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1S OPTIMISATION
FRLT Page 1 17/07/2015
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1 ABCD est une plaque rectangulaire de longueur AB = 30 cm et de largueur BC = 20 cm.
On en coupe le coin A en enlevant le triangle AEF défini par ED = AF = x.
1) Exprimer l'aire A(x) de la surface restante (polygone FBCDE) en fonction de x.
2) Pour quelle(s) valeur(s) de x, la surface restante est-elle égale à 550 cm² ?
3) Pour quelle(s) valeur(s) de x, l'aire A(x) est-elle minimale ?
Combien vaut cette aire minimale ?
2
C
ABCD est un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2.
M est un point variable sur [DC] : on pose DM = x. Les droites (AM) et (DB) se coupent en I. Soit K le pied de la hauteur issue
de I dans le triangle ABI.
On désigne par S(x) la somme des aires des triangles ABI et DIM.
1) Calculer S(0) et S(1).
2) Démontrer que IK est égale à 1x
2
+
3) En déduire que 1x
1²x
)x(S +
+
=
4) Pour quelle valeur de x, S(x) est-elle minimale ? Que vaut cette aire maximale ?
3 Une boîte parallélépipédique à base carrée, d’un volume de 64 dm
3
est construite dans un matériau qui revient à 3 centimes
le cm
2
pour le fond et le couvercle et à 2 centimes le cm
2
pour la surface latérale.
Quelles doivent être les dimensions de cette boîte pour que son coût de revient soit minimum ?
4 Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d’un petit parallélépipède rectangle de
dimensions y mm, x mm et 2x mm et de volume 576 mm
2
.
1) Faire un schéma et montrer que ²x
288
y=
2) Calculer la surface totale S de ce parallélépipède rectangle en fonction de x.
3) On sait que x est compris entre 3 et 12 mm. Représenter la fonction S sur [3 ; 12] et déterminer entre quelles
valeurs varie S.
4) Quelle valeur de x rend-elle S minimale ? Déterminer alors les dimensions de l’emballage.
5 Un triangle ABC est isocèle. Les mesures en centimètres des côtés sont AB = AC = 10 et BC = 12.
Soit M un point de [AB] tel que AM = x. Par M on mène la parallèle à (BC) qui coupe [AC] en N.
1) Déterminer x pour que le triangle AMN et le trapèze BMNC aient le même périmètre.
2) Déterminer x pour que les aires du triangle AMN et du trapèze BMNC soient égales.
6 On veut construire une rampe pour handicapés permettant de descendre une marche de hauteur 1.
Trouver une courbe permettant le tracé de la rampe de sorte qu’il n’y ait pas de point anguleux et que la pente maximale de la
rampe soit de 10% ; quelle est l’emprise au sol de la rampe ?
7 On désire calculer le rayon R d’une bille d’acier en la déposant au fond d’un récipient cylindrique de 10 cm de rayon et en y
versant un volume V d’huile jusqu’au recouvrement de la bille ; la surface libre de l’huile affleure alors le sommet de la bille.
La hauteur du récipient est supérieure à 20 cm.
1) Donner l’intervalle dans lequel se trouve R.
2) Exprimer le volume V en fonction de R.
3) Etudier les variations de la fonction f définie sur [0 ; 10] par f(x) = 600x – 4x
3
.
4) Montrer que pour certaines valeurs de V, comprises entre deux nombres que l’on calculera, il existe 2 billes de
rayons différents correspondant au même volume V.
5) A la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 0.01 des deux rayons correspondant au volume V = 2 400 cm
3
.
F
E
C
D
BA

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8
C
On dispose d'une feuille de carton de 80 cm de long sur 50 cm de large avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la
forme d'un parallélépipède rectangle.
Pour cela on découpe 4 carrés égaux aux quatre coins de la feuille puis on plie le carton suivant les segment [AB] , [BC] , [CD]
et [DA]. On appelle x la mesure en cm du côté de chaque carré découpé.
1) Précisez entre quelles valeurs peut varier x pour que la boîte soit réalisable. On obtiendra un intervalle I.
2) Déterminez le volume V(x) en cm3 de la boîte obtenue en fonction de x. c.
3) Etudiez les variations de V et en déduire la valeur de x pour laquelle V est maximal.
4) Quelles sont les dimensions de la boîte obtenue ?
9 On veut construire une auge à cochons ayant une forme plus ou moins cylindrique.
Pour ce faire on dispose d’une plaque de tôle de largeur l et de longueur L que l’on plie dans le sens de la largeur pour former
un arc de cercle.
Quels sont alors les paramètres de l’arc de cercle pour obtenir un volume maximal ?
