Exercice C7

Exercice C7
1. Soit n∈N. On est dans l’un des cas suivants :
n≡0 (5) ou n≡1 (5) ou n≡2 (5) ou n≡3≡ −2 (5) ou n≡4≡ −1 (5)
Le premier cas n≡0 (5) correspond à « nest multiple de 5»,
les quatre autres cas correspondent à « nn’est pas multiple de 5».
Etudions ces différents cas :
•Si n≡0 (5) alors n4≡0 (5) donc n4−1≡ −1≡4 (5), donc n4−1n’est pas multiple de 5.
•Si n≡1 (5) alors n4≡14≡1 (5) donc n4−1≡0 (5), donc n4−1est multiple de 5.
•Si n≡2 (5) alors n4≡24≡16 ≡1 (5) donc n4−1≡0 (5), donc n4−1est multiple de 5.
•Si n≡3≡ −2 (5) alors n4≡(−2)4≡16 ≡1 (5) donc n4−1≡0 (5),
donc n4−1est multiple de 5.
•Si n≡4≡ −1 (5) alors n4≡(−1)4≡1 (5) donc n4−1≡0 (5),
donc n4−1est multiple de 5.
On a donc obtenu que : « si nest multiple de 5, alors n4−1n’est pas multiple de 5»
et « si nn’est pas multiple de 5, alors n4−1est multiple de 5».
C’est-à-dire : « nn’est pas multiple de 5 » est équivalent à « n4−1est multiple de 5 ».
2. On a 35= 243, donc 3et 35ont le même chiffre des unités qui est 3.
72= 49 et 76= 117649, donc 72et 76ont le même chiffre des unités qui est 9.
28= 256 et 212 = 4096, donc 28et 212 ont le même chiffre des unités qui est 6.
43= 64 et 47= 16384, donc 43et 47ont le même chiffre des unités qui est 4.
3. « aet bont le même chiffre des unités » se traduit en termes de congruences par « a≡b(10) ».
En effet le chiffre des unités correspond au reste dans la division par 10.
4. Soit n∈Net p∈N∗,
on peut écrire : np+4 −np=np(n4−1) = n×np−1(n2−1)(n2+ 1) = n×np−1(n−1)(n+ 1)(n2+ 1)
On peut remarquer que (n−1) et nétant deux nombres consécutifs, l’un des deux est un nombre pair.
Donc n×np−1(n−1)(n+ 1)(n2+ 1) est pair, donc np+4 −npest pair.
De plus :
•Si nest multiple de 5, n×np−1(n−1)(n+ 1)(n2+ 1) est aussi multiple de 5, donc np+4 −npest multiple de 5.
•Si nn’est pas multiple de 5, on sait d’après la première question que n4−1est multiple de 5, donc
np+4 −np=np(n4−1) est multiple de 5.
On a donc démontré que, dans tous les cas, np+4 −npest un nombre pair multiple de 5.
Donc np+4 −np≡0 (10) , c’est-à-dire que np+4 et npont le même chiffre des unités.
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