Chapitre 16

16
Suites de fonctions
Sauf précision contraire, Iest un intervalle réel non réduit à un point et les fonctions consi-
dérées sont définies sur Ià valeurs réelles ou complexes.
16.1 Convergence simple et convergence uniforme
On désigne par (fn)n∈Nune suite de fonctions de Idans Rou C.
Définition 16.1 On dit que la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge simplement vers une fonc-
tion fsur Isi, pour tout réel x∈Ila suite (fn(x))n∈Nest convergente dans Rou C.
La convergence simple de (fn)n∈Nvers fsur Ise traduit donc par :
(∀x∈I, ∀ε > 0,∃nx,ε ∈N)|(∀n≥nx,ε,|fn(x)−f(x)|< ε)
la notation nx,ε signifiant que l’entier nx,ε dépend de xet de ε.
En utilisant les résultats relatifs aux suites numériques, on montre facilement les résultats
énoncés avec le théorème qui suit.
Théorème 16.1 Soient (fn)n∈Net (gn)n∈Ndeux suites de fonctions qui convergent simplement
sur Ivers fet grespectivement.
1. La suite (|fn|)n∈Nconverge simplement vers |f|.
2. Pour tous scalaires λ, µ, la suite (λfn+µgn)n∈Nconverge simplement vers λf +µg.
3. Si les fonctions fnet gnsont à valeurs positives avec fn≤gnà partir d’un certain rang,
alors f≤g.
4. Si les fnsont à valeurs positives et croissantes à partir d’un certain rang, alors fest
croissante.
5. Si les fnsont à valeurs positives et convexes à partir d’un certain rang, alors fest convexe.
Exemple 16.1 Considérons la suite de fonctions (fn)n∈Ndéfinie sur I=R+par fn(x) =
nx
1 + nx.On vérifie facilement que cette suite converge simplement vers la fonction fdéfinie
par :
f(x) = ½1si x > 0
0si x= 0
Pour ε∈]0,1[ donné et x > 0,on aura
|fn(x)−f(x)|=1
1 + nx < ε
365

366 Suites de fonctions
pour nx > 1−ε
ε,soit pour n≥nx,ε =Eµ1−ε εx ¶+ 1.
Supposons qu’il existe un entier nεindépendant de x∈Itel que |fn(x)−f(x)|< ε pour tout
n≥nε.On aura alors pour tout x > 0et n≥nε,1
1 + nx < ε et faisant tendre xvers 0pour n
fixé, on aboutit à 1≤ε, ce qui n’est pas.
Il est donc impossible de trouver un tel nεvalable pour tout x∈Iou même pour tout x > 0.
On dit dans ce cas que la convergence n’est pas uniforme sur R+(ou R+,∗).
L’exemple précédent nous conduit à la définition suivante.
Définition 16.2 On dit que la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge uniformément vers fsur I
si la suite µsup
x∈I|fn(x)−f(x)|¶n∈N
est convergente vers 0.
Remarque 16.1 La borne supérieure sup
x∈I|fn(x)−f(x)|est un élément de R+=R+∪{+∞}.
La convergence uniforme de (fn)n∈Nvers fsur Ise traduit donc par :
(∀ε > 0,∃nε∈N)|(∀n≥nε,∀x∈I, | |fn(x)−f(x)|< ε)
La convergence uniforme se traduit aussi graphiquement en disant que pour n≥nεle graphe
de fnest dans une bande de largeur 2εsymétrique par rapport au graphe de f(faire un dessin).
Avec les inégalités |fn(x)−f(x)| ≤ sup
x∈I|fn(x)−f(x)|,on déduit que la convergence uni-
forme entraîne la convergence simple.
Exemple 16.2 En reprenant l’exemple précédent, on a pour x > 0,|fn(x)−f(x)|=ϕ(nx)
où ϕ(y) = 1
1 + ypour y > 0avec sup
y>0
ϕ(y) = 1,ce qui donne sup
x>0|fn(x)−f(x)|= 1 et la
convergence n’est pas uniforme sur R+,∗(et en conséquence elle n’est pas uniforme sur R+).
Mais sur J= [a, +∞[avec a > 0,on a :
sup
x≥a|fn(x)−f(x)|=1
1 + na
du fait de la décroissante de la fonction x7→ 1
1 + nx sur R+.Avec lim
n→+∞
1
1 + na = 0,on déduit
que la convergence est uniforme sur J.
Remarque 16.2 Si Iest une réunion d’intervalle, I=
p
[
k=1
Ikla convergence uniforme de
(fn)n∈Nsur Iest équivalente à la convergence uniforme sur chacun des Ik.En effet si (fn)n∈N
converge uniformément vers fsur I, avec :
sup
x∈Ik|fn(x)−f(x)| ≤ sup x∈I|fn(x)−f(x)|
on déduit la convergence uniforme sur Ik.Si (fn)n∈Nconverge uniformément vers fsur chacun
des Ik,avec :
sup
x∈I|fn(x)−f(x)| ≤ sup
1≤k≤pµsup
x∈Ik|fn(x)−f(x)|¶≤
p
X
k=1
sup
x∈Ik|fn(x)−f(x)|
on déduit la convergence uniforme sur I.

