Résumé du cours dcAlgèbre Générale (L3 Maths)

Résumé du cours d’Algèbre Générale
(L3 Maths)
Yves Driencourt
Printemps 2007
Table des matières
1 Généralités et rappels
1.1 Relation d’équivalence, ensemble quotient . . . . . . . . . . . .
1.2 Factorisation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Groupes
2.1 Dé…nitions et généralités . . . . . . . .
2.2 Morphismes, noyau, image, produit . .
2.3 Sous-groupes engendrés, générateurs .
2.4 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . .
2.5 Classes modulo un sous-groupe . . . .
2.6 La structure de groupe de G/H . . . .
2.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . .
2.8 Produit simple et semi-direct . . . . .
2.9 Exemples
de
groupes
en
les isométries du plan et de l’espace . .
2.9.1 Généralités . . . . . . . . . . .
2.9.2 La dimension 2 . . . . . . . . .
2.9.3 La dimension 3 . . . . . . . . .
2.10 Groupes de permutation . . . . . . . .
2.11 Groupes opérant sur un ensemble . . .
2.12 Sous-groupes de Sylow . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
géométrie
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
:
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
5
6
7
8
10
12
13
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
18
20
25
29
3 Anneaux
34
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
3.3 Anneaux de polynômes et de séries formelles . . . . . . . . .
3.3.1 Dé…nition de A [[X]] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Dé…nition de A [X1 ; X2 ; ::; Xn ] . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Dérivations et formule de Taylor . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Racines et ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . .
3.3.7 Relations entre coe¢ cients et racines d’un polynôme
3.3.8 Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
46
47
48
48
50
52
54
Avertissement : le présent résumé de cours s’inspire en partie des livres de
Roger Godement (Cours d’Algèbre, Hermann) et Lionel Schwartz (Algèbre 3ème
année, Dunod). Les étudiants sont renvoyés à ces livres, présents en bibliothèque,
pour de plus amples détails (les démonstrations ne sont pas toujours données ici, ou
di¤èrent de celles données par les auteurs...), ainsi que pour de nombreux exercices
puisés dans ces ouvrages, pour lesquels est souvent donnée, dans le second tout au
moins, une solution abrégée. Les rappels d’algèbre linéaire proviennent du livre de
F. Liret et D. Martinais (Algèbre et Géométrie 2ème année, Dunod), également
présent en bibliothèque.
1
1.1
Généralités et rappels
Relation d’équivalence, ensemble quotient
Dé…nition 1 : Soit R une relation sur un ensemble E: On dit que R est
une relation d’équivalence si les conditions suivantes sont remplies
i) xRx 8x 2 E (ré‡exivité)
ii) xRy =) yRx (symétrie)
iii) xRy et yRz =) xRz (transitivité).
Exemple 2 : Si f est une application de E dans un ensemble M :
xRy () f (x) = f (y):
Exemple 3 : E = Z : xRy () x
y mod n; pour n …xé.
Proposition 4 : Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E: Il
existe un ensemble M et une application f : E ! M tels que les relations
xRy et f (x) = f (y) soient équivalentes.
Preuve : On pose M = fx j x 2 Eg et on dé…nit f par f (x) = x où
x = fy 2 E j yRxg :
Les classes d’équivalence x forment une partition de E et on note fréquemment M = E=R; f étant appelée l’application canonique de E sur son
quotient par la relation R:
Exemple 5 : En reprenant le dernier exemple :
E=R = "Z=nZ" = 0; 1; ::::; n
3
1 :
1.2
Factorisation canonique
Théorème 6 : Soient E un ensemble, R une relation d’équivalence sur E
et l’application canonique E ! E=R et f une application de E dans un
ensemble X: Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) xRy =) f (x) = f (y);
:
b) il existe une application f : E=R ! X telle que f = f
Si ces conditions sont réunies, f est unique.
De plus, f est injective si et seulement si : xRy () f (x) = f (y); f est
surjective si et seulement si f l’est.
2
2.1
Groupes
Dé…nitions et généralités
Dé…nition 7 : Un groupe G est un ensemble muni d’une loi de composition
interne, i.e. une application de G G ! G : (x; y) 7! xy; véri…ant les
propriétés suivantes
- la loi est associative : x(yz) = (xy)z pour tous x; y; z dans G;
- il existe un élément "neutre" , noté e; pour cette loi : ex = xe = x pour
tout x 2 G;
- chaque élément x possède un symétrique x0 ; véri…ant xx0 = x0 x = e:
Dé…nition 8 : On dit que le groupe G est commutatif (ou abélien) si la loi
véri…e de plus : xy = yx pour tous x; y dans G:
Remarque 9 : On note fréquemment de façon multiplicative la loi d’un
groupe quelconque, réservant la notation additive au cas où le groupe est
commutatif. Dans le premier cas, l’élément neutre sera noté e ou 1, le symétrique de x : x 1 (l’inverse) et l’élément xn (n > 0) désignera xx:::x (n
fois). Dans la notation additive, on utilisera plutôt 0 pour désigner l’élément
neutre, x pour le symétrique de x (l’opposé) et nx pour x + x + ::: + x (n
fois).
Bien noter que pour n > 0 toujours, on a (x 1 )n = (xn ) 1 et donc, pour
tous m; n : xm x n = xm n ; en…n x0 = 1:
Exemple 10 : Z pour +; Q pour ; Q+ pour ; S(X) (bijections de l’ensemble X dans lui-même) pour la loi de composition : (f; g) 7! f g:
Dé…nition 11 : Un sous-groupe du groupe G est un sous-ensemble de G
qui a lui-même une structure de groupe pour la loi induite (ce qui nécessite
évidemment que le sous-ensemble en question soit stable pour cette loi !).
4
En pratique, on utilise la caractérisation suivante : H est un sous-groupe
de G si et seulement si les 2 conditions suivantes sont réalisées
a) H 6= ?;
b) (x 2 H et y 2 H) =) xy 1 2 H:
Exemple 12 : nZ dans Z; nZ \ mZ dans Z ou dans nZ; nZ + mZ dans Z;
R+ dans R :
Concernant Z; on montre facilement (division euclidienne) que tous les
sous-groupes sont de la forme nZ: Noter que nZ est aussi le plus petit sousgroupe de Z contenant n:
Exercice 1 : Montrer que pour m et n entiers
nZ \ mZ = ppcm(m; n)Z
nZ + mZ = pgcd(m; n)Z
En déduire le théorème de Bézout.
2.2
Morphismes, noyau, image, produit
Si G1 et G2 sont deux groupes, notés multiplicativement, un morphisme
de G1 dans G2 est une application véri…ant f (xy) = f (x)f (y) pour tous
x; y 2 G1 : On a alors f (1) = 1 et f (x 1 ) = f (x) 1 : Si G1 = G2 ; on parle
d’endomorphisme, si le morphisme est bijectif, on parle d’isomorphisme, en…n pour les morphismes bijectifs de G dans lui-même, on parle d’automorphismes. On note Aut(G) ce dernier ensemble.
Exemple 13 : ln : R+ ! R et exp : R ! R+ :
Exemple 14 : L’image réciproque d’un sous-groupe de G2 par le morphisme
f est un sous-groupe de G1 :
Exemple 15 : Si x 2 G, l’application g 7! xgx 1 est un automorphisme de
G appelé automorphisme intérieur ou encore conjugaison.
Proposition 16 : Aut(G) est un groupe, pour : (f; g) 7! f
g.
On appelle noyau de f le sous-ensemble ker f = fx 2 G1 j f (x) = 1g de
G1 et image de f le sous-ensemble Im f = fy 2 G2 j 9x 2 G1 avec y = f (x)g
de G2 :
5
Proposition 17 : ker f est un sous-groupe de G1 et Im f est un sous-groupe
de G2 :
Etant donnée une famille de groupes Gi ; i 2 I; on peut considérer le
produit
Y
Gi
i2I
sur lequel on peut dé…nir une loi de groupe par
(gi )
(gi0 ) = (gi gi0 ):
Exercice 2 : On note O(2; R) le sous-ensemble de M (2; R) formé des matrices A véri…ant t AA = I: Montrer que c’est un sous-groupe de GL(2; R);
formé des matrices s’écrivant sous l’une des deux formes suivantes
a b
b a
ou
a
b
b
a
avec a2 + b2 = 1: On note O+ (2; R) le sous-ensemble des matrices de la
première forme, montrer que c’est un sous-groupe commutatif de O(2; R);
isomorphe, via
a b
7! a + ib;
b a
au cercle unité dans C :
Interpréter géométriquement les transformations du plan correspondant
aux matrices ci-dessus.
2.3
Sous-groupes engendrés, générateurs
Lemme 18 : Soit (Hi )i2I une famille quelconque de sous-groupes d’un groupe
G: Alors \ Hi est un sous-groupe de G:
i2I
Conséquence : si A est une partie quelconque d’un groupe G; l’intersection des sous-groupes de G contenant A est le plus petit sous-groupe de G
contenant A; on dit que c’est le sous-groupe engendré par A:
Proposition 19 : Soit A une partie de G: Pour que x appartienne au sousgroupe de G engendré par A; il faut et il su¢ t qu’il existe p
0 et des
éléments x1 ; x2 ; :::; xp de G tels que x = x1 x2 :::xp avec, pour chaque i; xi ou
xi 1 dans A:
Si A est …ni, on dit que le sous-groupe engendré par A est de type …ni
6
Remarque 20 : Si G est commutatif et A = fx1 ; x2 ; :::; xp g ; alors
x 2 HA () x = x1 1 x2 2 :::xp p
avec des
i
entiers,
HA désignant le sous-groupe engendré par A:
Exemple 21 : Zn est de type …ni, engendré par e1 = (1; 0; :::::; 0); :::::;
en = (0; 0; :::; 1):
Exercice 3 : Montrer que Q n’est pas de type …ni (raisonner par l’absurde).
Pour A = fxg ; on obtient le sous-groupe engendré par x; composé des
éléments xn avec n 2 Z:
En…n, les groupes …nis sont évidemment de type …ni. En voici un exemple :
S(X) avec X = f1; 2; 3g ; on peut lister tous ses éléments
s1
s2
s3
s4
s5
s6
:
:
:
:
:
:
(1; 2; 3) 7! (1; 2; 3)
(1; 2; 3) 7! (2; 3; 1)
(1; 2; 3) 7! (3; 1; 2)
(1; 2; 3) 7! (1; 3; 2)
(1; 2; 3) 7! (2; 1; 3)
(1; 2; 3) 7! (3; 2; 1):
On peut décrire ce groupe par sa table de multiplication (composition des
applications), ce qui permet de remarquer quelques propriétés évidentes
1) Il n’est pas commutatif puisque par exemple : s2 s4 = s5 6= s6 = s4 s2 :
2) fs1 ; s2 ; s3 g forment un sous-groupe H S(X):
3) Il est engendré par s4 ; s5 ; s6 (les "transpositions" qu’il contient) :
s2 = s6 s5 et s3 = s5 s6 :
2.4
Groupes cycliques
Revenons sur le cas d’un groupe engendré par un seul élément x: S’il
est …ni, on dit que G est cyclique, il existe dans ce cas n 2 N tel que
xn = 1: Le plus petit entier positif véri…ant ceci s’appelle l’ordre de x:
On a alors G = f1; x; x2 ; :::; xn 1 g : Si on est en notation additive, on a
G = f0; x; 2x; :::; (n 1)xg :
Exemple 22 : Z=nZ = 0; 1; 2; :::; n 1 ; le groupe quotient de Z par la
relation de congruence modulo n; est un groupe cyclique à n éléments. Avec
les notations qui précèdent, c’est f0; x; 2x; :::; (n 1)xg avec x = 1:
7
Exemple 23 : Les racines n-ièmes de l’unité dans C, c’est Un = f1; x; x2 ; :::; xn 1 g
avec x = e2 i=n :
Exemple 24 : Les rotations vectorielles …xant les sommets du polygone ré::: R} = R(O; 2kn ):
gulier à n côtés, ici x = R(O; 2n ) et xk = R
| {z
k fois
Proposition 25 : Soient G un groupe et x un élément d’ordre n: Tout entier
k véri…ant xk = 1 est multiple de n:
Corollaire 26 : Tout groupe cyclique à n éléments est isomorphe à Z=nZ:
Proposition 27 : Soit G un groupe cyclique. Tout sous-groupe de G est
lui-même cyclique, de même que l’image de G par un morphisme.
Exercice 4 : Soient G un groupe commutatif , x et y des éléments de G
d’ordre m et n premiers entre eux. Montrer que z = xy est d’ordre mn et
que le sous-groupe engendré par z contient x et y.
Exercice 5 : Soient G et H des groupes cycliques à m et n éléments.
Prouver que G H est cyclique si et seulement si m et n sont premiers entre
eux. Si x et y sont des générateurs de G et H, le couple (x; y) est alors un
générateur de G H:
Exercice 6 : Montrer que Z=nZ possède, pour tout diviseur d de n, un
unique sous-groupe Cd d’ordre d.
2.5
Classes modulo un sous-groupe
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G: La relation
xRy , x 1 y 2 H
est une relation d’équivalence et la classe d’équivalence de x est formée des
éléments xh avec h 2 H: On la note xH:
L’ensemble quotient se note G=H (classes à droite modulo H): La relation
xy 1 2 H conduit à l’ensemble quotient HnG (classes à gauche).
Dé…nition 28 : Si G est un groupe …ni, son cardinal est noté (G : 1) et
s’appelle l’ordre du groupe.
8
Théorème 29 (Lagrange) : Soient G un groupe …ni et H un sous-groupe de
G: On a la relation
(G : 1) = (G : H)(H : 1)
où (G : H) désigne le nombre de classes de G modulo H, ou encore, le
cardinal du quotient G=H:
Preuve : L’application h 7! xh est une bijection de H sur xH pour tout
x 2 G; montrant ainsi que toutes les classes ont le même nombre d’éléments.
