math 30421 Module 3 dérivées partie 1

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Module 3 (10 cours) Partie 1
LE NOMBRE 2 – LES OPÉRATIONS
Dérivées
Chapitre 3 et 4– Calcul différentiel
3 Résultat d’apprentissage général
Effectuer les opérations avec différentes représentations numériques afin de résoudre des problèmes du monde
réel.
3.6 modéliser des situations et les résoudre à l’aide de la dérivée
• Taux de variation moyen
3.1 Taux de variation moyen
Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a, b], où a < b, est noté TVM
[a, b]
et est défini par
. Ce qui ressemble à la pente d’une sécante. Une sécante est une droite qui
coupe une courbe en un ou plusieurs points.
Ex : Soit f(x) = x
3
+ 3. Calculons TVM
[-2,0]
et représentons la courbe ainsi que la
sécante correspondante.
Et la pente de la sécante qui passe par ces deux points est aussi 4.
Ex : Soit un cercle, dont l’aire A en fonction du rayon r, est donnée par
où r est en mètre et A(r), en mètres carrés. Calculons le taux de variation moyen
de l’aire lorsque le rayon passe de 3m à 6m, c’est à dire TVM
[3,6]
.
Donc, le taux de variation moyen de l’aire est d’environ 28,3 m
2
/m.
La différence des deux x peut être écrite sous la forme de et la différence des deux y correspondant,
, alors
Ex : Évaluons le taux de variation moyen de f(x) = 3x
2
- 5 sur .
[ ]
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f
TVM
b,a
−
−
=
[ ]
4
2
)
5
(
3
)2(0
)
2
(
)
0
(
0,2
=
−−
=
−− −−
=
−
f
f
TVM
2
)
(
r
r
A
π =
[ ]
π
πππ
9
3
27
3
9
36
3
6
)
3
(
)
6
(
6,3
==
−
=
−
−
=
A
A
TVM
x
∆
y
∆
[ ]
x
y
x)xx(
)
x
(
f
)
x
x
(
f
TVM
xx,x
∆
∆
=
−∆+ −∆+
=
∆+
[
]
x
x
x
∆
+
,
[ ]
(
)
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
x3x6
x
x3x6x
x
5x35x3xx6x3
TVM
x
5
x
3
)
5
)
x
x
(
3
(
x)xx(
)
x
(
f
)
x
x
(
f
TVM
2
2
2
xx,x
2
2
xx,x
∆+=
∆
∆+∆
=
∆
+−−∆+∆+
=
∆−−−∆+
=
−∆+ −∆+
=
∆+
∆+

Page 19
Pour alléger l’écriture, nous allons remplacer le , par h.
Ex : Soit f(x) = 2x
3
+ 1.
a) Évaluons le taux de variation moyen de f sur [x, x + h].
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
22
22
hx,x
32233223
hx,x
3322223
hx,x
322
hx,x
33
hx,x
hx,x
h2xh6x6
h
)h2xh6x6(h
TVM
h
h2xh6hx6
h
1x21h2xh6hx6x2
TVM
h
1x21)hxhxh2hx2hxx(2
TVM
h
1x21)hx)(hxh2x(2
TVM
h
)1x2(1)hx(2
TVM
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
TVM
++=
++
=
++
=
−−++++
=
−−++++++
=
−−++++
=
+−++
=
−
+
=
+
+
+
+
+
+
b) Évaluons le taux de variation moyen de f sur [3, 3 + h].
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
h3,3
2322
h3,3
322
x,hx
2
x,hx
33
3,h3
h3,3
h2h1854TVM
h
)h2h1854(h
h
551h2h6h12h36h1854
TVM
h
1541)hh3h6h18h927(2
TVM
h
1)27(21)h3)(hh69(2
TVM
h
)1)3(2(1)h3(2
TVM
h
)
3
(
f
)
h
3
(
f
TVM
++=
++
=
−++++++
=
−−++++++
=
−−++++
=
+−++
=
−
+
=
+
+
+
+
+
+
Et si on remplaçait le x dans la réponse de a), par 3, on arriverait à la même réponse.
[ ]
2
2
2
h3,3
h
2
h
18
54
h
2
h
)
3
(
6
)
3
(
6
TVM
++=++=
+
c) Utilisons le résultat en a) pour évaluer TVM
[-2,5]
, x = -2 et x + h = 5, ce qui signifie que h = 7.
[ ]
.
38
)
7
(
2
)
7
)(
2
(
6
)
2
(
6
TVM
2
2
5,2 =+−+−= −
x
∆
[ ]
h
x
f
h
x
f
TVM
xhx
)
(
)
(
,
−+
=
+

