1 Rappels sur la fonction exponentielle réelle 2 La fonction

Exponentielle complexe, fonctions trigonom´etriques, nombre π
1 Rappels sur la fonction exponentielle r´eelle
Si on suppose connue la fonction logarithme ln d´efinie sur ]0,+∞[ comme la primitive nulle en 1 de la fonction x7→ 1
x,on
v´erifie alors que cette fonction ln v´erifie l’´equation fonctionnelle ln (xy) = ln (x) + ln (y) pour tous r´eels strictement positifs
x, y, que c’est un hom´eomorphisme de ]0,+∞[ sur Ret sa fonction r´eciproque est appel´ee fonction exponentielle r´eelle. On
note x7→ exp (x) ou x7→ excette fonction r´eciproque. Cette fonction est ind´efiniment d´erivable de Rsur ]0,+∞[,´egale `a sa
d´eriv´ee et v´erifie l’´equation fonctionnelle exp (x+y) = exp (x) exp (y) pour tous r´eels x, y.
2 La fonction exponentielle complexe
Sans connaissance pr´ealable de la fonction exponentielle r´eelle, la d´efinition de la fonction exponentielle complexe est
bas´ee sur le r´esultat suivant.
Lemme 1 Pour tout r´eel x≥0la s´erie Pxn
n!est convergente.
Th´eor`eme 1 Pour tout nombre complexe zla s´erie Pzn
n!est convergente.
On note f(z) =
+∞
P
n=0
zn
n!la somme de cette s´erie pour tout nombre complexe z.
Le rayon de convergence de cette s´erie ´etant infini, la fonction fainsi d´efinie est continue sur C.
On rappelle que le produit de Cauchy Pwnde deux s´eries num´eriques Punet Pvnabsolument convergentes est
absolument convergent et :
+∞
X
n=0
wn= +∞
X
n=0
un! +∞
X
n=0
vn!
o`u wn=
n
P
k=0
ukvn−k.
Th´eor`eme 2 Pour tous nombres complexes λet µon a f(λ)f(µ) = f(λ+µ).
Si maintenant on se souvient de la fonction exponentielle r´eelle, on a le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 3 La restriction de f`a Rco¨ıncide avec la fonction exponentielle r´eelle.
Les r´esultats pr´ec´edents nous conduisent `a noter, pour tout nombre complexe z, ezou exp (z) la somme de la s´erie Pzn
n!,
ce qui d´efinit ainsi la fonction exponentielle complexe.
Remarque 1 Avec l’´egalit´e 1 = e0=ez−z=eze−z,on d´eduit que ez6= 0 pour tout nombre complexe zet 1
ez=e−z.
Remarque 2 La continuit´e de la fonction exponentielle et relation fonctionnelle eλ+µ=eλeµpour tous nombres complexes
λ, µ se traduisent en disant que la fonction exponentielle est un morphisme de groupes continu de (C,+) dans (C∗,·).Nous
verrons plus loin que ce morphisme est surjectif de noyau 2iπZune fois d´efini le nombre π.
En fait, on peut retrouver les propri´et´es de la fonction exponentielle r´eelle avec cette d´efinition de l’exponentielle complexe.
1. Avec ex6= 0 et ex="ex
22≥0,on d´eduit que ex>0 pour tout r´eel x.
2. Avec (ex)′=ex>0 pour tout r´eel x, on d´eduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
3. Avec ex=
+∞
P
n=0
xn
n!>1 + xpour x > 0,on d´eduit que lim
x→+∞ex= +∞et avec e−x=1
ex,on d´eduit que lim
x→−∞ ex= 0.
4. La fonction exponentielle est donc continue strictement croissante de Rsur ]0,+∞[ et en cons´equence, c’est un
hom´eomorphisme de Rsur ]0,+∞[.La fonction r´eciproque est not´ee ln et on l’appelle fonction logarithme n´ep´erien.
On a l’´equation fonctionnelle :
ln (xy) = ln (euev) = ln "eu+v=u+v= ln (x) + ln (y)
valable pour tous r´eels x=eu>0 et y=ev>0 (les r´eels uet vsont uniquement d´etermin´es) et en particulier
ln (1) = 0.Cette fonction ln est d´erivable de d´eriv´ee donn´ee par :
ln′(x) = 1
(eu)′=1
eu=1 x.
99

Avec ln′(1 + x) = 1
1 + x=
+∞
P
n=0
(−1)nxnpour x∈]−1,1[ ,on d´eduit que :
ln (1 + x) =
+∞
X
n=0
(−1)nxn+1
n+ 1 =
+∞
X
n=1
(−1)n−1xn
n
pour x∈]−1,1[ (int´egration des d´eveloppements en s´erie enti`ere), le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere ´etant
´egal `a 1.