Le théorème de Lagrange nous dit donc que l’ordre d’un sous-groupe
divise toujours l’ordre du groupe, c’est le cas en particulier de l’ordre de tout
élément d’un groupe …ni puisque cet ordre n’est autre que le cardinal du
sous-groupe qu’il engendre.
Proposition 30 : Soit G un groupe …ni à p éléments où p est un nombre
premier. Alors G ' Z=pZ:
Exercice 7 : Montrer qu’il n’y a que deux groupes d’ordre 4 à isomorphisme
près, tous deux commutatifs : Z=4Z et (Z=2Z)2 (raisonner sur l’ordre possible
des éléments et dans le cas où il n’y a pas d’élément d’ordre 4, dresser la table
d’opérations)
Exercice 8 : Soient G un groupe cyclique à n éléments et x un générateur
de G. Montrer que xk engendre G si et seulement si les entiers n et k sont
premiers entre eux. Dans le cas général, quel est l’ordre du sous-groupe de G
engendré par xk ?
Exercice 9 : a) On cherche à prouver que le seul groupe commutatif d’ordre
6 (à isomorphisme près) est Z=6Z.
Montrer en e¤et qu’il existe toujours un élément d’ordre 6 en éliminant
les deux éventualités suivantes :
il n’y a que des éléments d’ordre 2,
il n’y a que des éléments d’ordre 3 (considérer alors la décomposition
G = H [ yH; où H est le sous-groupe engendré par un élément x d’ordre 3
et y 2
= H).
b) De même le seul groupe non commutatif d’ordre 6 à isomorphisme près
est appelé D3 : On examine les di¤érentes possibilités en prouvant successivement
qu’il ne peut y avoir d’élément d’ordre 6,
qu’il ne peut y avoir que des éléments d’ordre 2 (calculer aababb de 2
façons pour montrer qu’alors le groupe serait commutatif).
9
En déduire qu’il existe toujours un élément d’ordre 3 et conclure en écrivant comme dans le cas commutatif G = H [ yH; avec y 2
= H; forcément
d’ordre 2.
c) Dans le cas non commutatif, en reprenant les notations de b); que vaut
gHg 1 pour g 2 G ? On pose ensuite K1 = f1; yg (resp. K2 = f1; yxg ;
K3 = f1; yx2 g); que vaut gKi g 1 pour g 2 G et i = 1; 2; 3 ?
Exercice 10 : Montrer que les ensembles suivants sont des groupes, et au
vu des exercices précédents, dire de quel type ils sont :
f1; 2; 3; 4g Z=5Z pour la multiplication,
f1; 3; 5; 7g Z=8Z pour la multiplication,
f1; i; 1; ig C pour la multiplication,
f1; j; j 2 ; 1; j; j 2 g C pour la multiplication.
Exercice 11 : Soit p un nombre premier. Montrer que le groupe (Z=pZ)2
possède exactement p + 1 sous-groupes d’ordre p et les décrire précisément.
2.6
La structure de groupe de G/H
Dé…nition 31 : On dit qu’un sous-groupe H de G est distingué (ou invariant) dans G si l’une des 3 conditions équivalentes est satisfaite
i) xHx 1 H pour tout x 2 G;
ii) xHx 1 = H pour tout x 2 G;
iii) xH = Hx pour tout x 2 G:
C’est évidemment le cas si le groupe G est commutatif.
Exemple 32 : Le noyau d’un morphisme de groupe est un sous-groupe distingué.
Exercice 12 : Soit A une partie d’un groupe G. On note
Z(A) = fx 2 G = xa = ax
8a 2 Ag
appelé centralisateur de A. Montrer que c’est un sous-groupe de G. Pour
A = G lui-même, on appelle Z(G) le centre du groupe. Montrer que c’est un
sous-groupe commutatif et distingué de G.
Exercice 13 : Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle
normalisateur de H l’ensemble des x 2 G tels que xHx 1 = H: Montrer que
ce sous-ensemble de G noté NH est un sous-groupe de G dans lequel H est
distingué et que c’est le plus grand possédant cette propriété.
10
Exercice 14 : Montrer que O+ (2; R) (cf ex.2) est un sous-groupe distingué
de O(2; R): Que vaut s r s 1 si s est une symétrie et r une rotation ?
Théorème 33 : Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G: Il
existe une et une seule loi de composition faisant de G=H un groupe et telle
que l’application canonique : G ! G=H soit un morphisme.
Preuve : La question à résoudre est celle de la compatibilité de la loi de
groupe avec la relation d’équivalence modulo le sous-groupe H: C’est précisément ce à quoi sert la notion de sous-groupe distingué. On remarque en…n
que la loi sur le quotient n’exprime rien d’autre que le fait que est un
morphisme, ce qui règle la question de l’unicité.
La relation d’équivalence modulo un sous-groupe distingué est la seule
qui permette de munir le quotient d’une structure de groupe telle que l’application canonique soit un morphisme. C’est ce que montre la proposition
suivante.
Proposition 34 : Soient G un groupe et R une relation d’équivalence sur
G de telle sorte que
i) le quotient G=R possède une structure de groupe,
ii) l’application canonique : G ! G=R est un morphisme,
alors R est de la forme : xRy , x 1 y 2 H (ou bien xy 1 2 H); pour un
sous-groupe invariant H de G:
Preuve : H = 1 (f1g) est un sous-groupe distingué de G et (x) = (y)
équivaut à x 1 y 2 H (ou bien xy 1 2 H):
Dans les schémas de décomposition canonique, on s’intéressera donc à
des quotients de la forme G=N où N est un sous-groupe distingué de G: Si
l’on reprend le schéma ensembliste de la factorisation canonique, on l’enrichit en donnant aux ensembles impliqués des structures de groupes et aux
applications les propriétés de morphisme. Pour factoriser en toute généralité,
on aura les ingrédients suivants
i) un morphisme de f : G ! G0
ii) une relation R sur G véri…ant : xRy =) f (x) = f (y) et telle que le
quotient G=R ait une structure de groupe (et donc l’application canonique
la propriété de morphisme). Ceci équivaut à se donner un sous-groupe
distingué dans G; inclus dans le noyau de f:
On en déduit alors l’existence et l’unicité d’une application f : G=N ! G0
qui factorise f en ce sens que f
= f et qui de plus est un morphisme,
11
puisque
f (x:y) =
=
=
=
f (xy)
f (xy)
f (x)f (y)
f (x)f (y):
Avec comme corollaire, le fait que
i) f est injective si et seulement si N = ker f;
ii) f est surjective si et seulement si f l’est.
Exercice 15 : Montrer que U = fz 2 C j jzj = 1g est isomorphe au groupe
quotient R=2 Z (utiliser l’application x 7 ! eix de R dans C):
2.7
Suites exactes de groupes
On considère le schéma suivant
f1
fn
f2
1
fn
G1 ! G2 ! :::::: ! Gn ! Gn+1
où les Gi désignent des groupes et les fi des morphismes. On dit que la suite
est exacte si, pour chaque entier i; 1 i < n : Im fi = ker fi+1 :
Exemple 35 : Si H est un sous-groupe distingué de G; la suite (en notation
multiplicative)
i
1 ! H ! G ! G=H ! 1
est exacte. La première ‡èche indique en e¤et que i (l’injection canonique)
est injective, la dernière que (la surjection canonique) est surjective.
Exemple 36 : Soient G un groupe engendré par x et f : Z ! G donné par
f (n) = xn :
Si f est injectif, G est in…ni, isomorphe à Z:
Sinon ker f = rZ où r est l’ordre de G et G ' Z=rZ:
Exercice 16 : Soient p et q deux entiers premiers entre eux. Montrer que
l’application
x ! (x mod p; x mod q)
est un homomorphisme surjectif de Z sur le produit cartésien Z=pZ
En déduire le théorème chinois
Z=pZ
Z=qZ ' Z=pqZ.
Exercice 17 : Montrer que si m divise n
(Z=nZ) = (mZ=nZ) ' Z=mZ.
12
Z=qZ.
2.8
Produit simple et semi-direct
Par produit simple de 2 sous-groupes H et K d’un même groupe G; on
entend
HK = fhk j h 2 H; k 2 Kg :
Ce n’est pas un sous-groupe en général, par contre ça l’est dans le cas commutatif, on le note souvent sous forme de somme : H + K:
Dans certaines conditions particulières, HK est un sous-groupe, ainsi que
le montrent les exercices qui suivent.
Exercice 18 : Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes tels que
H NK :
a) Montrer que H \ K est distingué dans H, puis que HK = KH est un
sous-groupe de G.
b) En considérant x 7 ! xK de H dans HK=K, en déduire l’isomorphisme canonique
H=H \ K ' HK=K
Exercice 19 : Soient G un groupe quelconque, H et K deux sous-groupes
véri…ant : H NK ; H \ K = f1g et G = HK: Montrer qu’on a alors
G'H
K
avec de plus
hk = kh
8h 2 H
(considérer l’application (h; k) ! hk de H
8k 2 K
K dans HK):
Il existe une autre notion de produit, qui intervient notamment dans
l’étude des groupes …nis, c’est le produit semi-direct. Pour cela, on considère
deux groupes N et H, un homomorphisme de H dans Aut(N ) (le groupe
formé par les automorphismes de N ). On dé…nit alors
G=N oH
que l’on munit d’une structure de groupe en posant
(n; h)(n0 ; h0 ) = (n (h)(n0 ); hh0 ):
On dit que G est produit semi-direct de N par H relativement à
G est le produit direct bien connu).
13
(si
= 1;
Proposition 37 : Avec les notations qui précèdent, on pose n = (n; 1) et
h = (1; h); puis
N = fn j n 2 N g ;
H = hjh2H :
Alors N est distingué dans G et on a
(h)(n) = hn(h) 1 :
On a de plus : N \ H = f(1; 1)g et G=N ' H; autrement dit, la suite
1!N !G!H!1
est exacte.
Proposition 38 : Réciproquement, soient G un groupe, N un sous-groupe
distingué di¤érent de G et f1g : On a donc la suite exacte
1 ! N ! G ! G=N ! 1:
On suppose qu’il existe dans G un sous-groupe H tel que la surjection canonique de G ! G=N induise un isomorphisme de H sur G=N (on appelle H
un relèvement de G=N ). Alors
N \ H = f1g
G = NH
et
G=N oH
(l’action de H sur N étant la conjugaison :
(h)(n) = hnh 1 ):
Remarquer dans le cas particulier où G est commutatif : l’existence d’un
relèvement de G=N implique
G'N
H
(ou bien N
G=N ):
Exercice 20 : Montrer qu’un groupe commutatif d’ordre 8 est nécessairement isomorphe à l’un des groupes suivants
Z=8Z, Z=2Z Z=4Z, (Z=2Z)3
(raisonner sur l’ordre possible des éléments du groupe : G possède un élément
d’ordre 8 (cas 1), sinon il possède un élément d’ordre 4 (cas 2), sinon il ne
possède que des éléments d’ordre 2 (cas 3). Dans les deux derniers cas, utiliser
la proposition 38 en prenant pour N un sous-groupe d’ordre 4).
14
Exercice 21 : Soient G un groupe commutatif …ni et n un entier tel que
xn = 1 pour tout x 2 G:
a) On suppose n = ab avec a et b premiers entre eux, et on désigne par A
(resp. B) l’ensemble des x 2 G tels que xa = 1 (resp. xb = 1): Montrer que
A et B sont des sous-groupes dont G est le produit direct.
b) Soit n = pr11 ::::prkk la décomposition de n en facteurs premiers. On pose
qi = pri i et on désigne par Gi l’ensemble des x 2 G tels que xqi = 1: Montrer
que G est produit direct des sous-groupes Gi :
c) On suppose dans cette question que n = pr pour un nombre premier
p. Montrer que si G n’est pas réduit à l’élément neutre, il contient un élément d’ordre p. En raisonnant par récurrence sur Card(G), déduire de là que
Card(G) est une puissance de p.
d) Soit G un groupe commutatif de cardinal n = pr11 ::::prkk : Montrer que
G est produit direct de sous-groupes d’ordres pri i :
e) On suppose Card(G) = n = pr pour un nombre premier p, et on fait en
outre l’hypothèse que l’équation xp = 1 possède au plus p solutions dans G. On
veut montrer, par récurrence sur r, que G est cyclique. Soient s le plus petit
s
entier tel que xp = 1 pour tout x 2 G et H le sous-groupe des solutions de
s 1
s 1
xp = 1: En considérant le noyau et l’image de l’homomorphisme x ! xp ;
montrer que Card(H) = pr 1 ; que H est cyclique et que s = r. Montrer que
G lui-même est cyclique en examinant l’ordre d’un x 2
= H:
f) Montrer qu’un groupe commutatif G de cardinal …ni n est cyclique si et
seulement si, pour tout nombre premier p divisant n, les solutions de xp = 1
sont en nombre p au plus.
Exercice 22 : Soit p un nombre premier.
a) Montrer que Z=pZ est un corps (prouver que tout élément de
G = (Z=pZ) est inversible pour la multiplication.
b) Montrer que l’équation xp 1 = 1 possède exactement p 1 racines dans
G:
c) Soit d un diviseur de p 1: Montrer que l’équation xd = 1 possède
exactement d racines dans G (on pourra utiliser l’égalité
yk
1 = (y
1)(y k
1
+ ::::y + 1)
dans le corps Z=pZ avec un y bien choisi et compter les racines).
d) On décompose p 1 en facteurs premiers et on note q r la puissance
du premier q intervenant dans cette décomposition. Parmi les solutions de
r
xq = 1; peut-on trouver un élément d’ordre q r du groupe G ?
e) En conclure que G est cyclique (utiliser l’exercice 4)
15
2.9
Exemples
de
groupes
en
géométrie
les isométries du plan et de l’espace
:
On rappelle ici un certain nombre de propriétés de ces groupes, que l’on
va ensuite mettre en rapport avec les groupes étudiés par ailleurs (groupes
diédraux, groupes de permutation...).
2.9.1
Généralités
E espace vectoriel euclidien (espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire) de dimension n; q forme quadratique dé…nie positive associée.