10
C
1) Déterminer deux nombres positifs tels que leur somme est 20 et la somme des carrés est minimum.
2) Déterminer deux nombres positifs tels que leur somme est 20 et le produit du carré de l’un par le cube de l’autre est
minimum.
11
C
Déterminer deux nombres positifs dont la somme vaut 1 et dont la somme des carrés est la plus petite possible.
12 Soit un cylindre de volume fixé V et x le rayon de sa base.
1) Exprimer la hauteur h(x) et son aire totale A(x).
2) Etudier les variations de la fonction A sur ]0;+∝[, puis montrer qu'elle admet un minimum
3) En déduire que, pour une boîte de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de métal est minimale (et donc le
coût est minimal), lorsque la hauteur est égale au diamètre de la base.
13 Soit un carré ABCD. On donne AB = 8 cm et AE = AG = x avec 0 ≤ x ≤ 8.
1) Montrer que l'aire A(x) de la partie hachurée est donnée par l’expression A(x) = - x² + 4x + 32.
2) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire hachurée est égale à l'aire non hachurée.
3) Déterminer pour quelles valeurs de x, l'aire hachurée est inférieure ou égale à 20 cm².
4) Etudier les variations de la fonction A sur [0 ; 8].
5) En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire hachurée est maximale. Que vaut alors l'aire ?

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14
15
16 On considère un trapèze ABCD tel que les angles ABC et DCB aient la même mesure α
Déterminer les valeurs de α pour que le trapèze ABCD ait une aire maximale sachant que les côtés AB, BC et CD mesurent un
mètre.
17 Dans un carré de côté 12, on découpe dans les quatre angles des carrés de côté x pour construire le patron d’un pavé droit
sans couvercle.
12
x
1) Justifier que l’ensemble des valeurs que peut prendre x est l’intervalle [0 ; 6].
2) Exprimer le volume V(x) du pavé en fonction de x.
3) En déduire qu’il existe une valeur de x qui rend le volume maximal. Que vaut alors ce volume ?
Dans la figure ci-dessous, on considère un triangle ABC
rectangle en B.
Le demi-cercle de centre O a pour rayon 1.
La droite (BC) est tangente en H au demi-cercle.
La droite (AC) est tangente en H au demi-cercle.
On pose : AB = h, BC = x (x>1)
1) Montrer que AB
BC
AH
OH =.
2) En déduire les égalités :
1²x
²x2
h;
2h
h
²x;)²1h(xh − =
−
=−=
3) En pivotant autour de (AB), le triangle ABC
engendre un cône de révolution de sommet A.
Exprimer le volume V(x) du cône en fonction de x.
4) A l’aide des résultats des questions précédentes,
déterminer pour quelle valeur de x le volume est
minimum.
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 6 cm.
On inscrit dans ce cube, le parallélépipède rectangle EIJKLPNM tel
que EI = IJ = x et AL = x.
On veut déterminer la valeur x
m
pour laquelle le parallélépipède
rectangle est de volume maximum.
1) On désigne par V le volume du parallélépipède.
Montrer que V est donné par la fonction f définie sur
l'intervalle [0 ; 6] par f(x) = - x
3
+ 6x².
2) Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 6].
3) Trouver alors la valeur x
m
et le volume maximum
correspondant.
4) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs de x pour
lesquelles le parallélépipède a pour volume 0,025 litres.

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18
C
Avec une même ficelle de longueur 1 m, on forme un triangle équilatéral de côté x et un carré de côté a.
On note s la somme des aires du triangle et du carré.
1) Montrer que. )²x31(
16
1
²x
4
3
)x(s −+=
2) Pour quelle valeur de x, s est-elle minimale ?
3) Pour la valeur de x trouvée, quelle est la valeur de a
x ?
19
20 On désire fabriquer une boite parallélépipédique sans couvercle à partir d’un morceau de carton carré de côté k en découpant
des carrés de même taille aux quatre coins du carton et en pliant vers le haut les quatre languettes résultant de la découpe.
Quelle doit être la taille des carrés découpés pour que la boite accueille le plus grand volume possible ?
21 On désire fabriquer une boite parallélépipédique sans couvercle à partir d’un morceau de carton rectangulaire de 16 cm de
largeur et de 30 cm de longueur en découpant des carrés de même taille aux quatre coins du carton et en pliant vers le haut
les quatre languettes résultant de la découpe.
Quelle doit être la taille des carrés découpés pour que la boite accueille le plus grand volume possible ?
22 On désire fabriquer une caisse parallélépipédique de base carrée sans couvercle à partir de 10m² de matériaux.
Trouver la longueur du côté de la base de la caisse de plus grand volume.
