( )2 = a - Maths974

306
RACINES CARRÉES
Leçon 1
© www.maths974.fr
I. RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Activité 1 :
a. Définition :
Définition :
Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est
appelé racine carrée de a, et est noté
a
. On retient que
a
()
2
=a
.
Vocabulaire : Le symbole est appelé radical et dans l’expression
a
, a est appelé radicande.
 Exemples :
9
()
2
=9 5
()
2
=5
1, 25
()
2
=1, 25
3
4
2
=3
4
 Remarques :
 Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a donc
9
= 3 (nombre entier).
 Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2 ; on le note
2
. Sa valeur exacte s’écrit
seulement sous la forme
2
.(nombre irrationnel)
 Les racines carrées égales à des nombres entiers sont associées à des carrés parfaits ;
Voici la liste des premiers carrés parfaits.
Carré
parfait 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
...... =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fiche exercices calculs simples + exercices 1 à 10 p.36 + 31, 34 p.37
b. Premières propriétés :
Trouver la bonne réponse. (La calculatrice est autorisée)
a b c d
32
= 9 = 3 = - 3 n’existe pas
32
= 9 = 3 =
3
2
n’existe pas
52
()
2
= 625 = 25 = 5 n’existe pas
3425 =34 25
=60 =120
n’existe pas
253
=65
=30
=13,4
n’existe pas
7+3
=4,3
=10
Impossible de simplifier
72+52
=12 2
=16,9
Impossible de simplifier
7 1+7
()
=7+7
=9,6
Impossible de simplifier
3+2
()
5+2
()
=17+82
=28,3
Impossible de simplifier

306
RACINES CARRÉES
Leçon 2
© www.maths974.fr
En examinant les questions et leurs réponses exactes, on peut dire que :
 Pour tout nombre a,
a
2
=
… si a est positif.
 On peut multiplier deux racines carrées d’un même nombre.
 On peut réduire un calcul avec des racines carrées d’un même nombre.
 On peut développer un calcul avec des racines carrées d’un même nombre.
 Exemples :
92=9 52=5
1, 25
2
=......
3
4
2
=.......
 Réduire :
10 6 15 6 +46=16=6
et
3+12 3 +243=
 Développer :
7 1+7
()
=71+77=7+7
et
5253
()
=
 Développer et réduire :
3+2
()
5+2
()
=35+32+25+22=15+32+52+2=17 +82
et
73
()
7+4
()
=
Exercices 19, 20 p.36 et 28, 29 p.37
II. REGLE DE CALCULS
Activité 2
Pour tous nombres positifs a et b :
ab=ab
 La racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.
 Si b  0,
a
b=a
b
 La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées.
 Exemples :
312 =.............. =......... =.....
75
3=......
...... =....... =.....
 ATTENTION :
a+ba+b En effet :
9+16 =.....
et
9+16 =..... =.....
Application type : Ecrire sous la forme
ab
avec b nombre entier le plus petit possible.
 Méthode :
20 =45
 faire apparaître sous le radical un « carré »
=225=225=25
 Compléter :
12 =....…3=… ; 700 =…
Exercices 14 à 18 p.36 + Fiche entraînement + 47, 48, 52, 59 p.38 + 38 p.37 + 66, 68 p.39 + 62, 63, 64 p.61

306
RACINES CARRÉES
Leçon 3
© www.maths974.fr
III. EQUATION x 2 = a
Activité 3
a. Propriété :
. Si a > 0, alors l’équation x 2 = a admet deux solutions :
a
et
a
. L’équation x 2 = 0 admet une seule solution x = 0.
. Si a < 0, alors l’équation x 2 = a n’a pas de solution.
Exemple : L’équation
x2=3
a donc deux solutions
3
et
3
car on a 3 > 0.
b. Applications :
 Résoudre :
x+2
()
2
=25
(25 > 0 donc il y a 2 solutions.)
x+2=25 =5 ou x+2=25 =5
x=3 ou x =7
S=7 ; 3
{}
 Résoudre :
x6
()
2
=49
(49 > 0 donc il y a 2 solutions.)
Exercices 12, 13 p.36 + 40 p.38 + 52 p.80