Dé…nition 39 : On note O(q) = fu 2 GL(E) j q(u(x)) = q(x); 8x 2 Eg pour
désigner l’ensemble des isométries (vectorielles), qui est un sous-groupe de
GL(E):
Dans Rn muni du produit scalaire usuel, par rapport à la base canonique qui est orthonormée, les isométries sont représentées par les matrices
"orthogonales".
Dé…nition 40 : On note O(n; R) = fA 2 M (n; R) j t AA = Ig et
O+ (n; R) = fA 2 O(n; R) j det A = 1g le groupe des matrices orthogonales
et le sous-groupe des matrices de déterminant positif, noté aussi SO(n; R):
Dé…nition 41 : Une symétrie (ou involution) de E est un u 2 GL(E) véri…ant u2 = 1:
Dans ce cas, E se décompose en somme directe E +
E valant I (resp I sur E ):
E , u restreint à
+
Dé…nition 42 : Une symétrie est appelée ré‡exion si dim E
versement si dim E = 2:
= 1 et ren-
Dé…nition 43 : Une symétrie est dite orthogonale (relativement à la forme
q) si elle est dans O(q):
Proposition 44 : Une symétrie est orthogonale si et seulement si E + et E
sont orthogonaux.
Théorème 45 : Une isométrie est produit d’au plus n ré‡exions orthogonales.
Théorème 46 : Une isométrie positive (u 2 O+ (q)) est produit d’au plus n
renversements.
16
Théorème 47 : Soient E un espace vectoriel réel de dimension n et u une
isométrie. Alors E est somme directe orthogonale
E=V
W
P1
::::
Pr
où V; W et les Pi sont des sous-espaces stables par u, avec dim Pi = 2;
cos i
sin i
ujV = I; ujW = I et ujPi =
:
sin i cos i
Il en résulte que
1) n impair =) V ou W 6= ?:
2) det u = 1 =) W 6= ?:
3) n impair et det u = 1 =) V 6= ?:
4) det u = 1 =) dim W n mod 2:
2.9.2
La dimension 2
1) Si u 2 O (q); c’est une ré‡exion (elle est produit d’au plus 2 ré‡exions
et ne peut être le produit de 2 ré‡exions, ou encore à cause du théorème
précédent).
2) Si u 2 O+ (q); u est produit de 2 ré‡exions, dont l’une peut être choisie
arbitrairement (si est une ré‡exion arbitraire, u 2 O (q); donc c’est une
ré‡exion 0 ; mais est arbitraire...)
1
3) Si 2 O+ (q) et 2 O (q) :
=
= 1 (on écrit = 0 ; d’où
= 2 0 = 0 = 1 ):
4) O+ (q) est commutatif : si ; 0 sont dans O+ (q); on écrit = 0 d’où
0
1
= 0 0 0 = 0 1 = 0:
a b
Matriciellement O(2; R) = O+ (2; R) [ O (2; R) avec M =
b a
a b
dans le premier cas (resp. M =
dans le second), avec evidemment
b
a
a2 + b2 = 1:
1 0
Noter que dans le second cas, M est semblable à
(cf le théo0
1
rème général de décomposition) puisque c’est une ré‡exion, le premier vecteur
de base étant à prendre sur la droite invariante, d’équation (a 1)x + by = 0;
le second sur la droite orthogonale.
cos t
sin t
On en déduit en particulier que tout élément de O+ (2; R) s’écrit
sin t cos t
avec t 2 R (en fait R=2 Z; t étant dans ce cas appelé l’angle de la rotation).
17
2.9.3
La dimension 3
Cas 1 : u 2 O+ (3; R); alors V 6= ? et il y a 3 possibilités
0
1 0
1 0
1
1
1
1
@
A;@
A;@
cos
sin A avec
1
1
1
1
sin
cos
2]
;+ [;
la seconde représentant un renversement (ou encore une symétrie par rapport
à la droite de vecteur e1 ) et la troisième une rotation d’axe e1 et d’angle :
Noter qu’à part l’identité, l’ensemble des points invariants est toujours une
droite.
Cas 2 : u 2 O (3; R); alors cette fois W 6= ? et il y a 3 possibilités
0
1 0
1 0
1
1
1
1
@
A;@
A;@
1
1
cos
sin A ;
1
1
sin
cos
la seconde représentant une ré‡exion et la troisième un produit de 3 ré‡exions.
Voici une démonstration directe, sans utiliser les résultats généraux qui
précèdent.
Cas 1 : f est une isométrie de déterminant 1.
Le polynôme caractéristique de f étant de degré 3, il a toujours une
racine dans R; qui ne peut être que 1 ou 1: Par suite il existe un vecteur
u 6= 0 véri…ant f (u) = u: Soient D la droite engendrée par u et P le plan
orthogonal. Une isométrie conservant le produit scalaire, on en déduit que
f (P ) P , puisque, pour tout x 2 P :
(f (x)ju) =
(f (x)jf (u)) =
(ujx) = 0:
Soit g l’isométrie de P dé…nie par g = fjP :
Si f (u) = u; il en résulte que det g = det f = 1 et donc que g est une
rotation de P:
Si f (u) = u; on a par contre det g = det f = 1; et donc g est une
symétrie orthogonale dans le plan P : il existe donc dans ce plan 2 vecteurs
orthogonaux v et w tels que f (v) = v et f (w) = w: On en déduit que dans
la base orthonormée (w; u; v); f est la rotation d’axe w et d’angle :
Cas 2 : f est une isométrie de déterminant 1:
f est alors une isométrie de déterminant 1 et le cas 1 montre que 1 est
toujours valeur propre, on peut donc trouver u 6= 0 tel que ( f )(u) = u;
c’est-à-dire f (u) = u: Comme ci-dessus, notons D la droite engendrée par
u et P le plan orthogonal. Soient s la symétrie orthogonale par rapport à P
18
et r = f s: Cette dernière est donc une isométrie (produit de 2 isométries)
de déterminant 1; donc une rotation. De plus f = r s puisque s2 = I: Pour
obtenir les caractéristiques de r; on note que r(u) = f (s(u)) = f ( u) = u;
montrant ainsi que l’axe de rotation est D: On peut voir en…n que le produit
r s est commutatif en le véri…ant séparément sur D et P:
Exercice 23 : Soit R3 l’espace euclidien orienté usuel. On considère une
rotation f d’axe D avec P comme plan orthogonal, de telle façon que (u; v)
soit une base orthonormée directe de P si (e; u; v) en est une de R3 , e étant
un vecteur unitaire de D: On note l’angle de la rotation, dont la matrice
dans la base (e; u; v) est donc
0
1
1
@
cos
sin A :
sin
cos
a) Si f est donnée par une matrice A dans une base quelconque de R3 ;
montrer que tr(A) = 1 + 2 cos :
b) Soit x 6= 0 un vecteur de P; montrer que f (x) = (cos ) x + (sin )e ^ x:
En déduire que sin = det(e; x; f (x)):
c) Application : on considère l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans
la base canonique est
0
1
8 1
4
1
7 A:
A= @ 4 4
9
1 8 4
Montrer que A est une rotation et donner ses éléments caractéristiques (axe
et angle).
Exercice 24 : Soit R3 l’espace euclidien orienté usuel. On pose e = p12 (1; 1; 0)
et on oriente le plan orthogonal P par le choix de e: Soit f la rotation d’axe
D porté par e et d’angle 23 :
p
3
1
a) Montrer que pour tout x 2 R3 : f (x) = 32 (xje)e
x
+
e^x
2
2
(commencer par projeter sur P et utiliser la question b) de l’ex. 23).
b) En déduire la matrice de f dans la base canonique de R3 :
Exercice 25 : Soit R3 l’espace euclidien orienté usuel. On considère l’endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique est donnée par
0
1
2
2
1
1
2 2 A:
A= @ 1
3
2
1
2
19
a) Montrer que f est une isométrie.
b) Montrer que f ne possède qu’une seule valeur propre.
c) Trouver une base orthonormée (u; v; w) de R3 telle que u soit un vecteur
propre de f:
d) Ecrire la matrice de f dans la base (u; v; w):
e) Montrer que f s’écrit de manière unique f = r s et préciser les
caractéristiques de r:
Exercice 26 : Soit G un groupe …ni à 2n éléments véri…ant de plus les
hypothèses suivantes
G est engendré par 2 éléments x et y,
x est d’ordre n,
y est d’ordre 2,
xy est d’ordre 2.
Montrer qu’alors G est unique à isomorphisme près et que tous les éléments qui n’appartiennent pas au sous-groupe engendré par x sont d’ordre 2.
On note Dn ce groupe (groupe diédral d’indice n).
Montrer que Dn est isomorphe au groupe des isométries d’un polygone
régulier de n sommets de centre O (considérer la rotation de centre O et
d’angle 2n ; ainsi que la symétrie par rapport à la droite joignant O à un
sommet …xé, par exemple la droite Ox). Etudier géométriquement les cas
n = 3; 4:
Exercice 27 : On suppose que G est un groupe non commutatif d’ordre 8.
a) Montrer que l’on peut écrire G sous la forme G = H [ bH avec
H = f1; a; a2 ; a3 g et b n’appartenant pas à H.
b) Montrer que b2 2 H et que les seuls cas possibles sont b2 = 1 et b2 = a2 :
c) Montrer que b 1 ab 2 H et que la seule possibilité est b 1 ab = a3 :
d) Dans le cas où b2 = 1; montrer que G est le groupe diédral D4 :
e) Dans le cas où b2 = a2 ; dresser la table de G et en déduire que le groupe
obtenu, noté Q2 n’est pas isomorphe à D4 :
Exercice 28 : Montrer que D4 ' Z=4Z o Z=2Z et plus généralement
Dn ' Z=nZ o Z=2Z:
2.10
Groupes de permutation
Dé…nition 48 : On appelle Sn le groupe des permutations de l’ensemble à
n éléments que l’on notera 1; 2; ::::; n
20
Dé…nition 49 : On appelle p-cycle la permutation
donnée par
(ai ) = ai+1 pour i = 1; 2; ::::; p 1 et (ap ) = a1 pour un certain sousensemble fa1 ; ::::; ap g de f1; 2; ::::; ng ; les éléments qui n’appartiennent pas à
fa1 ; ::::; ap g restant …xés par : On notera (a1 ; ::::; ap ) un tel p-cycle.
Dé…nition 50 : Un 2-cycle est appelé transposition.
Proposition 51 : Par construction, un p-cycle est un élément d’ordre p du
groupe Sn :
On a déjà vu que pour n = 3; Sn n’est pas commutatif, il en est de même
en général. Cependant, il existe des cas où les éléments commutent, en particulier des permutations qui opèrent sur des parties disjointes de f1; 2; ::::; ng :
Proposition 52 : Tout élément de Sn est décomposable en produit de cycles
dont la somme des ordres est n, opérant sur des parties disjointes de f1; 2; ::::; ng
Il en résulte que le produit obtenu est commutatif.
Preuve : Soit
2 Sn . Notons a1 le premier élément rencontré véri…ant
(a1 ) 6= a1 :On dé…nit a2 ; a3 ::: par les formules (a1 ) = a2 , (a2 ) = a3 :::: et
par i le premier indice tel que (ai ) 2 fa1 ; ::::; ai g : On a (ai ) = a1 puisque
c’est le seul dans le sous-ensemble en question à n’être pas image de quelqu’un
(attention : est injective !). Il en résulte que restreint à fa1 ; ::::; ai g est un
cycle d’ordre i: On ré-itère alors l’opération sur l’ensemble complémentaire
de fa1 ; ::::; ai g dans f1; 2; ::::; ng :
Proposition 53 : Tout cycle est décomposable en produit de transpositions
Preuve : On a en e¤et la formule
(a1 ; ::::; ap ) = (a1 ; a2 )(a2 ; a3 )::::::(ap 1 ; ap ):
Corollaire 54 : Les transpositions engendrent le groupe Sn :
Exercice 29 : On considère le groupe Sn des permutations de l’ensemble
f1; 2; ::::; ng et le sous-groupe An formé des permutations paires.
a) On note t la transposition (1; 2) et c le cycle (1; 2; :::; n). Calculer ck et
k
c pour k entier inférieur à n, puis ck tc k : En déduire que c et t engendrent
Sn :
b) Montrer en calculant (i; j)(j; k) pour i; j; k distincts, que An est engendré par les 3-cycles de Sn :
21
Il faut noter que la décomposition d’une permutation en produit de transpositions n’est pas unique, par exemple, si est une transposition
=
puisque 2 = 1: Par contre la parité du nombre de transpositions intervenant
dans la décomposition d’une permutation reste inchangée.
Pour cela, on prend pour X un ensemble quelconque, pour M un groupe
additif et on dit qu’une fonction f de X n dans M est antisymétrique si
f (x
(1) ; ::::; x (n) )
=
f (x1 ; :::; xn )
pour toute transposition : On peut montrer, par récurrence, que f véri…e
alors
f (x
= ( 1)r f (x1 ; :::; xn )
(1) ; ::::; x (n) )
si
est produit de r transpositions : c’est clair pour r = 1; ensuite on écrit
=
! où ! est produit de r 1 transpositions, l’hypothèse de récurrence
permet d’écrire
f (y!(1) ; ::::; y!(n) ) = ( 1)r 1 f (y1 ; :::; yn )
et on prend yi = x (i) :
Supposons alors que s’écrive d’un côté comme produit de r transpositions et de l’autre, sous forme d’un produit de s transpositions. Revenant à
f; on aurait alors
( 1)r f (x1 ; :::; xn ) = ( 1)s f (x1 ; :::; xn )
et par suite ( 1)r = ( 1)s si l’on peut simpli…er par f (x1 ; :::; xn ): Tout
revient donc à construire une telle fonction et à trouver les xi en question.
