EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL
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EXERCICE 01 :
Trouver une primitive de chacune des fonctions f définies par
1°) f (x) = – x3 + 6x2 + 10x – 4
2°) f (x) = 2x5 – 5x3 + 5x
;
3°) f (x) = 3x4 – 4x3 + 5x2 – 9x + 1
5°) f (x) = (2x – 1)(x2 –x + 4)3
4°) f (x) = – 3x4 + 2x3 – 5x + 7
;
6°) f (x) = (6x+3)(x2 + x + 1)4
;
7°) f (x) = 5x (x2 +1)6
;
8°) f (x) = 3x2 (x3 + 1)5
9°) f (x) = 7x2 (x3 + 5)3
;
10°) f (x) = x (x2 – 4)2
11°) f (x) = (5x + 1)7
;
12°) f (x) = (–3x+2)4
13°) f (x) = (x – 4)3
;
14°) f (x) = (5 – 2x)6
15°) f ( x) =
(x
2x + 1
+ x−3
2x
17°) f ( x) = 2
x +1 4
2
(
x
x +2
(
21°) f ( x) =
3x
x +2
23°) f ( x) =
25°) f ( x) =
(
2
2
)
)
16°) f ( x) =
;
18°) f ( x) =
)
3
)
19°) f ( x) =
;
2 x 5 − x 3 + 3x 2 + 2
x2
2x 3 + 5x 2 + 4x + 4
(x + 1)
cos x
sin 3 x
sin x
29°) f ( x) = 4
cos x
27°) f ( x) =
−x
2
−9
)
5
4
(x + 1)2
4
5
2
+ 3 +
2
x
x
(x + 3)2
x 3 + 5x 2 − 1
3x 2
;
24°) f ( x) =
;
26°) f ( x) = (x 3 − 7 x + 1) (3x 2 − 7 )
;
28°) f ( x) = sin x cos 4 x
;
30°) f ( x) = cos x sin 4 x
2
31°) f ( x) = sin 3 x
;
33°) f ( x) = 4 cos 2 x
;
5
π
32°) f ( x) = sin(4 x + )
3
34°) f ( x) = cos(6 x + 2)
34°) f ( x) = cos 3x + 6 sin 3x − sin x cos 3 x
35°) f ( x) = cos 5 x
;
π
36°) f ( x) = 10 sin 5 x + 12 cos 4 x − 3 sin(6 x − )
6
Exercices Primitives
(x
22°) f ( x) = − x 2 +
;
3
(5 x − 1)2
20°) f ( x) = 5 + x +
;
3
3
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;
37°) f ( x) = sin 4 x
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EXERCICE 02:
1- Calculer les intégrales suivantes
1
2
1
1
5
n
A = ∫ ( x 4 − 5 x 2 + 3)dx ; B = ∫ ( x + 3)( x 2 + 6 x + 4) 2 dx ; K = ∫ ( x + 1) dx ; L = ∫ (3x + 1) dx
0
−3
0
0
2
2
1
4 x3 − 3x 2 + 1
3x + 6
dx ; D = ∫ (2 x + 1)3dx ; E = ∫
dx ; T = ∫
2
2
4
0
1 ( x + 4 x + 3)
0
5x
2
C=∫
1
x
(x
)
+1
2
3
dx
π
π
3
e ln x
3
cos x
4
3
2
4
dx
;
G
=
(
3
x
−
+
x
)
dx
;
J
=
dx
;
=
dx
;
H
=
K
∫2
∫π6 sin 2 x
∫1 x
∫04 tan( x)dx
0 (3 − 2 x ) 4
x2
F =∫
1
π
1
L = ∫ 3 sin x cos 3 x dx ; N = ∫ x( x 2 + 1)5 dx ;
0
P=∫
0
π
1
x + 3 dx ; D = ∫ 4π tan 2 ( x)dx
−2
−
4
