limite-continuité-dérivabilité-fonction exponentielle

TS
Devoir Surveillé n ° 2
Barème :
1 ) 3 pts 2 ) 3 pts 3 ) 4,5 pts 4 ) 3 pts
5 ) 6,5 pts
- Durée 2 h
- Calculatrices de lycée inutiles et interdites
Nom :
Commentaires : Lisez l’énoncé en entier avant de commencer et répondez bien aux questions qui vous sont demandées . Vous
pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous souhaitez . Soyez propre et clair .
limite-continuité-dérivabilité-fonction exponentielle-récurrence
Ex 1 :
On pose pour tout x ≥ 0 et pour tout n ∈ IN* , fn ( x ) = x n x .
Montrer que pour tout n ∈ IN* fn est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ , puis exprimer f 'n + 1 ( x ) en fonction de fn ( x ) .
Ex 2 :
Soit a, b , c et d des réels fixés et n un entier ( n ≥ 1 ) .
ax+b
d
On considère la fonction f : x →
définie sur IR-{- } .
( c x + d )n
c
( On suppose c ≠ 0, d ≠ 0 et que a, b , c , d et n sont choisis de telle sorte que la fonction f n'est pas constante )
Montrer qu'il existe une fonction affine g telle que :
g(x)
f '(x)=
( c x + d ) n+1

Ex 3 :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sans déterminer l'ensemble de dérivabilité.
f:x
→

g:x

h:x

→
→
x2 - 5 x + 6
1
sin4x
f ( x ) ef(x)
( où f : x
→

x2 - 5 x + 6 )
Ex 4 :
Soit la fonction f : x → x e x définie sur IR.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 la dérivée n-ième de f est la fonction x

Ex 5 :
Soit la fonction f : x → x + x2 - 1
A ) Déterminer l'ensemble D de définition de f.

B ) Montrer que pour tout x ∈ D , f ( x ) f ( - x ) = - 1
C ) Déterminer la limite de f en + ∞ , puis déduire de B ) celle en - ∞.
D ) Montrer que pour tout x ∈ D-{-1;1}, f ' ( x ) a le même signe que f ( x )
En déduire les variations de f sur ] 1 ; + ∞ [ , puis sur ] - ∞ ; - 1 [ ( utiliser B) ... )
E ) Montrer que la droite d : y = 2 x est asymptote à Cf en + ∞
F ) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en - 1.
G ) Tracer Cf et d .
→

(x+n)ex
Correction
Ex 1 :
On pose pour tout x ≥ 0 et pour tout n ∈ IN* , fn ( x ) = x n x .
Montrer que pour tout n ∈ IN* fn est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ , puis exprimer f 'n + 1 ( x ) en fonction de fn ( x ) .
Pour tout n ∈ IN* , x → x n est dérivable sur IR , donc sur ] 0 ; + ∞ [ et x
On en déduit ( par produit ) que fn ( x ) est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.
Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , on a alors :

f 'n + 1 ( x ) = ( n + 1 ) x n
x + x n+1
1
2 x
=(n+1)xn
x+
→

x est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [
1 n
3
x
x = fn ( x ) ( n + )
2
2
Ex 2 :
Soit a, b , c et d des réels fixés et n un entier ( n ≥ 1 ) .
ax+b
d
On considère la fonction f : x →
définie sur IR-{- } .
( c x + d )n
c
( On suppose c ≠ 0, d ≠ 0 et que a, b , c , d et n sont choisis de telle sorte que la fonction f n'est pas constante )
Montrer qu'il existe une fonction affine g telle que :
g(x)
f '(x)=
( c x + d ) n+1
d
f est une fonction rationnelle ; elle est donc dérivable sur son ensemble de définition IR-{- }
c
d
Pour tout x ∈ IR-{- }, on a :
c
a ( c x + d )n - c n ( c x + d )n-1 ( a x + b )
( c x + d )n-1( a ( c x + d ) - c n ( a x + b ) )
f '(x) =
=
2n
(cx+d)
( c x + d ) 2n
On en déduit que :
( ac - acn ) x + ad - cnb
f '(x) =
…
( c x + d ) n+1