On y parvient en posant par exemple X = M = Z et
f (x1 ; :::; xn ) =
Y
(xi
xj )
1 i<j n
puisque f (x1 ; :::; xn ) 6= 0 si les xi sont deux à deux distincts. Reste à prouver
que f est antisymétrique. Supposons donc k < l et soit la transposition
échangeant k et l: Il su¢ t de lister les termes du produit contenant xk et/ou
22
xl :
A
B
C
D
E
F
G
=
=
=
=
=
=
=
(x1 xk )::::::(xk 1 xk )
(xk xk+1 )::::::(xk xl 1 )
(xk xl )
(xk xl+1 )::::::(xk xn )
(x1 xl )::::::(xk 1 xl )
(xk+1 xl )::::::(xl 1 xl )
(xl xl+1 )::::::(xl xn )
Les quantités A et D (resp. E et G) ne sont pas a¤ectées par la transposition.
Par contre, les quantités B et F le sont et prennent chacune un coe¢ cient
( 1)l k 1 ; qui se compensent donc. Reste …nalement C qui prend un coe¢ cient 1:
Théorème 55 : Pour tout entier n 1; il existe un et un seul morphisme
" : Sn ! Z tel que "( ) = 1 si est une transposition. On a "( ) = ( 1)r
si est produit de r transpositions. On appelle "( ) la signature (ou la parité)
de la permutation :
Corollaire 56 : Le noyau du morphisme " est un sous-groupe distingué,
d’indice 2 de Sn ; appelé le (sous-) groupe alterné et noté An :
Il est formé des n!=2 permutations paires de Sn : en e¤et le théorème de
factorisation canonique montre que Sn =An ' f 1g et le théorème de Lagrange permet d’en déduire (An : 1) = (Sn : 1) =2: On a de plus, en utilisant
la proposition 38
Sn ' An o f 1g ;
puisque, pour toute transposition ; f1; g constitue un relèvement de f 1g :
D’après la formule donnant la décomposition d’un cycle en produit de
transpositions, on a donc, pour un p-cycle : "( ) = ( 1)p 1 ; ce qui permet
de donner la signature d’une permutation à partir de sa décomposition en
cycles : "( ) = ( 1)n m si celle-ci fait apparaître m cycles (bien noter que
l’identité doit être comptée si elle intervient).
Corollaire 57 : La signature d’une permutation
la formule
"( ) = ( 1)I( )
est également donnée par
où I( ) désigne le nombre d’inversions de ; à savoir le nombre de couples
(i; j) pour lesquels i < j et (i) > (j):
23
Preuve : Il su¢ t de reprendre l’expression de la fonction f utilisée ci-dessus
et de compter le nombre de facteurs 1 intervenant quand on remplace xi
par x (i) : C’est exactement I( ):
Exercice 30 : On note S4 l’ensemble des permutations de l’ensemble à 4
éléments : f1; 2; 3; 4g :
a) A l’aide de la décomposition d’une permutation quelconque en cycles,
classer les di¤érents éléments de S4 en précisant à chaque fois leur nombre,
leur ordre et leur signature respective.
b) On note A4 l’ensemble des permutations paires, montrer que c’est un
sous-groupe distingué de S4 possédant 12 éléments, formé de 3-cycles ou de
produits de 2 transpositions.
c) Déterminer les sous-groupes d’ordre 4 de A4 et leur type respectif.
d) Déterminer les sous-groupes d’ordre 3 de A4 et montrer qu’ils sont tous
conjugués 2 à 2 (on pourra utiliser l’égalité suivante, en la prouvant :
s (a; b; c) = (s(a); s(b); s(c)) s
où (a; b; c) désigne la permutation circulaire sur les éléments a; b et c et s une
permutation quelconque).
e) Montrer que A4 ne possède pas de sous-groupe d’ordre 6.
f) Montrer que A4 est le seul sous-groupe d’ordre 12 de S4 (utiliser l’exercice 29.b) et la question d) ci-dessus).
g) Déterminer tous les sous-groupes d’ordre 4 de S4 (raisonner sur le
type possible, cf ex 7).
h) On note H = f1; (1; 2)(3; 4); (1; 3)(2; 4); (1; 4)(2; 3)g le sous-groupe de
S4 . Montrer qu’il est distingué dans A4 et dans S4 :
i) Montrer que S4 =H ' S3 et A4 =H ' Z=3Z.
j) Montrer que les sous-groupes d’ordre 6 de S4 sont de type D3 (cf ex 9).
Combien y-en a t-il contenant un sous-groupe d’ordre 3 donné ? En déduire
le nombre de sous-groupes d’ordre 6 de S4 :
Exercice 31 : Soient G un groupe …ni et m un diviseur de l’ordre de G. On
suppose que G possède un unique sous-groupe d’ordre m. Montrer que celui-ci
est distingué. Véri…er à l’aide d’un exemple que la réciproque est fausse, en
utilisant par exemple l’exercice précédent.
Exercice 32 : Soit G un groupe. On appelle commutateur de G tout élément
de la forme xyx 1 y 1 avec x et y dans G. On note D(G) le sous-groupe de
G engendré par les commutateurs.
a) Montrer que D(G) est un sous-groupe distingué de G (on pourra montrer que D(G) est stable par les endomorphismes de G, donc en particulier
par les automorphismes intérieurs....).
24
b) Soit H un sous-groupe distingué de G. Prouver que
G=H abélien () D(G)
H
Application : montrer que D(An ) = Sn pour tout n 3 et en déduire que An
est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn (montrer, en calculant les commutateurs (a; b; c)(b; c; d)(a; c; b)(b; d; c) et (a; b)(b; c)(a; b)(b; c); pour 4 éléments
a; b; c; d distincts, que l’on obtient tout produit de deux permutations comme
commutateur...).
2.11
Groupes opérant sur un ensemble
Dé…nition 58 : Soient G un groupe et X un ensemble. On dit que G opère
sur X s’il existe une application G X ! X : (g; x) 7! g:x véri…ant les deux
propriétés suivantes
(gh):x = g:(h:x)
1:x = x
pour tous g; h 2 G et x 2 X:
Notons dans ce cas Tg : X ! X l’application donnée par x 7! g:x:
D’après les propriétés de L’opération de G sur X permet d’écrire
Tgh = Tg Th
(Tg ) 1 = Tg 1
et on constate ainsi que g 7! Tg est un morphisme de G dans le groupe des
permutations de X:
Exemple 59 : G opère sur lui-même par conjugaison
G G ! G
(g; x) 7! gxg 1 :
Dans cet exemple, g 7! Tg est un morphisme de G dans Aut(G), dont le
noyau n’est autre que le centre de G:
Exemple 60 : G opère sur l’ensemble de ses sous-groupes (ou même plus
généralement de ses sous-ensembles) par conjugaison
G X ! X
(g; H) 7! gHg 1 :
25
Dé…nition 61 : On dit que deux sous-ensembles A et B de G sont conjugués, s’il existe g 2 G tel que B = gAg 1 :
Exemple 62 : G opère sur lui-même par translation
G G ! G
(g; h) 7! gh
ou sur l’ensemble de ses sous-ensembles, également par translation
G S ! S
(g; A) 7! gA = fga j a 2 Ag ::
Exemple 63 (en géométrie) : Les groupes O(2; R); O+ (2; R) opèrent sur le
plan, sur le cercle, le groupe Dn (où x = R(O; 2n ) et y = sym =Ox) opère
sur l’ensemble formé des sommets du polygone régulier à n côtés (cf ex 26),
S4 opère sur l’ensemble formé des 4 sommets du tétraèdre régulier centré à
l’origine (cf ex 33).......
Exercice 33 (Les isométries du tétraèdre) : Soit T un tétraèdre régulier de
l’espace vectoriel euclidien de dimension 3, centré à l’origine. On appelle H
le groupe des isométries de E laissant T globalement invariant.
a) Montrer que H ' S4 (considérer l’action sur les 4 sommets).
b) Montrer que le sous-groupe de H formé des isométries positives est
isomorphe à A4 :
c) On note T 0 le polyèdre "dual" obtenu en prenant pour sommets les
milieux de chaque face de T: Décrire T 0 et montrer qu’il possède le même
groupe d’isométries que T:
Exercice 34 (Les isométries du cube) : Soit C un cube de l’espace vectoriel
euclidien E de dimension 3, centré en l’origine. On appelle H le groupe des
isométries de E laissant C globalement invariant.
a) En considérant les diagonales joignant les sommets opposés, mettre en
évidence un morphisme de H dans S4 :
b) Montrer que ce morphisme est surjectif (identi…er les isométries correspondant aux di¤érents éléments de S4 ; pour les éléments d’ordre 3, chercher
les triangles équilatéraux).
c) Montrer que le noyau de ce morphisme est f Ig : Quelle conclusion
en tirer ?
d) Même question que pour le tétraèdre : quel est son dual (le décrire
aussi précisément que possible) ? Véri…er en particulier qu’il possède le même
nombre d’arêtes, mais que les nombres de sommets et de faces sont échangés.
26
Dé…nition 64 : Soient G opérant sur un ensemble X et x 2 X: On appelle
stabilisateur (ou sous-groupe d’isotropie) de x le sous-ensemble de G
Gx = fg 2 G j g:x = xg :
Par exemple, si G agit sur l’ensemble de ses sous-groupes par conjugaison
GH = g 2 G j gHg
1
=H
n’est autre que le normalisateur de H:
Dé…nition 65 : Soient G opérant sur un ensemble X et x 2 X: On appelle
orbite de x et on note O(x) l’ensemble des g:x pour g 2 G:
La relation, pour x; y 2 X
9 g 2 G tel que y = g:x
est une relation d’équivalence et la classe de x pour cette relation est précisément l’orbite O(x). On peut véri…er que les stabilisateurs des divers points
d’une même orbite sont 2 à 2 conjugués dans G.
Si on considère, pour x 2 X; l’application f de G dans X donnée par
f (g) = g:x;
on peut constater qu’elle est composée de l’application canonique de G sur
G=Gx et d’une application de G=Gx dans X. Elle induit une bijection de
G=Gx sur l’orbite O(x) de x par G et on peut en déduire l’égalité
(G : 1) = Card(O(x)).(Gx : 1) si G est …ni.
Puisque les orbites forment une partition de l’ensemble X; on peut écrire
X
Card(X) =
(G : Gxi ):
i2I
A titre d’application de ce genre de formule, on peut démontrer le résultat
(dû à Cauchy) permettant d’a¢ rmer que si G est un groupe …ni dont l’ordre
n est divisible par un nombre premier p; alors il existe toujours dans G
un élément d’ordre p : Y
pour cela, on note X
Gp le sous-ensemble des
(x1 ; x2 ; ::::; xp ) tels que
xi = 1: Le cardinal de X est clairement np 1
(p 1 composantes libres, la dernière …xée par le produit).
On fait alors agir sur X le groupe Z=pZ; par permutation circulaire
(k; (x1 ; x2 ; ::::; xp )) 7! xk+1 ; xk+2 ; ::::; xk+p :
27
Il y a des orbites à 1 seul élément, de la forme f(x; x; ::::; x)g ; formant un sousensemble X1 et les autres, qui possèdent p éléments; un sous-ensemble X2
(rappelons que les orbites sont en bijection avec les sous-groupes de Z=pZ):
On en déduit
Card(X)
Card(X1 ) mod p
et donc, en utilisant le fait que p divise n et que X1 6= ? puisque
(1; 1; ::::; 1) 2 X1 : p divise Card(X1 ) qui est de ce fait > 1:
Dans le cas d’un groupe …ni G opérant sur lui-même par conjugaison, on
obtient la "formule des classes"
X
(G : 1) = (Z(G) : 1) +
(G : Gx );
la somme étant étendue aux di¤érentes orbites de G non réduites à un élément
et Z(G) désignant le centre du groupe G : on compte d’abord les orbites
réduites à 1 seul élement en montrant qu’elles correspondent chacune à un
élément du centre du groupe.
Exercice 35 : Soit G un p-groupe (groupe dont l’ordre est une puissance de
p).
a) Montrer qu’alors le centre de G n’est pas réduit à l’élément neutre
(idée : utiliser la formule des classes).
b) Montrer que tout groupe d’ordre p2 est commutatif (véri…er que le
centre de G est G lui-même).
c) En déduire que tout groupe d’ordre p2 qui ne contient pas d’élément
d’ordre p2 est isomorphe à (Z=pZ)2 :
Exercice 36 : On note H = fz 2 C j Im z > 0g le demi-plan complexe supérieur, G = SL(2; R) le groupe des matrices réelles 2 2 de déterminant 1.
On fait agir G sur H par
g:z =
az + b
cz + d
a b
:
c d
a) Montrer que l’on dé…nit ainsi une opération de G sur l’ensemble H.
b) Déterminer le stabilisateur de i:
c) Soit z 2 H; montrer qu’il existe g 2 G tel que g:i = z:
d) En déduire que H est en bijection avec le groupe quotient SL(2; R)=SO(2; R):
si g =
28
2.12
Sous-groupes de Sylow
Soient G un groupe …ni d’ordre n; et p un nombre premier divisant n:
Dé…nition 66 : Un sous-groupe H de G est appelé p-sous-groupe de G si
(H : 1) est une puissance de p et p-sous-groupe de Sylow de G (ou p-Sylow
de G en abrégé) si (H : 1) est égal à la puissance maximale de p divisant n:
Exemples : S3 possède un 2-Sylow et un 3-Sylow, A4 possède un 2-Sylow
(d’ordre 4) et quatre 3-Sylow (d’ordre 3), S4 possède trois 2-Sylow (d’ordre
8) et toujours quatre 3-Sylow (d’ordre 3).
On peut montrer que de tels sous-groupes existent toujours. C’est l’objet
des deux théorèmes qui suivent.
Théorème 67 : Soit G un groupe …ni dont l’ordre est divisible par p: Alors
il existe un p-sous-groupe de Sylow dans G:
Théorème 68 : Soit G un groupe …ni dont l’ordre est divisible par p: Il
véri…e alors les propriétés suivantes
1) Si H est un p-sous-groupe de G; il est contenu dans un p-sous-groupe
de Sylow.
2) Tous les p-sous-groupes de Sylow sont conjugués.
