( par somme ) que la fonction f est dérivable sur D-{-1;1}, et pour tout x ∈ D-{-1;1}, on a :
f ' ( x ) = 1 + x
x2 - 1 = f ( x ) x2 - 1
f ' ( x ) a donc le même signe que f ( x )
- Sur ] 1 ; + ∞ [ , f ( x ) > 0 et la fonction f est donc strictement croissante.
- Sur ] - ∞ ; - 1 [ ,
f ( x ) f ( - x ) = - 1, d'où f ( x ) = -1
f ( - x ) . On en déduit que f ( x ) < 0
La fonction f est donc strictement décroissante sur ] - ∞ ; - 1 [.
E ) Montrer que la droite d : y = 2 x est asymptote à Cf en + ∞
lim
x → +∞ ( f ( x ) - 2 x ) = lim x → +∞ ( x2 - 1- x ) = lim x → +∞ f ( - x ) = 0
F ) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en - 1.
Pour h > 0,
f ( 1 + h ) - f ( 1 )
h = ... = 1 + 1 + 2
h
Ainsi lim
h→ 0+ f ( 1 + h ) - f ( 1 )
h = + ∞ et f n'est pas dérivable en 1
Pour h < 0,
f ( - 1 + h ) - f ( - 1 )
h = ... = 1 – 1 - 2
h
Ainsi lim
h→ 0- f ( - 1 + h ) - f ( - 1 )
h = - ∞ et f n'est pas dérivable en - 1
G ) Tracer Cf et d .