Résumé du cours dcAlgèbre Générale (L3 Maths)

Résumé du cours d’Algèbre Générale
(L3 Maths)
Yves Driencourt
Printemps 2007
Table des matières
1 Généralités et rappels 3
1.1 Relation d’équivalence, ensemble quotient . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Factorisation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Groupes 4
2.1 Dé…nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Morphismes, noyau, image, produit . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Sous-groupes engendrés, générateurs . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Groupescycliques......................... 7
2.5 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 La structure de groupe de G/H . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Produit simple et semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Exemples de groupes en géométrie :
les isométries du plan et de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9.2 La dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9.3 La dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Groupes de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.11 Groupes opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Sous-groupes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Anneaux 34
3.1 Généralités ............................ 34
3.2 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1

3.3 Anneaux de polynômes et de séries formelles . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Dé…nition de A[[X]] ................... 45
3.3.2 Dé…nition de A[X1; X2; ::; Xn].............. 46
3.3.3 Dérivations et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.4 Racines et ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . 50
3.3.7 Relations entre coe¢ cients et racines d’un polynôme . 52
3.3.8 Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2

Avertissement : le présent résumé de cours s’inspire en partie des livres de
Roger Godement (Cours d’Algèbre, Hermann) et Lionel Schwartz (Algèbre 3ème
année, Dunod). Les étudiants sont renvoyés à ces livres, présents en bibliothèque,
pour de plus amples détails (les démonstrations ne sont pas toujours données ici, ou
di¤èrent de celles données par les auteurs...), ainsi que pour de nombreux exercices
puisés dans ces ouvrages, pour lesquels est souvent donnée, dans le second tout au
moins, une solution abrégée. Les rappels d’algèbre linéaire proviennent du livre de
F. Liret et D. Martinais (Algèbre et Géométrie 2ème année, Dunod), également
présent en bibliothèque.
1 Généralités et rappels
1.1 Relation d’équivalence, ensemble quotient
Dé…nition 1 : Soit Rune relation sur un ensemble E: On dit que Rest
une relation d’équivalence si les conditions suivantes sont remplies
i) xRx8x2E(ré‡exivité)
ii) xRy=)yRx(symétrie)
iii) xRyet yRz=)xRz(transitivité).
Exemple 2 : Si fest une application de Edans un ensemble M:
xRy() f(x) = f(y):
Exemple 3 :E=Z:xRy() xymod n; pour n…xé.
Proposition 4 : Soit Rune relation d’équivalence sur un ensemble E: Il
existe un ensemble Met une application f:E!Mtels que les relations
xRyet f(x) = f(y)soient équivalentes.
Preuve : On pose M=fxjx2Eget on dé…nit fpar f(x) = xoù
x=fy2EjyRxg:
Les classes d’équivalence xforment une partition de Eet on note fré-
quemment M=E=R; f étant appelée l’application canonique de Esur son
quotient par la relation R:
Exemple 5 : En reprenant le dernier exemple :
E=R= "Z=nZ" = 0;1; ::::; n 1:
3

1.2 Factorisation canonique
Théorème 6 : Soient Eun ensemble, Rune relation d’équivalence sur E
et l’application canonique E!E=Ret fune application de Edans un
ensemble X: Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) xRy=)f(x) = f(y);
b) il existe une application f:E=R ! Xtelle que f=f:
Si ces conditions sont réunies, fest unique.
De plus, fest injective si et seulement si : xRy() f(x) = f(y); f est
surjective si et seulement si fl’est.
2 Groupes
2.1 Dé…nitions et généralités
Dé…nition 7 : Un groupe Gest un ensemble muni d’une loi de composition
interne, i.e. une application de GG!G: (x; y)7! xy; véri…ant les
propriétés suivantes
- la loi est associative : x(yz) = (xy)zpour tous x; y; z dans G;
- il existe un élément "neutre" , noté e; pour cette loi : ex =xe =xpour
tout x2G;
- chaque élément xpossède un symétrique x0;véri…ant xx0=x0x=e:
Dé…nition 8 : On dit que le groupe Gest commutatif (ou abélien) si la loi
véri…e de plus : xy =yx pour tous x; y dans G:
Remarque 9 : On note fréquemment de façon multiplicative la loi d’un
groupe quelconque, réservant la notation additive au cas où le groupe est
commutatif. Dans le premier cas, l’élément neutre sera noté eou 1, le sy-
métrique de x:x1(l’inverse) et l’élément xn(n > 0) désignera xx:::x (n
fois). Dans la notation additive, on utilisera plutôt 0pour désigner l’élément
neutre, xpour le symétrique de x(l’opposé) et nx pour x+x+::: +x(n
fois).
Bien noter que pour n > 0toujours, on a (x1)n= (xn)1et donc, pour
tous m; n :xmxn=xmn;en…n x0= 1:
Exemple 10 :Zpour +;Qpour ;Q
+pour ;S(X)(bijections de l’en-
semble Xdans lui-même) pour la loi de composition : (f; g)7! fg:
Dé…nition 11 : Un sous-groupe du groupe Gest un sous-ensemble de G
qui a lui-même une structure de groupe pour la loi induite (ce qui nécessite
évidemment que le sous-ensemble en question soit stable pour cette loi !).
4

En pratique, on utilise la caractérisation suivante : Hest un sous-groupe
de Gsi et seulement si les 2 conditions suivantes sont réalisées
a) H6=?;
b) (x2Het y2H) =)xy12H:
Exemple 12 :nZdans Z; nZ\mZdans Zou dans nZ; nZ+mZdans Z;
R+
dans R:
Concernant Z;on montre facilement (division euclidienne) que tous les
sous-groupes sont de la forme nZ:Noter que nZest aussi le plus petit sous-
groupe de Zcontenant n:
Exercice 1 : Montrer que pour met nentiers
nZ\mZ=ppcm(m; n)Z
nZ+mZ=pgcd(m; n)Z
En déduire le théorème de Bézout.
2.2 Morphismes, noyau, image, produit
Si G1et G2sont deux groupes, notés multiplicativement, un morphisme
de G1dans G2est une application véri…ant f(xy) = f(x)f(y)pour tous
x; y 2G1:On a alors f(1) = 1 et f(x1) = f(x)1:Si G1=G2;on parle
d’endomorphisme, si le morphisme est bijectif, on parle d’isomorphisme, en-
…n pour les morphismes bijectifs de Gdans lui-même, on parle d’automor-
phismes. On note Aut(G)ce dernier ensemble.
Exemple 13 :ln : R
+!Ret exp : R!R +:
Exemple 14 : L’image réciproque d’un sous-groupe de G2par le morphisme
fest un sous-groupe de G1:
Exemple 15 : Si x2G, l’application g7! xgx1est un automorphisme de
Gappelé automorphisme intérieur ou encore conjugaison.
Proposition 16 : Aut(G)est un groupe, pour : (f; g)7! fg.
On appelle noyau de fle sous-ensemble ker f=fx2G1jf(x) = 1gde
G1et image de fle sous-ensemble Im f=fy2G2j 9x2G1avec y=f(x)g
de G2:
5