3) le nombre des p-Sylow est congru à 1 mod p et divise (G : 1):
Application : Soit G un groupe d’ordre pq où p et q sont des nombres
premiers distincts. Si q n’est pas congru à 1 mod p; G possède un unique
sous-groupe d’ordre p; qui est donc distingué. On peut alors véri…er qu’on
est dans le cadre de la proposition 38, et donc G est un produit semi-direct.
Si de plus p n’est pas congru à 1 mod q; G est cyclique d’après le théorème
chinois. Par exemple, il n’y a qu’un seul groupe d’ordre 15.
Exercice 37 : Montrer qu’un groupe d’ordre 2p est diédral ou cyclique si p
est premier.
Exercice 38 : On suppose (G : 1) = 30: Montrer que G possède un 3-Sylow
ou un 5-Sylow distingué. En déduire que G possède un sous-groupe d’ordre
15 (produit direct des sous-groupes en question), puis qu’il est cyclique ou
produit semi-direct de Z=15Z et Z=2Z (appliquer la proposition 38)
Exercice 39 : Soit C le corps des nombres complexes, i (resp. j) désignant
comme d’habitude la racine 4-ième (resp. 3-ième) de 1 qui se trouve dans le
demi-plan supérieur. Soit G le sous-groupe de GL(2; C) engendré par
a=
0 i
i 0
et
29
b=
j 0
0 j2
:
a) Montrer que l’ordre de a est 4, celui de b est 3 et a 1 ba = b2 :
b) Montrer que le sous-groupe engendré par b est distingué dans G:
c) Montrer que tout élément de G s’écrit sous la forme ah bk avec 0 h
3 et 0 k 2: En déduire que G est d’ordre 12.
d) Montrer que G possède un seul 3-Sylow
e) Montrer que le sous-groupe engendré par a n’est pas distingué et en
déduire que G possède trois 2-Sylow que l’on déterminera.
Exercice 40 : (preuve du premier théorème de Sylow : existence, si p divise
(G : 1); d’un p-sous-groupe de Sylow)
On raisonne par récurrence sur l’ordre du groupe G; la preuve étant claire
pour (G : 1) = p:
a) Prouver le résultat dans le cas où G possède un sous-groupe propre (i.e.
6= G) dont l’indice est premier à p:
b) Si ce n’est pas le cas, utiliser la formule des classes pour montrer que
G possède un centre non trivial.
c) En prenant un élément d’ordre p dans Z(G); construire un groupe
quotient de G auquel on peut appliquer l’hypothèse de récurrence.
d) Conclure en ramenant dans G, par image réciproque, le sous-groupe de
Sylow ainsi obtenu.
Exercice 41 : Soit G un groupe d’ordre 42.
a) Montrer que G possède un sous-groupe H distingué d’ordre 7.
b) En utilisant la surjection canonique G ! G=H; montrer que G possède
un unique sous-groupe d’ordre 21.
Exercice 42 : Soit G = fg 2 O(2; R) j g(P ) = P g le sous-groupe des isométries conservant le carré P (polygone régulier à 4 côtés, associé au sousensemble f1; i; 1; ig des racines quatrièmes de l’unité dans C):
1) Montrer que G opère sur l’ensemble S = fA; B; C; Dg constitué des
sommets de P; ce qui permet d’identi…er G à un sous-groupe de S4 .
2) En exhibant un élément de S4 qui n’est pas dans G; montrer que G 6=
S4 .
3) Montrer de même que (G : 1) 6= 12 et en déduire que G est un sousgroupe de S4 d’ordre au plus égal à 8.
4) A l’aide de considérations géométriques, déterminer les g 2 G véri…ant
g(A) = B; en indiquant la nature des transformations qu’ils représentent,
leur ordre respectif et leur signature lorsqu’ils sont vus comme éléments de
S4 :
5) Soit H = fg 2 O+ (2; R) j g(P ) = P g le sous-groupe des isométries
positives conservant le carré P: Montrer que H est un sous-groupe cyclique à
4 éléments de G, que (G : 1) = 8; en…n que G ' D4 :
30
6) G possède t-il d’autres sous-groupes d’ordre 4 ? Sont-ils isomorphes à
H?
7) S4 possède t-il d’autres sous-groupes d’ordre 8 et si oui, sont-ils isomorphes à G ?
Exercice 43 : Le but de cet exercice est de montrer que les seuls groupes
non commutatifs d’ordre 12 sont A4 ; D6 et Q3 :
On note donc G un tel groupe, n2 (resp. n3 ) le nombre de ses 2-Sylow
(resp. 3-Sylow).
a) Montrer que 4 cas sont à étudier
A
B
C
D
:
:
:
:
n2
n2
n2
n2
= n3 = 1
= 3 et n3 = 4
= 1 et n3 = 4
= 3 et n3 = 1
On va montrer que seuls les deux derniers cas conduisent aux solutions.
b) Montrer que dans le cas A, G ' H K; où H désigne le seul 2-Sylow
de G (resp. K le seul 3-Sylow de G) et qu’il en résulte que G est commutatif.
c) Montrer que le cas B conduit à une impossibilité (en comptant par
exemple les éléments d’ordre 3).
d) Dans le cas C, montrer qu’il existe un sous-groupe H et une suite
exacte
1 ! H ! G ! G=H ! 1
avec G=H ' Z=3Z:
e) Montrer que si K désigne un 3-Sylow de G; il constitue un relèvement
de G=H . En déduire que G ' H o K.
f) Dans le cas où H ' Z=4Z; on pose H = f1; a; a2 ; a3 g et K = f1; b; b2 g :
Montrer que b 1 ab = a ou a3 ; et que cela conduit dans les 2 cas à une
impossibilité.
g) En conclure que G ' (Z=2Z)2 o Z=3Z ' A4 :
h) Dans le cas D, on peut considérer la suite exacte
1 ! K ! G ! G=K ! 1
avec G=K ' Z=4Z ou (Z=2Z)2 : Par un raisonnement identique à celui qui a
été utilisé plus haut, montrer que G possède trois 2-Sylow isomorphes, suivant
le cas, à Z=4Z ou (Z=2Z)2 :
i) Si G possède un sous-groupe H isomorphe à Z=4Z; posons
H = f1; a; a2 ; a3 g et K = f1; c; c2 g. Montrer que G est engendré par a et
c et en examinant l’action de H sur K; que
ca = ac2
et
31
c2 a = ac:
j) En déduire que
G = 1; a; a2 ; a3 ; c; c2 ; ac; a2 c; a3 c; ac2 ; a2 c2 ; a3 c2
avec G ' Z=3Z o Z=4Z (ce groupe est noté Q3 ):
k) Si G possède un sous-groupe H isomorphe à (Z=2Z)2 ; on pose
H = f1; x; y; zg et K = f1; d; d2 g. Montrer que si
1
xdx
=d
et
ydy
1
= d;
l’action de H sur K est triviale et G ' H K; solution à rejeter.
l) Il existe donc 2 des 3 éléments x; y; z, disons x et y; tels que
xdx
1
= d2
et
ydy
1
= d2 ;
ce qui montre que le sous-groupe L engendré par x et d est isomorphe à D3 :
m) Montrer que L est distingué dans G et que z 2
= L: En déduire que
f1; zg est un relèvement de G=L:
n) Montrer que le produit D3 o f1; 1g est direct.
o) En…n, véri…er que ce produit est engendré par 2 éléments, un d’ordre
6 et un d’ordre 2, dont le produit est d’ordre 2. Conclure que G ' D6 ; ce qui
achève la démonstration.
Exercice 44 : On se propose d’étudier les sous-groupes …nis G inclus dans
O+ (3; R):
Soit S = fx 2 R3 j kxk = 1g et g 6= 1 un élément de O+ (3; R): Puisque 1
est valeur propre, le sous-espace propre étant de dimension 1, on peut considérer x 2 S tel que V (1) = Rx: Il est clair que g possède 2 (et 2 seulement)
points …xes dans S : x et x: En particulier si g 2 O+ (3; R) possède 3 points
…xes distincts dans S; c’est que g = 1:
On a évidemment, pour x 2 S
g 2 O+ (3; R) j g(x) = x ' U
où U désigne le cercle unité dans C (en e¤et Rx est l’axe de la rotation et
dans le plan vectoriel orthogonal, celle-ci est donnée par son "angle").
a) On appelle P le sous-ensemble de S formé des points …xes de G ("pôles"
de G): Montrer que G opère sur P: On note k le cardinal de GnP:
b) Pour x …xé dans P; montrer que son stabilisateur Gx est un groupe
cyclique. On note ex son ordre. Véri…er que ex ne dépend que de l’orbite et
qu’on a 2 ex n; où n = (G : 1):Soient GnP = fP1 ; P2 ; :::; Pk g l’ensemble
des orbites et ei la valeur commune des ex pour x 2 Pi :
32
c) Montrer, en évaluant de 2 façons le nombre de couples (g; x) où g 6= 1
appartient à G et où x est un pôle de g; que
n
k
X
(1
ej 1 ) = 2(n
1):
j=1
d) Véri…er que cette relation conduit à un nombre …ni de possibilités
A) k = 2; e1 = e2 = n;
B) k = 3; e1 = 2
avec
n
B1 ) e2 = 2; e3 = ;
2
B2 ) e2 = e3 = 3 et n = 12;
B3 ) e2 = 3; e3 = 4 et n = 24;
B4 ) e2 = 3; e3 = 5 et n = 60:
e) Etude du cas A : montrer que G est cyclique et que les deux orbites
correspondent à celles de deux points diamétralement opposés sur la sphère.
f) Etude du cas B1 : montrer que P3 = fx; yg avec Gx = Gy cyclique
= Gx , prouver que G est le
d’ordre n2 : En écrivant G = Gx [ gGx avec g 2
groupe diédral Dn=2 :
g) Etude du cas B2 : montrer que G agit sur P2 = fx1 ; x2 ; x3 ; x4 g et en
déduire un morphisme : G ! S4 dont l’image est formée de jGj = 12
éléments. Conclure.
h) Etude du cas B3 : montrer que P2 est de la forme
P2 = f x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 g
et que G opère sur P2 considéré comme un ensemble à 4 éléments, d’où un
morphisme de G dans S4 qui à g associe la permutation (g) que g induit
sur P2 : Pour conclure que G ' S4 ; prouver que est injective, c’est-à-dire
que g(f xi g) = f xi g pour tout i implique g = 1:
i) Etude du cas B4 : montrer que P1 peut s’écrire
P1 = f xi j i = 1; 2; :::; 15g :
Montrer que P1 = P11 [P12 [P13 [P14 [P15 , réunion de 5 sous-ensembles à 6 éléments du type f x; y; zg associés à des sous-groupes f1; g; g 0 ; gg 0 = g 0 gg
où g (resp. g 0 ; gg 0 ) a pour pôles x (resp. y; z) et transforme les 2 autres
en leurs opposés. En déduire que G opère sur fP11 ; :::; P15 g :
On appelle H le stabilisateur d’un P1i = f x; y; zg ; montrer que
H ' A4 :
En notant comme ci-dessus le morphisme de G dans S5 mis en évidence, montrer que ker = f1g et que (G) possède 60 éléments. Conclure.
(source : A. Bouvier / D. Richard, Groupes, Hermann 1974)
33
3
Anneaux
3.1
Généralités
Dé…nition 69 : Un anneau est un ensemble A muni de 2 lois
1) (x; y) 7! x + y conférant à A une structure de groupe commutatif,
2) (x; y) 7 ! xy véri…ant
x(yz) = (xy)z
x(y + z) = xy + xz
(x + y)z = xz + yz
(associativité)
(distributivité de la multiplication
par rapport à l’addition).
Un anneau est dit commutatif si la seconde loi l’est, unitaire s’il existe
un élément neutre pour la seconde loi. Sauf mention explicite du contraire,
nous considérerons dans ce qui suit des anneaux commutatifs et unitaires.
Dé…nition 70 : Un corps est un anneau unitaire où tout élément non nul
est inversible pour la seconde loi.
Dé…nition 71 : Un sous-anneau B de l’anneau A est un sous-groupe additif
véri…ant de plus
1 2 B
x; y 2 B =) xy 2 B:
Dé…nition 72 : Un anneau A est dit intègre si
xy = 0 =) x = 0 ou y = 0:
Exemple 73 : Les corps sont des anneaux intègres.
Exemple 74 : M (2; R) n’est pas intègre puisque par exemple
0 1
0 0
1 0
0 0
=
0 0
0 0
:
Les deux éléments du membre de gauche sont appelés des "diviseurs de
zéro".
Dé…nition 75 : Un idéal I de l’anneau A est un sous-groupe additif possédant de plus la propriété suivante
a 2 A et x 2 I =) ax 2 I:
34
Si A n’est pas commutatif, on a les notions d’idéal à gauche, à droite et
bilatère.
A lui-même et f0g sont des idéaux (dits triviaux). Un corps n’en a pas
d’autre et ceci caractérise les corps parmi les anneaux.
Exemple p
76 : Soient I et J deux idéaux d’un anneau A, alors I \ J;
I + J; IJ; I sont des idéaux, de même que Ax pour tout x 2 A: On a
noté
(
)
n
X
IJ =
z2Ajz=
xi yi avec xi 2 I; yi 2 J pour un n > 0 ;
p
i=1
n
I = fx 2 A j x 2 I pour un n > 0g :
Exercice 45 : Soient A un anneau commutatif unitaire, I et J deux idéaux
de A:
p
a) Montrer que IJ et I sont des idéaux de A puis les égalités suivantes
p
p
p
p
IJ = I \ J = I \ J:
p
p
p
b) p
Que vaut 2Z ? 4Z ? Et plus généralement pn Z pour p premier,
en…n nZ pour n entier quelconque ?
Dé…nition 77 : Une application f d’un anneau A vers un anneau A0 est
appelée morphisme si elle véri…e
f (x + y) = f (x) + f (y);
f (xy) = f (x)f (y);
f (1) = 1:
Le noyau d’un morphisme est un idéal, plus généralement, il en de même
de l’image réciproque d’un idéal. L’image d’un idéal n’en est pas un en général, mais c’est vrai si le morphisme est surjectif.