Th´eor`eme 4
1. Pour tout nombre complexe z, on a ez=ez.
2. Pour tout nombre r´eel t, on a eit= 1.
3 Les fonctions ch,sh,cos et sin
On d´efinit les fonctions cosinus et sinus r´eels par :
∀t∈R,cos (t) = ℜ"eit=eit +e−it
2et sin (t) = ℑ"eit=eit −e−it 2i.
L’´egalit´e eit= 1 se traduit alors par :
∀t∈R,cos2(t) + sin2(t) = 1
et ces fonctions sont donc `a valeurs dans [−1,1] .
De la d´efinition de l’exponentielle complexe et de la continuit´e des fonction partie r´eelle et partie imaginaire, on d´eduit
que ces fonctions sont d´eveloppables en s´eries enti`eres sur Ravec :
cos (t) = ℜ +∞
X
n=0
intn
n!!=
+∞
X
n=0 ℜintn
n!=
+∞
X
n=0
(−1)n
(2n)! t2n
et :
sin (t) = ℑ +∞
X
n=0
intn
n!!=
+∞
X
n=0 ℑintn
n!=
+∞
X
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!t2n+1
On d´eduit ´egalement que ces fonctions sont ind´efiniment d´erivables sur Ravec :
∀t∈R,cos′(t) = ℜ"ieit=−sin (t) et sin′(t) = ℑ"ieit= cos (t).
En fait, on d´efinit plus g´en´eralement les fonctions cos,sin,ch et sh sur Cpar :
∀z∈C,
ch (z) = ez+e−z
2=
+∞
P
n=0
1
(2n)!z2n
sh (z) = ez−e−z
2=
+∞
P
n=0
1
(2n+ 1)!z2n+1
cos (z) = ch (iz) = eiz +e−iz
2=
+∞
P
n=0
(−1)n
(2n)! z2n
sin (z) = −ish (iz) = eiz −e−iz
2i=
+∞
P
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!z2n+1
On a donc :
∀z∈C,ch2(z)−sh2(z) = 1
cos2(z) + sin2(z) = 1
Les fonctions cos,ch sont paires et les fonctions sin,sh sont impaires.
En se limitant `a l’ensemble des r´eels, les fonctions ch et sh sont ind´efiniment d´erivables sur Ravec :
∀x∈R,ch′(x) = sh (x) et sh′(x) = ch (x).
De la d´efinition ch (x) = ex+e−x
2,on d´eduit que ch (x)>0 et avec ch2(x) = sh2(x) + 1,que ch (x)≥1 pour tout r´eel
x, la valeur 1 ´etant atteinte pour x= 0.Il en r´esulte que sh est strictement croissante sur R,donc sh (x)>sh (0) = 0 pour
x > 0 et ch est strictement croissante sur R+.Enfin avec lim
x→+∞ch (x) = lim x→+∞sh (x) = +∞et l’argument de parit´e, on peut
tracer les graphes de ces fonctions (figure 1).
On v´erifie facilement que :
∀z∈C,
ez= ch (z) + sh (z)
e−z= ch (z)−sh (z)
eiz = cos (z) + isin (z)
e−iz = cos (z)−isin (z)
100

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
0
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
y=ex
y= sh (x)
y= ch (x)
Figure 1 – fonctions ex,ch (x) et sh (x)
De l’´equation fonctionnelle v´erifi´ee par la fonction exponentielle, on d´eduit les relations suivantes valables pour tous
nombres complexes a, b :
ch (a+b) = ch (a) ch (b) + sh (a) sh (b)
cos (a+b) = cos (a) cos (b)−sin (a) sin (b)
sh (a+b) = sh (a) ch (b) + ch (a) sh (b)
sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)
et de ces formules on d´eduit les classiques formules de trigonom´etrie circulaire et hyperbolique.
La d´emonstration de la premi`ere formule peut se faire comme suit.
Pour a, b dans C,on a :
2 ch (a+b) = ea+b+e−a−b=eaeb+e−ae−b
= (ch (a) + sh (a)) (ch (b) + sh (b)) + (ch (a)−sh (a)) (ch (b)−sh (b))
= 2 (ch (a) ch (b) + sh (a) sh (b))
La deuxi`eme s’en suit :
cos (a+b) = ch (ia +ib) = ch (ia) ch (ib) + sh (ia) sh (ib)
= cos (a) cos (b)−sin (a) sin (b)
Les deux derni`eres formules se montrent de mani`ere analogue.