π
1
0
1 + ln x
π
dx ; R = ∫ 3 cox(2 x + )dx ; U = ∫ ( x + e x )dx ; K = ∫ ( x 2 + x) e 2 x dx
0
1
0
−1
x
3
π
1
2
π
3x
tan( x)
10 x + 1
2
V = ∫ 2
dx ; W = ∫
dx ; X = ∫ cos x(1 − 3 sin x)dx ; W = ∫ 4π
dx
2
0
1
0
−
cos( x)
x +4
5x + x + 3
4
e
Q=∫
2
2
I = ∫ ( 3 x − 2 )dx ; J = ∫ x( x 2 − 3)dx ; L = ∫
1
A=∫
1
1
1
dx ; L = ∫ x 2 − x 4 dx ;
−1
x −1 + x + 1
6
2
3π
0

1
1 
x
4
4 cos 5 x dx ; K =
 2x −1 +

dx
;
B
=
(
)
dx
;
E
=
π sin x dx ;
π
2 
∫
∫
∫

−
0
(x − 1) 
x +1

2
4
5
3
π
M = ∫π3 cos 2 x sin 3 x dx ; N = ∫
1
1
2x −1
dx
x
dx ; Q( x) = ∫
; P=∫
dx ;
3
0
0
x +1
2x2 + 3
x2 − x +1
3
(
0
6
π
3
S = ∫ 2 cos x(cos x + 1) 2 dx ; T = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx ; P = ∫
0
0
D=∫
1
−4
( x + 3 + 2 x − 1 )dx
; T =∫
7
−5
π
(x + 3 + 2 x
2
4
−3
)
)
4
x 2 − 2 x − 3 dx ; K = ∫ ( x 2 − 2 x + 3 ) dx
−1
− 3 x + 2 dx ; G = ∫ ( 2 x − 5 + x − 3 )dx ;
5
0
2 e
3

Y = ∫ ( x x 2 − x − 2 ) dx ; Z = ∫  + e x ln x  dx .
1
−1
x

x
U = ∫ π3 sin 3 t cos 4t dt ;
6
EXERCICE 03:
En utilisant la formule d’intégration par parties calculer les intégrales
π
1
1
2
K = ∫ 2 x sin x dx ; J = ∫ x 2 e x dx ; M = ∫ (−2 x 2 + x + 1)e x dx ; I = ∫ x 2 x + 1 dx
0
0
0
1
x
1
2e
2
P = ∫ ( x + 1) 2 x + 1 dx ; T = ∫ ln t dt ; S = ∫ x ln x 2 dx ; P = ∫ x ln x dx ;
0
e
1
1
1
H = ∫ t 2 e t dt ; J = ∫
0
π
0
π
(
)
e
π
ln x
dx ; F = ∫ t 2 + 3 ln t dt ; I = ∫ e x cos x dx ;
1
1
0
x
π
cos(ln x)
3 t 2 − t + 1 sin t dt ; R = ∫ 12
dx ; V = ∫ 4 x sin 2 (3 x) dx
0
x
C = ∫ x 2 1 − x dx ; H = ∫
0
1
e
(
)
π
1
K = ∫ 3 x 2 cos(2 x)dx ; J = ∫ ( x + 2) e x dx ; K = ∫ 2 x sin 3 x dx .
0
Exercices Primitives
0
0
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EXERCICE 04:
Soient la fonction f définie par f ( x) =
2 x 3 + 5x 2 − 4 x − 7
(x + 2 )2
c
(x + 2)2
5
2°) Trouver la primitive F de f prenant la valeur − en 0.
2
1°) Trouver les réels a ; b et c tels que f ( x) = ax + b +
3
3°) En déduire I = ∫2 f ( x) dx .
EXERCICE 05:
3x 2 + 6 x + 4
Soit Soient la fonction f définie par f ( x) =
(x + 1)2
b
1°) Trouver les réels a et b tels que f ( x) = a +
(x + 1)2
2
2°) En déduire I = ∫1 f ( x) dx .