Page 20
La vitesse moyenne est d’une particule sur un intervalle de temps notée est définie de la façon
suivante :
[ ]
t
x
tt
x
x
V
i
f
i
f
t,t
f
i
∆
∆
=
−
−
=
Qui est aussi la pente de la sécante à ces deux temps donnés, et aussi comme le TVM.
Ex : Une particule se déplace d’une façon rectiligne comme suit. Si la position x en fonction du temps t est
donnée par le graphique suivant.
Déterminons les vitesses moyennes suivantes et l’interprétation géométrique de chacune.
a)
[ ]
s/m25,1
4
5
10
4
8
)
4
(
x
)
8
(
x
V
8,4
=
−
=
−
−
=
Cette vitesse moyenne correspond à la pente de la sécante joignant les coordonnées (4, 5) et (8, 10).
Ex : La position x, en fonction du temps t, d’un objet lancé verticalement vers le haut, est donnée par
x(t) = -4,9t
2
+ 14,7t + 22, où t est en secondes et x en mètres. Calculons les vitesses moyennes suivantes :
a)
[ ]
s/m9,4
2
22
8
,
31
0
2
)
0
(
x
)
2
(
x
V
2,0
=
−
=
−
−
=
b)
[ ]
s/m0
1
8
,
31
8
,
31
1
2
)
1
(
x
)
2
(
x
V
2,1
=
−
=
−
−
=
Ex. 3.1 : p.89 # 1, 2abc, 3ace, 7a b i) iii) c, 9
[ ]
j
i
tt
V
,

Page 21
• Taux de variation instantané
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
La tangente à la courbe C en un point P de la courbe est la droite dont la position est la position limite des
sécantes passant par P et Q
i
lorsque Q
i
s’approche de P, par la gauche et par la droite.
Dans le cas où la position limite des sécantes ne donne pas la même droite lorsque Q
i
tend vers P par la gauche
et par la droite, nous disons que la courbe n’admet pas de tangente au point P.
Pour calculer la pente de la tangente à la courbe, c’est la même chose que la pente de la sécante, mais la
différence entre les deux points est très minime et se rapproche de 0.
Ex : Soit f(x) = -x
2
+ 4x + 1.
Calculons, à l’aide de la définition, la pente de la tangente au pont x = 3.
tan(3,f(3)) h 0
2 2
tan(3,f(3)) h 0
2
tan(3,f(3)) h 0
2
tan(3,f(3)) h 0
2
tan(3,f(3)) h 0 h
f(3 h) f(3)
m lim h
(3 h) 4(3 h) 1 ( 3 4(3) 1)
m lim h
(9 6h h ) 12 4h 1 9 12 1
m lim h
9 6h h 12 4h 1 9 12 1
m lim h
2h h
m lim lim
h
→
→
→
→
→ →
+ −
=
− + + + + − − + +
=
− + + + + + + − −
=
− − − + + + + − −
=
− −
= =
0
h( 2 h) 2
h
− − = −
h
a
f
h
a
f
m
h
afa
)
(
)
(
lim
0
))(,tan(
−+
=
→

Page 22
Ex : Soit
>
≤
−
=2xsi
2xsi
x8
x
)x(f
2
2
Il faut vérifier si la limite à gauche est égale à la limite à droite.
4
h
)h4(h
lim
h
4hh448
lim
h
))2(8()h2(8
lim
h
)2(f)h2(f
lim
4
h
)
h
4
(
h
lim
h
4
h
h
4
4
lim
h
)
2
(
)
h
2
(
lim
h
)
2
(
f
)
h
2
(
f
lim
0h
2
0h
22
0h0h
0h
2
0h
2
2
0h0h
−=
+−
=
−−−−
=
−−+−
=
−+
=
+
=
−++
=
−+
=
−+
++++
−−−−
→→→→
→→→→
Puisque la limite à gauche n’est pas égale à la limite à droite,
h
)
2
(
f
)
h
2
(
f
lim
0h
−+
→
n’existe pas, alors la courbe
n’admet pas de tangente au point P(2, f(2)).
• Définition de la dérivée
La dérivée d’une fonction f au point P(a, f(a)), notée f’(a), peut être définie des façons suivantes; lorsque la
limite existe. Tu peux utiliser la formule de ton choix.
a
x
)a(f)x(f
lim)a('f)3
x
)a(f)xa(f
lim)a('f)2
h
)
a
(
f
)
h
a
(
f
lim)a('f)1
ax
0x
0h
−
−
=
∆−∆+
=
−
+
=
→
→∆
→
Ex : Soit
a) Calculons
3x)x(f +=
1) et 2)
52
1
)55(
1
)5h5(
1
lim
)5h5(h
h
lim
)5h5(h
5h5
lim
5h5
5h5
h
5h5
lim
h
323h2
lim
h
)2(f)h2(f
lim)2('f
0h
0h0h0h
0h0h
=
+
=
++
=
++
=
++ −+
=
++ ++
×
−+
=
+−++
=
−+
=
→
→→→
→→
52
1
55
1
)53x)(2x(
2x
lim
)53x)(2x(
55)3x(5)3x(3x
lim
53x
53x
2x
53x
lim
2x
323x
lim
2x
)2(f)x(f
lim)2('f)3
2x2x
2x2x2x
=
+
=
++− −
=
++− −+−+++
=
++ ++
×
−−+
=
−+−+
=
−
−
=
→→
→→→
Ex. 3.2 : p.103 # 1, 2, 3, 6, 7, 8