Equations différentielles non linéaires

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Equations différentielles non
linéaires
Etudes qualitatives
Exercice 1 [ 00430 ] [Correction]
Soit
E:y0=x2+y2
a) Justifier l’existence d’une unique solution maximale yde Evérifiant y(0) = 0.
b) Montrer que yest une fonction impaire.
c) Étudier la monotonie et la concavité de y.
d) Montrer que yest définie sur un intervalle borné de R.
e) Dresser le tableau de variation de y.
Exercice 2 [ 00431 ] [Correction]
a) Montrer que le problème de Cauchy
y0=1
1+xy
y(0) = 0
possède une solution maximale unique.
b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante.
c) Établir enfin qu’elle est définie sur R.
d) Déterminer la limite en +∞de cette solution.
e) On note ϕla bijection réciproque de cette solution. Exprimer ϕà l’aide d’une
intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction.
Exercice 3 [ 00432 ] [Correction]
On considère le problème différentiel :
y0= cos(xy)
y(0) = y0
a) Justifier l’existence d’une unique solution maximale y.
b) En observant
y(x) = y0+Zx
0
cos(ty(t)) dt
montrer que yest définie sur R.
Exercice 4 [ 00434 ] [Correction]
Justifier qu’il existe une solution maximale à l’équation différentielle
y0=x+y2
vérifiant y(0) = 0 et que celle-ci est développable en série entière au voisinage de 0.
Exercice 5 [ 00435 ] [Correction]
On considère l’équation
E:y0=x+y2
a) Quel est le lieu des points où les solutions de (E)présentent une tangente
horizontale ?
b) Décrire le lieu des points d’inflexion ?
Exercice 6 [ 02979 ] [Correction]
On considère l’équation
y0=x+y2
Soit yune solution maximale définie sur un intervalle I.
a) Montrer que Iest majoré. On pose b= sup I.
b) Montrer que yest croissante au voisinage de b. Quelle est la limite de yen b?
c) Trouver un équivalent de yau voisinage de b.
Exercice 7 [ 00437 ] [Correction]
On considère l’équation différentielle
E:xy0=x+y2sur ]0 ; +∞[
a) Montrer que les solutions sont définies sur des intervalles bornés de R∗
+.
b) Étudier le comportement d’une solution maximale aux bornes de son
intervalle de définition.
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Exercice 8 [ 02456 ] [Correction]
On note fla solution maximale de
dy
dx= e−xy
telle que f(0) = 0.
a) Montrer que fest impaire.
b) Montrer que fest définie sur R.
c) Montrer que fpossède une limite finie aen +∞.
d) Montrer que a > 1.
e) Montrer qu’en +∞:
f(x) = a−1
ae−ax + o e−ax
Exercice 9 [ 02457 ] [Correction]
Soit λ∈]−1 ; 1[. On s’intéresse à l’équation différentielle avec retard :
(E): f0(x) = f(x) + f(λx)
L’inconnue est une fonction dérivable de Rdans R.
a) Soit fune solution de (E); montrer que fest de classe C∞puis développable
en série entière sur R.
b) Expliciter les solutions de (E).
c) Montrer que Qn
k=0 (1 + λk)tend vers une limite finie, non nulle, notée K(λ)
quand ntend vers ∞.
d) Montrer que, fétant une solution non nulle de (E),
f(x)∼
x→+∞K(λ)f(0) ex
Exercice 10 [ 02458 ] [Correction]
Soit a∈R. Pour α∈R, on note Pαle problème
x0= cos(x2+ sin(2πt)) −aet x(0) = α
a) Soit α∈R. Montrer l’existence d’une solution maximale xαde Pα.
b) Que dire des intervalles de définition des solutions maximales ?
c) Pour |a|>1, donner les variations et les limites aux bornes des solutions.
On suppose |a|<1.
d) Montrer que, pour tout A > 0, il existe M(A)>0tel que pour tout
α∈[−A;A]et tout t∈[0 ; 1],|xα(t)| ≤ M(A).
e) Montrer que, pour tout (α, β)∈[−A;A]2et tout t∈[0 ; 1] :
|xα(t)−xβ(t)| ≤ |α−β|+ 2M(A)Zt
0|xα(u)−xβ(u)|du
f) En déduire :
∀t∈[0 ; 1],|xα(t)−xβ(t)|≤|α−β|e2M(A)t
Exercice 11 [ 02899 ] [Correction]
Soit une fonction ϕde classe C1sur R2et bornée.
Soit yune solution maximale de l’équation différentielle
y0=ϕ(x, y)
Montrer que yest définie sur R.
Exercice 12 [ 03344 ] [Correction]
On étudie l’équation différentielle
(E): y0=x3+y3
Soit yune solution maximale de l’équation différentielle (E)définie en 0 et
vérifiant y(0) >0.
a) Justifier que yest définie sur un intervalle ouvert ]α;β[.
b) Montrer que yest croissante sur [0 ; β[.
c) Établir que βest réel.
d) Déterminer la limite de yen β−.
Exercice 13 [ 03503 ] [Correction]
Soit fla solution maximale sur ]α;β[du problème de Cauchy
y0=x+1
yavec y(0) = a > 0
Montrer que β= +∞.
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Exercice 14 [ 03739 ] [Correction]
On considère l’équation différentielle
(E): x0(t) = cos (2π(x(t)−t))
a) Rappeler l’énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz qui s’applique ici.
b) Soit xune solution de (E). Montrer que xest lipschitzienne.
c) Soit xune solution maximale de (E)et I= ]a;b[son intervalle de définition.