EXERCICE 06:
1°) Soit la fonction f définie par f ( x) =
2x + 5
.
( x + 1) 2
a) Trouver les réels a et b tels que pour tout x≠ -1 , f ( x) =
a
b
+
x + 1 ( x + 1) 2
2x + 5
dx .
( x + 1) 2
3
b) En déduire le calcul de I = ∫ 0
2°) Soit la fonction g définie par g ( x) =
x2 −1
.
x( x 2 + 1)
a
x
a) Trouver les réels a , b et c tels que pour tout x≠0 , g ( x) = +
3
b) En déduire le calcul de J = ∫1
bx + c
x2 +1
x2 −1
dx .
x( x 2 + 1)
3°) Soit la fonction f définie par f ( x) =
x+5
.
x − 2x − 3
2
a) Déterminer l’ensemble de définition de f
b) Trouver les réels a et b tels que , f ( x) =
2
c) En déduire le calcul de K = ∫ 0
Exercices Primitives
a
b
+
x +1 x − 3
x+5
dx .
x − 2x − 3
2
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EXERCICE 07:
1°) On pose I = ∫
π
(2 x + 1) cos x dx et J = ∫
2
2
0
π
2
0
(2 x + 1) sin 2 x dx
a) Calculer I + J puis I – J
b) En déduire les valeurs de I et de J.
2°) Déterminer les réels a ; b et c tels que pour tout réel strictement
1
a bx + c
positif x on ait :
= + 2
2
x ( x + 1) x x + 1
1
1
2
x ( x 2 + 1)
3°) Calculer I = ∫ 1
1
de J = ∫ 1
2
dx ; en déduire en utilisant l’intégration par partie le calcul
ln( x)
dx
x ( x 2 + 1)
4°) Soit I n =
∫
1
0
x n e − x dx
a) Calculer I0
b) Pour tout entier naturel n, en utilisant une intégration par parties,
c) Calculer In+1 en fonction de In. En déduire I4.
EXERCICE 08:
Pour tout entier naturel n >0 ; on pose : I n = ∫ 01 x n 3 + x dx et I 0 = ∫ 01 3 + x dx
1°) a) Calculer I 0
b) Calculer I 1 à l’aide d’une intégration par parties
2°) Comparer x n +1 et x n lorsque 0 ≤ x ≤ 1. En déduire que la suite ( I n ) est
décroissante.
3°) a) En procédant par encadrement, établir que :
3
2
≤ In ≤
.
n +1
n +1
b) Etudier la limite de la suite ( I n ) en + ∞.
4°) a) Démontrer que, pour tout nombre x de [0 ; 1] on a :
0≤ 2− x+3 ≤
1
2 3
( 1 − x)
b) Déduisez du résultat précédent que :
2
1
1
2
−
×
≤ In ≤
.
n + 1 2 3 (n + 1) (n + 2)
n +1
c) Déterminer la limite de la suite ( n I n ) .
Exercices Primitives
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EXERCICE 09:
Soit la fonction f définie par f ( x) = e − x ln(1 + e x ) .
λ
On se propose de calculer : I (λ ) = ∫0 f ( x) dx , où λ ∊ℝ+
1°) Quel est le signe I (λ ) ?
2°) Trouver deux nombres réels a et b tels que pour tout réel x,
λ
3°) Calculer J (λ ) = ∫0
ex
b
=a+
x
1+ e
1 + ex
1
dx
1 + ex
4°) f ' étant la fonction dérivée de f , calculer f + f '
5°) Calculer I (λ ) .
EXERCICE 10:
Soit f une fonction numérique continue sur [0 ;1] et telle que pour tout x de [0 ;1]
∫
1
x
1 − x2
f ( t )dt ≥
. Soit F une primitive de f sur [0 ;1] .
