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Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-1
3 ................................................ I-2
4 ................................................ I-2
5 ................................................ I-2
6 ................................................ I-3
7 ................................................ I-3
8 ................................................ I-4
9 ................................................ I-4
10 ................................................ I-4
11 ................................................ I-5
12 ................................................ I-5
13 ................................................ I-5
14 ................................................ I-5
15 ................................................ I-6
II Cours II-1
1 Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres . . . . . . . . . . . . II-1
2 Sens de variation et signe de la dérivée, extrémum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3 Problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
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Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction I EXERCICES – page I-1
I Exercices
Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres
1
Compléter les tableaux de variations ci-dessous. Sur les lignes en pointillés, indiquer les extrémums 1
s’il y en a.
x
f(x) = −3x+ 7
x
f(x) = √x
...................................................................................................
x
f(x) = 1
x
x
f(x) = |x|
...................................................................................................
x
f(x) = |x| − 5
x
f(x) = 3√x
...................................................................................................
x4 + ∞
f(x) = 1
3x−7
x
f(x) = x2−6x+ 19
...................................................................................................
x
f(x) = −5(x−8)2+ 6
.................................................
.................................................
2
Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, dresser le tableau de variation de fsur IR, en précisant
les extrémums éventuels.
(1) f(x) = −2
x(2) f(x) = √x+3 (3) f(x) = −2x2−20x−50 (4) f(x) = 9x2−15x+18
1. Un extrémum est un maximum ou un minimum.
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Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction I EXERCICES – page I-2
3
La fonction fest définie par f(x) = √3x+ 9.
1. Déterminer son ensemble de définition en résolvant une inéquation.
2. a) Justifier le sens de variation de la fonction udéfinie par u(x) = 3x+ 9.
b) Justifier le sens de variation de la fonction f.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4
La fonction fest définie par f(x) = 1
−2x+ 4.
1. Déterminer son ensemble de définition en résolvant une équation.
2. a) Justifier le sens de variation de la fonction udéfinie par u(x) = 3x+ 9.
b) Justifier le sens de variation de la fonction f.
3. Dresser le tableau de variations de f.
Sens de variation et signe de la dérivée
5
La fonction fet définie sur [−1,5 ; 5,1] par f(x) = x3−5x2+ 9
1. a) À l’aide de la calculatrice, dresser le tableau de variation de fsur [−1,5 ; 5,1].
b) Préciser les extrémums, arrondir au centième si nécessaire.
2. L’étude des variations de la fonction fest plus complexe que dans les exercices précédents
et la calculatrice ne donne que des valeurs approchées des extrémums et des valeurs de xoù
ils sont atteints. Voici donc une nouvelle méthode permettant d’étudier plus précisément les
variations d’une fonction.
a) Calculer f′la dérivée de f.
b) Factoriser f′(x).
c) Dresser le tableau de signes de f′(x) selon les valeurs de x.
d) Sur un intervalle où f′est positive, qu’est ce cela indique pour les tangentes à la courbe
sur cet intervalle ? que peut-on en déduire pour le sens de variation de fsur cet intervalle ?
e) Même question lorsque f′est négative sur un intervalle.
f) Quelles sont les valeurs de xtelle que f′(x) = 0 ?
g) Calculer les images de ces deux nombres par f(valeurs exactes).
h) Compléter le tableau ci-dessous.
i) Que nous indiquent les solutions de l’équation f′(x) = 0 pour les variations de f?
x
Signe de f′(x)
Variations de f
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Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction I EXERCICES – page I-3
2
4
6
8
10
−2
−4
−6
−8
−10
12345−1−2
6
La fonction fet définie sur [−6 ; 5] par f(x) = −x3−2x2+ 15x+ 5.
1. Calculer la dérivée f′.
2. Étudier le signe de f′(x). Détailler les calculs et dresser le tableau de signes.
3. Compléter le tableau précédent par le tableau des variations de f. Indiquer les images de −6
et de 5 et les valeurs des extremums arrondies au centième.
4. Faire tracer la représentation graphique de la fonction fsur l’écran de la calculatrice en réglant
les valeurs de la fenêtre d’après le tableau de variations.
5. Le tableau de variations précédent indique un maximum local.
a) Calculer sa valeur exacte.
b) En quelle valeur de xest-il atteint ?
6. Mêmes consignes (a) et (b) pour le minimum local, sans détailler les calculs.
7
La fonction fet définie sur [−3,8 ; 2,7] par f(x) = 7x3+ 12x2−45x−20.
1. Calculer la dérivée f′.
2. Étudier le signe de f′(x). Détailler les calculs et dresser le tableau de signes.
3. Compléter le tableau précédent par le tableau des variations de f. Indiquer les images de −3,8
et de 2,7 et les valeurs des extremums arrondies au centième.
4. Faire tracer la représentation graphique de la fonction fsur l’écran de la calculatrice, en
réglant les valeurs de la fenêtre d’après le tableau de variations.
5. Le tableau de variations précédent indique un maximum local.
a) Calculer sa valeur exacte.
b) En quelle valeur de xest-il atteint ?
6. Mêmes consignes (a) et (b) pour le minimum local, sans détailler les calculs.
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Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction I EXERCICES – page I-4
8
Étude des variations d’une fonction polynôme du second degré
La fonction fet définie sur [−1 ; 6] par f(x) = x2−6x+ 13.
1. 1re méthode – forme canonique
a) Calculer f(x) sous la forme canonique c’est à dire sous la forme a(x−α)2+β
b) Dresser le tableau des variations de f.
2. 2eméthode – dérivée
a) Calculer la dérivée f′.
b) Étudier le signe de f′(x).
c) Dresser un tableau comportant
•le signe de la dérivée ;
•les variations de f, avec les images de −1 et de 6 et la valeur de l’extremum.
9
La fonction fest définie sur [0 ; 5] par f(x) = 3x+ 4
x+ 1 .
La fonction fest dérivable de dérivée f′.
1. Calculer la dérivée.
2. Dresser un tableau contenant
•le signe de f′(x) en fonction de x;
•les variations de la fonction fen indiquant les valeurs remarquables.
3. Tracer la représentation graphique de fà la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre
d’après le tableau de variations, et de telle façon que l’on voie les deux axes du repère.
10
La fonction fest définie sur [−0,8 ; 5] par f(x) = x2+x+ 1
x+ 1 .
La fonction fest dérivable de dérivée f′.
1. Calculer la dérivée.
2. Dresser un tableau contenant
•le signe de f′(x) en fonction de x;
•les variations de la fonction fen indiquant les valeurs remarquables.
3. Tracer la représentation graphique de fà la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre
d’après le tableau de variations et de telle façon que l’on voie les deux axes du repère.
4. Sans justifier, quel est le minimum de fsur [−0,8 ; 5] et en quelle valeur de xest-il atteint ?
5. a) Calculer la valeur exacte du maximum de fsur [−0,8 ; 5].
b) En quelle valeur de xest-il atteint ?
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