RACINES CARRÉES 306 Leçon 1 I. RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF Activité 1 : a. Définition : Définition : Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est appelé racine carrée de a, et est noté Vocabulaire : Le symbole ( 9) 2 Exemples : =9 a . On retient que ( a) 2 =a . est appelé radical et dans l’expression ( 5) 2 =5 ( a , a est appelé radicande. 3 = 3 4 4 2 1, 25 ) = 1, 25 2 Remarques : Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a donc Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2 ; on le note seulement sous la forme 9 = 3 (nombre entier). 2 . Sa valeur exacte s’écrit 2 .(nombre irrationnel) Les racines carrées égales à des nombres entiers sont associées à des carrés parfaits ; Voici la liste des premiers carrés parfaits. Carré parfait ...... = 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Fiche exercices calculs simples + exercices 1 à 10 p.36 + 31, 34 p.37 b. Premières propriétés : Trouver la bonne réponse. (La calculatrice est autorisée) a b c d 32 =9 =3 =-3 n’existe pas 32 =9 =3 = 3 2 n’existe pas = 625 = 25 =5 n’existe pas = 34 25 = 60 = 120 n’existe pas =6 5 = 30 = 13, 4 n’existe pas 7+ 3 = 4, 3 = 10 Impossible de simplifier 7 2 +5 2 = 12 2 = 16, 9 Impossible de simplifier = 7+7 = 9, 6 Impossible de simplifier = 17 + 8 2 = 28, 3 Impossible de simplifier ( ) 52 2 34 25 2 5 3 7 (1+ 7 ) (3 + 2 )(5 + 2 ) © www.maths974.fr RACINES CARRÉES 306 Leçon 2 En examinant les questions et leurs réponses exactes, on peut dire que : Pour tout nombre a, a2 = … si a est positif. On peut multiplier deux racines carrées d’un même nombre. On peut réduire un calcul avec des racines carrées d’un même nombre. On peut développer un calcul avec des racines carrées d’un même nombre. 3 = ....... 4 2 9 =9 5 =5 2 Exemples : 2 1, 25 = ...... 2 Réduire : 10 6 15 6 + 4 6 = 1 6 = 6 et 3 +12 3 + 2 4 3 = 7 (1+ 7 ) = 7 1+ 7 7 = 7 + 7 Développer : et 5 (2 5 3) = Développer et réduire : (3 + 2 )(5 + 2 ) = 35 + 3 et ( 2 + 2 5 + 2 2 = 15 + 3 2 + 5 2 + 2 = 17 + 8 2 7 3)( 7 + 4 ) = Exercices 19, 20 p.36 et 28, 29 p.37 II. REGLE DE CALCULS Activité 2 Pour tous nombres positifs a et b : a b = ab Si b 0, a = b a b La racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées. La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées. 3 12 = .............. = ......... = ..... Exemples : ATTENTION : a + b a + b En effet : 9 + 16 = ..... et 75 ...... = = ....... = ..... ...... 3 9 +16 = ..... = ..... Application type : Ecrire sous la forme a b avec b nombre entier le plus petit possible. Méthode : Compléter : 20 = 4 5 faire apparaître sous le radical un « carré » = 2 2 5 = 2 2 5 = 2 5 12 = ....… 3 = … ; 700 = … Exercices 14 à 18 p.36 + Fiche entraînement + 47, 48, 52, 59 p.38 + 38 p.37 + 66, 68 p.39 + 62, 63, 64 p.61 © www.maths974.fr RACINES CARRÉES 306 III. EQUATION x 2 = a Activité 3 a. Propriété : . Si a > 0, alors l’équation x = a admet deux solutions : . L’équation x = 0 admet une seule solution x = 0. . Si a < 0, alors l’équation x = a n’a pas de solution. 2 a et a 2 2 Exemple : L’équation x = 3 a donc deux solutions 2 3 et 3 car on a 3 > 0. b. Applications : Résoudre : ( x + 2) = 25 2 (25 > 0 donc il y a 2 solutions.) x + 2 = 25 = 5 ou x + 2 = 25 = 5 x=3 ou x = 7 S = {7 ; 3} Résoudre : ( x 6 ) = 49 2 (49 > 0 donc il y a 2 solutions.) Exercices 12, 13 p.36 + 40 p.38 + 52 p.80 © www.maths974.fr Leçon 3