Avec les arguments de parit´e, on d´eduit alors les formules suivantes :
ch (a−b) = ch (a) ch (b)−sh (a) sh (b)
cos (a−b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)
sh (a−b) = sh (a) ch (b)−ch (a) sh (b)
sin (a−b) = sin (a) cos (b)−cos (a) sin (b)
Prenant a=b, on a :
ch (2a) = ch2(a) + sh2(a) = 1 + 2 sh2(a) = 2 ch2(a)−1
cos (2a) = cos2(a)−sin2(a) = 2 cos2(a)−1 = 1 −2 sin2(a)
sh (2a) = 2 sh (a) ch (b)
sin (2a) = 2 sin (a) cos (b)
101

Si les fonctions cos et sin restreintes `a Rborn´ees, il n’en n’est pas de mˆeme pour ces fonctions d´efinies sur C.Pr´ecis´ement
pour z=x+iy ∈C,on a :
cos (z) = cos (x) cos (iy)−sin (x) sin (iy)
= cos (x) ch (y) + isin (x) sh (y)
et :
|cos (z)|2= cos2(x) ch2(y) + sin2(x) sh2(y)
= cos2(x) ch2(y) + "1−cos2(x)sh2(y)
= cos2(x)"ch2(y)−sh2(y)+ sh2(y)
= cos2(x) + sh2(y)≥sh2(y)
la fonction sh ´etant non major´ee sur R.
4 Le nombre π
On d´esigne par Γ l’ensemble des nombres complexes de module ´egal `a 1.C’est un sous-groupe du groupe multiplicatif
(C∗,·).
De l’´equation fonctionnelle v´erifi´ee par la fonction exponentielle, on d´eduit le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 5 L’application ϕ:t7→ eit r´ealise un morphisme de groupes de (R,+) dans (Γ,·).
Nous allons voir que ce morphisme ϕest surjectif et que son noyau n’est pas r´eduit `a {0},comme c’est un sous-groupe
de (R,+) ,il est dense ou discret. Nous allons voir qu’il est discret, c’est-`a-dire de la forme Zα, o`u αest un r´eel strictement
positif.
Lemme 2 On a cos (2) <0.
Lemme 3 L’ensemble E={t∈[0,2] |cos (t) = 0}est non vide et admet une borne inf´erieure α∈]0,2[ ∩E.
On d´efinit le nombre πpar π= 2α.
π
2est donc le plus petit r´eel positif qui v´erifie cos π 2= 0.
Lemme 4 On a cos (t)>0pour tout t∈i−π
2,π 2h,la fonction sin est strictement croissante de h−π 2,π 2isur [−1,1] ,
sin (t)>0pour tout t∈]0, π[et la fonction cos est strictement d´ecroissante de [0, π]sur [−1,1] .
Remarque 3 La fonction cos [resp. sin] est continue strictement d´ecroissante [resp. croissante] de [0, π][resp. h−π
2,π 2i] sur
[−1,1] ,elle r´ealise donc un hom´eomorphisme de [0, π][resp. h−π
2,π 2i] sur [−1,1] .Sa fonction r´eciproque est not´ee arccos
[resp. arcsin]. Comme cos [resp. sin] est d´erivable de d´eriv´ee non nulle sur ]0, π[[resp. i−π
2,π 2h] la fonction arccos [resp.
arcsin] est d´erivable sur ]−1,1[ de d´eriv´ee arccos′(x) = −1
√1−x2[resp. arcsin′(x) = 1 √1−x2].
Lemme 5 Pour tout t∈]0,2π[,on a eit 6= 1.
On en d´eduit imm´ediatement le r´esultat suivant.
Lemme 6 On a :
eiπ
2=i, eiπ =−1et e2iπ = 1
et pour tout r´eel t:
cos t+π
2=−sin (t)
sin t+π
2= cos (t)
cos (t+π) = −cos (t)
sin (t+π) = −sin (t)
Les fonctions cos et sin sont p´eriodiques de plus petite p´eriode 2π.
Th´eor`eme 6 Le noyau du morphisme de groupes exp : z7→ ez,de (C,+) dans (C∗,·),est 2iπZ.
Le th´eor`eme pr´ec´edent se traduit en disant que la fonction z7→ ezest p´eriodique de p´eriode 2iπ. Il se traduit aussi en
disant que l’´egalit´e ez= 1 est r´ealis´ee si, et seulement si, il existe un entier relatif ktel que z= 2ikπ.
102

Remarque 4 L’´egalit´e "e2iπ k= 1 pour knon entier n’est pas vraiment valable, sans quoi on montrerait que −1 = 1 comme
suit :
"1 = e2iπ⇒1 = 11
2="e2iπ
1
2=e1
22iπ =eiπ =−1
Corollaire 1 L’application ϕ:t7→ eit r´ealise un morphisme continu de groupes de (R,+) dans (Γ,·)de noyau ker (ϕ) = 2πZ.
