cours-1ES

Cours de mathématiques
Thomas Rey
classe de première ES

ii

Table des matières
1 Les pourcentages 1
1.1 Variationenpourcentage............................... 1
1.1.1 Calcul d’une variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Expression d’une variation en pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Successions d’augmentations et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation d’un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Variation d’un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 Notiond’indice ................................ 2
1.4 Pourcentage de pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Addition et comparaison de pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.1 Addition de pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.2 Comparaison de pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Les suites 5
2.1 Suitedenombresréels ................................ 5
2.1.1 Définition ................................... 5
2.1.2 Modedegénération.............................. 5
2.2 Variationsd’unesuite................................. 7
2.3 Suitesarithmétiques ................................. 8
2.3.1 Définition ................................... 8
2.3.2 Calcul du terme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Calcul de la somme des premiers termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Suitesgéométriques.................................. 9
2.4.1 Définition ................................... 9
2.4.2 Calcul du terme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.3 Calcul de la somme des premiers termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Les systèmes 13
3.1 Équationsdedroites ................................. 13
3.2 Système de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Définition ................................... 14
3.2.2 Résolution graphique. Nombre de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Méthodesderésolution................................ 15
3.3.1 Parsubstitution................................ 15
3.3.2 Par combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 MéthodedeGauss .............................. 16
3.4 Systèmed’inéquations ................................ 16
3.4.1 Inéquation à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.2 Système d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
3.5 Programmationlinéaire................................ 18
4 Le second degré 21
4.1 Équationduseconddegré .............................. 21
4.1.1 Définitions................................... 21
4.1.2 Résolution de l’équation ax2+bx +c= 0 .................. 21
4.2 Interprétationgraphique ............................... 22
4.2.1 Résolution graphique d’une équation du second degré . . . . . . . . . . . 22
4.2.2 Situation d’une parabole par rapport à l’axe des abscisses . . . . . . . . . 23
4.3 Inéquation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Factorisation d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Généralités sur les fonctions numériques 27
5.1 Généralités ...................................... 27
5.2 Résolutions graphiques d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Fonctionsusuelles................................... 29
5.3.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3.2 Lafonctioncarrée............................... 30
5.3.3 Lafonctioninverse .............................. 30
5.3.4 La fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Variationsd’unefonction............................... 30
5.4.1 Fonctionaffine ................................ 31
5.4.2 Fonctioncarrée ................................ 31
5.4.3 Fonctioninverse................................ 32
5.5 Fonctionsassociées .................................. 32
5.5.1 Fonction x7→ u(x) + β............................ 32
5.5.2 Fonction x7→ u(x+α)............................ 32
5.6 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6.1 Sommedefonctions.............................. 33
5.6.2 Produit d’une fonction par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6.3 Fonctioncomposée .............................. 33
6 Statistiques 35
6.1 Graphiques ...................................... 35
6.1.1 Vocabulaire .................................. 35
6.1.2 Histogramme ................................. 35
6.1.3 Diagrammeenbâtons ............................ 36
6.2 Paramètresdeposition................................ 37
6.2.1 Lemode.................................... 37
6.2.2 Lamédiane .................................. 38
6.2.3 Lamoyenne.................................. 38
6.3 Paramètresdedispersion............................... 39
6.3.1 L’étendue ................................... 40
6.3.2 Lesquantiles ................................. 40
6.3.3 Application : les diagrammes en boîtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.4 Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Moyennesmobiles................................... 42

TABLE DES MATIÈRES v
7 Dérivation 45
7.1 Tauxdevariation................................... 45
7.1.1 Tauxdevariation............................... 45
7.1.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 Nombredérivé..................................... 46
7.2.1 Nombredérivé................................. 46
7.2.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.3 Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.4 Approximationaffine............................. 47
7.3 Fonctiondérivée.................................... 47
7.3.1 Fonctiondérivée................................ 47
7.3.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.4 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4.1 Dérivéed’unesomme............................. 49
7.4.2 Produitparunréel.............................. 49
7.4.3 Dérivéed’unproduit ............................. 49
7.4.4 Dérivéed’unquotient............................. 49
7.5 Fonction dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5.1 Variations d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5.2 Théorèmes................................... 50
7.6 Approximation de variations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.6.1 Cas de deux (petites) hausses successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.6.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.6.3 Casgénéral .................................. 52
8 Probabilités 53
8.1 Introduction. Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Distribution de fréquences. Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2.1 Distribution de fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2.2 Loideprobabilité............................... 54
8.2.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.2.4 Équiprobabilité ................................ 55
8.3 Quelques exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4 Intersection.Réunion................................. 56
8.4.1 Événement. Événement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.4.2 Intersection. Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9 Comportement asymptotique 59
9.1 Limites d’une fonction lorsque xtend vers +∞................... 59
9.1.1 Limite infinie en +∞............................. 59
9.1.2 Limite réelle en +∞. Asymptote horizontale en +∞............ 60
9.2 Limite d’une fonction lorsque xtend vers −∞ ................... 61
9.2.1 Limite infinie en −∞ ............................. 61
9.2.2 Limite réelle en −∞. Asymptote horizontale en −∞ ............ 61
9.2.3 Asymptoteoblique .............................. 62
9.3 Limite d’une fonction lorsque xtend vers un réel a................ 62
9.3.1 Limite infinie en a.............................. 63
9.3.2 Limite finie en a............................... 64
9.4 Théorèmessurleslimites............................... 64