2
1°) Prouver que : F ( 1) =
1
∫
1
0
xf ( x )dx +
2°) En déduire que :
∫
3°) En déduire que :
∫ [ f ( x )]
0
xf ( x )dx ≥
1
2
0
4°) Soit h définie par h( x ) =
∫
0
1
0
F ( x )dx .
1
.
3
dx ≥
1
∫
1
.
3
xn
dx .
1 + x2
Démontrer que pour n élément de ℕ, on a :
1
1
.
≤ h( x ) ≤
2( n + 1)
n+1
EXERCICE 11:
1) Soit la fonction f continue sur [0 ;1] telle que,
pour tout réel x de [0 ;1] on a :
1
1
≤ f ( x) ≤
.
x+2
x +1
1
Démontrer que : ln 1,5 ≤ ∫0 f ( x)dx ≤ ln 2 .
1
2) Pour tout entier naturel n on donne I n = ∫0 x n sin(π x) dx
a) Calculer lim I n ( on remarquera que ∀x∊[0,1], 0≤ xn sin(π x)≤xn )
n → +∞
b) Trouver une relation de récurrence entre I n et I n+ 2 .
c) En déduire lim (n 2 I n ) .
n → +∞
Exercices Primitives
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EXERCICE 12:
Soit la fonction f définie sur ℝ par f ( x) =
Calculer
2
∫1
m
∫1
f ( x)dx, puis
x −1
et m un réel supérieur à 2.
x − 2x + 1
2
f ( x) dx .
Quelle est la valeur moyenne de f sur l’intervalle [1; m].
EXERCICE 13:
e
Pour tout entier naturel non nul n, on définit : I n = ∫ 1 (ln x) n dx .
1-/ a/ justifier l’existence de cette intégrale.
b/ Calculer I1.
c/ Démontrer la relation : pour n ≥2, I n = e − nI n−1 .
(on pourra effectuer une intégration par parties).
2-/ l’entier naturel non nul n étant fixé, on note Fn une primitive de la fonction
x a (ln x) n sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
a/ Démontrer que la fonction t a Fn (e t ) est dérivable sur ℝ et expliciter sa
fonction dérivée.
b/ En déduire les propriétés suivantes :
1
- Pour tout entier naturel non nul I n = Fn (e) − Fn (1) = ∫0 t n e t dt .
e
n +1
Indication : pour la deuxième propriété, encadrer d’abord tnet sur [0 ; 1].
- Pour tout entier naturel non nul 0 ≤ I n ≤
EXERCICE 14:
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère la fonction
x
f définie sur ℝ par f ( x) = ∫0
et
dt
1 + et
1°) Indiquer sans calcul f ' ( x ) et f (0) ;
2°) Etudier les variations de f ;
(
)
3°) Démontrer que pour tout nombre réel x : f ( x ) = x + ln e − x +1 − ln 2
En déduire que la droite d’équation : y = x − ln 2 est une asymptote à la courbe (Cf) de f .
4°) Construire dans le plan la courbe (Cf) de f .
Exercices Primitives
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EXERCICE 15:
Le but de l’exercice est de montrer que le nombre e, base des logarithmes népériens,
n’est pas un nombre rationnel.
Partie A :
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = x e1–x.
On désigne par (Cf) la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère
orthonormé O ; i ; j d’unité graphique 4cm.
(
)
1-/ Etudier les variations de f ; on précisera les limites de f en –∞ et en +∞.
2-/ Construire la courbe (Cf) dans le plan.
1
3-/ Utiliser une intégration par parties pour calculer : I1 = ∫0 f ( x) dx .
Quelle est l’interprétation géométrique de I1.
Partie B :
1
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on pose : I n = ∫0 x n e1− x dx .
1-/ a/ Montrer que x n ≤ x n e1− x ≤ e x n , pour tout x de [0 ;1].