Si I est un idéal de A; A=I peut être muni d’une structure d’anneau :
c’est le quotient de A par la relation d’équivalence
xRy , x
y 2 I:
Les opérations sont dé…nies de telle sorte que l’application canonique soit un
morphisme, d’où l’unicité de cette structure :
x + y = x + y;
x:y = xy:
35
Remarquer que pour valider la seconde opération, on a bien besoin de la
notion d’idéal car
xy
x0 y 0 = x(y
y 0 ) + y 0 (x
x0 ) 2 I si x
x0 2 I et y
y 0 2 I:
Exemple 78 : Les idéaux de Z sont les nZ avec n 2 N et ceux de K [X] (où
K est un corps) les (f (X)) = f (X)K [X] ; ce qui donne les anneaux-quotients
Z=nZ et K [X] =(f (X)):
Le schéma de factorisation canonique s’applique encore, mutatis mutandis : si f : A ! B est un morphisme et I un idéal de A inclus dans ker f;
alors on peut factoriser f en f p où p désigne le morphisme canonique
A ! A=I et f un morphisme de A=I dans B: De plus f est injectif si et
seulement si I = ker f et surjectif si et seulement si f l’est.
Exemple 79 : Les isomorphismes canoniques de groupes (concernant Z=nZ)
vus précédemment, sont en fait des isomorphismes d’anneaux.
Dé…nition 80 : Un idéal p est dit premier si
xy 2 p =) x 2 p ou y 2 p:
On peut dire de façon équivalente : p est premier si et seulement si l’anneau
quotient A=p est intègre.
Dé…nition 81 : Un idéal m est dit maximal s’il n’existe aucun idéal I de A;
autre que A lui-même, contenant strictement m:
Proposition 82 : Soit I un idéal de l’anneau A; alors I est maximal si et
seulement si A=I est un corps.
= I:
Preuve : Si I est maximal et que x 6= 0 dans le quotient, c’est que x 2
Alors l’idéal I + Ax contient strictement I et par suite est égal à A: D’où un
y 2 A et un z 2 I véri…ant z + xy = 1 ce qui montre que x est inversible
dans A=I: Réciproquement si J est un idéal contenant I strictement, on peut
considérer un x 2 J I: Son image x est alors inversible dans A=I; on en
déduit l’existence d’un y 2 A tel que xy 1 2 I; ce qui permet d’a¢ rmer
que 1 2 J et donc que J = A:
Corollaire 83 : Tout idéal maximal est premier.
36
Exercice 46 : (autre démonstration du même résultat). Soient A un anneau
commutatif unitaire, I un idéal de A, et la surjection canonique de A sur
son quotient A=I.
a) Montrer qu’il existe une bijection entre les idéaux de A contenant I et
les idéaux de A=I.
b) Montrer qu’un anneau commutatif unitaire est un corps si et seulement
si ses seuls idéaux sont (0) et lui-même.
c) Déduire de 1) et 2) une démonstration du fait que l’idéal I est maximal
si et seulement si le quotient A=I est un corps.
Exercice 47 : Soit K un corps et le morphisme de Z dans K donné par
(n) = |1 + {z
::: + 1}: Si ker = f0g ; on dit que le corps K (forcément in…ni !)
n fois
est de caractéristique 0, c’est le cas de Q; R ou C:
a) Si K est …ni, montrer que ker 6= f0g. En posant alors ker = pZ;
montrer que p est premier et que le nombre d’éléments de K est une puissance
de p (constater que K peut être considéré comme un espace vectoriel sur Fp ;
forcément de dimension …nie).
b) Montrer que dans un corps K de caractéristique p; on a, pour tous x; y
de K et tout entier n :
n
n
n
(x + y)p = xp + y p :
Exercice 48 : Soit n un entier positif. On appelle (n) le nombre d’entiers,
compris entre 1 et n 1, qui sont premiers avec n ( est appelée la fonction
indicatrice d’Euler).
a) Montrer que (n) est égal au nombre d’éléments inversibles de l’anneau
Z=nZ ou également au nombre de générateurs du groupe additif Z=nZ.
b) Montrer que pour un nombre premier p
(pk ) = pk
pk
1
et que pour des entiers m et n premiers entre eux
(mn) = (m) (n):
En déduire que, pour un entier positif n
(n) = n(1
1
)::::::(1
p1
où p1 ; :::::; pr sont les facteurs premiers de n.
37
1
)
pr
c) Montrer que Z=nZ possède pour tout diviseur d de n, un unique sousgroupe Cd d’ordre d. On note d l’ensemble des générateurs de Cd : Montrer
que le groupe Z=nZ est réunion disjointe des d et en déduire que l’on a
X
n=
(d):
djn
d) Application : soit G un groupe …ni d’ordre n tel que pour tout diviseur
d de n, l’ensemble des x 2 G tels que xd = 1 a au plus d éléments. Alors
G est cyclique (montrer que le nombre d’éléments d’ordre d dans G est 0 ou
(d); puis qu’il ne peut être nul en raison de la question précédente, conclure
avec d = n).
Cas particulier important : le groupe multiplicatif d’un corps …ni est cyclique, par exemple
(Z=pZ) 'Z=(p 1)Z
pour tout nombre premier p.
Application : trouver un générateur de (Z=pZ) pour p = 19:
Exercice 49 : Soit p un nombre premier. On note
o
na
2 Q j b n’est pas divisible par p
Zp =
b
a) Montrer que Zp est un sous-anneau de Q.
b) Pour tout x 2 Q; prouver que soit x soit x 1 appartient à Zp .
c) Montrer que les seuls sous-anneaux de Q contenant Zp sont Zp et Q.
d) Montrer que tout idéal I de Zp est engendré par pn pour un unique
entier n 0:
e) Pour tout x 2 Q non nul, prouver qu’il existe un unique n 2 Z tel que
x = pn u;
où u est un élément inversible de l’anneau Zp :
f) Pour tout x 2 Q non nul, on pose vp (x) = n; où n est l’entier de la
question précédente. On convient que vp (0) = +1 avec les règles usuelles.
Montrer que l’on a
vp (xy) = vp (x) + vp (y)
vp (x + y)
Min (vp (x); vp (y))
quels que soient x et y dans Q et que Zp est l’ensemble des x 2 Q tels que
vp (x) 0:
g) Montrer que l’intersection des sous-anneaux Zp de Q associés à tous
les nombres premiers p est l’anneau Z des entiers rationnels.
38
Exercice 50 : Soient K un corps commutatif et A un sous-anneau de K:
On dit que A est un anneau de valuation de K si A 6= K et si l’on a
x2A
ou
x
1
2A
pour tout x 2 K non nul.
a) Montrer qu’alors les éléments non inversibles de A forment un idéal m
de A et que tout idéal de A di¤érent de A, est contenu dans m; de sorte que
m est l’unique idéal maximal de A:
b) On appelle valuation discrète de K toute fonction v dé…nie sur K dont
les valeurs sont des entiers rationnels ou le symbole +1; et véri…ant
v(0) = +1;
v(x) 2 Z si x 6= 0;
v(xy) = v(x) + v(y) pour tous x; y 2 K;
vp (x + y)
Min (vp (x); vp (y)) pour tous x; y 2 K:
On suppose v non triviale, i.e. v(K) ne se réduit pas à 0 et +1: Montrer que
l’ensemble A des x 2 K tels que v(x) 0 est un anneau de valuation de K;
et que l’idéal maximal m de A est l’ensemble des x 2 K tels que v(x) > 0: On
choisit un élément 2 m tel que v( ) soit minimum. Montrer que m = A
et que tout idéal de A est de la forme A n pour un entier n 0:
Exercice 51 : On admet le théorème de Krull : tout idéal d’un anneau A,
distinct de A, est contenu dans au moins un idéal maximal de A.
a) Montrer que pour qu’un élément de A soit inversible, il faut et il su¢ t
qu’il n’appartienne à aucun idéal maximal de A.
b) Soit I l’intersection de tous les idéaux maximaux de A. Montrer qu’un
élément a de A appartient à I si et seulement si 1 + ax est inversible pour
tout x 2 A:
3.2
Anneaux principaux
Dé…nition 84 Un anneau A est dit principal s’il est intègre et si tout idéal
de A est de la forme Aa, pour a 2 A (idéal engendré par un seul élément, ou
encore principal).
Remarque : un générateur de l’idéal I est dé…ni à un inversible près, en
e¤et
Ax = Ay =) x = uy avec u 2 A :
Exemple 85 Z; K [X] pour un corps K.
39
La théorie de la divisibilité telle qu’on la connaît dans Z peut être transplantée dans un tel anneau, d’où les notions de pgcd, ppcm, éléments premiers
entre eux, lemme de Gauss et décomposition en facteurs "premiers"
Voici un exemple moins trivial, mais il faut d’abord dé…nir ce qu’on appelle A [x] ; où A est un anneau, et a un élément d’un sur-anneau B de A :
c’est par dé…nition le plus petit sous-anneau de B contenant A et x ("sousanneau engendré" par A et x): On peut le voir comme l’intersection des
sous-anneaux de B contenant A et x et montrer que c’est l’ensemble des
"polynômes" en x à coe¢ cients dans A:
On peut maintenant montrer que le sous-anneau Z [i] de C est principal. On commence par dé…nir la norme d’un élément x = a + ib; c’est
N (x) = a2 + b2 ; évidemment multiplicative. Si I désigne un idéal de Z [i] ;
on peut considérer dans I un élément de plus petite norme, notons le x:
Soit maintenant y 2 I; on peut considérer l’élément y=x de C et constater
géométriquement qu’il existe un z 2 Z [i] véri…ant
p
2 2 1
y
z) (
) = ;
N(
x
2
2
d’où
y
z) < N (x):
x
L’élément y xz étant dans I; il ne peut être que nul sinon cela contredirait le caractère minimal de N (x):
N (y
xz) = N (x)N (
Exercice 52 : Montrer que Z [X] n’est pas principal (considérer l’idéal engendré par 2 et X pour montrer par l’absurde que 2 serait alors inversible
dans Z); plus généralement la même démonstration permet de montrer que
A [X] est principal si et seulement si A est un corps.
3.2.1
Divisibilité
L’anneau A sur lequel on travaille est supposé principal.
Dé…nition 86 : Si x et y sont tels que x = uy avec u 2 A ; on dit que x et
y sont associés.
Dé…nition 87 : On dit que x divise y si Ay
z 2 A:
Ax; ou encore y = xz avec
Dé…nition 88 : On dit que x est irréductible s’il n’est pas inversible et si
ses seuls diviseurs sont les inversibles et les associés.
40
Autrement x est irréductible si et seulement si
x = yz =) y 2 A
ou z 2 A :
Remarque : le "ou" est ici exclusif, un inversible n’étant pas irréductible.
Exercice 53 : On note Z [j] = fa + bj j a; b 2 Zg. On appelle norme de
l’élément z = a + bj l’entier zz = a2 + b2 ab:
a) Déterminer le sous-ensemble des éléments inversibles de Z [j] :
b) A l’aide de considérations géométriques comme dans le cas des entiers
de Gauss, monter que Z [j] est principal.
c) Montrer que
= 1 j est un élément irréductible et que 2
3
( signi…e associé, i.e. ne di¤érant que par un inversible)
d) Montrer que
(mod ) =)
3
3
(mod 3 ):
e) Montrer qu’il y a exactement 3 classes de congruence modulo ; à
savoir les classes de 0,1,-1.
f) Montrer que si 2 Z [j] n’est pas multiple de (dans l’anneau), alors
3
1 (mod
4
):
Exercice 54 : Soient A un sous-anneau de C, z un élément de C et A [z] le
sous-anneau de C engendré par A et z. On considère n 2 Z non carré dans
Z et ! 2 C tel que ! 2 = n: On pose
N (a + b!) = a2
nb2
pour a et b dans Q.
a) Montrer que N (xy) = N (x)N (y) pour x et y dans Q [!] ; puis que Q [!]
est un corps, en…n que x 2 Z [!] est inversible si et seulement si N (x) = 1:
b) En utilisant l’idéal (2; n + !) dans Z [!] et le fait que (n + !)(n !)
soit pair (à véri…er !), montrer que
si 2 est irréductible dans Z [!] ; cet anneau n’est pas principal,
si 2 est réductible dans Z [!] ; alors il existe x 2 Z [!] tel que
jN (x)j = 2:
c) Montrer que si n
3 ou n 1(4); Z [!] n’est pas principal.
d) On suppose maintenant que n 2 f 2; 1; 2; 3g : Montrer que pour tout
x 2 Q [!] ; il existe z 2 Z [!] tel que jN (x z)j < 1: En déduire que pour
tout couple ( ; ) de Z [!] ; non nul, il existe q et r dans Z [!] tels que
= q+r
et jN (r)j < jN ( )j:
En conclure que Z [!] est principal.
41
Dé…nition 89 : On appelle pgcd des éléments x1 ; :::; xn de A; un générateur
(donc dé…ni à un inversible près), de l’idéal Ax1 + Ax2 + :::: + Axn :
Si d est un tel générateur, il existe donc a1 ; ::::; an dans A tels que
d = a1 x1 + ::::: + an xn :
Dé…nition 90 : Les éléments x1 ; :::; xn de A sont dits premiers entre eux
s’ils admettent 1 comme pgcd.
Dé…nition 91 : On appelle ppcm des éléments x1 ; :::; xn de A; un générateur
(donc dé…ni à un inversible près), de l’idéal Ax1 \ Ax2 \ :::: \ Axn :
Proposition 92 : Si A est un anneau principal et x un élément non nul de
A; les conditions suivantes sont équivalentes
i) x est irréductible,
ii) Ax est maximal,
iii) Ax est premier.
Preuve : Montrons que i) implique ii) : Soit I = Ay un idéal contenant
Ax: On en déduit qu’il existe a 2 A tel que x = ay; donc (puisque x est
irréductible), soit a est inversible, auquel cas y 2 Ax et I = Ax; soit y est
inversible et I = A:
On sait déjà que ii) entraîne iii). Reste à voir que iii) implique i) : En
e¤et, si x = yz; alors soit y; soit z est dans l’idéal Ax; disons y: On en déduit
(A étant intègre) que z est inversible.
