Partiel - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne 2010-2011
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Partiel du lundi 28 mars 2011
Durée 2h00
Tout document interdit - Calculatrices autorisées
Les 4 exercices sont indépendants
Exercice 1.Les questions 1), 2) et 3) sont indépendantes.
1) Une urne contient 10 boules, dont 6 blanches et 4 noires. On effectue dans l’urne 5 tirages d’une
boule avec remise. Proposer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire et calculer la probabilité
des événements suivants :
a) A"n’obtenir aucune boule blanche" ;
b) B"obtenir au moins une boule blanche" ;
c) C"obtenir une boule blanche suivie de 4 boules noires" ;
d) D"obtenir une seule boule blanche" ;
e) E"obtenir 2 boules blanches exactement".
2) On rappelle qu’un jeu de 52 cartes est constitué de 13 cartes de valeurs 1, 2, 3, ..., 10, Valet, Dame,
Roi, dans chacune des 4 couleurs Pique, Carreau, Coeur et Trèfle. On rappelle aussi qu’une paire
(respectivement un brelan, un carré) correspond à 2 (respectivement 3, 4) cartes de même valeur.
On tire simultanément 6 cartes d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a) 6 cartes de valeurs différentes ?
b) un brelan de Dame et un brelan de Roi ?
c)unepairedeDameetuncarré?
d) trois paires (différentes) ?
3) Dans l’urne de la question 1), on effectue 2 tirages d’une boule avec la règle suivante : on lance un dé
équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et si on obtient 1 ou 2, les tirages se font avec remise ; sinon les
tirages se font sans remise. On suppose construit un espace probabilisé ,A,Padapté à cette situation.
Calculer, en justifiant, la probabilité de n’obtenir aucune boule blanche.
Exercice 2.Les questions 1) et 2) sont indépendantes.
1) Soit ,A,Pun espace probabilisé.
Pour chacune des assertions suivantes donner soit une preuve, soit un contre-exemple.
a) Si Aet Bsont deux événements indépendants et incompatibles, alors l’un des deux événements au
moins est de probabilité nulle.
b) Si au moins l’un des événements Aou Best de probabilité nulle, alors Aet Bsont indépendants et
incompatibles.
2) Soit ,A,Pun espace probabilisé. On considère deux événements Aet Btel que 0 PB1.
On rappelle que PA/BPBAdésigne la probabilité conditionnelle à Bde l’événement A, et que
Bdésigne l’événement contraire de B.
a) Etudier les variations de la fonction f:→définie par fxx−x2.
b) Montrer que |PA∩B−PAPB|≤1
4PA/B−PA/B1
Indication : on pourra commencer par exprimer PA/B−PA/Ben fonction des seules
probabilités PA∩B,PA,PB.
c) Que donne l’inégalité 1lorsque A⊂B?
d) A quelle(s) condition(s) sur Aet Bl’inégalité 1est-elle une égalité ?
1

Exercice 3.
On considère une pièce de monnaie truquée de telle sorte que lors d’un lancer, la probabilité d’obtenir
Face est égale à p,pdésignant un réel de l’intervalle 0,1.
Trois personnes nommées A, B, C lancent à tour de rôle cette pièce de monnaie : A effectue le premier
lancer, B le deuxième, C le troisième, A le quatrième, B le cinquième, C le sixième, et ainsi de suite (A, B, C,
A, B, C, A, B, C. . .).
Le gagnant est la première personne qui obtient Face ; les lancers s’arrêtent alors.
On suppose contruit un espace probabilisé ,A,Padapté à cette expérience aléatoire.
Pour tout entier n≥1, on désigne par An(respectivement Bn,Cn) l’événement "A (resp. B, C) gagne la
partie lors du n-ième lancer", et par Fnl’événement "le n-ième lancer donne Face".
On désigne par A(respectivement B,C) l’événement "A (resp. B, C) gagne la partie"
1) a) Donner PA1,PA2et PA3.
b) Calculer PB2,PC3. On pourra exprimer B2et C3en fonction des événements F1,F2et F3.
c) Les événements A1et B2sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
2) a) Démontrer que pour tout entier n≥1, PAn
p1−p3ksi n3k1, k≥0
0sin3k2, k≥0
0sin3k,k≥1
.
b) En déduire (en justifiant) que la probabilité que le joueur A soit gagnant est égale à p
1−1−p3;
on pourra commencer par exprimer l’événement Aen fonction des événements An.
c) De façon analogue, donner (sans détailler les calculs) PBnet PCnpour tout entier n≥1.
On admettra alors que la probabilité que B soit gagnant est égale à p1−p
1−1−p3, et que la
probabilité que C soit gagnant est p1−p2
1−1−p3;on ne demande pas de démontrer ces résultats.
d) Déduire de ce qui précède la probabilité qu’il y ait un gagnant ; on simplifiera au maximum
l’expression trouvée. Conclure.
Exercice 4.
Dans cet exercice, pdésigne un réel de l’intervalle 0,1.
On rappelle qu’une variable aléatoire Xsuit la loi géométrique de paramètre psi et seulement si Xest à
valeurs dans ℕ∗et si PXkp1−pk−1pour tout kde ℕ∗.
On veut démontrer pour une variable aléatoire Xà valeurs dans ℕ∗, il y a équivalence entre les deux
propositions suivantes :
1Xsuit la loi Géométrique de paramètre p.
2pour tous k∈ℕet l∈ℕ∗,onaP X kl/XkPXl.
1) Soit Xune variable aléatoire vérifiant 1.
a) Calculer PX≤kpour tout k∈ℕ∗.
b) En déduire l’expression de la fonction de répartition FXde X.
c) En déduire l’expression de la fonction GXdéfinie sur par GXxPXx.
d) En déduire que Xvérifie 2.
2) Réciproquement, soit Xune variable aléatoire à valeurs dans ℕ∗vérifiant 2.
Pour tout k∈ℕ, on pose ukPXk.
a) Justifier que pour tout entier naturel k∈ℕ,uk11−puk, avec pPX1.
b) En déduire l’expression de uken fonction de ket p.
c) En déduire l’expression de la fonction de répartition FXde X.
d) En déduire la loi de probabilité de X. Conclure.
2