I. Calculer 1˚. ∫ 2˚. ∫ dx 1 + x2 3˚. ∫ ln x dx 4˚. ∫ ln 1 x dx 5˚. ∫ 1

MATHEMATIQUES TD N˚6 : INTEGRALES GENERALISEES
R&T Saint-Malo - 1ère année -2009/2010
I. Calculer
1˚. Z+∞
0
xe−xdx 2˚. Z+∞
1
dx
1 + x23˚. Z1
0
ln x dx 4˚. Z1
0
ln 1
xdx
5˚. Z+∞
0
1
√x(1 + x)dx 6˚. Z1
0
dx
√x7˚. Z2
1
dx
√x−18˚. Z+∞
1
dx
x2
9˚. Z0
−1
ex
√1−exdx 10˚. Z2
1
x−2
√x2−1dx 11˚. Z+∞
2
1
(x−1)2dx 12˚. Z+∞
0
x7
1 + x16 dx
13˚. Z+∞
0
e−√x
√xdx 14˚. Z+∞
1
dx
x2(x+ 1) 15˚. Z+∞
−∞
dx
ch x 16˚. Z+∞
0
dx
1 + x3
17˚. Z1
0
ln x
(1 + x)2dx 18˚. Z+∞
1
ln x
x2dx 19˚. Z+∞
0
xe−x2dx 20˚. Z+∞
−∞
dx
x4+x2+ 1
II. Calculer par changement de variables
1˚. Z+∞
0
ex
1 + e2xdx u =ex2˚. Z1
−1
dx
(x+ 2)√x+ 1 u=√x+ 1 3˚. Z4
0
x
√16 −x2dx sin u=x
4
4˚. Z+∞
1
dx
(1 + x2)2x= tan u5˚. Z+∞
0
dx
(1 + x2)√xu=√x6˚. Zπ
0
dx
1 + sin xt= tan x 2
7˚. Z+∞
−∞
dx
p(x2−2x+ 2)3x= 1 + sh(u)8˚. Z+∞
0
x
(1 + x4)2dx u =x29˚. Z+∞
0
dx
x2+√xu=√x
III. Nature des intégrales
1˚. Z+∞
0
dx
1 + x32˚. Z1
0
1 + x
px(1 + 2x)dx 3˚. Z+∞
0
√x
1 + xdx 4˚. Z+∞
0
√x
1 + x2dx
5˚. Z1
0
dx
1−x26˚. Z1
0
dx
ln x7˚. Z+∞
0
(e1
x−1) dx 8˚. Zπ
2
0
√xsin x
1−cos xdx
9˚. Zπ
2
0
sin x
1−cos xdx 10˚. Z+∞
1
sin x
x2dx 11˚. Z+∞
0
sin x
xdx 12˚. Z+∞
1
sin x
√xdx
13˚. Z+∞
0
sin(x2)dx 14˚. Z+∞
1
√xsin(x2)dx 15˚. Z1
0
sin 1
xdx 16˚. Z+∞
2
sin x
x(ln x)2dx
17˚. Z1
0
ln(1 + x)
ex−cos xdx 18˚. Z1
0
dx
ex−cos x19˚. Z+∞
1
ln(1 + 1
x)
√x2+ 1 dx 20˚. Z+∞
0
sin 1
x2
ln(1 + √x)dx
21˚. Z1
0
e1
√x+sin xln x
xdx 22˚. Z+∞
e2
dx
xln xln ln x23˚. Z1
1
2
dx
x(1 −x3)2/324˚. Z1
0
1−e−x
x√xdx
25˚. Z+∞
0
(sin x
x)6/5dx 26˚. Z+∞
0
x√x
1 + x3dx 27˚. Z3
2
dx
√x−228˚. Z2
1
dx
√x2−1
IV. La fonction Gamma d’Euler
On pose Γ(x) = Z+∞
0
tx−1e−tdt
1˚. Démontrer que Γ(x)existe si et seulement si x > 0.
2˚. Démontrer que Γ(x+ 1) = xΓ(x)∀x > 0et en déduire Γ(n)∀n∈N.
3˚. En supposant que Γest continue sur ]0,+∞[donner un équivalent de Γ(x)en 0.
4˚. Calculer lim
x→+∞Γ(x)
V.
Soient I=Zπ
2
0
ln sin x dx,J=Zπ
2
0
ln cos x dx,K=Zπ
0
ln sin x dx et L=Z+∞
0
(arctan x
x)2dx
1˚. Montrer que I,J,Ket Lsont convergentes.
2˚. Montrer que I=J=K
2, puis que I+J=K 2−π 2ln 2
3˚. En déduire K,Iet J.
1

