CONTROLE N°5 1S1.

CONTROLE N°5 1S1.
Le mercredi 28 janvier 2014.
I. Dans un sac, on place 3 boules rouges ; 2 boules blanches et 1 boule verte. Un jeu A consiste à
choisir une boule au hasard. On gagne 5€ si la boule choisie est verte, 4€ si elle est blanche et on perd 1€ si
elle est rouge. On note X la variable aléatoire correspondant au gain.
A.
1. Donner la loi de probabilité de X. Les probabilité seront données sous forme de fractions
irréductibles.
2. Calculer l espérance de X. Interpréter le résultat par une phrase.
3. A la calculatrice, calculer l écart type de X. En déduire la variance de X.
4. Combien devrait-on perdre lorsqu on prend une boule rouge pour que le jeu soit équitable ?
B. Marie doit choisir entre le jeu A précédent (en perdant 1€ pour une boule rouge) et un autre jeu B
pour lequel l espérance est 5
3 et l écart type 0,8. Comparer les deux jeux pour lui permettre de choisir.
II. A un jeu de hasard, la probabilité de gagner est 1
4 .
1. On fait 8 parties de ce jeu, le résultat de chacune des parties étant indépendant du résultat des
autres parties.
a. Quelle est la probabilité de gagner les 8 parties ?
b. Quelle est la probabilité de gagner au moins une partie ?
2. Combien de parties doit-on faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit
supérieure à 0,99 ?
III. Une fermière myope a dans sa basse-cour 6 canards et 5 poules. Elle prend successivement 2
volatiles au hasard (sans remettre le premier).
1. Représenter par un arbre pondéré cette épreuve.
2. En déduire les probabilités des événements suivants :
A : Elle a pris 2 canards
B : Elle a pris 2 poules
D: Elle a pris un animal de chaque espèce.
3. Combien de poules la fermière devrait-elle avoir dans la basse cour avoir pour qu elle ait une
chance sur 2 d’avoir un animal de chaque espèce ?
IV. Alice se rend au lycée en bus Comme elle n’aime pas trop se lever tôt, elle prend le dernier bus
possible. Celui-ci lui permet d’arriver à l’heure 3 fois sur 4 s’il fait beau, mais seulement 1 fois sur 5 s’il
pleut. Pour demain, la météo annonce de la pluie avec une probabilité de 3
4 . Quelle est la probabilité
qu’Alice arrive à l’heure demain matin ?
V. f est la fonction définie sur r par f(x)x² 3x. Ecrire un algorithme qui demande la valeur d un entier
n puis calcule et affiche les valeurs de f(1) ; f(2) ; f(3) ; ... ; f(n).
Bonus : Soit P(x) un trinôme du second degré.
Démontrer que si P(– 1) = 0, alors P(x) peut s’écrire ax²+(a+c)x+c avec a et c réels et a ≠ 0.

CORRECTION DU CONTROLE N°5. 1S1.
I.
A.
1. Voici la loi de probabilité de X :
xi
5
4
1
P( ) X xi
1/6
2/6 = 1/3
3/6 = 1/2
2. E(X) = 5 1
6 + 4 1 3 – 1 1 2 = 10 6 = 5
3 . Si on joue un grand nombre de parties, on gagne en
moyenne 5
3 1,67€ par partie.
3. A la calculatrice, on obtient : (X) 2,69 : l écart type de X est environ 2,69. On a alors
V(X) (X)27,22 : la variance de X est environ 7,22.
4. Soit x la valeur cherchée.
On a 5 1
6 + 4 1 3 x 1 2 = 0
13
6 x 2
x 26
6 4,33
On devrait perdre environ 4€33 lorsqu on prend une boule rouge pour que le jeu soit équitable.
B. Les deux jeux ont la même espérance : sur un grand nombre de parties, on gagnera en moyenne
1,67€ par partie, quel que soit le jeu choisi.
Le jeu B a un écart type plus faible que le jeu A : en choisissant le jeu B, Marie prend moins de risques
qu en choisissant le jeu A, où elle risque de gagner plus, mais aussi de perdre plus.
II.
1.
a. La probabilité de gagner les 8 parties est  1
4 8 = 1
65536 .
b. La probabilité de perdre les 8 parties est  3
4 8 donc la probabilité de gagner au moins une
partie est 1  3
4 8 58975
65536 0,9.
2. Soit n le nombre de parties jouées. La probabilité de gagner au moins une partie est 1.
On cherche la plus petite valeur de n telle que 1  3
4 n > 0,99. A la calculatrice, on obtient n 17. Il
faut faire au moins 17 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit
supérieure à 0,9999.
III.
1. On a l arbre suivant :
5
10 C A avec C l événement: "la fermière choisit
C un canard"
6
11 5 10 C D
5
11 6
10 C D
C
4
10 C B

2. D après l arbre pondéré :
P(A) 30
110
P(B) 20
110
P(D) 30
110 30 110
3. On peut construire le même arbre que précédemment, en changeant les
probabilités sur les branches. On a a lors
P(D) 6x
(x6)(x5) + 6x (x6)(x5) 12x (x6)(x5)
On résout P(D) 1
2 . Les valeurs interdites sont 6 et 5
P(D) 1
2 12x
(x6)(x5) = 1
2 24x(x6)(x5) x² 13x30 0
= 49 donc l équation a deux solutions qui sont 10 et 3. Ce ne sont pas des valeurs interdites.
La fermière a une chance sur 2 d’avoir un animal de chaque espèce si elle a 3 ou 10 poules dans
sa basse cour.
IV. On construit l arbre pondéré suivant :
3/4 A avec les événements :
B B : "il ne pleut pas"
1/4 1/4 A A : "Alice est à l heure"
1/5 A
3/4 B
4/5 A
La probabilité qu Alice soit à l heure demain est P(A) 1
4 3 4 3 4 1 5 27 80 .
V.
Demander n
Pour i allant de 1 à n
f prend la valeur i² 3 i
Afficher f
Fin Pour
Fin
Bonus : P(x) est un trinôme du second degré donc P(x)ax²bx c, où a, b et c sont des réels avec a
non nul.
P(1) 0 a1)2b( 1) c0 a b c 0 b a c.
On a donc P(x) ax²+(a+c)x+c avec a et c réels et a ≠ 0.

GRILLE D EVALUATION.
DS N°5
1S1
OUI
EN
PARTIE
NON
NON
EVALUE
Rédaction
La rédaction est rigoureuse
La copie est bien présentée
Je suis capable de
Donner la loi de probabilité d une variable aléatoire dans un
cas simple. (IA1)
Interpréter l espérance et l écart-type (IA2 et IB)
Utiliser la calculatrice pour calculer l écart-type (IA3)
Mettre en équation un problème simple (IA4 et III3)
Résoudre une équation (IA4 et III3)
Construire ou imaginer un arbre pondéré (II1 ; IIII1 ; IV)
Utiliser un arbre pour calculer des probabilités (II1 ; IIII1 ;
IV)
Ecrire un algorithme en utilisant une boucle Pour
Prendre des initiatives (II2 ; IV)
Je connais
La formule de l espérance
Le lien entre variance et écart-type