23C Calculer le périmètre du rectangle de plus grand périmètre que l’on peut inscrire dans un cercle de rayon R.
24 Calculer la surface du rectangle de plus grande surface que l’on peut inscrire dans un cercle de rayon R.
25C Calculer la surface du triangle isocèle de plus grande surface que l’on peut inscrire dans un cercle de rayon R en supposant
que le sommet défini par les deux côtés égaux coïncide avec le centre du cercle.
26 Calculer la surface du cylindre circulaire droit de plus grande surface pouvant s’inscrire dans un cône droit de hauteur 10 et de
rayon 4.
27 Déterminer le volume du cône de plus grand volume pouvant s’inscrire dans une sphère de rayon R.
28 Déterminer la surface maximale que peut offrir un rectangle inscrit dans un triangle rectangle dont les petits côtés valent 6 et
8. On suppose que les côtés du rectangle s’alignent sur les côtés de l’angle droit du triangle.
29 Déterminer le rayon et la hauteur du cylindre de plus grande surface pouvant s’inscrire dans un cône de rayon 6 et de hauteur
10.
30 Calculer le volume du cylindre circulaire de plus grand volume pouvant s’inscrire dans une sphère de rayon 5.
Déterminer la surface du trapèze de plus grande surface pouvant s’inscrire dans un demi-cercle de rayon R.
ABCD est un carré de côté 1. M est un point du segment [AB].
On place le point N tel que CN = AM sur la demi-droite [BC) à l’extérieur
du segment [BC].
La droite (MN) coupe (DC) en P.
On pose AM = x.
Le but est de déterminer la position du point M tel que la distance PC
soit maximale.
1) Démontrer que x1
²xx
PC +
−
=.
2) Etudier les variations de la fonction f définie sur [0 ; 1] par
x1
²xx
)x(f +
−
=.
3) En déduire la valeur de x pour laquelle la distance PC est
maximale.

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CORRIGE :
2
C
ABCD est un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2.
M est un point variable sur [DC] : on pose DM = x. Les droites (AM) et (DB) se coupent en I. Soit K le pied de la hauteur issue de
I dans le triangle ABI. On désigne par S(x) la somme des aires des triangles ABI et DIM.
1) Calculer S(0) et S(1). S(0) = S(1) = 1.
2) Démontrer que IK est égale à 1x
2
+
1x
2
IK2IK)x1(IK2xIK
x
1
IK2
IK
DM
AB
IK2
IK
+
=⇔=+⇔−=⇔=
−
⇔=
−
3) En déduire que 1x
1²x
)x(S +
+
=
1x
1²x
1x
x
x
1x
1
1x
1
1x
1x
1
2
)IK2.(x
2
IK
2
)IK2.(DM
2
IK.AB
)x(S +
+
=
+
−+
+
=
+
−+
+
=
−
+=
−
+=
4) Pour quelle valeur de x, S(x) est-elle minimale ? Que vaut cette aire maximale ?
222àégalestilet21xenintatteestimumminLe
12x0)x('S;
)²1x(
1x2²x
)x('S:]1;0[x
−+−=
−±=⇔=
+
−
+
=∈∀
8 On dispose d'une feuille de carton de 80 cm de long sur 50 cm de large avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme
d'un parallélépipède rectangle.
Pour cela on découpe 4 carrés égaux aux quatre coins de la feuille puis on plie le carton suivant les segment [AB] , [BC] , [CD] et
[DA]. On appelle x la mesure en cm du côté de chaque carré découpé.
1) Précisez entre quelles valeurs peut varier x pour que la boîte soit réalisable. On obtiendra un intervalle I. [0 ; 25]
2) Déterminez le volume V(x) en cm3 de la boîte obtenue en fonction de x.
x4000²x260x4x)x280)(x250(V
xh;x250l;x280L
3
+−=−−=
=−=−=
3) Etudiez les variations de V et en déduire la valeur de x pour laquelle V est maximal.
10xpourimalmaxestvolumeLe].25;10[surtedécroissanet]10;0[surcroissanteestV
10x00)x('V
4000x520²x12)x('V
=
≤≤⇔≥ +−=
4) Quelles sont les dimensions de la boîte obtenue ?
L = 30 ; l = 60 ; h = 10.
9 On veut construire une auge à cochons ayant une forme plus ou moins cylindrique.
Pour ce faire on dispose d’une plaque de tôle de largeur l et de longueur L que l’on plie dans le sens de la largeur pour former
un arc de cercle.
Quels sont alors les paramètres de l’arc de cercle pour obtenir un volume maximal ?