Chapitre 6 NOMBRES FRACTIONS

6ème
Chapitre
NOMBRES FRACTIONS
a
comme quotient de l’entier a par l’entier b, c’est-à-dire comme le
b
nombre qui multiplié par b donne a.
Interpréter
Division décimale d’un nombre entier par un entier.
Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée dans des cas simples.
À l'école élémentaire, l'écriture fractionnaire est introduite en référence au partage
d'une unité.
7
Par exemple est 7 fois un tiers.
3
Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : « numérateur »,
« dénominateur ».
Le programme de la classe de 6ème a pour objectif d’interpréter aussi
- le tiers de 7
- le nombre qui multiplié par 3 donne 7 ;
- un nombre dont une valeur approchée est 2,33.
7
comme
3
Chapitre
NOMBRES FRACTIONS
1) Division décimale et quotient :
a) Technique opératoire de la division :
Exemple 1 :
On veut partager 36 € en 4 parts identiques.
Quel est le montant de chaque part ?
Effectuons la division de 36 par 4.
Le montant de chaque part est égal à 9 €.
On a 4 × 9 = 36 €.
Exemple 2 :
On veut partager 37 € en 4 parts identiques.
Quel est le montant de chaque part ?
On commence comme pour une division euclidienne.
Le reste n’étant pas égal à zéro,
on continue la division en écrivant 37=37,00.
Dès que l’on atteint la partie décimale du dividende,
on place la virgule au quotient.
On finit ici par obtenir un reste égal à zéro.
3 6
- 3 6
0
4
9
3 7, 0 0
- 3 6
1 0
8
2 0
- 2 0
0
4
9, 2 5
On place la
virgule
Ainsi 37 : 4 = 9,25 €.
Le montant de chaque part est égal à 9,25 €.
Ainsi 4 × 9,25 = 37 €.
9, 2 5
4
×
3 7, 0 0
Exemple 3 :
On veut partager 37 € en 9 parts identiques.
Quel est le montant de chaque part ?
Effectuons la division de 37 par 9.
On commence comme pour une division euclidienne.
Dès que l’on atteint la partie décimale du dividende,
on place la virgule au quotient.
Ainsi 37 : 9 ≈ 4,11 €.
4,11 est une valeur approchée
par défaut au centième du quotient de 37 par 9.
Le montant de chaque part est égal à environ 4,11€.
Ainsi 9 × 4,11 = 36,99 ≈ 37 €.
4, 1 1
9
×
3 6, 9 9
3 7, 0 0 0
- 3 6
1 0
9
1 0
9
1 0
9
1
9
4, 1 1 1
Exemple 4 :
On dépense 21 € pour 25 crayons identiques.
Quel est le prix d’un crayon ?
Effectuons la division de 21 par 25.
Ainsi 21 : 25 = 0,84 €.
Chaque crayon coûte 0,84 €.
2 1,
0
2 1
- 2 0
1
- 1
0 0
2 5
0
0
0 0
0 0
0
0, 8 4
Remarque :
Effectuer une multiplication « n’agrandit pas toujours » le résultat.
Ici, en multipliant 25 par 0,84, on obtient un produit 21 qui est inférieur à 25.
On a 25 × 0,84 = 21 .
× 0,
1
+2 0
2 1,
2
8
0
0
0
5
4
0
0
0
→25×
×4
→25×
×80
b) Définition du quotient :
Soit a un nombre entier et b un nombre entier non nul.
On appelle « quotient de a par b » le nombre qui, multiplié par b , donne a .
Le quotient de a par b se note a : b et correspond au résultat de la division de a par b .
On a donc (a : b) × b = a .
a
a
= (a : b) .
Le quotient de a par b se note également
et on a l’égalité
b
b
a
On a également l’égalité × b = a .
b
c) Vocabulaire :
a
est « l’écriture fractionnaire » du quotient de a par b .
b
On dit que a est le « numérateur » et b est le « dénominateur ».
On dit que
Quand le numérateur et le dénominateur sont des entiers, on dit que le quotient est une
« fraction ».
Exemples :
12
12
= 12 : 6 = 2 en effet
× 6 = 2 × 6 = 12 .
6
6
3
3
Le quotient de 3 par 2 est = 3 : 2 = 1,5 en effet × 2 = 1,5 × 2 = 3 .
2
2
Le quotient de 12 par 6 est
Remarque :
Effectuer la division décimale de a par b , consiste à trouver le quotient dans l’égalité
a
b × quotient = a donc quotient = (a : b ) = .
b
Exemples :
3 × x = 18 donc x =
18
= 18 : 3 = 6 et on a 3 × 6 = 18 .
3
y × 16 = 176 donc y =
z × 6 = 13 donc z =
176
= 176 : 16 = 11 et on a 11 × 16 = 176 .
16
13
13
= 13 : 6 et on a
× 6 = 13 .
6
6
13
≈ 2,166
6
2,166 est la valeur approchée par défaut
13
au millième du quotient
.
6
On a 2,166 × 6 = 12,996 ≈ 13 .
1 3, 0 0 0
- 1 2
1 0
6
4 0
- 3 6
4 0
- 3 6
4
1 7 6
- 1 6
1 6
- 1 6
0
1 6
1 1
6
2, 1 6 6
d) Utilisation de la calculatrice :
13
= 13 : 6 ≈ 2,166 666 667... valeur donnée par la calculette.
6
Attention :
2,166 666 667 n’est pas la valeur exacte du quotient de 13 par 6.
Ce n’est qu’une valeur approchée de ce quotient.
Remarque :
Le quotient
de chiffres.
13
n’est pas un nombre décimal car sa partie décimale comporte un nombre infini
6
2) Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée:
Exemples :
Place sur une même demi-droite graduée les points A et B d'abscisses respectives
5
11
et
.
6
3
5
 5
, on note également A  .
6
 6
11
 11 
L’abscisse de B est égale
, on note également B  .
3
 3
L’abscisse de A est égale à
On choisit une longueur unité OI (par exemple OI = 6 cm ) que l'on partage en six parts égales.
1
Chacune de ces parts correspond donc à de l'unité.
6
1
6
A
O
0
I
B
2
1
1
3
Deux parts correspondent à
Pour placer le point A, on utilise l’égalité
3
1
de l'unité.
3
5
1
= 5 × et on reporte donc cinq sixièmes à partir
6
6
du point O.
Pour placer le point B, on remarque que deux parts correspondent à
1
de l'unité et on utilise
3
11
1
= 11 × . On reporte donc 11 tiers à partir du point O.
3
3
1
Attention correspond à deux graduations.
3
On peut aussi utiliser le fait que
placer le point B.
11 9 2
2
= + = 3 + et donc reporter deux tiers après 3 pour
3 3 3
3
Remarques:
Si le numérateur d'une fraction est inférieur au dénominateur
alors cette fraction est inférieure à 1.
Exemple:
5
<1
6
Si le numérateur d'une fraction est supérieur au dénominateur
alors cette fraction est supérieure à 1.
Exemple:
11
>1
3