II. Récurrence linéaire d`ordre 2 Définition : Soit (un) une suite de

II. R´ecurrence lin´eaire d’ordre 2
D´efinition :
Soit (un) une suite de nombres r´eels,
dire que (un) suit une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 `a coefficients constants signifie qu’il
existe deux r´eels aet btels que
∀n∈N, un+2 =a un+1 +b un
Remarques :
Si b= 0 alors on a une suite g´eom´etrique `a partir du rang n= 1, on supposera dans la suite b6= 0 .
On cherche `a exprimer unen fonction de n.
On s’int´eresse aux suites `a valeurs r´eelles.
Un telle suite est enti`erement d´efinie par la donn´ee de ses deux premiers termes.
Une suite g´eom´etrique (qn) v´erifie cette relation si, et seulement si, q2=aq +b.
D´efinition :
Si (un) v´erifie ∀n∈N, un+2 =a un+1 +b unalors
l’´equation : x2=ax +best appel´ee ´equation caract´eristique de cette suite.
On distingue en trois propositions les diff´erents cas :
Proposition 1 :
Soit aet bdeux nombres r´eels avec b6= 0 et (un) la suite v´erifiant :
u0∈R, u1∈R,∀n∈N, un+2 =aun+1 +bun
Si x2=ax +bposs`ede deux solutions r´eelles distinctes q1et q2.alors il existe (α, β)∈R2tel que :
∀n∈N, un=αqn
1+βqn 2
Remarque : Quand on cherche le couple (α, β) on parvient au syst`eme :
α+β=u0
αq1+βq2=u1
ce syst`eme lin´eaire poss`ede une et une seule solution car : 1 ×q2−q1×16= 0
Proposition 2 :
Soit aet bdeux nombres r´eels avec b6= 0 et (un) la suite v´erifiant :
u0∈R, u1∈R,∀n∈N, un+2 =aun+1 +bun
Si x2=ax +bposs`ede une unique solution r´eelle q0,alors il existe (α, β)∈R2tel que :
∀n∈N, un= (α+βn)qn
0ou un=α qn 0+β n qn 0
Le couple (α, β) est l’unique solution du syst`eme :
α=u0
(α+β)q0=u1
Remarque : Quand on cherche le couple (α, β) on parvient au syst`eme :
α=u0
αq0+βq0=u1
ce syst`eme lin´eaire poss`ede une et une seule solution car : 1 ×q0−q0×06= 0

Proposition 3 :
Soit aet bdeux nombres r´eels avec b6= 0 et (un) la suite v´erifiant :
u0∈R, u1∈R,∀n∈N, un+2 =aun+1 +bun
Si x2=ax +bposs`ede deux racines complexes conjugu´es q=reiθ et ¯q=re−iθ .alors il existe
(α, β)∈R2tel que :
∀n∈N, un=rn(αcos(nθ) + βsin(nθ))
Remarques :
•Les racines doivent ˆetre ´ecrites sous forme exponentielle.
•Quand on cherche le couple (α, β) on parvient au syst`eme :
α=u0
rα cos(θ) + rβ sin(θ) = u1
ce syst`eme lin´eaire poss`ede une et une seule solution car : 1 ×rsin(θ)−rcos(θ)×06= 0
En pratique :
À”On reconnaˆıt une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre `a coefficients constants”
ÁOn donne son ´equation caract´eristique.
ÂOn r´esout l’´equation caract´eristique et on pr´ecise dans quel cas on se trouve.
ÃOn donne l’expression de unen fonction de navec αet βinconnues.
ÄOn r´esout le syst`eme pour trouver αet β.
ÅOn conclut en donnant l’expression de unen fonction de n
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Un peu de logique et de th´eorie des ensembles.
Pla¸cons nous dans le cas 1 : l’´equation caract´eristique a deux racines r´eelles distinctes.
On a ´enonc´e une proposition qui dit :
Si (un) v´erifie ∀n∈N, un+2 =aun+1 +bunalors il existe (α, β)∈R2tel que : ∀n∈N, un=αqn
1+βqn 2
Ce qui signifie que :
n(un)∈RN
(un+2)=(aun+1 +bun)o⊂(αqn
1+βqn 2)|(α, β)∈R2
et l’activit´e pr´eparatoire permet aussi d’affirmer que :
si il existe (α, β)∈R2tel que : ∀n∈N, un=αqn
1+βqn 2alors (un) v´erifie ∀n∈N, un+2 =aun+1 +bun
Ce qui signifie que
(αqn
1+βqn 2)|(α, β)∈R2⊂n(un)∈RN
(un+2) = (aun+1 +bun)o
On peut r´esumer tout cela avec
n(un)∈RN
(un+2)=(aun+1 +bun)o=(αqn
1+βqn 2)|(α, β)∈R2
Dans les autres cas on obtiendrait.
2`eme Cas : n(un)∈RN
(un+2)=(aun+1 +bun)o=((α+βn)qn
0)|(α, β)∈R2
3`eme Cas :
n(un)∈RN
(un+2)=(aun+1 +bun)o=(rn(αcos(nθ) + βsin(nθ))) |(α, β)∈R2