Convergence simple et convergence uniforme 367
Pour montrer qu’une suite de fonctions convergence uniformément, on peut procéder comme
suit :
–étudier la suite numérique (fn(x))n∈Npour prouver une éventuelle convergence simple vers
une fonction f;
–étudier les variations sur l’intervalle Ide chaque fonction fn−fen vue de déterminer
sa borne inférieure et sa borne supérieure, ce qui permet d’obtenir sup
x∈I|fn(x)−f(x)|,
cette étude est facilitée si les fonctions en questions sont dérivables, dans la mesure où les
racines de f0
n−f0se calculent facilement ;
–ou alors essayer de déterminer une suite de réels positifs (εn)n∈Nde limite nulle telle que
|fn(x)−f(x)| ≤ εnpour nassez grand et tout x∈I, ce qui entraînera sup
x∈I|fn(x)−f(x)| ≤
εnpour nassez grand. En pratique, il vaut mieux opter pour ce type de méthode de travail.
Exercice 16.1 Montrer que si (fn)n∈Nest une suite de fonctions uniformément convergente
vers une fonction fsur un intervalle I, alors la suite de fonctions (sin (fn))n∈Nconverge uni-
formément vers sin (f)sur I.
Solution 16.1 Résulte de :
|sin (fn(x)) −sin (f(x))| ≤ |fn(x)−f(x)| ≤ sup
x∈I|fn(x)−f(x)|.
Le résultat qui suit nous donne un critère permettant de prouver la non convergence uni-
forme.
Théorème 16.2 Si (fn)n∈Nest suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction
fsur I, alors pour toute suite (xn)n∈Nde points de I, la suite (fn(xn)−f(xn))n∈Nconverge
vers 0.
Démonstration. Résulte des inégalités :
|fn(xn)−f(xn)| ≤ sup
x∈I|fn(x)−f(x)|
valables pour tout n.
Pour montrer la non convergence uniforme, il suffit donc de trouver une suite (xn)n∈Nde
points de Itelle que la suite (fn(xn)−f(xn))n∈Nne converge pas vers 0(en supposant bien
sur que la convergence simple vers fa été prouvée).
Si la suite (xn)n∈Nconverge vers x, avec :
|fn(xn)−f(x)| ≤ |fn(xn)−f(xn)|+|f(xn)−f(x)|
on aura lim
n→+∞fn(xn) = f(x)si la convergence est uniforme avec fcontinue.
Exercice 16.2 On définit la suite de fonctions (fn)n∈N∗sur Rpar :
∀n∈N∗,∀x∈R, fn(x) = nsin ³x
n´.
1. La suite (fn)n∈N∗converge-t-elle simplement sur R,et si oui, vers quelle fonction ?
2. La convergence de la suite (fn)n∈N∗est-t-elle uniforme sur R?
3. La convergence de la suite (fn)n∈N∗est-t-elle uniforme sur [−1,1] ?