Les idéaux premiers ou maximaux dans un anneau principal sont donc
les Ax où x est irréductible. On peut maintenant donner l’analogue de la
propriété bien connue des nombres premiers dans l’anneau Z :
Corollaire 93 : Si un élément irréductible x divise un produit yz; alors x
divise y ou bien z:
Ceci exprime le fait qu’un idéal engendré par un élément irréductible, est
premier.
Proposition 94 ("lemme de Gauss") : Soient x et y deux éléments de A et
d un diviseur du produit xy: Si d est premier avec x; alors d divise y:
Preuve : Il existe u et v dans A tels que ud + vx = 1, d’où y = yud + vxy
est divisible par d:
42
Décomposition en facteurs premiers Nous aurons besoin de la notion
suivante :
Dé…nition 95 : Soit F une famille d’idéaux d’un anneau A et I un élément
de F: On dit que I est extrémal si
(J 2 F et I
J) =) I = J:
Lemme 96 : Si A est principal, toute famille F non vide d’idéaux de A
possède un élément extrémal.
Preuve : Par l’absurde, puisque F est non vide, on peut choisir I1 2 F; et
comme il n’est pas extrémal, il est strictement contenu dans un idéal I2 2 F;
non extrémal lui aussi et ainsi de suite, ce qui permet de construire une suite
d’idéaux de A; strictement croissante. Or ceci est impossible dans un anneau
principal, en e¤et on peut considérer la réunion des idéaux de la suite, en
prendre un générateur, mais celui-ci est dans un certain In et il est alors facile
de voir que la suite stationne à partir de l’indice n:
Proposition 97 : Dans un anneau principal A; tout élément x 6= 0 s’exprime comme produit ux1 x2 ::::xn où u est inversible et les xi irréductibles.
Preuve : Soit S la famille des idéaux de A dont un générateur n’admet pas de
factorisation. Si S est non vide, il admet un élément extrémal I dont on peut
considérer un générateur a: Celui-ci ne peut être irréductible car il admettrait
une factorisation. On peut donc écrire a = bc, les idéaux engendrés par b et
c n’étant pas dans S au vu du caractère extrémal de I: Ils admettent donc
chacun une factorisation et les deux réunies procurent une factorisation de
a: Contradiction et S ne peut être que vide.
Théorème 98 : Dans un anneau principal A; tout élément admet une décomposition unique en produit de facteurs irréductibles.
Par unicité de la décomposition, on entend la propriété suivante : si un
élément x admet deux décompositions
x = p01 :::::p0m = p001 :::::p00n ;
en facteurs irréductibles, c’est que m = n et qu’il existe une permutation
de f1; 2; ::::; ng telle que p0i et p00 (i) soient associés, pour tout i n:
Preuve : p01 est irréductible et divise le produit p001 :::::p00n ; il divise donc l’un
des p00j : Il en résulte que p01 et p00j sont associés et qu’en simpli…ant par p01 ; on
aboutit visiblement à une égalité du type
p02 :::::p0m = up001 :::::p00n =p00j :
43
On pose alors (1) = j et on reprend avec p02 ....
Notation : pour x 2 A; on note sa décomposition sous la forme
x=u
Y
pvp (x)
p2P
où P désigne l’ensemble des éléments irréductibles de A et vp (x) le nombre
de fois que p intervient dans la décomposition de x: Bien noter que cet entier
est nul sauf pour un nombre …ni d’irréductibles p (on dit que les vp (x) sont
presque tous nuls).
Exercice 55 : On veut montrer que l’équation
x3 = y 2 + 1
a pour seule solution dans Z : x = 1 et y = 0:
a) Montrer d’abord que y est nécessairement pair.
b) Ensuite, on se place dans Z [i] en écrivant l’équation sous la forme
x3 = (y + i)(y
i):
Montrer alors que (y + i) et (y i) n’ont pas de facteur commun dans Z [i]
et en déduire que ces deux nombres sont des cubes.
c) En écrivant
y + i = (a + ib)3
avec a et b dans Z, en conclure que y = 0.
d) En résolvant de la même façon l’équation
x3 = y 2 + 19;
montrer que Z
p
19 n’est pas principal.
Exercice 56 : À partir de l’égalité
p
(1 + i 5)(1
montrer que Z
p
p
i 5) = 2
5 n’est pas principal.
44
3
3.3
3.3.1
Anneaux de polynômes et de séries formelles
Dé…nition de A [[X]]
Partant d’un anneau A; on munit AN d’une structure d’anneau en dé…nissant
(ai ) + (bi ) = (ci )
(ai )(bi ) = (di )
P
où ci = ai + bi et di = k+l=i ak bl :
P
On note l’élément (ai ) sous la forme i 0 ai X i ; qu’on appelle une série
formelle, l’élément X; que l’on peut voir sous la forme (0; 1; 0; ::::), étant
appelé l’indéterminée.
On considère alors le sous-ensemble, noté A [X] ; formé des séries formelles
dont presque tous les coe¢ cients sonts nuls (i.e. tous sont nuls sauf un nombre
…ni d’entre eux). On obtient ainsi un sous-anneau de A [[X]] qui est l’anneau
des polynômes en X à coe¢ cients dans A:
Pour un polynôme P; on dé…nit son degré deg(P ) comme le plus grand
entier n tel que le coe¢ cient an soit di¤érent de 0:
Pour une série formelle S, on dé…nit sa valuation v(S) comme le plus
petit entier n tel que an 6= 0:
Proposition 99 : Si A est intègre, il en est de même des anneaux A [[X]]
et A [X] :
Exercice 57 : Soit A un anneau commutatif. Prouver les résultats suivants :
a) Pour qu’un élément f 2 A [[X]] soit inversible, il faut et il su¢ t que
son terme constant le soit dans A.
b) Calculer l’inverse de 1 X dans A [[X]] :
Exercice 58 : Soient A un anneau commutatif unitaire, I et J deux idéaux
de A, et la surjection canonique de A sur son quotient A=I.
a) Montrer, à l’aide du théorème de factorisation canonique, que
(A=I)= (J) ' A=(I + J)
b) En appliquant ceci aux idéaux engendrés dans Z [X] par le nombre
premier p de Z et le polynôme X 2 + 1; en déduire que
B=pB ' Z [X] =(p; X 2 + 1) ' Fp [X] =(X 2 + 1)
45
où l’on note B l’anneau des entiers de Gauss Z [i] : (Pour le dernier isomorphisme, on pourra considérer l’homomorphisme de Z [X] sur Fp [X] =(X 2 +1)
via Fp [X] par la réduction des polynômes modulo p).
c) On note
S = n 2 N / n = a2 + b2 avec (a; b) 2 N2 :
Pour un nombre premier p de Z, montrer que les propriétés suivantes sont
équivalentes
i) p est irréductible dans B = Z[i].
ii) p 3 mod 4:
iii) p 2
= S:
d) En déduire que les éléments irréductibles de B = Z[i] sont
- les p 3 mod 4;
- les a + ib de norme a2 + b2 premier dans Z.
e) (Preuve du théorème des 2 carrés) On note vp (n) l’exposant du nombre
premier p dans la décomposition de l’entier n en facteurs premiers. Montrer
que, pour n 2
vp (n) pair pour tout p
3 mod 4 ) n 2 S:
f) Par récurrence sur n, prouver la réciproque (en considérant un facteur
p 3 mod 4 et en montrant que nécessairement p2 divise n):
Exercice 59 : Dans l’anneau B = Z [i] ; décomposer en facteurs irréductibles les éléments 9 + i; 11 + 2i (utiliser l’exercice précédent).
3.3.2
Dé…nition de A [X1 ; X2 ; ::; Xn ]
Substituant l’anneau A [X] à l’anneau A ci-dessus, on peut recommencer l’opération de construction de l’anneau de polynômes, cette fois en une
indéterminée Y: L’anneau obtenu, noté A [X] [Y ], est formé des éléments
f=
X
fj (X)Y j
j 0
où fj (X) est le polynôme nul pour presque tout j:
On a aussi, puisque l’anneau obtenu est commutatif
f=
X
gi (Y )X i ;
i 0
46
ce qui montre que A [X] [Y ] = A [Y ] [X] ; que l’on note …nalement A [X; Y ] ;
ce qui correspond à l’écriture
XX
f=
aij X i Y j :
i
j
On appelle degré total de f le plus grand des entiers i + j pour lequel
aij 6= 0:
En regroupant les monômes aij X i Y j pour lesquels i + j a une valeur
constante, on obtient la décomposition (évidemment unique) du polynôme f
en ses composantes homogènes
f = h0 + h1 + ::: + hn ;
hk étant homogène de degré k; c’est-à-dire de la forme
X
hk =
aij X i Y j
i;j
avec aij = 0 si i + j 6= n:
La construction qui précède se généralise à un nombre quelconque d’indéterminées, pour obtenir l’anneau noté A [X1 ; X2 ; ::; Xn ] :
3.3.3
Dérivations et formule de Taylor
Dé…nition 100 : Si A est un anneau, on appelle dérivation de l’anneau A
toute application D : A ! A véri…ant, pour tous x; y de A
1) D(x + y) = D(x) + D(y);
2) D(xy) = D(x)y + xD(y):
Les propriétés suivantes sont immédiates
D(1) = 0;
D(xn ) = nxn 1 D(x);
la première s’obtenant en faisant y = 1 dans (2), puis x = 1; la seconde par
récurrence.
Théorème 101 : Il existe une et une seule dérivation sur A [X] telle que
D = 0 sur A et D(X) = 1:
Corollaire 102 : Il existe une et une seule dérivation sur A [X; Y ] ; notée
DX ; telle que DX = 0 sur A [Y ] et DX (X) = 1:
47
C’est la dérivation partielle par rapport à X; on dé…nit de même la dérivation partielle par rapport à Y:
Théorème 103 : Pour un polynôme f de degré n; on a
f (X + Y ) = f (X) + f 0 (X)Y + f2 (X)Y 2 + ::: + fn (X)Y n
avec k!fk (X) = f (k) (X) pour 2
k
n:
Preuve : On écrit le polynôme à 2 variables f (X + Y ) en l’ordonnant par
rapport à Y; et on dérive cette égalité k fois par rapport à Y; pour substituer
ensuite Y à 0 et obtenir la relation donnant f (k) (X):
Corollaire 104 : Si A = K est un corps de caractéristique 0, on a
f (X + Y ) =
n
X
f (k) (X)
k=0
3.3.4
Yk
:
k!
Racines et ordre de multiplicité
On rappelle que a 2 A est racine de f 2 A [X] si f (a) = 0:
Proposition 105 : Pour que a 2 A soit racine de f 2 A [X] ; il faut et il
su¢ t que f soit divisible par X a:
Dé…nition 106 : Si a 2 A est racine de f 2 A [X] ; on dit que a est de
multiplicité (ou d’ordre) r si r est le plus grand entier tel que f soit divisible
par (X a)r :
Proposition 107 : Soit K un corps de caractéristique 0. Pour que a 2 K
soit racine d’ordre r de f 2 K [X] ; il faut et il su¢ t que f (a) = f 0 (a) =
::::: = f (r 1) (a) = 0 et f (r) (a) 6= 0:
3.3.5
Division euclidienne
Théorème 108 : Soient A un anneau et g un polynôme unitaire de A [X] :
Pour tout f 2 A [X] ; il existe un couple unique (q; r) de polynômes de A [X]
véri…ant
f = gq + r et deg(r) < deg(g):
Remarque : On peut supposer plus généralement que le coe¢ cient du
terme de plus haut degré de g est inversible dans l’anneau A:
48
Corollaire 109 : Si K est un corps commutatif, K [X] est un anneau principal.
Exercice 60 : Pour tout entier n
d’indice n le polynôme
n (X)
1; on appelle polynôme cyclotomique
= (X
1 ):::::(X
(n) )
où 1 ; :::::; (n) sont les générateurs du groupe des racines nièmes de l’unité
dans le corps C (on dit de ces racines qu’elles sont primitives). Ce polynôme
est a priori à coe¢ cients dans C, mais on va montrer qu’il est en fait dans
Z [X] : On convient de poser 1 (X) = X 1:
a) Montrer que
p (X)
= Xp
1
+ Xp
2
+ ::: + X + 1
si p est premier.
b) Véri…er que 12 (X) = X 4 X 2 + 1:
c) Montrer que pour tout entier n 1; on a
Y
Xn 1 =
d (X):
djn
Véri…er cette relation pour n = 6 en calculant successivement 2 ; 3 ; et 6 :
d) Montrer par récurrence sur n que n (X) 2 Z [X] : (Utiliser la division
euclidienne dans Z [X] de X n 1 par
Y
n (X) =
d (X):
djn
d6=n
Exercice 61 : a) Montrer qu’il existe une et une seule fonction sur l’anneau Z (fonction de Möbius), à valeurs dans N; véri…ant la relation
X
1 si n = 1
0 si n > 1
(d) =
djn
(la somme étant étendue aux diviseurs d de n tels que 1
b) Montrer qu’on a
(1) = 1
(p) =
1 si p est premier
r
(p ) = 0 si p est premier et r
49
d
2:
n):
c) Montrer qu’on a
(mn) = (m) (n)
si m et n sont premiers entre eux
(indication : utiliser, en le justi…ant, le fait que si m et n sont premiers entre
eux, tout diviseur de mn s’écrit d’une façon et d’une seule comme produit
d’un diviseur de m et d’un diviseur de n; raisonner alors par récurrence en
supposant le résultat déjà établi pour les couples m0 ; n0 tels que m0 n0 < mn):
d) Déduire des résultats précédents que si n > 1 :
(n) =
( 1)r si n est produit de r facteurs premiers distincts
0 si n est divisible par le carré d’un nombre premier.
e) Soit f une fonction dé…nie sur les entiers
1, à valeurs dans un
groupe additif A: On dé…nit une nouvelle fonction g en posant
X
g(n) =
f (d):
djn
Montrer qu’on a inversement
f (n) =
X
djn
n
g(d) ( ):
d
f) Montrer que les polynômes cyclotomiques (exercice précédent) sont donnés par
Y
n
(X d 1) ( d ) :
n (X) =
djn
3.3.6
Décomposition en facteurs irréductibles
Proposition 110 : Si A est un anneau intègre et f un polynôme de A [X]
de degré n 1; alors f possède au plus n racines dans A:
On s’intéresse plus particulièrement au cas où A = K est un corps commutatif. On peut donc écrire f 2 K [X] sous la forme
f (X) = (X
a1 )r1 ::::(X
ap )rp g(X)
(1)
où a1 ; ::::; ap sont les racines de f dans K; r1 ; :::; rp leur ordre de multiplicité
respectif, et g un polynôme de K [X] qui ne possède aucune racine dans K:
Il est clair que
r1 + ::::rp n = deg(f ):
50
Par ailleurs, tout polynôme de la forme X
X
a est irréductible puisque
a = f g =) deg(f ) + deg(g) = 1;
ce qui signi…e que l’un ou l’autre des 2 polynômes est de degré 0; donc
inversible dans K [X] :
Dé…nition 111 : On dit qu’un corps K est algébriquement clos si tout polynôme f de K [X] ; non constant, possède au moins une racine dans K:
Si tel est le cas, tout polynôme f 2 K [X] s’écrit
f (X) = c(X
a1 )r1 ::::(X
ap )rp
où c 2 K et r1 + ::::rp = deg(f ):
Théorème 112 : Le corps C des nombres complexes est algébriquement
clos.