4˚. Calculer M=Zπ
2
0
u2
sin2udu.
5˚. En déduire Len posant u= arctan x
VI.
Pour α∈R, on pose Iα=Z+∞
1
x2−α
1 + x2dx et Jα=Z+∞
1
ln(1 + x2)
xαdx
1˚. Calculer Z+∞
1
dx
1 + x2,Z+∞
1
dx
x(1 + x2),Z+∞
1
dx
√x(x+ 1) et en déduire I2et I3.
2˚. Pour quelles valeurs de αl’intégrale Iαest-elle convergente ?
3˚. En effectuant une intégration par parties, montrer que Jα=2Iα+ ln 2
α−1
4˚. En déduire J2et J3.
VII.
Soit In=Zπ
0
cotanx
2sin nx dx pour n∈N
Soit fla fonction 2π-périodique paire définie sur ]0,2π[par f(x) = ln(2 sin x
2)
1˚. Faire l’étude complète de f
2˚. En utilisant l’exercice du CR 99/00, montrer que Zπ
0
ln(2 sin x
2)dx = 0
3˚. Montrer que cotan(x
2)×[sin((n+ 1)x)−sin(nx)] = cos(nx) + cos((n+ 1)x)
4˚. En déduire que In=π∀n∈N∗
5˚. En effectuant une intégration par parties, en déduire les coefficients de Fourier de f
6˚. fvérifie-t-elle les hypothèses du théorème de Dirichlet ?
8˚. Calculer
+∞
X
n=1
(−1)n+1
n
VIII.
Soient In=Z+∞
0
tne−tdt et Jn=Z+∞
0
xne−√xdx pour n∈N
1˚. Calculer I0,I1,I2et exprimer In+1 en fonction de In
2˚. En déduire la valeur de Inpour tout n∈N
3˚. Exprimer Jnen fonction de Inet en déduire la valeur de J0,J1,J2
IX.
Soit In=Z+∞
0
dx
(x2+ 1)npour n∈N
1˚. Calculer I1et déterminer In+1 en fonction de In
2˚. En déduire I2et I3puis démontrer que In=(2n−2)!
4n−1(n−1)!2
π
2pour n≥1
X.
Soient f(t) = tln t
1−t,I=Z1
0
ln t
1−tdt,In=Z1
0
tnln tdt et Jn=Z1
0
tntln t
1−tdt pour n∈N
1˚. Calculer lim
x→0+f(t) lim x→1−
f(t)
2˚. Montrer que fest bornée sur [0,1] et qu’il existe M > 0tel que : ∀x∈[0,1],0≤f(x)≤M
3˚. Montrer que Jn≤M
n+ 1 et calculer lim
n→+∞Jn
4˚. Montrer que In=1
(n+ 1)2,
n
X
k=0
Ik=Z1
0
1−tn+1
1−tln tdt =I+Jn, puis que I=
n
X
k=0
Ik−Jn
5˚.En déduire que
Z1
0
ln t
1−tdt =π2 6
XI. Calcul de Z+∞
0
sin t
tdt
Soit f(x) = Zx
0
sin t
tdt et I=Z+∞
0
sin t
tdt
1˚. Montrer que Iest convergente.
2

2˚. Montrer que fest impaire et continue sur R
3˚. Déterminer les variations de f
On pose, pour n∈N,Jn=Zπ/2
0
sin((2n+ 1)t)
sin tdt et Kn=Zπ/2
0
sin((2n+ 1)t)
tdt
4˚. Calculer Jn+1 −Jnet en déduire Jn∀n
5˚. Montrer que lim
n→+∞(Jn−Kn) = 0 en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue avec la fonction g(t) = 1
sin t−1 t
6˚. En déduire lim
n→+∞Kn
7˚. Montrer que I=π
2et étudier la fonction f
XII.
On pose, pour tout entier n≥1,In=Znπ/2
0
sin2t
n2sin2(t/n)dt,Jn=Zπ/2
0
sin2(nx)
sin2xdx et Kn=Zπ/2
0
sin((2n−1)x)
sin xdx
Soient également I=Z+∞
0sin t
t2
dt et g(x) = 1
sin2x−1
x2une fonction définie sur ]0, π/2].
1˚. Montrer que Iest convergente.
2˚. Montrer que gest bornée sur ]0, π/2]. En déduire que lim
n→+∞In=I
3˚. Montrer que Jnet Knsont convergentes pour tout n≥1
4˚. Calculer Kn+1 −Knet vérifier que Jn+1 −Jn=Kn+1 ∀n≥1. En déduire Knet Jn
5˚. Trouver une relation entre Inet Jn. En déduire la valeur de I
6˚. En intégrant par parties, en déduire la valeur de Z+∞
0
sin t
tdt
XIII.
Soit f(x) = e−xln(1 + ex)et I(α) = Zα
0
f(x)dx
1˚. Montrer que f(x)≥0et que I(α)≥0
2˚. Déterminer aet btels que ex
1 + ex=a+b 1 + ex; en déduire J(α) = Zα
0
dx
1 + ex
3˚. Calculer f+f′; en déduire I(α)
4˚. Calculer lim
α→+∞I(α)et lim α→+∞J(α)
3