Cosinus d`un angle aigu

Cosinus d’un angle aigu
Dans ce chapitre, les angles seront exprimés en degrés.
1. Définitions
IJK est un triangle rectangle en J.
Considérons l’angle α JIK.
2. Cosinus d’un angle aigu dans un triangle
rectangle
On considère un triangle rectangle.
Le cosinus d’un angle aigu est le nombre égal au quotient :
hypoténusel' delongueur anglecet à adjacent côté du longueur
L’hypoténuse est [IK].
Le côté adjacent à l’angle α JIK est [IJ].
Donc cos α JIK =
IK
IJ
Le côté adjacent à l’angle α IKJ est [JK].
Donc cos α IKJ =
IK
JK
I
K
J
J
I
K
Côté opposé à l’angle
α
JIK
Hypoténuse
Côté adjacent
à l’angle α JIK

3. Propriétés
¬ Le cosinus d’un angle aigu est un nombre positif (car c’est le quotient de deux
nombres positifs).
¬ Le cosinus d’un angle aigu est un nombre inférieur à 1 (car l’hypoténuse est le plus
grand côté des trois côtés d’un triangle rectangle).
4. Applications
4.1. Utilisation de la calculatrice
La calculatrice doit se trouver en mode degré.
4.1.1. Détermination du cosinus d’un angle donné
cos 54°
Touches de la
calculatrice 5 4 COS
Arrondi au
millième 0,588
Remarque
En général, mais cela dépend des calculatrices, on appuie d’abord sur la valeur de l’angle
puis sur la touche COS.
4.1.2. Détermination d’un angle donné lorsque l’on connaît la valeur du cosinus de
cet angle
cos
α
= 0,9
Touches de la
calculatrice 0 . 9 2nd COS
Arrondi de
α
au
dixième 25,8°
Remarque
Suivant les calculatrices, on remplace la touche 2nd par la touche INV.
On peut également remplacer la touche 2nd COS par la touche COS-1.
4.2. Calculs d’angles
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et BC = 8 cm.
Calculer la mesure arrondie de l’angle α ABC au degré près.

Dessinons un triangle rectangle ABC sans respecter les longueurs pour fixer les idées.
Angle Hypoténuse
Côté adjacent
à l’angle α ABC
α
ABC [BC] [AB]
Ce que l’on
connaît et ce que
l’on cherche ? 8 5
cos α ABC =
BC
AB
cos α ABC =
8
5
α
ABC
°
≈
51
L’angle α ABC mesure à peu près 51°.
4.3. Calculs de longueurs
TYH est un triangle rectangle en Y tel que TH = 6 cm et α YTH = 55°.
Calculer la mesure arrondie de TY au dixième.
Dessinons un triangle rectangle TYH sans respecter les longueurs pour fixer les idées.
Angle Hypoténuse
Côté adjacent
à l’angle α YTH
α
YTH [TH] [TY]
Ce que l’on
connaît et ce que
l’on cherche 55° 6 ?
Y H
A
C
B
T

cos α YTH =
TH
TY
cos 55° =
6
TY
°
×
=
55
cos
6
TY
4
,
3
TY
≈
[TY] mesure à peu près 3,4 cm.
GHU est un triangle rectangle en U tel que UG = 8 cm et α UGH = 67°.
Calculer la mesure arrondie de GH au dixième.
Dessinons un triangle rectangle GHU sans respecter les longueurs pour fixer les idées.
Angle Hypoténuse
Côté adjacent
à l’angle α UGH
α
UGH [GH] [UG]
Ce que l’on
connaît et ce que
l’on cherche 67° ? 8
cos α UGH =
GH
UG
cos 67° =
GH
8
8
67
cos
GH
=
°
×
°
=
67
cos
8
GH
5
,
20
GH
≈
[GH] mesure à peu près 20,5 cm.
H
G
U