PROBABILITES

PROBABILITES
Combinaisons
Exemples
2*
Dans chacun des cas suivants indiquer si les objets sont tirés dans des ensembles différents ou
dans un même ensemble, s’ils sont tirés avec ou sans ordre et si un même objet peut être tiré
plusieurs fois (remise ou non) :
1. loto (on coche sur une grille 6 des 49 numéros)
2. tiercé (on désigne trois chevaux parmi 18)
3. on lance deux dés
4. le professeur de mathématiques désigne deux élèves pour corriger deux exercices
5. les 23 élèves élisent deux délégués
6. on compose au hasard un numéro de téléphone à 10 chiffres
2(
Au loto, combien de grilles différentes de 6 numéros peut-on réaliser ?
3)
Combien de « mains » différentes de trois cartes peut-on réaliser avec un jeu de 32 cartes ?
3!
Une urne contient 3 boules vertes et 2 noires. On tire simultanément deux boules de l’urne.
Combien de tirages différents peut-on faire ?
3@
Ecrire, sous forme algébrique, (1 + 2i)5.
3#
Calculer 1 − 3
)
3$
Démontrer que
∑  p  = 2n .
(
4
.
n
n
p =0 

Exercices à préparer à la maison
3%
Une entreprise de 50 salariés désigne les trois représentants qui siègeront au conseil
d’administration. Combien de délégations différentes peut-on composer ?
3^
Dans sa trousse qui contient 12 crayons, un enfant tire au hasard 3 crayons. Combien de choix
différents peut-il faire ?
3&
Dans une course hippique, il y a 20 chevaux au départ. Combien y a-t-il de tiercés différents
possibles sans tenir compte de l’ordre d’arrivée (on parle de tiercé dans l’ordre et de tiercé dans
le désordre) ?
3*
Calculer 2 − 2
3(
Ecrire, sous forme algébrique,
4)
 n   n   n +1   n + 2 
Démontrer que   + 
+
=
.
 p   p + 1  p + 2   p + 2 
(
PROBABILITES
)
5
( 3 − 2i )4 .
5
P.G. 2007/2008
PROBABILITES
La pause s’impose !
Exemples
4!
Une urne contient huit boules noires et quatre boules blanches. On tire, successivement et sans
remise, trois boules dans cette urne.
l. Calculer la probabilité de tirer, dans l'ordre,
a. une blanche, une noire, puis une blanche ;
b. deux blanches, puis une noire ;
c. une noire, puis deux blanches.
2. Trouver la probabilité de tirer une noire et deux blanches, dans n'importe quel ordre.
4@
On met dans une urne huit pions portant chacun une lettre du mot ECONOMIE et l'on tire
successivement cinq pions au hasard. Quelle est la probabilité pour que les pions tirés donnent,
dans l'ordre, le mot MOINE :
a. si l'on remet chaque pion dans l'urne après tirage ?
b. si chaque pion est laissé hors de l'urne après tirage ?
4#
Un joueur lance un dé. Si la face 1 apparaît, il tire, au hasard, une carte d'un jeu de 32 cartes. Si
la face n'est pas un 1, il tire, au hasard, deux cartes du même jeu.
1. Quelle est la probabilité de tirer le roi de pique ?
2. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes d’une même couleur ?
4$
Une urne contient cinq boules : trois vertes, portant respectivement les numéros 1, 2, et 3 et deux
rouges, portant respectivement les numéros 1 et 2. On tire au hasard et simultanément deux
boules de cette urne.
1. Quelle est la probabilité de l'événement A : « les deux boules tirées sont de la même couleur » ?
2. Quelle est la probabilité de l'événement B : « la somme des numéros portés par chacune des
deux boules tirées est égale à 3 » ?
3. Quelle est la probabilité de B sachant que l'on a tiré deux boules de la même couleur ? Les
événements A et B sont-ils indépendants ?
Exercice à préparer à la maison
4%
Un car se présente à une frontière ; le chauffeur sait que, parmi ses 50 passagers, 10 tentent de
frauder. Le douanier choisit au hasard 8 personnes pour les contrôler.
1. Quelle est la probabilité pour qu'aucune des 8 personnes ne tente de frauder ?
2. Quelle est la probabilité pour que, sur ces 8 personnes, l'une au moins tente de frauder ?
3. Quelle est la probabilité pour que, sur ces 8 personnes, exactement deux tentent de frauder ?
4^
Au loto, on tire au hasard 6 boules parmi 49. Quelle est la probabilité de tirer, parmi ces 6 boules :
1. aucune boule du tirage précédent ?
2. exactement une boule du tirage précédent ?
3. exactement deux boules du tirage précédent ?
4. au moins une boule du tirage précédent ?
4&
On considère deux urnes :
− une urne A qui contient quatre boules vertes et deux jaunes
− une urne B qui contient trois boules vertes et une jaunes
Paul tire au hasard une boule de l’urne A et la place dans l’urne B
Jean tire au hasard une boule de l’urne B.
Si les deux boules tirées sont de la même couleur Paul gagne, sinon c’est Jean qui gagne.
Ce jeu est-il équitable ? Sinon, à quel joueur est-il favorable ?
PROBABILITES
6
P.G. 2007/2008
PROBABILITES
Lois de probabilité discrètes
Exemples
4*
Une cible circulaire est composée de trois zones concentriques rapportant 5, 3 et 1 points
respectivement. Les probabilités d'atteindre ces 3 zones sont dans l'ordre 1/6, 1/3 et 1/2. On admet