Preuve : Une démonstration simple de ce résultat fait appel à l’analyse :
c’est une conséquence du théorème de Liouville.
Corollaire 113 : Les éléments irréductibles de C [X] sont les polynômes de
degré 1.
On admettra le résultat suivant, dont la démonstration fait appel fait
appel au théorème de Zorn.
Théorème 114 : Tout corps commutatif K peut être plongé dans un corps
algébriquement clos.
Exercice 62 : Montrer qu’un corps algébriquement clos contient nécessairement une in…nité d’éléments (raisonner par l’absurde).
Connaissant la décomposition des polynômes dans C [X] ; on peut étudier
les éléments irréductibles de R [X] : Plus précisément, on a le résultat suivant
Théorème 115 : Les éléments irréductibles de R [X] sont les polynômes de
degré 1 ainsi que les polynômes de degré 2 de la forme aX 2 + bX + c avec
b2 4ac < 0:
51
Preuve : Noter d’abord que les éléments en question sont bien irréductibles.
On utilise ensuite le fait qu’un polynôme à coe¢ cients dans R qui n’y possède
pas de racine, se décompose en produit d’éléments du second type. En e¤et,
il possède alors une racine dans C; mais aussi sa racine conjuguée puisque
(f (a) = 0 et f 2 R [X]) =) f (a) = 0:
Les polynômes X a et X a étant premiers entre eux dans C [X] (on peut
écrire une égalité de Bézout !), f est divisible (dans C [X]) par le produit
(X
a)(X
)2 +
a) = (X
2
= g(X):
Grâce à la division euclidienne, on peut conclure que le dividende est dans
R [X] : Le résultat s’ensuit d’après (1).
Si f 2 R [X] est de degré n; sa décomposition en facteurs irréductibles
est donc donnée par une formule du type
f (X) = a(X
avec b2j
3.3.7
a1 )r1 ::::(X
ap )rp (X 2 + b1 X + c1 )s1 ::::(X 2 + bq X + cq )sq
4cj < 0 pour j = 1; 2; :::; q et n =
P
1 i p ri
+2
P
1 j q
sj :
Relations entre coe¢ cients et racines d’un polynôme
Soit f (X) = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a0 un polynôme de K [X] dont
nous supposerons qu’il possède exactement n racines dans K; pas forcément
distinctes : 1 ; :::; n : De l’égalité
an X n + an 1 X n
1
+ ::: + a0 = an (X
1 )(X
2 )::::(X
on peut déduire les relations
1
+ ::: +
X
i
n
=
j
=
1 i<j n
X
i1
i2 ::: : ik
1 i1 <i2 <::<ik n
1
2 :::: n
52
an 1
;
an
an 2
;
an
:::::
an k
= ( 1)k
;
an
::::
a0
= ( 1)n
an
n)
Exercice 63 : Soient f et g deux polynômes appartenant à Z [X] et p un
nombre premier qui divise tous les coe¢ cients de f g.
a) Montrer que p divise tous les coe¢ cients de f , ou bien tous ceux de g.
b) On dit qu’un polynôme f 2 Z [X] est primitif si le pgcd de ses
coe¢ cients est 1. Montrer que si f et g sont primitifs, il en est de même
de f g.
c) Pour f 2 Z [X], on note c(f ) le pgcd de ses coe¢ cients. Montrer que
c(f g) = c(f )c(g):
d) Montrer que si f n’est pas irréductible dans Q [X] ; il n’est pas irréductible non plus dans Z [X] :
Exercice 64 (Critère d’Eisenstein) : Soit p un nombre premier divisant tous
les coe¢ cients ai du polynôme
F (X) = X n + an 1 X n
1
+ ::::: + a1 X + a0
appartenant à Z [X] ; mais tel que p2 - a0 :
a) Montrer qu’alors F est irréductible dans Q [X] : (Raisonner par l’absurde et montrer, en utilisant la réduction des polynômes mod p, que cela
fournirait une décomposition de l’image de F dans Fp [X] :::::):
b) En faisant le changement de variable X = Y + 1; appliquer ceci au
polynôme cyclotomique p (X) (p premier) pour montrer qu’il est irréductible.
Exercice 65 : Soit p un nombre premier 3 et G = Fp
p 1
a) Justi…er que pour tout x 2 G : x 2 = 1:
p 1
b) Montrer que si x est un carré dans G; alors x 2 = 1:
c) Montrer que si est un générateur de G, alors n’est pas un carré
dans G:
d) Montrer que dans G; il y a autant de carrés que de non carrés.
e) Montrer que
x carré
x non carré
p 1
() x 2 = 1
p 1
() x 2 = 1
f) Montrer que les carrés forment un sous-groupe G+ à p 2 1 éléments et
que x ! x est une bijection de G+ sur G :
g) On dé…nit, pour x 2 G; et plus généralement pour x non multiple de
p; le “symbole de Legendre”
x
p
=
1 si x carré dans Fp
1 si x non carré dans Fp
53
et on convient de l’étendre à Z en posant xp = 0 pour x multiple de p: En
déduire que
x
y
xy
=
p
p
p
et
p 1
p 1
1
x
x 2 mod p; en particulier
= ( 1) 2 :
p
p
3.3.8
Polynômes symétriques
Soient A un anneau et A [X1 ; ::::; Xn ] l’anneau des polynômes à n indéterminées à coe¢ cients dans A: Le groupe symétrique Sn agit sur A [X1 ; ::::; Xn ]
par
( :P )(X1 ; :::Xn ) = P (X (1) ; :::; X (n) ):
Les polynômes invariants par cette action (i.e. dont l’orbite est réduite à
un seul élément) sont appelés polynômes symétriques.
Il y en a parmi eux qu’on quali…e d’élémentaires, à savoir
X
Xi1 ::::Xik :
k;n =
1 i1 <i2 <::<ik n
La double indexation de fait référence au nombre de variables utilisées,
on la supprime fréquemment quand le contexte est clair.
On peut noter que si Q 2 A [X1 ; ::::; Xn ] ; le polynôme Q( 1 ; ::::; n ) est
également symétrique, car si 2 Sn :
:(P + Q) =
(P Q) =
:P + :Q;
(P ) (Q):
On obtient ainsi tous les polynômes symétriques car
Théorème 116 : Soit P 2 A [X1 ; ::::; Xn ] un polynôme symétrique. Il existe
un polynôme Q 2 A [X1 ; ::::; Xn ] et un seul, tel que
P (X1 ; :::Xn ) = Q(
1 ; ::::;
n ):
Preuve : On procède par une double récurrence pour prouver une assertion
du type Ak;n où k est le degré du polynôme et n le nombre d’indéterminées.
Ak;1 est vraie pour tout k et on va montrer que Ak;n est vraie pour tout
k en supposant Ak;n 1 vraie pour tout k: On montre ceci par récurrence sur
k:
A0;n est vraie et on suppose Ap;n vraie pour p jusqu’à k 1:
54
Soit P un polynôme symétrique de degré k à n variables, P (X1 ; ::::; Xn 1 ; 0)
est symétrique pour l’action de Sn 1 : L’hypothèse de récurrence Ak;n 1 permet donc d’écrire
P (X1 ; :::Xn 1 ; 0) = Q(
1;n 1 ; ::::;
n 1;n 1 ):
On pose alors
P 0 (X1 ; :::Xn ) = P (X1 ; :::Xn )
Q(
1;n ; ::::;
n 1;n ):
Noter que le degré de Q( 1;n 1 ; ::::; n 1;n 1 ) est inférieur ou égal à k et
qu’il en est de même de Q( 1;n ; ::::; n 1;n ) : en e¤et si Q est de la forme
P
rn 1
rn 1
r1
r1
a2Nn aX1 :::Xn 1 ; le monôme aX1 :::Xn 1 procure un monôme de degré r1 + 2r2 + :::: + (n 1)rn 1 dans Q( 1;n 1 ; ::::; n 1;n 1 ) comme dans
Q( 1;n ; ::::; n 1;n ) puisque
deg(
k;n 1 )
= deg(
k;n )
= k:
P 0 est donc un polynôme de degré
deg(P ); symétrique à n variables
puisque Q est un polynôme en les (mais pas tous) polynômes symétriques
élémentaires. De plus, il est nul si on remplace Xn par 0 (ce qui a pour e¤et
de remplacer i;n par i;n 1 dans Q): On en déduit que le coe¢ cient de tout
monôme où Xn n’apparaît pas est nul (ne pas oublier que si un polynôme est
nul, c’est que les coe¢ cients de chacun de ses monômes est nul...).
Soit = (i; n) la transposition échangeant i et n: On a :P 0 = P 0 ; donc
( :P 0 ) (X1 ; :::; Xn 1 ; 0) = P 0 (X1 ; :::; Xn 1 ; 0) = 0
c’est-à-dire
P 0 (X1 ; :::; Xi 1 ; 0; Xi+1 ; :::; Xn ) = 0;
prouvant ainsi que le coe¢ cient de tout monôme où n’apparaît pas Xi est nul.
Finalement, les seuls monômes qui apparaissent dans P 0 sont ceux où tous les
Xi sont présents, ce qui signi…e que P 0 est divisible par le produit de tous les
Xi , à savoir n;n : On écrit donc P 0 = n;n R avec deg(R) < deg(P 0 ) deg(P )
et R symétrique, comme on le constate facilement, même si A n’est pas
supposé intègre : si n;n T = 0 pour un polynôme T 2 A [X1 ; ::::; Xn ] ; c’est
que T = 0:
On termine la démonstration grâce à l’hypothèse de récurrence Ak;n , vraie
pour p < k:
La preuve de l’unicité utilise le même principe pour montrer que si
T 2 A [X1 ; ::::; Xn ] véri…e T ( 1 ; ::::; n ) = 0, c’est que T = 0: Récurrence
double sur n et le degré de T; pour n = 1 c’est évident quelque soit le degré
55
de T , on la suppose vraie jusqu’à n 1 quelque soit deg(T ) et on le prouve
pour n par récurrence sur deg(T ): Il n’y a rien à prouver si le degré est 0
et soit T un polynôme de degré k à n variables tel que T ( 1 ; ::::; n ) = 0:
En substituant 0 à l’indéterminée Xn , on a T ( 1;n 1 ; ::::; n 1;n 1 ; 0) = 0.
Par récurrence sur le nombre de variables : T (X1 ; ::::; Xn 1 ; 0) = 0: Le même
argument que ci-dessus nous dit alors que T est divisible par Xn ; d’où
T(
1 ; ::::;
n)
=
nT
0
(
1 ; ::::;
n)
et on conclut par récurrence sur le degré, celui de T 0 étant strictement inférieur à k:
Exercice 66 (formules de Newton) : Dans A [X1 ; ::::; Xn ] où A est un anneau commutatif, on dé…nit les polynômes symétriques homogènes de degré
k:
n
X
Sk =
Xik :
i=0
a) On utilisera le polynôme P
n
Y
P =
(Y Xi ): Montrer que
2
A [X1 ; ::::; Xn ; Y ] dé…ni par
i=1
n
P =Y +
n
X
(1)k
kY
n k
:
k=1
b) En notant PY0 le polynôme dérivé partiel par rapport à Y; montrer que
PY0
=
n
X
i=1
P
Y
Xi
= nY
n 1
+
n 1
X
( 1)k (n
k)
kY
n k 1
k=1
(noter que l’expression Y PXi désigne un polynôme !).
c) En écrivant P = P P (X1 ; :::; Xn ; Xi ); faire apparaître les quantités
Y a Xia où l’on peut factoriser Y
Xi : E¤ectuer alors la somme sur i et
montrer que la comparaison avec la seconde formule donnant PY0 conduit à
la formule, pour k < n :
Sk
1 Sk 1
+
2 Sk 2
+ :::: + ( 1)k
1
k 1 S1
+ ( 1)k k
k
= 0:
d) Pour k
n; on part de l’expression de P donnée par a) et on écrit
P (X1 ; :::; Xn ; Xi ) = 0: En sommant ensuite sur i; prouver la relation :
Sk
1 Sk 1
+
2 Sk 2
+ :::: + ( 1)n
56
1
n 1 Sk n+1
+ ( 1)n
n Sk n
= 0:
Exercice 67 : Calculer Sk en fonction des
i
pour k
4:
P 2 2
Exercice
68
:
En
e¤ectuant
(
Xi ) , donner une expression de
P
2 2
(pour
n
4):
X
X
j
i
1 i<j n
Exercice 69 : Calculer de même
P
i6=j
57
Xi4 Xj2 à partir des Si , puis des
i: