{246} {3456} - RallyMaths

Exercice 1 - Révisions (1)
On fait tourner une roue de loterie. La flèche indique le
chiffre sur lequel elle s’arrête au hasard.
2
Chiffre
1
2
3
4
5
Probabilité
3
3
5
4
FICHE 1
2) Compléter le tableau ci dessous :
1
3
1) Quel est l’univers Ω de cette expérience aléatoire ?
2
3) Les éventualités sont-elles équiprobables ?
4) On considère l’événement suivant :
A : « la roue s’arrête sur un chiffre pair ».
Calculer p(A) et p A .
Exercice 2 - Révisions (2)
On jette un dé bien équilibré et on note le chiffre obtenu.
1) Quel est l’univers Ω de cette expérience aléatoire ?
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
2) Les éventualités sont-elles équiprobables ?
246 3456
3) On considère A et B les événements suivants :
(
)
(
A=
)
B=
a) Déterminer p(A) et p(B) sous forme de fraction irréductible.
b) Que représentent les événements A ∩ B et A ∪ B ?
Déterminer p(A ∩ B) et p(A ∪ B).
c) Que représente les événements A et B ?
Déterminer p A et p B .
Exercice 3 - Révisions (3)
R A M E
Dans un sac , on met les quatre lettres R, A, M et E. On tire au hasard successivement et sans
remise les quatre lettres du sac et on les dispose au fur et à mesure de gauche à droite. On forme
ainsi un mot de quatre lettres (qui n’a pas forcément une signification).
1) À l’aide d’un arbre, donner toutes les issues possibles.
2) Quelle est la probabilité d’obtenir le mot « RAME » ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir un mot de la langue française ?
4) Soit A l’événement « Obtenir un mot commençant par M » et B l’événement « Obtenir un
mot commençant par une voyelle ».
Déterminer p(A) et p(B).
6 janvier 2014
1
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Exercice 4 - Révisions (4)
On pioche une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes bien battues.
1) Quel est l’univers Ω de cette expérience aléatoire ?
FICHE 2
2) Les éventualités sont-elles équiprobables ?
3) On note A et R les événements suivants :






A=




R=






































a) Déterminer p(A) et p(R) sous forme de fraction irréductible.
Exercice 5 - Révisions (5)
2
5
8
3
6
R
4
R
1
PREMIÈRE S - EXERCICES
c) Que représente l’événement A ?
Déterminer p A , p A ∩ R , p A ∪ R .
7
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
b) Que représentent les événements A ∩ R et A ∪ R ?
Déterminer p(A ∩ R) et p(A ∪ R).
Total
A
6 janvier 2014
1) Compléter le tableau ci-contre.
2) Déterminer p(A), p A , p(R), p R sous forme de fraction irréductible.
3) Déterminer p (A ∩ R) et p (A ∪ R).
4) Déterminer p A ∩ R et p A ∪ R .
5) Déterminer p A ∩ R et p A ∪ R .
A
Total
Une urne contient huit boules : trois boules vertes numérotées
3, 4 et 7 et quatre boules rouges numérotées 1, 2, 5, 6, 8. On
pioche une boule au hasard dans cette urne.
On considère les événements suivants :
A : « La boule porte un numéro pair »
R : « La boule est rouge »
8
2
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FICHE 3
Exercice 6
1
2
3
4
5
6
123456
On lance deux dés bien équilibrés :
un rouge et un bleu. On note X la
variable aléatoire égale à la somme
des chiffres obtenus.
1) Compléter le tableau en indiquant, pour chaque case, la
somme des chiffres.
2) Quelles sont les différentes valeurs prises par X ?
3) Déterminer la loi de probabilité de X.
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
Exercice 7
1
2
3
4
5
6
123456
On lance deux dés bien équilibrés :
un rouge et un bleu. On note Y la
variable aléatoire égale au plus grand
des deux chiffres obtenus.
1) Compléter le tableau en indiquant, pour chaque case, le
plus grand des deux chiffres.
2) Quelles sont les différentes valeurs prises par Y ?
3) Déterminer la loi de probabilité de Y.
Exercice 8
Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire X :
xi
-11
-5
4
10
2
p (X = xi )
0,1
0,2
0,15
p4
0,45
1) Quelles sont les valeurs prises par X ?
2) Calculer p4 .
Exercice 9
Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire X :
xi
-1
2
3
4
5
p (X = xi )
0,25
0,18
p3
0,17
p5
1) Quelles sont les valeurs prises par X ?
2) Calculer p3 et p5 sachant que les événements X = 3 et X = 4 sont équiprobables.
3) Calculer p (X < 4).
6 janvier 2014
3
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R
Une roue de loterie est divisée en trois secteurs : un vert (V),
un rouge (R) et un bleu (B) d’angles au centre respectifs
60◦ , 120◦ et 180◦ .
Lorsqu’elle s’arrête de tourner, un repère fléché indique
l’une des trois couleurs avec une probabilité proportionnelle
à l’angle du secteur concerné.
V
1) Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble des
issues Ω = {V, R, B}.
2) Le joueur perd 2 e si la flèche indique la partie bleue,
gagne 0,5 e si la flèche indique la partie rouge et x
euros si la flèche indique la partie verte.
On note G le gain algébrique du joueur (positif ou
négatif).
B
FICHE 4
Exercice 10
a) Calculer E(G) en fonction de x.
b) Comment choisir x pour que le jeu soit équitable ?
On dispose de trois roues comportant 12 secteurs angulaires de même aire.
On gagne si la roue s’arrête sur le bleu.
Quelle roue choisir ? Justifier par le calcul.
Mise 1,5 e
Gain 8 e
Mise 1 e
Gain 4 e
Mise 1 e
Gain 2 e
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
Exercice 11
6 janvier 2014
4
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Exercice 12 - Tirage simultané
FICHE 5
On a disposé dans une urne les huit cartes suivantes extraites d’un jeu de 32 cartes :






Ω=




Règle du jeu :
On tire deux cartes simultanément de l’urne après
avoir misé une certaine somme m.
•Si les deux cartes tirées sont de même « couleur »
(coeur, ou carreau, ou trèfle, ou pique), le joueur
gagne 2 e.
•Si les deux cartes tirées forment une « paire » (deux
as, deux sept . . . ), le joueur gagne 5 e.
8×7
= 28 tirages possibles.
2
2) Quelle est la probabilité de tirer deux cartes de même « couleur » ?
Deux cartes formant une « paire » ?
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
1) Expliquer pourquoi il y a
3) L’organisateur du jeu désire avoir un gain moyen d’au moins 1 e par partie.
Quel est le montant minimal de la mise m qu’il doit fixer pour satisfaire cette contrainte ?
Exercice 13
...
...
...
...
...
...
...
PREMIÈRE S - EXERCICES
...
...
...
1) Compléter l’arbre ci-contre décrivant toutes
les issues possibles.
...
2) Déterminer l’ensemble des valeurs prises
par X. et la loi de probabilité de X.
...
3) Calculer l’espérance E(X), la variance V(X)
et l’écart type σ(X).
...
...
6 janvier 2014
Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de
monnaie bien équilibrée.
Chaque sortie du pile P rapporte 3 points, chaque
sortie de face F fait perdre 2 points. On considère
la variable aléatoire X égale au nombre (positif ou
négatif) de points obtenus après les trois lancers.
5
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Exercice 14
Une roue comporte dix secteurs identiques, neuf verts et un
rouge.
On propose les deux jeux suivants :
Jeu 1 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur gagne
2 000 euros, sinon, il perd 8 000 euros.
Jeu 2 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur ne
gagne ni ne perd rien, sinon, il gagne 10 000 euros.
FICHE 6
R
1) Calculer pour chaque jeu l’espérance et la variance du
gain du joueur.
2) Quels sont les critères qui peuvent expliquer qu’un joueur
préfère l’un ou l’autre jeu ?
Exercice 15
4
3
2
6
5
7
1
9
14
10
15
13 12 11
PREMIÈRE S - EXERCICES
16
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
8
00
Une roulette est composée de 17 cases :
• 1 case noire numérotée 0 ;
• 8 cases rouges numérotées par un chiffre pair (sauf 0) ;
• 8 cases vertes numérotées par un chiffre impair.
• Stratégie 1 :
Bob mise 1 e sur « rouge ». Si un numéro rouge sort
il gagne 1 e en plus de sa mise qu’il récupère ; sinon il
perd sa mise.
• Stratégie 2 :
Alice mise 1 e sur le numéro 7. Si le numéro 7 sort elle
gagne 14 e en plus de sa mise qu’elle récupère ; sinon
elle perd sa mise.
Les gains algébriques réalisés par Alice et Bob définissent deux variables aléatoires notées respectivement X et Y.
1) Comparer les espérances de gain de Bob et d’Alice. Dans chaque cas, le jeu est-il favorable
au joueurs ?
2) Calculer les écarts types de X et de Y. Les comparer et interpréter ces résultats.
Exercice 16 - Répétition de deux expériences identiques
Sur un stand de tir, on propose la cible ci-contre. Les rayons
des cercles sont 3, 6 et 9 cm.
Un tireur a une probabilité de 10 % de rater la cible.
La probabilité de toucher une zone de la cible est proportionnelle à la surface de la zone touchée.
3 5
3
5
1) Montrer que la probabilité de toucher la zone jaune
(au centre) est de 10 % et la zone rouge (intermédiaire) de 30 %.
7
2) On note X la variable aléatoire donnant le score du
tireur.
5 3
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
5
3
b) Calculer E(X) et σ(X).
3) Un tireur tire deux coups. On note Y la variable aléatoire donnant le score du tireur.
a) Déterminer la loi de probabilité de Y.
b) Calculer E(Y) et σ(Y).
c) Peut-on conjecturer un lien entre les paramètres
de X et de Y ?
6 janvier 2014
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FICHE 7
Exercice 17
On dispose de deux dés cubiques non truqués. L’un a cinq faces rouges et une face verte, l’autre a
une face rouge, deux vertes et trois bleues. On jette les deux dés. On gagne 5 e si les deux faces
obtenues sont rouges, 2 e si elles sont vertes et on perd 1 e si les deux faces sont de couleurs
différentes. On appelle X la variable aléatoire égale au gain ou à la perte ainsi réalisés.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de X.
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
Exercice 18
1) Une grande surface organise un un jeu en guise d’opération commerciale. Chaque client se
voit remettre avec son ticket de caisse une carte à gratter. Il découvre alors un gain de 5 e
avec une chance sur 20, un gain de 10 e avec une chance sur 50, un gain de 50 e avec une
chance sur 500, sinon il découvre le message « Retentez votre chance ».
On appelle X la variable aléatoire égale au gain d’un client.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de X.
2) Une grande surface concurrente reprend le jeu en offrant un gain de 2 e avec une chance sur
5, un gain de 5 e avec une chance sur 100, un gain de 100 e avec une chance sur 1 000 sinon
il ne gagne rien.
On appelle Y la variable aléatoire égale au gain d’un client de cette grande surface concurrente.
a) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de Y.
b) Comparer les jeux de ces deux magasins.
Exercice 19
Le cycle d’allumage d’un feu tricolore est le suivant :
• feu vert pendant 20 secondes ;
• feu orange pendant 5 secondes ;
• feu rouge pendant 35 secondes.
Un automobiliste rencontre trois feux (identiques à celui décrit ci-dessus)
qui fonctionnent de manière indépendante.
1) Calculer les probabilités des événements suivants :
A : « l’automobiliste rencontre trois feux verts consécutifs » ;
B : « l’automobiliste rencontre un seul feu rouge » ;
C : « l’automobiliste rencontre au moins un feu vert ».
2) Soit X, la variable aléatoire égale au nombre de feux verts rencontrés par l’automobiliste.
Donner la loi de probabilité de X.
3) Calculer E(X). Que représente ce nombre ?
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Exercice 20
ee
110
3e 1
e
1e
1e
3
e
1e 3
e
FICHE 8
3e
3e
La roue d’une loterie comporte 10 secteurs identiques dont 4 rapportent 1 e, 5 rapportent 3 e et 1 rapporte 10 e. Le joueur doit
miser 3 e avant de lancer la roue.
1) Le jeu est-il favorable au joueur ?
2) Déterminer le montant que devrait avoir la mise pour que
le jeu soit équitable.
3) Avec cette nouvelle mise, les gains du jeu sont-ils plus dispersés qu’avant ou non ?
Exercice 21
CHAP. 6 : PROBABILITÉS (1)
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires.
Un joueur tire successivement et sans remise deux
boules de l’urne. Soit x un réel positif. Lors de chacun
des deux tirages, le joueur gagne x e s’il obtient une
boule rouge et perd 2 e s’il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant
au gain algébrique du joueur en euro au terme des
deux tirages.
1) Justifier que X ∈ {2x; x − 2; −4}.
2) Déterminer la loi de probabilité de G.
3) Exprimer l’espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.
PREMIÈRE S - EXERCICES
4) Pour quelle valeur de x a-t-on E(G) > 0 ? Interpréter ce résultat par une phrase.
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