368 Suites de fonctions
Solution 16.2
1. Pour x= 0,on a fn(0) = 0 pour tout n∈N∗et la suite réelle (fn(0))n∈N∗est constante
égale à 0.
Pour x6= 0,on a fn(x) = nsin ³x
n´v
+∞xet la suite réelle (fn(x))n∈N∗converge vers x.
En définitive, la suite de fonctions (fn)n∈N∗converge simplement sur Rvers la fonction
f:x7→ x.
2. Pour tout n∈N∗,la fonction gndéfinie sur Rpar :
gn(x) = fn(x)−f(x) = nsin ³x
n´−x
est impaire et dérivable de dérivée g0
n(x) = cos ³x
n´−1≤0,cette dérivée s’annulant aux
points xn,k = 2nkπ où k∈Zavec gn(xn,k) = 2nkπ. On a donc sup
x∈[−2nkπ,2nkπ]|gn(x)|=
2n|k|πpour tout k∈Zet sup
x∈R|gn(x)|= +∞.
La convergence n’est donc pas uniforme sur R.
3. Sur [−1,1] ,pour n∈N∗la fonction gnest décroissante et sup
x∈[−1,1] |gn(x)|=|gn(1)| →
n→+∞
0.La convergence est donc uniforme.
Exercice 16.3 Soit kun entier positif ou nul et (fn)n∈N∗définie par fn(x) = xk
x2+n.
1. Pour quelles valeurs de kcette suite converge-t’elle uniformément sur R?
2. Pour quelles valeurs de kcette suite converge–t’elle uniformément sur toute partie bornée
R?
Solution 16.3
1. Pour tout réel x, on a lim
n→+∞fn(x) = 0,donc (fn)n∈Nconverge simplement vers la fonction
nulle.
Pour k= 0,et xdans R,on a 0≤fn(x) = 1
x2+n≤1 net la suite (fn)n∈Nconverge
uniformément vers 0sur Ret sur toute partie bornée R.
Pour tout entier strictement positif k, on a f0
n(x) = xk−1
(x2+n)2((k−2) x2+kn)et
sup
x∈R|fn(x)|=
1
2√nsi k= 1,
1si k= 2,
+∞si k > 2.
On déduit donc que la suite (fn)n∈Nconverge uniformément vers 0sur Runiquement pour
k= 0 et k= 1.
2. Soit a > 0.Pour tout x∈[−a, a],on a :
|fn(x)| ≤ 
1
2√nsi k= 1,
|fn(a)|si k≥2.
On en déduit alors que la suite (fn)n∈Nconverge uniformément vers 0sur tout partie
borné Rpour tout entier positif ou nul k.

Convergence simple et convergence uniforme 369
Exercice 16.4 Soit α > 0et (fn)n∈Nla suite de fonctions définie sur R+par fn(x) = nαxe−nx.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette suite converge uniformément
sur R+.
2. Étudier la convergence uniforme sur tout intervalle [a, +∞[avec a > 0.
Solution 16.4 La fonction fnest dérivable avec :
f0
n(x) = nαe−nx (1 −nx)
fn(0) = 0,lim
n→+∞fn(x) = 0 et fà valeurs positives.
1. Pour n≥1,la suite (fn)n∈Nconverge simplement sur R+vers la fonction nulle pour tout
α > 0.
Avec sup
x∈R|fn|=fnµ1
n¶=nα−1 epour n≥1,on déduit que la convergence est uniforme
sur R+si et seulement si α∈]0,1[ .
2. Pour tout a > 0,il existe un entier natel que 1
n< a pour tout n≥naet sup
x∈[a,+∞[|fn(x)|=
fn(a).On en déduit que la suite (fn)n∈Nconverge uniformément sur tout intervalle
[a, +∞[avec a > 0.
Exercice 16.5 Soit fune fonction continue de [0,1] dans Rtelle que f(1) = 0.Montrer que
la suite de fonctions (fn)n∈Ndéfinie sur I= [0,1] par fn(x) = xnf(x)converge uniformément
vers 0sur I.
Solution 16.5 Laissée au lecteur.
Exercice 16.6 On désigne par (fn)n∈Nla suite de fonctions définies sur R+par :
∀n∈N,∀x∈R+, fn(x) = nx sin (x)e−nx.
1. Montrer que cette suite converge simplement sur R+vers la fonction nulle.
2. Montrer que la fonction ϕ:t7→ ϕ(t) = te−test décroissante sur [1,+∞[.
3. Montrer que la convergence de la suite (fn)n∈Nvers 0est uniforme sur l’intervalle hπ
2,+∞h.
4. On se propose maintenant de montrer que la convergence de la suite (fn)n∈Nvers 0est
encore uniforme sur l’intervalle h0,π
2i.
(a) Calculer, pour tout n≥1,la dérivée de la fonction fn.
(b) Montrer que :
∀x∈¸0,1
n¸, f0
n(x)>0.
(c) Montrer que, sur l’intervalle ¸1
n,π 2¸, f0
ns’annule en un unique point xn∈¸1
n,π 2·.
(d) En déduire les variations de fnsur l’intervalle h0,π
2i.
(e) Montrer que la suite (fn)n∈Nconverge uniformément vers 0sur h0,π
2iet sur R+.
Solution 16.6