Ex 3 :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sans déterminer l'ensemble de dérivabilité.
f:x
→

x2 - 5 x + 6
→
1
sin4x
→
f ( x ) ef(x)
g:x

h:x

2 x -5
2 x2 - 5 x + 6
4 cos x
g' ( x ) = sin5 x
2 x -5
2 x -5
h '(x) =
e f ( x ) + x2 - 5 x + 6
ef(x)
2 x2 - 5 x + 6
2 x2 - 5 x + 6
1
1
= ( 2 x - 5 ) ef(x) (
+ )
2
2
2 x -5x+6
f '(x) =
Ex 4 :
Soit la fonction f : x → x e x définie sur IR.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 la dérivée n-ième de f est la fonction x

→

Initialisation :
f est dérivable sur IR ( produit de fonctions dérivables sur IR )
Pour tout x ∈ IR, on a :
f '(x) =(x+1)ex
Hérédité :
Supposons que pour un entier naturel n ≥ 1 fixé, f ( n ) = ( x + n ) e x
f ( n ) est dérivable sur IR ( produit de fonctions dérivables sur IR )
Pour tout x ∈ IR, on a :
f ( n +1) ( x ) = ( f ( n ) ) ' ( x ) = ( x + n ) e x + e x = ( x + n + 1) e x
On en déduit que pour tout entier naturel n ≥ 1 la dérivée n-ième de f est la fonction x
→

(x+n)ex
(x+n)ex
Ex 5 :
Soit la fonction f : x → x + x2 - 1
A ) Déterminer l'ensemble D de définition de f.
D = ] - ∞ ; -1 ] ∪ [ 1 ; + ∞ [
B ) Montrer que pour tout x ∈ D , f ( x ) f ( - x ) = - 1
Pour tout x ∈ D :
f ( x ) f ( - x ) = ( x + x2 - 1 ) ( - x + x2 - 1 ) = -1

C ) Déterminer la limite de f en + ∞ , puis déduire de B ) celle en - ∞.
lim f ( x ) = + ∞ ( facile )
x → +∞
lim f ( x ) = lim f ( - x ) = lim
x → -∞
x → +∞
x → +∞
-1
=0
f ( x)
D ) Montrer que pour tout x ∈ D-{-1;1}, f ' ( x ) a le même signe que f ( x )
En déduire les variations de f sur ] 1 ; + ∞ [ , puis sur ] - ∞ ; - 1 [ ( utiliser B ) ... )
x → x 2 - 1 est dérivable sur IR, donc sur x ∈ D-{-1;1}, et pour tout x ∈ D-{-1;1}, x 2 - 1 > 0 .
On en déduit que x → x2 - 1 est dérivable sur D-{-1;1}.
D'autre part x → x est dérivable sur IR, donc sur D-{-1;1}..
On en déduit ( par somme ) que la fonction f est dérivable sur D-{-1;1}, et pour tout x ∈ D-{-1;1}, on a :
f(x)
x
= 2
f '(x)=1+ 2
x -1
x -1
f ' ( x ) a donc le même signe que f ( x )



- Sur ] 1 ; + ∞ [ , f ( x ) > 0 et la fonction f est donc strictement croissante.
- Sur ] - ∞ ; - 1 [ ,
-1
f ( x ) f ( - x ) = - 1, d'où f ( x ) =
. On en déduit que f ( x ) < 0
f(-x)
La fonction f est donc strictement décroissante sur ] - ∞ ; - 1 [.
E ) Montrer que la droite d : y = 2 x est asymptote à Cf en + ∞
lim ( f ( x ) - 2 x ) = lim ( x2 - 1- x ) = lim f ( - x ) = 0
x → +∞
x → +∞
x → +∞
F ) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en - 1.
Pour h > 0,
f(1+h)-f(1)
= ... = 1 +
h
Ainsi lim +
h→ 0
1+
2
h
f(1+h)-f(1)
= + ∞ et f n'est pas dérivable en 1
h
Pour h < 0,
f(-1+h)-f(-1)
2
= ... = 1 –
1h
h
f(-1+h)-f(-1)
Ainsi lim = - ∞ et f n'est pas dérivable en - 1
h→ 0
h
G ) Tracer Cf et d .