Partiel - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2010-2011
Licence mention Mathématiques - Semestre 4
Probabilités 1
Partiel du lundi 28 mars 2011
Durée 2h00
Tout document interdit - Calculatrices autorisées
Les 4 exercices sont indépendants
Exercice 1.
Les questions 1), 2) et 3) sont indépendantes.
1) Une urne contient 10 boules, dont 6 blanches et 4 noires. On effectue dans l’urne 5 tirages d’une
boule avec remise. Proposer un espace probabilisé adapté à cette expérience aléatoire et calculer la probabilité
des événements suivants :
a) A "n’obtenir aucune boule blanche" ;
b) B "obtenir au moins une boule blanche" ;
c) C "obtenir une boule blanche suivie de 4 boules noires" ;
d) D "obtenir une seule boule blanche" ;
e) E "obtenir 2 boules blanches exactement".
2) On rappelle qu’un jeu de 52 cartes est constitué de 13 cartes de valeurs 1, 2, 3, ..., 10, Valet, Dame,
Roi, dans chacune des 4 couleurs Pique, Carreau, Coeur et Trèfle. On rappelle aussi qu’une paire
(respectivement un brelan, un carré) correspond à 2 (respectivement 3, 4) cartes de même valeur.
On tire simultanément 6 cartes d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a) 6 cartes de valeurs différentes ?
b) un brelan de Dame et un brelan de Roi ?
c) une paire de Dame et un carré ?
d) trois paires (différentes) ?
3) Dans l’urne de la question 1), on effectue 2 tirages d’une boule avec la règle suivante : on lance un dé
équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et si on obtient 1 ou 2, les tirages se font avec remise ; sinon les
tirages se font sans remise. On suppose construit un espace probabilisé , A, P adapté à cette situation.
Calculer, en justifiant, la probabilité de n’obtenir aucune boule blanche.
Exercice 2.
Les questions 1) et 2) sont indépendantes.
Soit , A, P un espace probabilisé.
Pour chacune des assertions suivantes donner soit une preuve, soit un contre-exemple.
a) Si A et B sont deux événements indépendants et incompatibles, alors l’un des deux événements au
moins est de probabilité nulle.
b) Si au moins l’un des événements A ou B est de probabilité nulle, alors A et B sont indépendants et
incompatibles.
1)
Soit , A, P un espace probabilisé. On considère deux événements A et B tel que 0  PB  1.
On rappelle que PA / B  P B A désigne la probabilité conditionnelle à B de l’événement A, et que
B désigne l’événement contraire de B.
a) Etudier les variations de la fonction f :  →  définie par fx  x − x 2 .
b) Montrer que |PA ∩ B − PAPB| ≤ 1 PA / B − PA / B
1
4
Indication : on pourra commencer par exprimer PA / B − PA / B en fonction des seules
probabilités PA ∩ B, PA, PB.
c) Que donne l’inégalité 1 lorsque A ⊂ B ?
d) A quelle(s) condition(s) sur A et B l’inégalité 1 est-elle une égalité ?
2)
1
Exercice 3.
On considère une pièce de monnaie truquée de telle sorte que lors d’un lancer, la probabilité d’obtenir
Face est égale à p, p désignant un réel de l’intervalle 0, 1.
Trois personnes nommées A, B, C lancent à tour de rôle cette pièce de monnaie : A effectue le premier
lancer, B le deuxième, C le troisième, A le quatrième, B le cinquième, C le sixième, et ainsi de suite (A, B, C,
A, B, C, A, B, C. . .).
Le gagnant est la première personne qui obtient Face ; les lancers s’arrêtent alors.
On suppose contruit un espace probabilisé , A, P adapté à cette expérience aléatoire.
Pour tout entier n ≥ 1, on désigne par A n (respectivement B n , C n ) l’événement "A (resp. B, C) gagne la
partie lors du n-ième lancer", et par F n l’événement "le n-ième lancer donne Face".
On désigne par A (respectivement B, C) l’événement "A (resp. B, C) gagne la partie"
1)
a) Donner PA 1 , PA 2  et PA 3 .
b) Calculer PB 2 , PC 3 . On pourra exprimer B 2 et C 3 en fonction des événements F 1 , F 2 et F 3 .
c) Les événements A 1 et B 2 sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
p1 − p 3k si n  3k  1, k ≥ 0
2)
a) Démontrer que pour tout entier n ≥ 1, PA n  
0
si n  3k  2, k ≥ 0 .
0
si n  3k, k ≥ 1
b) En déduire (en justifiant) que la probabilité que le joueur A soit gagnant est égale à
p
;
1 − 1 − p 3
on pourra commencer par exprimer l’événement A en fonction des événements A n .
c) De façon analogue, donner (sans détailler les calculs) PB n  et PC n  pour tout entier n ≥ 1.
p1 − p
, et que la
On admettra alors que la probabilité que B soit gagnant est égale à
1 − 1 − p 3
p1 − p 2
probabilité que C soit gagnant est
; on ne demande pas de démontrer ces résultats.
1 − 1 − p 3
d) Déduire de ce qui précède la probabilité qu’il y ait un gagnant ; on simplifiera au maximum
l’expression trouvée. Conclure.
Exercice 4.
Dans cet exercice, p désigne un réel de l’intervalle 0, 1.
On rappelle qu’une variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p si et seulement si X est à
valeurs dans ℕ ∗ et si PX  k  p1 − p k−1 pour tout k de ℕ ∗ .
On veut démontrer pour une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ ∗ , il y a équivalence entre les deux
propositions suivantes :
1 X suit la loi Géométrique de paramètre p.
2 pour tous k ∈ ℕ et l ∈ ℕ ∗ , on a P X  k  l / X  k  PX  l.
1)
Soit X une variable aléatoire vérifiant 1.
a) Calculer PX ≤ k pour tout k ∈ ℕ ∗ .
b) En déduire l’expression de la fonction de répartition F X de X.
c) En déduire l’expression de la fonction G X définie sur  par G X x  PX  x.
d) En déduire que X vérifie 2.
2)
Réciproquement, soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℕ ∗ vérifiant 2.
Pour tout k ∈ ℕ, on pose u k  PX  k.
a) Justifier que pour tout entier naturel k ∈ ℕ, u k1  1 − pu k , avec p  PX  1.
b) En déduire l’expression de u k en fonction de k et p.
c) En déduire l’expression de la fonction de répartition F X de X.
d) En déduire la loi de probabilité de X. Conclure.
2