cours

Applications linéaires
Bcpst 1 — 27 février 2017
Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre, K=R ou C et E et F sont deux
espaces vectoriels sur K.
I — Définitions et opérations
I.1 — Définitions
Définition 1.1 — Une application f de E dans F est dite linéaire si et seulement si elle
vérifie les deux propriétés suivantes :
1) ∀(u,v)∈E2,f(u+v) = f(u) + f(v);
2) ∀λ∈K,∀u∈E,f(λu) = λf(u).
Exemple
– L’exemple le plus simple : IdE . De même pour l’application λIdE:E−→ E
u7−→ λu
,
où λ est un scalaire quelconque. Ces applications sont dénommées homotéthies
vectorielles.
– si Eest un K–espace vectoriel alors ϕ:E−→ E
u7−→ 0E
est une application linéaire
– de E=C∞(R,R)dans E:ϕ:E−→ E
f7−→ f0
.
– de E=C0(R,R)dans R:ϕ:E−→ R
f7−→ R1
0f
;
– de Rdans R:f:R−→ R
x7−→ 3x
;
Remarque I.0 Si fest une application linéaire de Edans Falors f(0E) = 0F.
Vocabulaire et notations
– Une application linéaire est parfois qualifiée de morphisme d’espaces vectoriels.

I — Définitions et opérations 2
– Silesespacesdedépart et d’arrivéesontindentiques( F=E )onparled’endomorphisme.
– Si l’application est bijective, on parle d’isomorphisme.
– Enfin un endomorphisme bijectif est un automorphisme.
L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F) . L’ensemble des
endomorphismes L(E), et celui des automorphismes GL(E).
Application linéaire de Kndans Kp.
Une application de la forme
f:Kp−→ Kn
(x1,x2,..., xp)7−→ (a11 x1+a12 x2+· · · +a1pxp,. .., an1x1+an2x2+· · · +anp xp)
où (ai j)1¶i¶n,1¶j¶p∈Kn×p, est réputée linéaire, de Kpdans Kn.
On peut ainsi représenter des application linéaire de R2 dans R2 , par exemple
f:R2−→ R2
(x,y)7−→ (−x+2y,2x+3y)
.
y
x
O
R2

I — Définitions et opérations 3
y
x
O
fR2
I.2 — Opérations sur les applications linéaires
Propriété 1.2 — Soit fet gdeux applications linéaires de Edans Fet α∈K.
Alors f+get αfsont deux applications linéaires de Edans F.
Dém. Vérifions-le pour f+g. Soit uet vdeux vecteurs et λ∈K. On a
(f+g)(λu+v) = f(λu+v) + g(λu+v)
=λf(u) + f(v) + λg(u) + v)par linéarité de fet de g
=λ(f(u) + g(u)) + ( f(v) + g(v))
=λ(f+g)(u)+(f+g)(v)
Théorème 1.3 — Linéarité de la bijection réciproque
Soit fune application linéaire bijective de Edans F.
La bijection réciproque f−1de fest une applications linéaires de Fdans E.E.
Dém. On va faire un raisonnement par équivalence.

I — Définitions et opérations 4
Soit uet vdeux vecteurs et λun scalire. On veut démontrer que
f−1(λu+v) = λf−1(u) + f−1(v)
On remarque que
f−1(λu+v) = λf−1(u) + f−1(v)
⇐⇒ af f−1(λu+v)=fλf−1(u) + f−1(v)
⇐⇒ aλu+v=λff−1(u)+ff−1(v)
par linéarité de f
⇐⇒ λu+v=λu+v
cette dernière égalité étant vraie, la première l’est également. 
Propriété 1.4 — Composée d’applications linéaires
Soit E , F et G trois K –espace vectoriel. Soit f une application linéaire de E dans F et g
une application linéaire de Fdans G.
Alors g◦fest une application linéaire de Edans G.
Dém. De même que précedemment. 
Propriété 1.5 — Distributivité de la composition sur l’addition
Soit E,Fet Gtrois K–espace vectoriel.
1) Si f1 et f2 sont deux application linéaire de E dans F et g une application linéaire
de Fdans Galors
g◦(f1+f2)◦g=g◦f1+g◦f2
2)
Si g1 et g2 sont deux application linéaire de F dans G et f une application
linéaire de Edans Falors
(g1+g2)◦f=g1◦f+g2◦f
Dém. La seconde propriété se démontre sans utiliser la linéarité d’aucune applica-
tion. Il n’en va pas de même de la première.
En eet, soit udans F. On a
g◦(f1+f2)(u) = g(f1(u) + f2(u)) = g(f1(u)) + g(f2(u))
par linéarité de g
d’où le résultat. 

II — Noyau, image d’une application linéaire 5
Cette propriété de distributivité permet d’assimiler la composition d’application
linéaire à une multiplication. On verra d’ailleurs plus tard le parallèle très fort avec
le produit matriciel.
Cas de L(E) Dans L(E) la composition se comporte comme une multiplication
non commutative : L(E) est stable par la composition, associativité, élément neutre
( IdE ), non commutativité, distributivité par rapport à l’addition et transitivité par
rapport à la multiplication par un scalaire.
Cette analogie avec la multiplication justifie la notation suivante
Notation puissance Soit f∈ L (E)et n∈N∗. On note
–fn=f◦f◦ · · · ◦ f(fcomposée nfois avec elle-même) ;
– et f0=IdEpar convention.
– Si fest bijective, on note f−n= ( f−1)n.
Les propriétés caractéristiques de la notation puissance sont vérifiées.
C’est une surcharge assez exotique de la notation puissance, à laquelle il faudra
bien prendre garde.
II — Noyau, image d’une application linéaire
II.1 — Noyau
Définition 2.1 — Noyau d’une application linéaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels et f∈ L (E,F).
L’ensemble des solutions de l’équation f(u) = 0F , d’inconnue u∈E , s’appelle le noyau
de f. On le note Ker f:
Ker f={u∈Etel que f(u) = 0F}
Propriété 2.2 — Ker fest un sous-espace vectoriel de E.
Dém. Par la caractérisation des sous-espace vectoriel:
– D’abord Ker f⊂E;
– ensuite f(0E) = 0F, donc 0Eest dans Ker f, et donc Ker fn’est pas vide ;
– soit uet vdeux vecteurs de Ker fet λ∈K:
f(λu+v) = λf(u) + f(v)
=λ0F+0F=0F
donc λu+v∈Ker f.