CONTROLE N°5 1S1.

CONTROLE N°5
1S1.
Le mercredi 28 janvier 2014.
I.
Dans un sac, on place 3 boules rouges ; 2 boules blanches et 1 boule verte. Un jeu A consiste à
choisir une boule au hasard. On gagne 5€ si la boule choisie est verte, 4€ si elle est blanche et on perd 1€ si
elle est rouge. On note X la variable aléatoire correspondant au gain.
A.
1.
Donner la loi de probabilité de X. Les probabilité seront données sous forme de fractions
irréductibles.
2.
Calculer l espérance de X. Interpréter le résultat par une phrase.
3.
A la calculatrice, calculer l écart type de X. En déduire la variance de X.
4.
Combien devrait-on perdre lorsqu on prend une boule rouge pour que le jeu soit équitable ?
B. Marie doit choisir entre le jeu A précédent (en perdant 1€ pour une boule rouge) et un autre jeu B
pour lequel l espérance est 5 et l écart type 0,8. Comparer les deux jeux pour lui permettre de choisir.
3
II.
A un jeu de hasard, la probabilité de gagner est 1 .
4
1.
On fait 8 parties de ce jeu, le résultat de chacune des parties étant indépendant du résultat des
autres parties.
a.
Quelle est la probabilité de gagner les 8 parties ?
b.
Quelle est la probabilité de gagner au moins une partie ?
2.
Combien de parties doit-on faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit
supérieure à 0,99 ?
III.
Une fermière myope a dans sa basse-cour 6 canards et 5 poules. Elle prend successivement 2
volatiles au hasard (sans remettre le premier).
1.
Représenter par un arbre pondéré cette épreuve.
2.
En déduire les probabilités des événements suivants :
A : Elle a pris 2 canards
B : Elle a pris 2 poules
D: Elle a pris un animal de chaque espèce.
3.
Combien de poules la fermière devrait-elle avoir dans la basse cour avoir pour qu elle ait une
chance sur 2 d’avoir un animal de chaque espèce ?
IV. Alice se rend au lycée en bus Comme elle n’aime pas trop se lever tôt, elle prend le dernier bus
possible. Celui-ci lui permet d’arriver à l’heure 3 fois sur 4 s’il fait beau, mais seulement 1 fois sur 5 s’il
pleut. Pour demain, la météo annonce de la pluie avec une probabilité de 3 . Quelle est la probabilité
4
qu’Alice arrive à l’heure demain matin ?
V. f est la fonction définie sur r par f(x) x² 3x. Ecrire un algorithme qui demande la valeur d un entier
n puis calcule et affiche les valeurs de f(1) ; f(2) ; f(3) ; ... ; f(n).
Bonus : Soit P(x) un trinôme du second degré.
Démontrer que si P(– 1) = 0, alors P(x) peut s’écrire ax²+(a+c)x+c avec a et c réels et a ≠ 0.
CORRECTION DU CONTROLE N°5.
1S1.
I.
A.
1.
Voici la loi de probabilité de X :
5
4
xi
1/6
2/6 = 1/3
P ( X xi )
2.
1 +4
6
E(X) = 5
1 –1
3
1
3/6 = 1/2
1 = 10 = 5 . Si on joue un grand nombre de parties, on gagne en
2
6
3
moyenne 5
1,67€ par partie.
3
3.
A la calculatrice, on obtient : (X)
2,69 : l écart type de X est environ 2,69. On a alors
2
V(X)
(X) 7,22 : la variance de X est environ 7,22.
4.
Soit x la valeur cherchée.
On a 5 1 + 4 1 x 1 = 0
6
3
2
13 x
6
2
x 26
4,33
6
On devrait perdre environ 4€33 lorsqu on prend une boule rouge pour que le jeu soit équitable.
B. Les deux jeux ont la même espérance : sur un grand nombre de parties, on gagnera en moyenne
1,67€ par partie, quel que soit le jeu choisi.
Le jeu B a un écart type plus faible que le jeu A : en choisissant le jeu B, Marie prend moins de risques
qu en choisissant le jeu A, où elle risque de gagner plus, mais aussi de perdre plus.
II.
1.
8
La probabilité de gagner les 8 parties est  1  = 1 .
4
65536
8
3
b.
La probabilité de perdre les 8 parties est   donc la probabilité de gagner au moins une
4
8
58975
3
partie est 1  
0,9.
 4  65536
2.
Soit n le nombre de parties jouées. La probabilité de gagner au moins une partie est 1.
n
On cherche la plus petite valeur de n telle que 1  3  > 0,99. A la calculatrice, on obtient n 17. Il
4
faut faire au moins 17 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit
supérieure à 0,9999.
a.
III.
1.
On a l arbre suivant :
5
10
C
A
C
un canard"
6
11
5
10
6
10
5
11
avec C l événement: "la fermière choisit
C
D
C
D
C
B
C
4
10
2.
D après l arbre pondéré :
P(A) 30
110
P(B) 20
110
30
P(D) 30
110 110
3.
On peut construire le même arbre que précédemment, en changeant les
probabilités sur les branches. On a a lors
6x
6x
12x
P(D)
+
(x 6)(x 5) (x 6)(x 5)
(x 6)(x 5)
1
On résout P(D)
. Les valeurs interdites sont 6 et 5
2
12x
P(D) 1
= 1
24x (x 6)(x 5)
x² 13x 30 0
2
(x 6)(x 5) 2
= 49 donc l équation a deux solutions qui sont 10 et 3. Ce ne sont pas des valeurs interdites.
La fermière a une chance sur 2 d’avoir un animal de chaque espèce si elle a 3 ou 10 poules dans
sa basse cour.
IV.
On construit l arbre pondéré suivant :
3/4
A
avec les événements :
B : "il ne pleut pas"
A : "Alice est à l heure"
B
1/4
3/4
1/4
A
1/5
A
4/5
A
B
La probabilité qu Alice soit à l heure demain est P(A) 1
4
3
4
3
4
1
5
27 .
80
V.
Demander n
Pour i allant de 1 à n
f prend la valeur i² 3 i
Afficher f
Fin Pour
Fin
Bonus : P(x) est un trinôme du second degré donc P(x) ax² bx c, où a, b et c sont des réels avec a
non nul.
P( 1) 0
a
1)2 b ( 1) c 0
a b c 0
b a c.
On a donc P(x) ax²+(a+c)x+c avec a et c réels et a ≠ 0.
GRILLE D EVALUATION.
DS N°5
1S1
OUI
Rédaction
La rédaction est rigoureuse
La copie est bien présentée
Je suis capable de
Donner la loi de probabilité d une variable aléatoire dans un
cas simple. (IA1)
Interpréter l espérance et l écart-type (IA2 et IB)
Utiliser la calculatrice pour calculer l écart-type (IA3)
Mettre en équation un problème simple (IA4 et III3)
Résoudre une équation (IA4 et III3)
Construire ou imaginer un arbre pondéré (II1 ; IIII1 ; IV)
Utiliser un arbre pour calculer des probabilités (II1 ; IIII1 ;
IV)
Ecrire un algorithme en utilisant une boucle Pour
Prendre des initiatives (II2 ; IV)
Je connais
La formule de l espérance
Le lien entre variance et écart-type
EN
PARTIE
NON
NON
EVALUE