que les résultats de 2 tirs successifs sont indépendants. On tire deux fois. On note X la variable
aléatoire prenant pour valeur la somme des points obtenus.
Donner la loi de probabilité de X, puis calculer l'espérance et la variance de X.
4(
On tire une boule de A et on la met dans B, puis on tire une
boule de B et on la met dans C. Enfin, on tire une boule de C.
Si cette dernière est blanche, on gagne 24 €, sinon on perd
12 €. Calculer l'espérance du gain, sa variance et son écarttype.
urne A
urne B
urne C
5)
On partage un gâteau de semoule contenant n raisins secs en 8 parts égales.
1. On suppose ici que n est égal à 10. Quelle est la probabilité pour qu'une part donnée contienne
exactement 4 raisins ?
2. Etant donné k (0 ≤ k ≤ n), quelle est la probabilité pour qu'une part donnée contienne
exactement k raisins ?
3. Calculer la probabilité qu'une part donnée contienne au moins un raisin.
4. Comment faut-il choisir n pour qu'une part donnée contienne au moins un raisin sec avec une
probabilité supérieure ou égale à 9/10 ?
5!
Un joueur de tennis a pour probabilité 1/3 de servir correctement sa première balle.
Est-il exact d'affirmer que ce joueur est certain de servir au moins une fois correctement sa
première balle en trois services ?
5@
Jean-Claude tire cinq fois de suite une carte d’un jeu de 32 cartes en remettant à chaque fois la
carte dans le jeu avant de tirer à nouveau. On appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur le
nombre de « figures » apparues parmi ce 5 cartes.
Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance et son écart-type.
Note : on appelle figures : les rois, les dames et les valets.
Exercice à préparer à la maison
5#
Un marchand de parapluies est installé dans une ville où le temps est beau 185 jours par an,
maussade 120 jours par an et pluvieux 60 jours par an. (On suppose qu'une année a 365 jours.)
Le nombre de parapluies vendus en une journée définit une variable aléatoire X.
On note les événements suivants :
B : Le temps est beau.
M : Le temps est maussade.
P : Le temps est pluvieux.
On dispose des renseignements suivants :
xi
0
1
2
p(X=xi|B)
5/8
2/8
1/8
xi
p(X=xi|M)
0
3/8
1
2/8
2
2/8
xi
p(X=xi|P)
3
1/8
0
1/8
1
2/8
2
3/8
3
2/8
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2. Sachant que X = 2, quelle est la probabilité que le temps soit maussade ?
5$
Un enfant possède une tirelire contenant 2 pièces de 5 F, 3 pièces de l F, 2 pièces de 0,50 F et un
jeton sans valeur. Il fait tomber au hasard deux des objets contenus dans sa tirelire. X est la
variable aléatoire définie par la valeur en francs de chaque tirage.
1. Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre X ?
2. Déterminer la loi de probabilité de X.
3. Quelle est la probabilité pour que l'enfant récupère ainsi au moins 6 F ?
PROBABILITES
7
P.G. 2007/2008
PROBABILITES
Les probabilités au BAC 2006
5%
On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.
À l’instant 0, la puce est en A. Pour tout entier naturel n :
• si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n +1), elle est :
1
soit en B avec une probabilité égale à
3
2
soit en C avec une probabilité égale à
3
• si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n + 1), elle est :
soit en C, soit en A de façon équiprobable
• si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note An (respectivement Bn, Cn) l’événement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement
en B, en C).
On note a n (respectivement b n, c n) la probabilité de l’événement An (respectivement Bn, Cn).
On a donc : a 0 =1, b 0 = c 0 = 0.
Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.
1. Calculer a k , b k et c k pour k entier naturel tel que 1 £ k £ 3.
1
1
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, an + bn + cn = 1 , an +1 = bn et bn +1 = an .
2
3
1
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, an + 2 = an .
6
p

1
et a2 p +1 = 0
 a2 p =  

6
c. En déduire que, pour tout entier naturel p, 
.
p
1 1 

b2 p = 0 et b2 p +1 = 3  6 
 

3. Montrer que lim an = 0 .
n →+∞
On admet que lim bn = 0 . Quelle est la limite de c n lorsque n tend vers +∞ ?
n →+∞
5^
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes :
4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ».
Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire ensuite un
bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu.
Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non »,
il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.
Question 1 : Le jeu est :
A : favorable au joueur
B : défavorable au joueur
C : équitable
Question 2 : Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.
La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à :
216
544
2
A:
B:
C:
625
625
5
Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.
Question 3 : La probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est
égale à :
4
11
11
A:
B:
C:
15
30
15
PROBABILITES
8
P.G. 2007/2008