1
b/ Exprimer en fonction de l’entier n : J n = ∫0 x n dx .
c/ Déduire de a/ et de b/ que l’on a :
1
e
≤ In ≤
pour n≥1.
n +1
n +1
2-/ Utiliser une intégration par parties pour montrer que pour tout n≥1 on a :
I n+1 = (n + 1) I n − 1 .
3-/ Pour tout entier n≥1 on pose k n = n !e − I n .
a/ Exprimer kn+1 à l’aide de kn.
b/ Calculer k1 (on pourra utiliser la 3ème question de la partie A).
En déduire, en procédant par récurrence sur n, que kn est un nombre entier pour n≥1.
c/ Utiliser le b/ et le 1-/ c/ pour montrer que, quelque soit l’entier n≥ 2, le nombre (n! × e)
= kn + In est un entier.
4-/ a/ Soit p et q deux nombres entiers strictement positifs.
n! p
Montrer que, pour n ≥q, le nombre
est un nombre entier.
q
b/ En déduire, à l’aide du 3-/ b/ et 3-/ c/ que e n’est pas un nombre rationnel.
Exercices Primitives
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EXERCICE 16:
π
Soit (In) la suite définie par I n = ∫0 sin n x dx . (on indique que sin n x = sin n−1 x × sin x )
1°) Calculer I 0 et I1 .
2°) Sans calculer I n , démontrer que la suite (In) est décroissante.
3°) A l’aide d’une intégration par parties de I n démontrer que ∀n ∈ ℕ
I n+ 2 =
n +1
In
n+2
4°) a) Calculer I 9 ; I10 et I11
b) En déduire que :
217
216
π
.
≤
≤
3 4 × 7 2 × 11
34 × 5 × 7 2
EXERCICE 17:
Pour tout entier naturel n on pose I n = ∫0 x n 1 − x dx .
1
1°) A l’aide d’une intégration par parties trouver une relation entre I n et I n−1
2°) Calculer I 0 .
3°) Calculer I n .
EXERCICE 18:
π
Pour tout entier naturel n on pose I n = ∫04
1°) Déterminer les réels a et b tels que
π
En déduire le calcul de I 0 = ∫04
1
cos
2 n+1
( x)
dx
1
a cos( x) b cos( x)
=
+
.
cos( x) 1 − sin( x) 1 + sin( x)
1
dx .
cos( x)
2°) A l’aide d’une intégration par partie démontrer que 2nI n = (2n − 1) I n−1 +
Exercices Primitives
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2n
2
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EXERCICE 19:
On se propose de trouver sans les calculer séparément les trois intégrales
I =∫
π
2
0
π
4
cos x dx
π
; J = ∫ sin x dx ; K = ∫02 2 sin 2 x cos 2 x dx
4
2
0
1°) Calculer I − J et I + J + K .
2°) Exprimer cos 4 x en fonction de cos x et sin x .
En déduire la valeur de I + J − 3K puis celles de I ; J ; K .
EXERCICE 20:
On pose I 1 = ∫
π
2
0
π
cos x
sin 2 x
dx ; I = ∫ 2
dx et
0 1 + 2 sin x
1 + 2 sin x
I 2 = I1 + I .
1°) Calculer I2
2°) Calculer I1
3°) En déduire I.
EXERCICE 21:
π
π
On considère les intégrales définies I = ∫0 cos 4 x dx et J = ∫0 sin 4 x dx .
π
1°) a) Montrer que l’intégrale I peut s’écrire : I = ∫ 0 cos x (cos x − cos x sin 2 x) dx
π
1
3
b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que I = ∫0 sin 2 x dx − J .
π
1
3
c) Montrer aussi que l’intégrale J peut s’écrire : J = ∫0 cos 2 x dx − I .
2°) a) Montrer que I + J =
3π
4
b) Montrer que J − I = 0
c) En déduire les valeurs des intégrales I et J.
Exercices Primitives
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