Montrer que I=R.
d) Si xest solution maximale de (E)et k∈Z, vérifier que t7→ x(t+k)et k+x
sont solutions.
Trouver des solutions simples de (E).
e) On fixe une solution maximale de (E).
Montrer que t∈R7→ x(t)−tconverge en ±∞ et exprimer les limites en
fonction de x(0).
f) On considère maintenant une solution maximale xde
(E2): x0(t) = 1
1 + x(t)2+ cos (2π(x(t)−t))
Montrer que xest définie sur Ret que t∈R+7→ x(t)−test bornée. [Énoncé
fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]
Résolutions d’équations non linéaires
Exercice 15 [ 00438 ] [Correction]
Déterminer les solutions ne s’annulant pas de l’équation différentielle
y0+ 2y−(x+ 1)√y= 0
On pourra réaliser le changement de fonction inconnue z=√y.
Exercice 16 [ 00439 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle Inon vide l’équation
xy0=y(1 + ln y−ln x)
Exercice 17 [ 00440 ] [Correction]
a) Résoudre sur tout intervalle
y0+ ex−y= 0
b) Préciser les solutions maximales.
Exercice 18 [ 00441 ] [Correction]
a) Résoudre sur tout intervalle
xy0−(y2+ 1) = 0
b) Préciser les solutions maximales.
Exercice 19 [ 00442 ] [Correction]
a) Résoudre sur tout intervalle Inon vide l’équation
E:y0= 2x(1 + y2)
b) Préciser les solutions maximales
Exercice 20 [ 00443 ] [Correction]
a) Résoudre sur tout intervalle Inon vide l’équation
yy0−y0= ex
b) Préciser les solutions maximales.
Exercice 21 [ 00444 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle Inon vide l’équation
yy0=x
Exercice 22 [ 02898 ] [Correction]
Déterminer les solutions réelles de l’équation différentielle
yy00 = 1 + y02
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Exercice 23 [ 03069 ] [Correction]
Résoudre l’équation différentielle
xy0=px2+y2+y
Exercice 24 [ 03085 ] [Correction]
Résoudre, pour y∈ C2(R,R)l’équation différentielle
y0y00 y
y00 y y0
y y0y00
= 0
Equations autonomes
Exercice 25 [ 00445 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle l’équation différentielle
y0= 1 + y2
Exercice 26 [ 00446 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle l’équation différentielle
y0=y2
Exercice 27 [ 00447 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle l’équation différentielle
y0=y(y−1)
Exercice 28 [ 00448 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle
y0+ ey= 0
Exercice 29 [ 03757 ] [Correction]
Résoudre l’équation différentielle
y0= sin y
Exercice 30 [ 00449 ] [Correction]
Résoudre sur tout intervalle
y0sin y=−1
Exercice 31 [ 00450 ] [Correction]
Résoudre sur Rl’équation différentielle
y0=|y|
Exercice 32 [ 03055 ] [Correction]
On considère l’équation différentielle
E:y0=y2+y+ 1
a) Existe-t-il des solutions de Esur R?
b) Résoudre E, trouver ses solutions maximales et montrer qu’elles sont définies
sur un intervalle borné dont on déterminera la longueur.
Exercice 33 [ 00451 ] [Correction]
Soient f:R→Rune fonction continue strictement positive et x0∈R.
a) Soit Fla primitive de 1/f s’annulant en x0.
Montrer que Fréalise une bijection de Rsur un certain intervalle ouvert I.
b) Établir que F−1est solution sur Ide l’équation différentielle x0=f(x)
vérifiant la condition initiale x(0) = x0.
c) Justifier que cette solution est maximale.
Exercice 34 [ 00452 ] [Correction]
Déterminer les solutions au problème de Cauchy
y00 = 2y+ 2y3
y(0) = 0, y0(0) = 1
Exercice 35 [ 00453 ] [Correction]
On souhaite résoudre le problème de Cauchy formé par l’équation différentielle
y00 +|y|= 0
et les conditions initiales y(0) = aet y0(0) = 0 (avec a∈R).
On admet que ce problème de Cauchy admet une solution unique définie sur R.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 5
a) Montrer que pour tout réel x,
y(x)≤a
b) Déterminer ylorsque a∈R−.
On suppose désormais a > 0.
c) Montrer que ys’annule en exactement deux points b−<0et b+>0dont on
précisera les valeurs.
d) Achever la résolution du problème de Cauchy.
Exercice 36 [ 03452 ] [Correction]
a) Avec Maple, trouver la solution maximale du problème
x0(t) = ax(t)2, x(0) = 1
pour a∈R.
Vérifier et justifier le résultat obtenu, donner l’intervalle de définition.
Pour A∈ Mn(R)
(E): X0(t) = X(t)AX(t), X(0) = In
pour d’inconnue t7→ X(t)∈ Mn(R).
b) On suppose qu’il existe k∈Ntel que Ak=Oet que pour tout tdans
l’intervalle de définition d’une solutionX,X(t)commute avec A.
Calculer X. Que vaut X(t)−1?
c) On suppose que pour tout tdans l’intervalle de définition d’une solution X,
X(t)est inversible. L’application t7→ X(t)−1est-elle dérivable ? Quels sont
ses coefficients ? Exprimer X(t)
Exercice 37 [ 03500 ] [Correction]
Déterminer les solutions sur Rde l’équation
y0=p|y|
Exercice 38 [ 03507 ] [Correction]
Déterminer les fonctions yde classe C2vérifiant
y00 = sin(y), y(0) = π/2et y0(0) = √2
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