On peut aussi montrer directement qu’il existe un r´eel α > 0 tel que ker (ϕ) = αZet d´efinir πpar α= 2π(voir [?] ou
[?]).
Montrons enfin que ϕest surjectif.
Th´eor`eme 7 L’application ϕ:t7→ eit r´ealise un morphisme continu de groupes surjectif de (R,+) sur (Γ,·)de noyau
ker (ϕ) = 2πZ.
Le r´esultat pr´ec´edent nous dit en fait que pour tout nombre complexe z∈Γ il existe un unique r´eel t∈[0,2π[ tel
que z=eit.En effet, il existe un r´eel ytel que z=eiy et d´esignant par kl’entier relatif tel que 2kπ ≤y < 2 (k+ 1) π
(k=Ey
2π), on a t=y−2kπ ∈[0,2π[ et eit =ei(y−2kπ)=eiy =z. Si t1≤t2sont deux tels r´eels, alors t2−t1∈[0,2π[
est dans ker (ϕ) = 2πZ,donc n´ecessairement nul.
En notant, pour z∈Γ, t0le r´eel dans [0,2π[ tel que z=eit0,on a eit =zavec tr´eel si, et seulement si, t=t0+ 2kπ avec
kentier relatif.
On peut aussi r´esumer cela en disant que le groupe multiplicatif Γ est isomorphe au groupe additif R
ker (ϕ)=R 2πZ.
Corollaire 2 L’application exp : z7→ ezr´ealise un morphisme de groupes surjectif de (C,+) sur (C∗,·)de noyau ker (exp) =
2iπZ.
5 Les fonction tan et arctan
Pour x∈R,l’´egalit´e cos (x) = 0 ´equivaut `a x=π
2+kπ avec k∈Z.En effet, pour k∈Zon a ei(π
2+kπ)=eiπ
2"eiπk=
(−1)kiet cos π
2+kπ= 0.D’autre part pour x∈Rne s’´ecrivant pas π 2+kπ avec k∈Z,il existe un entier ptel que
x+pπ ∈i−π
2,π 2het cos (x+pπ) = (−1)pcos (x)6= 0 (de eipπ ="eiπ p= (−1)p,on d´eduit que cos (pπ) = (−1)pet
sin (pπ) = 0). On a donc ainsi toutes les racines r´eelles de cos .
On d´efinit alors la fonction tangente sur R\nπ
2+kπ |k∈Zopar tan (x) = sin (x) cos (x).
Cette fonction est ind´efiniment d´erivable sur son domaine de d´efinition de d´eriv´ee tan′(x) = 1 + tan2(x) = 1
cos2(x).
Cette fonction est impaire, strictement croissante sur i−π
2,π 2h(d´eriv´ee strictement positive) avec lim
x→π
2
−tan (x) = +∞.
Elle d´efinit donc un hom´eomorphisme de i−π
2,π 2hsur R.Sa fonction r´eciproque est not´ee arctan,c’est la fonction arc-
tangente. Elle est d´erivable de d´eriv´e 1
1 + x2.
6 Le lien avec le nombre πdes g´eom`etres
Le cercle unit´e du plan affine euclidien, identifi´e `a Γ,peut ˆetre param´etr´e par :
γ:t∈[0,2π]7→ (cos (t),sin (t))
Th´eor`eme 8 Le p´erim`etre du cercle unit´e du plan euclidien vaut 2π.
7 Les fonctions argument principal et logarithme
On a en fait montr´e que tout nombre complexe non nul zs’´ecrit de mani`ere unique z=ρeiθ avec ρ > 0 (ρ=|z|) et
θ∈[0,2π[.Le r´eel ρest le module de z.
Avec ces notations, on aura z=ρeit si, et seulement si, ρeit =ρeiθ,ce ´equivaut `a ei(t−θ)= 1 ou encore `a t=θ+ 2kπ avec
kentier relatif. On dit alors que test un argument de z. En se fixant kun tel argument est unique dans [2kπ, 2 (k+ 1) π[.
En utilisant les arguments, on peut montrer que les application t7→ eiαt sont les seuls morphismes de groupes continus
de (R,+) dans (Γ,·).
Lemme 7 Les seuls morphismes de groupes continus de (R,+) dans (Γ,·)sont les applications x7→ eiαx avec α∈R.
Connaissant tous les morphismes de groupes continus de (R,+) dans (R∗,·) (ce sont les x7→ eax avec ar´eel), on d´eduit
le r´esultat suivant.
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